二次函数与商品利润问题

《二次函数与商品利润问题》教学设计一、教材版本及内容分析本节课选自2011年人教版九年级上册第二十二章《二次函数》第三节《实际问题与二次函数》第二课时商品利润问题。

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。

而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，商品最大利润问题学生不易理解和接受，故而在这儿做专题讲解。

目的在于让学生通过解决商品利润问题，学会用建模的思想去解决其它和二次函数有关的应用问题。

此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

二、学情分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在比较复杂的实际问题中，还不能熟练的应用知识解决问题。

本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

三、教学目标1、知识与技能：①学会将实际问转化为数学问题；②学会用二次函数的知识解决商品利润问题。

2、过程与方法：体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。

3、情感态度与价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在小组交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素养的提升。

四、教学重点与难点1、教学重点：利用二次函数的知识对商品利润问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

2、教学难点：从商品利润问题中建立二次函数模型。

五、教学方法与手段新课程标准强调自主探究与合作交流应该是学生学习数学的重要方式。

教师应该是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。

因此，根据本节课的内容和学生的实际情况，同时也为了突出本节课的重点并突破学习难点我确定本节课的教法与学法有启发法、探究法、小组课堂讨论法等。

六、教学过程(一)、情景引入：当今社会健身越来越受到人们的重视。

同学们，如果你是健身俱乐部老板，你是不是希望自己的俱乐部钱挣得越多越好呢？看来，同学们应该深有体会，商家都希望钱挣得越多越好，都追求利润最大化。

那么如何实现利润的最大化呢？这就是我们本节课要学习的内容。

教学设计分析：情景引入，创设问题情境，激发学生学习兴趣。

新课标要求数学教学要重视应用意识和应用能力的培养；联系学生的日常生活并解决相关的问题等方面的要求越来越处于突出的地位。

因此，我以健身俱乐部收益问题为例，提出问题，引起学生的兴趣，同时也让学生切实体会到数学来源于生活。

(二)、小组合作：小组交流一：讨论交流自主学习内容：•互订答案；•交流疑惑；•特别是交流自学检测中商品售价、单件商品利润、实际卖出商品数量分别是如何表示的。

1、自主学习：认真自学教材50页探究2商品利润问题，思考并完成下面问题：（1）教材中是如何表示利润的？○1利润=__________－____________你还有其他方法吗？○2利润=（________－_________）×__________（2）为什么自变量x的取值范围是0≤x≤30？（3）如何求函数最大值？请你写出具体过程？+-=y2+x101006000x当x=_______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_______元，即定价________元时，利润最大，最大利润是________________元。

2、自学检测：你能参考教材52页探究2解决涨价时最大利润的方法，求降价时的最大利润吗？请写出你的解答过程。

解：设每件商品降价_______元，则每件商品售价为_______元，单件商品利润_______________元；每星期多卖______件，实际卖出_________件。

因此，所得利润：y=______________________________________=______________________________________其中x的取值范围是_________________当x=_______时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价_______元，即定价________元时，利润最大，最大利润是________________元。

综合涨价、降价两种情况定价________元时，利润最大，最大利润是____________元。

小组交流二：建立二次函数模型解决商品利润问题的一般步骤，并指出其中最关键的是哪一步？归纳总结：建立二次函数模型解决商品利润问题的一般步骤：（1）根据题意设出______________；（2）用未知数表示出商品的_____和_____；（3）列出利润的__________________；（4）用__________或_________求函数最值，进一步分析、判断得出实际问题的结果。

教学设计分析：小组合作，兵教兵，共促进，同提高。

小组交流的第一个内容是讨论交流自学内容，主要包括互订答案，交流疑惑，特别是交流自学检测中商品售价、单件商品利润、实际卖出商品数量分别是如何表示的等。

从而发现课前自主学习遇到的问题，并解决多数问题，进而提出小组解决不了的问题，拿到全班来解决。

最终，在老师的指引下解决自主学习中发现的所有问题。

接下来是小组交流的第二个内容，采取的是小组交流发现，展示交流成果，其他小组纠错，老师点拨归纳的方法。

(三)、展示反馈：某健身俱乐部有20套健身器材向外出租，当每套健身器材的租金为16元/天时，可全部租出；当每套器材的每天租金每增加2元，未租出的器材将会增加一套。

