压杆稳定的概念
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压杆稳定的概念
压杆 稳定 的概 念
当压力F增大到某一临界值Fcr时，弹性压杆将 由稳定平衡过渡到不稳定平衡，对应的状态称为临
界态，对应的临界值Fcr称为压杆的临界力或临界荷 载，它标志着压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡的
分界点。于是，压杆保持稳定的条件为F<Fcr，压杆 的失稳条件为F>Fcr，失稳的临界条件为F=Fcr。不难 看出，压杆的稳定性取决于临界力的大小：临界力
越大，压杆的稳定性越强，压杆越不容易失稳；而
临界力越小，压杆的稳定性越差，压杆越容易失稳。
解决压杆的稳定性问题关键是要确定压杆的临界力。
压杆 稳定 的概 念
压杆 稳定 的概 念
工程实际中把受轴向压力的直杆称为压杆。 实践表明，这一结论只对短而粗的受压杆件是成 立的。当轴向压力增大到一定数值时，在强度破 坏之前，压杆会突然产生侧向弯曲变形而丧失工 作能力，如图10-1所示。这种细长压杆在轴向受 压后，其轴线由直变弯的现象，称为丧失稳定， 简称失稳。失稳是不同于强度破坏的又一种失效 形式，它会导致整个结构不能正常地工作，给结 构带来很大的危害，造成严重的工程虑强度问题， 而细长的压杆除了强度问题外，还应考虑稳定 性问题，这也是设计中首先要考虑的问题，如 图10-2所示桁架中的压杆、图10-3所示托架中 的压杆及钢结构中的立柱等。因此在设计压杆 时，进行稳定性计算非常重要。
压杆 稳定 的概 念
压杆 稳定 的概 念
除了压杆有失稳现象外，截面窄而高的梁、受外 压力作用的薄壁壳形容器等，也有失稳现象发生。本 章仅讨论压杆的稳定问题。
以图10-4（a）所示的细长压杆为例，它的一端固 定，一端自由。当用一个微小的干扰力横推压杆时， 杆变弯，如图10-4（b）所示。但当干扰力除去后，杆 轴线将在摆动中逐渐恢复直线状态，如图10-4（c）所 示。若当轴向压力F增大到某一数值时，轴线仍可暂时 维持直线平衡状态，但稍受干扰，杆就变弯，即使排 除干扰后，压杆也不能恢复原有的直线平衡状态，而 处于微弯的平衡状态，如图10-4（d）所示。
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定的概念
二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1） 边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3） 若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。
如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。
那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表 又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。
第十章 材料力学压杆稳定
2
y
即 : 189.325.612.74(1.52a/2) 时合理
a4.32 cm
求临界力：
L 0.76
i Iz 2A1
0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
2 EI
(2l ) 2
=1
0.7
=0.5
=2
2l
l
例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面， h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa； 求临界力和临界应力。 解：
(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同， 如下图
因为 Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
1.一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的 压杆的挠曲线的一半部分；
2 EI 2 EI
4l
2
Pcr
2l
2
P l l
2.二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为 0.5l的压杆；
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
y
P x
M
P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
y
即 : 189.325.612.74(1.52a/2) 时合理
a4.32 cm
求临界力：
L 0.76
i Iz 2A1
0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
2 EI
(2l ) 2
=1
0.7
=0.5
=2
2l
l
例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面， h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa； 求临界力和临界应力。 解：
(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同， 如下图
