应用随机过程3-泊松过程

2010-9-2
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定理3.2.2
设{ X (t ) ， t 0 }为泊松过程，则等待时间
Wn （ n 1 ）服从 ( n, ) 分布， 其概率密度为
f (t ) e
t
(t ) n1 ，t 0 (n 1)!
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2 事件到达时间的条件分布
（1） X (t ) 0 ；
（2） X (t ) 是整数值；
（3）对任意两个时刻 0 t1 t 2 ，有 X (t1 ) X (t 2 ) ； （4）对任意两个时刻 0 t1 t 2 ， X (t 2 ) X (t1 ) ，
等于在区间 (t1 , t 2 ] 中发生的事件的个数。
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} 分布函数： P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} s0 0, P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, P{ X (t ) 1} st P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} 分布密度： P{ X (t ) 1} 1 / t , 0 s t se s e ( t s ) s fW1 X ( t ) 1 ( s ) t 其它 te t 0,
（2）过程有平稳与独立增量；
（3） P{ X ( h) 1} h ( h ) ；
（4） P{ X ( h) 2} ( h) ；
其中 ( h) 表示当 h 0 时对 h 的高阶无穷小，
则称
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X (t ) 为具有参数 的泊松过程。
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例3.1.1
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例3.2.2 设在 [ 0 , t ] 内事件 A 已经发生 n 次，且 0 < s < t，对 于0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件 A 发生 k 次的概率。
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
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3.3 Poisson过程的推广
定理3.2.1 设 { X (t ), t
0} 为参数 ( 0) 的泊松过程，
则到达时间间隔序列T1，T2， 是相互独立的随机变量序列，
且都有相同的均值为 1/ 的指数分布。
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例3.2.1 甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路 汽车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1辆 （乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试问可乘坐 甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的 概率分布及其期望。

t
0
(s) d s
P{ X (t s) X (t ) n} [ (u )du]n
t t s
n!
exp{ (u )du}, n 0,1,2,
t
t s
[ m (t )] n exp{ m (t )}, 或 P{ X (t ) n} n!
且{N*(t)}是一个强度为1的泊松过程。
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n 0， 1,2，
例3.3.1 设{ X (t) , t 0 }是具有跳跃强度
( t ) 0 . 5 (1 cos t )
的非齐次泊松过程。求 E[X(t)] 和 D[X(t)]。
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例3.3.2 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘 客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性 增加， 8 时达到 1400 人 / 时； 8 时至 18 时保持平均到达率不 变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定 乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求 12 时至 14 时有 2000 人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人 数的数学期望。
P { X ( t h ) X ( t ) 2} o ( h )
非齐次泊松过程的均值和方差函数为:
m X (t ) D X (t )
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t
0
(s) d s
非齐次泊松过程的分布
定理3.3.1 设{ X (t) , t 0 }为具有均值函数 m ( t ) 的非齐次泊松过程，令 N * (t ) X (m 1 (t )) ，则有
X (t ) 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数，
Wi （ i 1,2, ）表示事件第 i 次发生的等待时间，
则称 { Wn ， n 1 }为等待时间序列。
以 Tn （ n 1）表示第 n 1 次发生到第 n 次发生之间的
时间间隔， 则称 { Tn ， n 1 }为到达时间间隔序列。 W3 W1 W2 T1 T2 T3 2010-9-2 理学院 施三支
D[ X (t )] tE [Y12 ]
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例3.3.3
设保险公司接到的索赔次数服从强度为
5
次/月的泊松过程，每次理赔数均服从 2000,10000 上的均匀分布，则一年中保险公司平均赔付总额是 多少？ 单位：元
作业：1. P43 1,4,5,7,11* 2. 写本章小结
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到达时间的条件分布
定理3.2.3 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A 发生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于 n个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布，即
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n ) t 其它 0,
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第3章 泊松过程
3.1 Poisson过程 3.2 与Poisson过程相联系的若干分布 3.3 Poisson过程的推广
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3.1 泊松过程
1．计数过程 定义3.1.1 如果用 X (t ) 表示 [0，t]内某一特定事件发生的次数，则
随机过程{ X (t ) ， t 0 }称为一个计数过程。 且满足：
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二、复合泊松过程
定义3.3.2 设{ N (t) , t 0 }是强度为 的泊松过程， { Yk , k =1, 2, … }是一列独立同分布随机变量，且 与{ N (t) , t 0 }独立，令
N (t ) k 1
X (t ) Yk , t 0
则称{ X (t) , t 0 }为复合泊松过程。
X (t) 为具有参数 的泊松过程。
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注意
从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[ X (t )] t
并称
为此过程的
发生率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
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说明
要确定计数过程是泊松过程，必须证明它 满足三个条件：
条件（1）只是说明事件的计数是从时刻 t 0 开始
/小时的泊松过 顾客到达某 商店服从 参数 4 人 程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一 位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。
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3.2 与Poisson过程相联系的若干分布
1．到达时间间隔Tn和等待时间Wi的分布 定义3.2.1
设 { X (t ) ， t 0 } 为 泊 松 过 程 ，
(1) X (0) 0 ；
(2) 独立增量过程；
(3)任一长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为
即对一切 s, t 0 ，有 t ( 0 )的泊松分布，
百度文库
( t ) k t P{ X (t s ) X ( s ) k} e k!
则称
k 0,1,2,
条件（2）通常可从对过程的了解的情况去直接验证
然而全然不清楚如何去确定条件（3）是否满足
为此给出一个与泊松过程等价的定义
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定义3.1.2’ 设随机过程{
X (t ) ， t 0 }是一个计数过程，
参数为 （ 0 ） ， 满足
（1） X ( 0) 0 ；
一、 非齐次泊松过程
定义3.3.1 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有强度函数 (t) 的非 齐次泊松过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) P { X ( t h ) X ( t ) 1} ( t ) h o ( h )
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注
如果在不相交的时间区间中发生的事件个 数是独立的，则称计数过程有独立增量。 若在任一时间区间中发生的事件个数的分 布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有 平稳增量。
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2．泊松过程 定义3.1.2 设随机过程{ X (t ) ， t 0 }是一个计数过程，满足
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复合泊松过程的性质
定理3.3.2 设 X (t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 k
k 1 N (t )
(1) { X (t) , t 0 } 是独立增量过程; (2) 若 E[Y12 ] ，则
E [ X (t )] tE [Y1 ],