已知租出的器材每套维护费用为6元/天，未租出的器材每套维护费用为2元/天。

设每套器材租金为x元/天（x>16且为偶数），健身俱乐部的收益为y元/天。

（收益=租金收入－维护费用）（1）用含x的代数式表示未租出器材为_________套；所有未租出器材每天维护费用_____________元；（2）用含x的代数式表示租出器材为___________套；所有租出器材每天维护费用______________元；所有租出器材每天的租金收入为_________________元；（3）求健身俱乐部收益y（元/天）与每套器材租金x（元/天）之间的函数关系式；（4）当每套器材的租金为多少元/天时，俱乐部每天收益最大，最大收益为多少元/天？教学设计分析：展示反馈主要是对小组合作交流结果的应用，通过健身器材出租最大收益问题的解决，体现知识从特殊到一般，再到特殊的过程。

整个过程采取学生展示，他人纠错，老师点拨错因的方法。

让学生加深对建立二次函数模型解决商品利润问题的一般步骤的认识，达到能够解决二次函数商品利润问题的目的。

(四)、拓展提升：接展示反馈健身器材出租收益问题。

（5）求每套器材租金为26元/天时，俱乐部收益为多少元/天；并说明同样的收益，每套器材的租金还可以定为多少元/天？相应租出的器材分别为多少套？（6）要使俱乐部每天收益不低于（5）中的收益时，每套器材的每天租金应在什么范围内？（7）小明说“当俱乐部每天收益最大时，所有器材的维护费用也最大”。

你认为对吗？请说明理由。

教学设计分析：拓展提升的环节从不同角度进一步对健身器材出租收益问题进行挖掘，尽可能从多角度，多层次对知识的考察与应用，从而增强学生解决综合问题的能力。

由于所涉问题难度提升，整个过程采取小组交流、老师引导、点拨、归纳的方法。

(五)、内化总结：今天，我收获了______________________________；我学会了_______________________________________；我还有_____________________________________困惑。

教学设计分析：内化总结，通过学生对本节课学到的知识，方法的总结进一步强化学生数学应用意识和数学建模能力的培养。

引导学生总结出从数学的角度解决实际问题的过程：由实际问题抽象转化成数学问题，然后运用所学的数学知识得到问题的解，再由结论反过来解释或解决新的实际问题。

七、教学反思本节课通过学习求商品利润最大值问题和健身器材出租收益最大问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，利用数学建模的思想去解决和二次函数最值有关的应用问题。

整个课堂流程是：创设情境、引入问题-----小组交流自主学习内容-----小组合作，归纳总结-------学生展示，他人纠错，教师点拨------拓展提升，教师点评------内化总结等几个环节。

现将整个教学过程反思如下：第一，情景引入。

选取健身作为问题的背景，比较切合生活实际，能够引起学生的共鸣，从而激发其学习兴趣。

第二，小组合作。

整个小组交流合作过程中，给学生提供充分从事数学活动的机会，在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。

最大限度的带动学生的积极性，实现学困生在交流中学会知识，学优生在交流中进一步提升认识，不仅知道是什么，而且清楚为什么。

第三，展示反馈。

通过对未租出器材数量、维护费用、租出器材的数量、租金等分解设问，降低了问题的难度，提高了学生的参与度，极大减轻了学困生思考问题的负担。

第四，拓展提升。

通过对健身器材收益问题的进一步挖掘，多角度、深层次设问，激发了学生的潜能，增强了其综合考虑问题的能力。

第五，内化总结。

通过对所学内容，所用数学思想方法的总结，加深了学生的认识，提升其主动应用数学知识，数学方法解决问题的意识。

最后，不足之处。

在小组合作自主学习商品利润问题设问再细化，梯度再小一些，更有利于学生独立完成。

比如，加入涨价1元、2元等的变化情况。

再有，小组合作过程中对学生的交流完成情况，了解的更及时，更全面一些，会进一步提高课堂效率。