因为 Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
1.一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的 压杆的挠曲线的一半部分；
2 EI 2 EI
4l
2
Pcr
2l
2
P l l
2.二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为 0.5l的压杆；
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
y
P x
M
P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
第十三章压杆的稳定性
(a)
(b)
7
§ 13-2
细长压杆的临界力
w A sin kx B cos kx (c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得 B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
A sin kl 0
由于B=0，故上式中的A不可能等于零，则
sin kl 0
w
解得：kl 0，π, 2π，
φ28 800 C
P=30kN
1
μ1l1 0.5 900 75 i1 6 s 1 P
解： 1.根据已知条件求 s ,P cr1 304 1.12 75 220MPa
a - s 304 - 240 s 57.1 b 1.12
3
§ 13-1
压杆稳定性的概念
2. 理想中心杆件 1. 压杆轴线是理想直线即无初弯曲， 2. 压力作用线与轴线完全重合， 3. 材料是绝对均匀的。
二、失稳（屈曲）
压杆丧失其直线平衡而过渡到曲线平衡，
称为丧失稳定性，简称失稳或屈曲。
4
§ 13-1
压杆稳定性的概念
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
Fcr：临界压力
F 30 103 2 48.72MPa A2 p 282 4
24
§ 13-4
压杆的稳定性计算
作业：P1076； P10916 思考：P11017； P11018
25
§ 13-4
压杆的稳定性计算
答疑通知
地点：工科二号楼A424（力学系）
时间：17周的周二下午两点；
26
§ 13-4
P=30kN
n2
材料力学
压杆的稳定条件(安全系数法)
F
F cr
n st
[Fst ]
n st ——稳定安全因数
F ——工作压力
[ Fst ] ——稳定许用压力
— [ st ]
材料力学
cr
n st
[st ]
——稳定许用应力
F A
工作应力
压杆稳定问题/压杆的稳定计算
压杆的稳定条件
n nst
— n Fcr cr
工作安全因数
F
2、由杆AC的强度条件确定 Fmax 。
1
FN1 A1
s ns
FN 2
A
F s A1 26.7KN
2ns
3、由杆AB的稳定条件确定 Fmax 。
材料力学
n
Fcr FN 2
nst
柔度: l2 1 0.6 80 i2 d2 / 4
0 < p 可用直线公式.
因此
FcrcrA2 (ab)A2 (30 1.4 1 2 8)0 160 4d22
（中柔度杆）
(p s)
粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服(< 0)
（小柔度杆，按强度问题处理cr＝ s (b)）
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
中长杆临界应力的经验公式
1） 直线公式
crab
a、b是与材料有关的常数。
直线公式的适用范围： 0 < p
ps
0
as
b
临界应力总图——临界应力随柔度变化的曲线
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
三、中、小柔度杆的临界应力
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
1、问题的提出
第9章 压杆的稳定
由上可知：木柱的临界压力为Fcr=123kN。
2、压杆的临界应力
(1) 、临界应力与柔度
22 Fcr 2 EI 2E I 2E 2 EE cr i 22 2 2 2 A ul A ul A ul
其中: i
I — 截面的惯性半径；为截面的几何性质； A
由结点B的平衡： Fy 0, FBA sin P max 0;
Pmax 4 FBA max sin Fcr sin 59.6 47.7kN ; 5
三、压杆的稳定计算 一、 稳定条件 压杆要具有足够的稳定性，必须满足压杆的稳定条 件，即
Fcr nw [nw ] 或 nw cr nw — 安全系数法 F
a
B
A
ul 1 1 142.9 p 123; 大柔度杆； 3 i 7 10
2 E 2 200 109 cr 2 Pa 96.7 MPa 2 142.9
Fcr cr A 96.7 615.75 59.6kN FBA ;
（即绕y轴失稳）
120 2003 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
木柱两端铰支，u，则得：
Fcr
2 EI y
ul
2
3.142 10 109 80 106 1012
1 8
2
N 123kN
