置信区间与假设检验之间的关系

X的样本， x 设X1 , X2 ,⋯, Xn是来自总体 的样本， 1 , x2 ,⋯, xn 是相应的样本值。 是相应的样本值。 (1)设(θ1 ,θ2 )是参数 的一个置信水平为−α的置信 θ 1 区间， 区间，则有 P(θ1 < θ < θ2 ) ≥ 1−α. 考虑显著性水平为 的双侧检验 α H0 :θ = θ0 , H1 :θ ≠ θ0
例如， X 已知时， µ 例如，当总体 ~ N(µ,σ 2 )且σ已知时，参数 的 置信区间为
（X −
σ
n
zα / 2 , X +
σ
n
zα / 2）
假设 0：µ = µ0的拒绝域为 H
X − µ0 ≥ zα σ0 / n 2
即
µ0 ≤ X − σ
n
µ zα / 2或者 0 ≥ X +
σ
n
zα / 2，
侧置信区间， 侧置信区间，则有
P(−∞< θ < θ2 ) ≥ 1−α. 考虑显著性水平为 的左侧检验 α H0 :θ ≥ θ0 , H1 :θ < θ0
由P(−∞ < θ0 < θ2 ) ≥ 1−α得P(θ0 ≥ θ2 ) < α,
θ H H 故当 0 ∈(−∞,θ2 )时，接受 0;当θ0 ∉(−∞,θ2 )时，拒绝 0。
（7.10） ）
P(θ1 < θ < θ2 ) ≥ 1−α.
由式（7.10），在原假设成立时， 由式（7.10），在原假设成立时，有 ），在原假设成立时
（7.10） ）
Leabharlann Baidu
P(θ1 < θ0 < θ2 ) ≥ 1−α.
即有
P(θ0 ≤ θ1或θ0 ≥ θ2 ) ≤ α. 由此可知， H 由此可知，原假设 0的拒绝域为 θ0 ≤ θ1或θ0 ≥ θ2 H 原假设 0的接受域为 θ1 < θ < θ2 .
反之，对于 0，考虑显著性水平为 的假设检验 反之， θ α H0 :θ = θ0 , H1 :θ ≠ θ0
H θ 假设 0的接受域为 1 < θ < θ2 ,即有 P(θ1 < θ0 < θ2 ) ≥ 1−α.
则有
P(θ1 < θ < θ2 ) ≥ 1−α.
因此， (θ θ 1 因此，1 ,θ2 )是参数 的一个置信水平为−α的置信 区间。 区间。 (2)设(−∞,θ2 )是参数 的一个置信水平为−α的单 1 θ
7.4 置信区间与假设检验之间的关系
区间估计与假设检验是统计推断的两个重要内容， 区间估计与假设检验是统计推断的两个重要内容， 它们之间有着明确的关系： 它们之间有着明确的关系： 参数的置信区间与假设检验所得的接受域相同。 参数的置信区间与假设检验所得的接受域相同。 下面分双侧和单侧问题来说明这个对应关系： 下面分双侧和单侧问题来说明这个对应关系：
µ 即， 0 ≥ X + σ
n zα， 从而接受域为（ 从而接受域为（ ∞, X + −
σ
n
zα）。
7 ， 例 .11 看书
n n 又例如， X 已知时， µ 又例如，当总体 ~ N(µ,σ 2 )且σ已知时，参数 的 左侧置信区间为 （− ∞, X +
从而接受域为（ X 从而接受域为（ −
σ
zα / 2 , X +
σ
zα / 2）。
σ
n
zα） ,
而假设 0：µ ≥ µ0的拒绝域为 H
X − µ0 ≤ −zα σ0 / n