二次函数与商品利润问题

《二次函数与商品利润问题》教学设计

一、教材版本及内容分析

本节课选自2011年人教版九年级上册第二十二章《二次函数》第三节《实际问题与二次函数》第二课时商品利润问题。

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，商品最大利润问题学生不易理解和接受，故而在这儿做专题讲解。目的在于让学生通过解决商品利润问题，学会用建模的思想去解决其它和二次函数有关的应用问题。此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

二、学情分析

对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在比较复杂的实际问题中，还不能熟练的应用知识解决问题。本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

三、教学目标

1、知识与技能：

①学会将实际问转化为数学问题；

②学会用二次函数的知识解决商品利润问题。

2、过程与方法：

体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。

3、情感态度与价值观：

培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在小组交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素养的提升。

四、教学重点与难点

1、教学重点：

利用二次函数的知识对商品利润问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

2、教学难点：

从商品利润问题中建立二次函数模型。

五、教学方法与手段

新课程标准强调自主探究与合作交流应该是学生学习数学的重要方式。教师应该是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。因此，根据本节课的内容和学生的实际情况，同时也为了突出本节课的重点并突破学习难点我确定本节课的教法与学法有启发法、探究法、小

组课堂讨论法等。

六、教学过程

(一)、情景引入：

当今社会健身越来越受到人们的重视。同学们，如果你是健身俱乐部老板，你是不是希望自己的俱乐部钱挣得越多越好呢？

看来，同学们应该深有体会，商家都希望钱挣得越多越好，都追求利润最大化。那么如何实现利润的最大化呢？这就是我们本节课要学习的内容。

教学设计分析：

情景引入，创设问题情境，激发学生学习兴趣。新课标要求数学教学要重视应用意识和应用能力的培养；联系学生的日常生活并解决相关的问题等方面的要求越来越处于突出的地位。因此，我以健身俱乐部收益问题为例，提出问题，引起学生的兴趣，同时也让学生切实体会到数学来源于生活。

(二)、小组合作：

小组交流一：

讨论交流自主学习内容：

•互订答案；

•交流疑惑；

•特别是交流自学检测中商品售价、单件商品利润、实际卖出商品数量分别是如何表示的。

1、自主学习：

认真自学教材50页探究2商品利润问题，思考并完成下面问题：

（1）教材中是如何表示利润的？

○1利润=__________－____________

你还有其他方法吗？

○2利润=（________－_________）×__________

（2）为什么自变量x的取值范围是0≤x≤30？

（3）如何求函数最大值？请你写出具体过程？

+

-

=

y2+

x

10

100

6000

x

当x=_______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_______元，即定价________元时，利润最大，最大利润是________________元。

2、自学检测：

你能参考教材52页探究2解决涨价时最大利润的方法，求降价时的最大利润吗？请写出你的解答过程。

解：设每件商品降价_______元，则每件商品售价为_______元，单件商品利润_______________元；每星期多卖______件，实际卖出_________件。

因此，所得利润：

y=______________________________________

=______________________________________

其中x的取值范围是_________________

当x=_______时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价_______元，即定价________元时，利润最大，最大利润是________________元。

综合涨价、降价两种情况定价________元时，利润最大，最大利润是____________元。小组交流二：

建立二次函数模型解决商品利润问题的一般步骤，并指出其中最关键的是哪一步？

归纳总结：

建立二次函数模型解决商品利润问题的一般步骤：

（1）根据题意设出______________；

（2）用未知数表示出商品的_____和_____；

（3）列出利润的__________________；

（4）用__________或_________求函数最值，进一步分析、判断得出实际问题的结果。教学设计分析：

小组合作，兵教兵，共促进，同提高。小组交流的第一个内容是讨论交流自学内容，主要包括互订答案，交流疑惑，特别是交流自学检测中商品售价、单件商品利润、实际卖出商品数量分别是如何表示的等。从而发现课前自主学习遇到的问题，并解决多数问题，进而提出小组解决不了的问题，拿到全班来解决。最终，在老师的指引下解决自主学习中发现的所有问题。接下来是小组交流的第二个内容，采取的是小组交流发现，展示交流成果，其他小组纠错，老师点拨归纳的方法。

(三)、展示反馈：

某健身俱乐部有20套健身器材向外出租，当每套健身器材的租金为16元/天时，可全部租出；当每套器材的每天租金每增加2元，未租出的器材将会增加一套。已知租出的器材每套维护费用为6元/天，未租出的器材每套维护费用为2元/天。设每套器材租金为x元/天（x>16且为偶数），健身俱乐部的收益为y元/天。（收益=租金收入－维护费用）（1）用含x的代数式表示未租出器材为_________套；所有未租出器材每天维护费用_____________元；

（2）用含x的代数式表示租出器材为___________套；所有租出器材每天维护费用______________元；所有租出器材每天的租金收入为_________________元；

（3）求健身俱乐部收益y（元/天）与每套器材租金x（元/天）之间的函数关系式；

（4）当每套器材的租金为多少元/天时，俱乐部每天收益最大，最大收益为多少元/天？教学设计分析：

展示反馈主要是对小组合作交流结果的应用，通过健身器材出租最大收益问题的解决，体现知识从特殊到一般，再到特殊的过程。整个过程采取学生展示，他人纠错，老师点拨错因的方法。让学生加深对建立二次函数模型解决商品利润问题的一般步骤的认识，达到能够解决二次函数商品利润问题的目的。

(四)、拓展提升：

接展示反馈健身器材出租收益问题。