（2）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕 z 轴失稳）
临界力—压杆在临界平衡状态（刚好达到使压杆处 于不稳定平衡状态）时所受的轴向压力。
二、临界力及临界应力
1、临界力的欧拉公式： F cr
EI
材料力学 第十二章 压杆稳定
P ≤ Pcr
(1) P ≤ Pcr
干扰力去掉后， 干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到 直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆 直线位置，恢复原有的平衡状态， 稳定平衡。 直线状态的平衡是稳定平衡 直线状态的平衡是稳定平衡。
干扰力
P ≥ Pcr
P = Pcr
干扰力
干扰力
干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置， (2) P ≥ Pcr ; 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡 不稳定平衡。 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。 干扰力去掉后， (3) P = Pcr ; 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡 随遇平衡。 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡。
40 1.5 1.5m 100 z y
【解】
Iy
I = I min = I y
100 × 403 20 i= = = mm A 12 × 100 × 40 3 µ l 0.7 ×1.5 ×103 × 3 λ= = = 90.9 i 20
λP = π
E
σP
70 ×103 =π × = 62.8 175
σP=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。
P 【解】 λ P = π
µl
E
σP
200 ×103 =π × = 99.3 200
A π d 2 / 4 4l = µl =l = λ= i I π d 4 / 64 d
l
l
长度系数
µ =1
µ=2
材料力学-压杆稳定
A
பைடு நூலகம்
B
L
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ， 弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ， 屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2， ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗？
L
100
60
4、AB杆的两端固定，在20OC时杆内无内力。已知： 杆长为L＝400毫米，杆的直径d＝8毫米，材料的弹性 模量为E＝200GPａ，比例极限为σP=200Mpa，线胀 系数α＝1.25×10-51/OC，杆的稳定安全系数为2，当 温度升高到40OC时，校核杆的稳定性。
i I D2d2 16mm A4
得11.713 61230108 P
3、选用公式，计算临界应力
AB为大柔度杆
FcrcrA
2E 2
A
2lE2I118kN
4、计算安全系数
n F cr FN
1184.4 26.6
2nst3
5、结论
AB杆满足稳定性要求
1、圆截面杆BD的直径为ｄ＝35毫米，采用普通碳 钢，弹性模量 Ｅ＝200GPａ，比例极限为σP＝ 200MPａ，屈服极限为σS＝235MPａ，ａ＝304 MPａ，ｂ＝1.12 MPａ，稳定安全系数取ｎw＝3， 载荷G＝30K N，校核BD杆的稳定性。
cr
2E 2
临界应力的欧拉公式
塑性材料在压缩时的应力应变曲线
σ
σp
σs
O
σ
σp
σs
O
细长杆 1
σ
当临界应力小于或等于材料的比例极限时 cr p σp
σs
压杆稳定
p
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用 经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最 小杆长。
F
解： s
a s
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
相同的压杆
P
细长压杆失效原因：杆突然 发生显著弯曲变形而失去承 载能力。
P
P
失稳(也叫屈曲）
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力；
2.压杆失稳：压杆丧失原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p
经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问 题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
感谢下 载
cr a1 b12
a 、b 式中
查到。 1
也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中
1
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用 经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最 小杆长。
F
解： s
a s
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
相同的压杆
P
细长压杆失效原因：杆突然 发生显著弯曲变形而失去承 载能力。
P
P
失稳(也叫屈曲）
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力；
2.压杆失稳：压杆丧失原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p
经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问 题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
感谢下 载
cr a1 b12
a 、b 式中
查到。 1
也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中
1
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
第十五章 压杆稳定
课题一 压杆稳定的概念
如上图，在自由端沿杆轴线方向施较小压力时，压杆处于直线平 衡状态（图a），此时若施加一微小横向干扰力，使杆处于微弯状 态（图b），然后将干扰力去除，杆经过几次左右摆动后，仍能回 复到原来的直线平衡状态（图c），这说明压杆的直线平衡状态是 稳定的。
但当压力F增大到某一数值时，压杆在微小干扰力作用下，杆即变 弯。当去除干扰力，杆不再回复到原来的直线平衡状态，而是处 于微弯平衡状态，称此时压杆的直线平衡状态不稳定。
（1）计算螺杆的柔度： i
I A
d
4 0
/
64
d0
40 mm 10mm
d
2 0
/
4
4
4
l 2 375 75
i 10
（2）计算临界应力
cr s a2 275 0.00853 压杆稳定校核与提高压杆稳定性的措施
（3）校核螺杆的稳定性。
稳定许用应力为：
[
w
]
cr nw
227 4
MPa
56.8MPa
螺杆的工作应力为： F 70 103 MPa 55.7MPa
A 40 2 / 4
[ w ]
，所以螺杆是稳定的。
二、提高压杆稳定性的措施
提高压杆的稳定性，关键在于提高压杆的临界力或临界应力。
第十五章 压杆稳定 课题三 压杆稳定校核与提高压杆稳定性的措施
对于钢材 cr s a2 对于铸铁 cr b a2
式中是与材料有关的常数，单位为MPa，其值可从表中10-2查得。
第十五章 压杆稳定
课题二 临界力和临界应力
压杆的临界应力是其柔度λ的函数，其函数图象（下图）称为临界 应力总图。
第十五章 压杆稳定
压杆稳定
(L / i)
2
E
2
2
cr
2E 2
其中：i
I A
— —惯性半径。
3.柔度：
L
i
— —杆的柔度（或长细比
）
13
第三节 欧拉公式的适用范围及经验公式 二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在弹性范围内应用
比例极限
cr
E
2
2
P
E
2
P
P
满足 P的杆称为大柔度杆 其临界应力用欧拉公式 求。
2
F cr
EI
2
l
2
μ =1
μ 0.7
μ =0.5
μ =2
μ =1
0.5l
10
第二节 细长杆的临界压力公式
[例] 如图所示压杆由14号工字钢制成，其上端自由，下端固 定。已知钢材的弹性模量E＝210 GPa，屈服点 s ＝240 MPa ，杆长l＝3000 mm。试求该杆的临界力FPcr和屈服载荷Fs。 解 (1) 计算临界力 对14号工字钢，查型钢 表得
F cr
π EI l
2
2
也称临界压力的欧拉公式
E——压杆材料的弹性模量 I——压杆横截面的惯性矩， 对于矩形截面有IX 、Iy ；Imax 、Imin EI——压杆的抗弯刚度 L——压杆的长度
8
第二节 细长杆的临界压力公式 二、其他约束情况下细长杆临界压力公式
F cr
EI
2
l
27
第五节 提高压杆承载能力的措施
(1) 改善杆端约束情况 压杆两端约束愈强， 值就愈 小，柔度也就愈小，临界应力就愈 大。因此，尽可能加强杆端约束的 刚性，可提高压杆的稳定性。 (2) 减小压杆的长度 减小压杆长度l是提高其稳定性 的有效措施。如图a)所示两端铰支 的细长压杆，若在杆的中点增加一 铰支座，变为如图b)所示的情形， 相当于计算长度减小一半，则其临 界应力将增加为原来的4倍。
第十一章 压杆稳定
§ 11—3 不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式
F
cr
1、两端铰支
F
A
cr
Fcr
EI
2
l2
l
B
2、一端固定另端自由 l 2 EI Fcr ( 2l ) 2
F
cr
A
B
l
F
A
cr
3、一端固定，一端 夹支（两端固定）
0.5l
A
4、一端固定 另端铰支
0 .7 l
l
Fcr
2 EI
Fcr,1 : Fcr,2 : Fcr,3 I min,1 : I min,2 : I min,3 1: 9.34:17.32
例11.2 两端球铰支的中心受压细长压杆，长1m，材料的弹性 模量E＝200GPa，考虑采用矩形、等边角钢∟45×6、环形三种 不同截面，如图11.5所示。试比较这三种截面压杆的稳定性。
2、若F 2k l ，即 F 2kl，则在干扰解除后，杆不仅不 能自动返回其初始位置，而且将继续偏转。说明在该荷载作 用下，杆在竖直位置的平衡是不稳定的。
一、弹性系统平衡的稳定性 1、若 F 2k l ，即 F 2kl ，则在干扰解除后，杆将自
动恢复至初始位置，说明在该荷载作用下，杆在竖直位置的 平衡是稳定的。 2、若F 2k l ，即 F 2kl，则在干扰解除后，杆不仅不 能自动返回其初始位置，而且将继续偏转。说明在该荷载作 用下，杆在竖直位置的平衡是不稳定的。 δ
F F
3、若F 2k l ，即 F 2kl， 则杆既可在竖直位置保持平衡， 也可在微小偏斜状态保持平衡， 说明在该荷载作用下，杆处于临 界平衡状态或称为随遇平衡状态。 弹性系统在某位置的平衡性质不但 与外荷载的大小有关，而且与系统 的自身构成特性有关。
材料力学第11章 压杆稳定
长度系数
一端固定，另一端自由 两端铰支
2 1
一端固定，另一端铰支
2 0.7
3
两端固定
1 0.5
2
第十一章 压杆稳定
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围 二、中柔度压杆的临界应力 三、小柔度压杆的临界应力 四、临界应力总图
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
2E 2
O 小 0 中 p 大
柔柔
柔
度度
度
压压
压
杆杆
杆
可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
例1 图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，
试求立柱的临界压力。
解：1.求
F
查表：i imin iy 2.50 cm, A 55.4 cm2
ymax
欧拉公式适用于小变形情况
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
1.一端固定、另一端自由
Fcr
Fcr
2EI
Fcr (2l)2
l
l
l
Fcr
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
2.两端固定
b=20
b 2.57 MPa
h=45
cr a b y 289.6 MPa
Fcr cr A 261 kN y
n
Fcr F
4.35
nst
∴ 连杆安全
l 1=800
压杆稳定
压杆稳定一、压杆稳定的概念压杆的稳定性，是指受压杆件保持其原有平衡状态的能力。
压杆不能保持原有平衡状态的现象，称为丧失稳定，简称失稳。
压杆处于稳定平衡和不稳定平衡之间的临界状态时，其轴向压力称为临界力或临界荷载，用表示。
临界力是判别压杆是否会失稳的重要指标。
二、两端铰支细长压杆的临界力两端为铰支的细长压杆，如图所示。
取图示坐标系，并假设压杆在临界荷载作用下，在xy平面内处于微弯平衡状态。
两端铰支细长压杆的临界荷载为称为欧拉公式。
在两端支承各方向相同时，杆的弯曲必然发生在抗弯能力最小的平面内，所以，式(1)中的惯性矩I应为压杆横截面的最小惯性矩；对于杆端各方向支承情况不同时，应分别计算，然后取其最小者作为压杆的临界荷载。
三、各种支承情况下压杆临界力计算公式可以写成统一形式的欧拉公式式中：μ反映了杆端支承对临界力的影响，称为长度系数，μL称为相当长度。
一端自由，一端固定m＝2.0；两端固定 m＝0.5一端铰支，一端固定 m＝0.7；两端铰支m＝1.0四、压杆的临界应力（一）、临界应力与柔度将临界荷载除以压杆的横截面面积A，即可求得压杆的临界应力，即将截面对中性轴的惯性半径代入,--临界应力欧拉公式---柔度或长细比。
它是一个无量纲量。
λ值愈大，压杆就愈容易失稳。
（二）、欧拉公式的适用范围于是欧拉公式的适用范围可用柔度表示为是与压杆材料性质有关的量。
对于，钢制成的压杆，E=200GPa，，=100的压杆称为大柔度杆或细长杆，其临界力或临界应力可用欧拉公式来计算。
（三）、超出比例极限时压杆的临界应力1、经验公式式中：a、b是与材料的力学性能有关的两个常数，可以通过试验加以测定，使用时可从有关手册上查取。
2、临界应力总图&如果将临界应力与柔度之间的函数关系绘在～λ直角坐标系内，将得到临界应力随柔度变化的曲线图形，称为临界应力总图。
临界应力均随柔度λ的增大而呈逐渐衰减的变化规律。
也就是说压杆越细越长，就越容易失去稳定。
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假想地在杆上施加一微小的 横向力，使杆发生弯 曲变形，然后撤去横向力。
P Q
P Pcr
P
(a)
P Pcr
(b)
当 P小于某一临界值 Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复 其原来的直线平衡形态（图 b），压杆在直线形态下的平 衡是 稳定平衡。
P Q
P Pcr
P Pcr
P
P Pcr
P Pcr
挠曲线为半波正弦曲线。
讨论
（1）求解过程为，
xo y0
y Asin kx B cos kx
B=0
y Asin kx
x l y
2
A
sin kl
2
y
sin kl
sin
kx
2
xl
y0
0
sin kl
sin
kl
2
cos
kl 2
2
cos kl 0
K
Pcr
2
挠曲线的中点挠度 是个无法确定的值。即无论 为何值， 上述平衡条件都成立。 似乎压杆受临界力作用时可以在微弯状态下处于 随遇平衡 （中性平衡）状态。
压杆的承载能力是由临界值 Pcr 确定的。
9-2 两端绞支细长压杆的临界压力
两端 球形绞支，长为 l 的等截面 细长 中心受压直杆。 当压力达到 临界值 时，压杆由直线平衡形态转变为曲线 平衡形态。
使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力即为 临界压力。
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
m
y
B
m
x
y
Pcr
M (x)
把边界条件：
xo y0
代入方程，得
B=0 方程变为
y Asin kx
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
y Asin kx 把 x l y
2
代入方程，得
A
sin kl
2
方程变为
y
sin kl
sin
kx
2
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
y
sin kl
sin
kx
2
把边界条件：
xl y0
代入方程，得
0
sin kl
m
m
y
B
x
M (x) Pcr y
压杆任一 x 截面沿 y 方向的 位移为 y = f (x) 该截面的弯矩为
M (x) Pcr y
杆的挠曲线近似微分方程为
EIy" M ( x) Pcr y
y
m
y
B
M (x)
m
x
M(x) = -Pcr y
EIy" M (x) Pcr y
其中 I 为压杆横截面的 最小形心主惯性矩。
P cr
EIk 2
2 EI l2
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
x
两端绞支 等截面 细长 中心受压直杆
Pcr 临界力的计算公式（欧拉公式）
Pcr
2
l
EI
2
l
l 2
y
A
δ
B
Pcr
2 EI l2
y
sin kl
sin
kx
2
当 kl π 时，
sin kl sinπ 1 22
挠曲线方程为
y sin x l
P
Pcr
o
事实上 随遇平衡 状态是不成立的。 值之所以不确定，是因为在推导过程中用了 挠曲线近似微分方程。 （2）若采用挠曲线的精确微分方程，挠曲线中点的挠度 与压力 P 之间的近似关系式为
2 2l
P Pcr
1
1
1 2
(
P Pcr
1)
与 P 存在一一对应的关系， 是一个确定的值 。
sin
kl
2
cos
kl 2
2
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
0
sin kl
sin
kl
2
cos
kl 2
2
要想压杆在微弯状态下平衡只有
cos kl 0 2
kl n (n 1,3,5 )
22
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
kl n (n 1,3,5 )
22
其最小解为 n = 1 的解
k
l
Pcr EI
k2
(a)
(b)
(c)
当 P增大到一定的临界值 Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持
弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图 c），
压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。
压力 P 的临界值 Pcr 称为临界压力或 临界力。 压杆丧失直线形式的平衡过度为曲线平衡，称为丧失稳定。 （简称 失稳 或 屈曲）。
受偏心压力作用的杆件，不论偏心距多么小，压杆的 次要变形—— 弯曲变形 将随压力的增大而加速增长， 并转化为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。
中心受压直杆：杆由均貭材料制成，轴线为直线，外力的作 用线与压杆轴线重合。（不存在压杆弯曲的初始因素）
研究方法：
在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，
结论 ：要提高压杆的承载能力，就应该提高压杆的 抗弯 刚度。
原因： （1）压杆在制作时其轴线存在初曲率；
（2）作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆的 轴线相重合；
（3）压杆的材料不可避免地存在不均匀性。
将这些因素都用外加压力的偏心来模拟。
x
P
z
y y
z
x Pz
mz
y
my
杆件产生组合变形：轴向压缩与两个垂直平面内的弯曲
§ 9-1 压杆稳定的概念
第二章中，轴向拉，压杆的强度条件为
Hale Waihona Puke maxN max A
例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。 钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能 承受的轴向压力为
[P] = Nmax = A[] = 3.92 KN
实际，当压力不到 40N 时，钢尺就被 压弯 。可见 ， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度 ， 而是与 受压时变弯 有关。
令
Pcr EI
k2
则有二阶常系数线性微分方程
y" k2 y 0
y
m
y
B
M (x)
m
x
M(x) = -Pcr y
y" k2 y 0
Pcr EI
k2
其通解为
y Asin kx B cos kx
A，B，k 三个待定常数.
由挠曲线的边界条件确定。
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
y Asin kx B cos kx
P Q
P Pcr
P
(a)
P Pcr
(b)
当 P小于某一临界值 Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复 其原来的直线平衡形态（图 b），压杆在直线形态下的平 衡是 稳定平衡。
P Q
P Pcr
P Pcr
P
P Pcr
P Pcr
挠曲线为半波正弦曲线。
讨论
（1）求解过程为，
xo y0
y Asin kx B cos kx
B=0
y Asin kx
x l y
2
A
sin kl
2
y
sin kl
sin
kx
2
xl
y0
0
sin kl
sin
kl
2
cos
kl 2
2
cos kl 0
K
Pcr
2
挠曲线的中点挠度 是个无法确定的值。即无论 为何值， 上述平衡条件都成立。 似乎压杆受临界力作用时可以在微弯状态下处于 随遇平衡 （中性平衡）状态。
压杆的承载能力是由临界值 Pcr 确定的。
9-2 两端绞支细长压杆的临界压力
两端 球形绞支，长为 l 的等截面 细长 中心受压直杆。 当压力达到 临界值 时，压杆由直线平衡形态转变为曲线 平衡形态。
使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力即为 临界压力。
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
m
y
B
m
x
y
Pcr
M (x)
把边界条件：
xo y0
代入方程，得
B=0 方程变为
y Asin kx
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
y Asin kx 把 x l y
2
代入方程，得
A
sin kl
2
方程变为
y
sin kl
sin
kx
2
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
y
sin kl
sin
kx
2
把边界条件：
xl y0
代入方程，得
0
sin kl
m
m
y
B
x
M (x) Pcr y
压杆任一 x 截面沿 y 方向的 位移为 y = f (x) 该截面的弯矩为
M (x) Pcr y
杆的挠曲线近似微分方程为
EIy" M ( x) Pcr y
y
m
y
B
M (x)
m
x
M(x) = -Pcr y
EIy" M (x) Pcr y
其中 I 为压杆横截面的 最小形心主惯性矩。
P cr
EIk 2
2 EI l2
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
x
两端绞支 等截面 细长 中心受压直杆
Pcr 临界力的计算公式（欧拉公式）
Pcr
2
l
EI
2
l
l 2
y
A
δ
B
Pcr
2 EI l2
y
sin kl
sin
kx
2
当 kl π 时，
sin kl sinπ 1 22
挠曲线方程为
y sin x l
P
Pcr
o
事实上 随遇平衡 状态是不成立的。 值之所以不确定，是因为在推导过程中用了 挠曲线近似微分方程。 （2）若采用挠曲线的精确微分方程，挠曲线中点的挠度 与压力 P 之间的近似关系式为
2 2l
P Pcr
1
1
1 2
(
P Pcr
1)
与 P 存在一一对应的关系， 是一个确定的值 。
sin
kl
2
cos
kl 2
2
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
0
sin kl
sin
kl
2
cos
kl 2
2
要想压杆在微弯状态下平衡只有
cos kl 0 2
kl n (n 1,3,5 )
22
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
kl n (n 1,3,5 )
22
其最小解为 n = 1 的解
k
l
Pcr EI
k2
(a)
(b)
(c)
当 P增大到一定的临界值 Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持
弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图 c），
压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。
压力 P 的临界值 Pcr 称为临界压力或 临界力。 压杆丧失直线形式的平衡过度为曲线平衡，称为丧失稳定。 （简称 失稳 或 屈曲）。
受偏心压力作用的杆件，不论偏心距多么小，压杆的 次要变形—— 弯曲变形 将随压力的增大而加速增长， 并转化为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。
中心受压直杆：杆由均貭材料制成，轴线为直线，外力的作 用线与压杆轴线重合。（不存在压杆弯曲的初始因素）
研究方法：
在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，
结论 ：要提高压杆的承载能力，就应该提高压杆的 抗弯 刚度。
原因： （1）压杆在制作时其轴线存在初曲率；
（2）作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆的 轴线相重合；
（3）压杆的材料不可避免地存在不均匀性。
将这些因素都用外加压力的偏心来模拟。
x
P
z
y y
z
x Pz
mz
y
my
杆件产生组合变形：轴向压缩与两个垂直平面内的弯曲
§ 9-1 压杆稳定的概念
第二章中，轴向拉，压杆的强度条件为
Hale Waihona Puke maxN max A
例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。 钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能 承受的轴向压力为
[P] = Nmax = A[] = 3.92 KN
实际，当压力不到 40N 时，钢尺就被 压弯 。可见 ， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度 ， 而是与 受压时变弯 有关。
令
Pcr EI
k2
则有二阶常系数线性微分方程
y" k2 y 0
y
m
y
B
M (x)
m
x
M(x) = -Pcr y
y" k2 y 0
Pcr EI
k2
其通解为
y Asin kx B cos kx
A，B，k 三个待定常数.
由挠曲线的边界条件确定。
x
Pcr
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l 2
y
A
δ
B
y Asin kx B cos kx