力的平移定理

第四章 平面一般力系第一节 力的平移定理上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。

为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。

设刚体的A 点作用着一个力F （图4－3（a ）），在此刚体上任取一点O 。

现在来讨论怎样才能把力F 平移到O 点，而不改变其原来的作用效应？为此，可在O 点加上两个大小相等、方向相反，与F 平行的力F ′和F 〞，且F ′=F 〞=F （图4－3（b ）） 根据加减平衡力系公理，F 、F ′和F 〞与图4－3（a ）的F 对刚体的作用效应相同。

显然F 〞和F 组成一个力偶，其力偶矩为)(O F M Fd m ==这三个力可转换为作用在O 点的一个力和一个力偶（图4－3（c ））。

由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F ，可以平移到同一刚体上的任一点O ，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F 对新作用点O 之矩。

顺便指出，根据上述力的平移的逆过程，共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，该力的大小和方向与原力相同，作用线间的垂直距离为：Fmd '= 力的平移定理是一般力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。

例如，图4－4a所示的厂房柱子受到吊车梁传来的荷载F 的作用，为分析F 的作用效应，可将力F 平移到柱的轴线上的O 点上，根据力的平移定理得一个力F ′，同时还必须附加一个力偶（图4－４（b ））。

力F 经平移后，它对柱子的变形效果就可以很明显的看出，力F ′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。

第二节 平面一般力系向作用面内任一点简化一、简化方法和结果设在物体上作用有平面一般力系F 1，F 2，…，F n ，如图4－5（a ）所示。

为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点O 作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到O 点（图4－5（b ）），得到一个平面汇交力系F 1′，F 2′，…，F n ′和一个附加的平面力偶系n 21,,,m m m 。

其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F 1′=F 1，F 2′=F 2，…，F n ′=F n各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O 点之矩，即,)( ,)( ,)(n 0n 202101F F F M m M m M m ===由平面汇交力系合成的理论可知，F 1′，F 2′，…，F n ′可合成为一个作用于O 点的力R ˊ，并称为原力系的主矢（图4－5（c ）），即R ′= F 1′+F 2′+…+F n ′= F 1+F 2+…+F n =∑F i （4－１）求主矢R ′的大小和方向，可应用解析法。

过O 点取直角坐标系oxy ，如图4－5所示。

主矢R ′在x 轴和y 轴上的投影为R x ′= x 1′+x 2′+…+x n ′=x 1+x 2+…+x n =∑XR y ′= y 1′+y 2′+…+y n ′=y 1+y 2+…+y n =∑Y式中：x i ′、y i ′和x i 、y i 分别是力F i ′和F i 在坐标轴x 和y 轴上的投影。

由于F i ′和F i 大小相等、方向相同，所以它们在同一轴上的投影相等。

主矢R ′的大小和方向为)()(2222Y X R R R y x ∑+∑='+'=' （4－2）XY R R x y∑∑=''=αtan （4－3） α为R ′与x 轴所夹的锐角，R ′的指向由∑X 和∑Y 的正负号确定。

由力偶系合成的理论知，m 1，m 2，…，m n 可合成为一个力偶（如图4－5（c ）），并称为原力系对简化中心O 的主矩，即)()()(i O n O 1O n 1OF F M M M m m M ∑=++=++=' F （4－4） 综上所述，得到如下结论：平面一般力系向作用面内任一点简化的结果，是一个力和一个力偶。

这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于原力系中各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和。

应当注意，作用于简化中心的力R ′一般并不是原力系的合力，力偶矩为M O ′也不是原力系的合力偶，只有R ′与M O ′两者相结合才与原力系等效。

由于主矢等于原力系各力的矢量和，因此主矢R 的大小和方向与简化中心的位置无关。

而主矩等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和，取不同的点作为简化中心，各力的力臂都要发生变化，则各力对简化中心的力矩也会改变，因而，主矩一般随着简化中心的位置不同而改变。

二、平面一般力系简化结果的讨论平面力系向一点简化，一般可得到一力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。

根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种情况：（1）若R ′=0，M O ′≠0，说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。

由于力偶对平面内任意一点之矩都相同，因此当力系简化为一力偶时，主矩和简化中心的位置无关，无论向哪一点简化，所得的主矩相同。

（2）若R ′≠0，M O ′=0，则作用于简化中心的力R ′就是原力系的合力，作用线通过简化中心。

（3）若R ′≠0，M O ′≠0，这时根据力的平移定理的逆过程，可以进一步合成为合力R ，如图4－6所示。

将力偶矩为M O ′的力偶用两个反向平行力R 、R 〞表示，并使R ′和R 〞等值、共线，使它们构成一平衡力图4－6（b ），为保持M O ′不变，只要取力臂d 为RM R M d O O '=''=将R 〞和R ′这一平衡力系去掉，这样就只剩下R 力与原力系等效（图4－6（c ））。

合力R 在O 点的哪一侧，由R 对O 点的矩的转向应与主矩M O ′的转向相一致来确定。

（4）R ′=0，M O ′=0，此时力系处于平衡状态。

三、平面一般力系的合力矩定理由上面分析可知，当R ′≠0，M O ′≠0时，还可进一步简化为一合力R ，见图4－6，合力对O 点的矩是d R M ⋅=)(O R而)( O O OF M M M d R ∑=''=⋅ 所以)()(O O F M R M ∑=由于简化中心O 是任意选取的，故上式有普遍的意义。

于是可得到平面力系的合力矩定理。

平面一般力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。

例4－1 如图4－7（a ）所示，梁AB 的A 端是固定端支座，试用力系向某点简化的方法说明固定端支座的反力情况。

解：梁的A 端嵌入墙内成为固定端，固定端约束的特点是使梁的端部既不能移动也不能转动。

在主动力作用下，梁插入部分与墙接触的各点都受到大小和方向都不同的约束反力作用（图4－7（b）），这些约束反力就构成一个平面一般力系，将该力系向梁上A点简化就得到一个力R A 和一个力偶矩为M A 的力偶（图4－7（c ）），为了便于计算，一般可将约束反力R A ，用它的水平分力X A 和垂直分力Y A 来代替。

因此，在平面力系情况下，固定端支座的约束反力包括三个；即阻止梁端向任何方向移动的水平反力X A 和竖向反力Y A ，以及阻止物体转动的反力偶M A 。

它们的指向都是假定的（图4－7（d ））。

例4－2 已知素混凝土水坝自重kN 6001=G ，kN 3002=G ，水压力在最低点的荷载集度kN/m 80=q ，各力的方向及作用线位置如图4－8（a ）所示。

试将这三个力向底面Ａ点简化，并求简化的最后结果。

解：以底面Ａ为简化中心，取坐标系如图4－8（a ）所示，由式（4－2）和式（4－3）可求得主矢R ′的大小和方向。

由于kN 900300600kN 3208802182121=+=+=∑=⨯⨯=⨯⨯=∑G G Y q X 所以︒===∑∑===+=∑+∑='70.43813.2 320900 tan kN2.955)900(2)320(2)(2)(2ααX YY X R因为∑X 为正值，∑Y 为正值，故R ′指向第一象限与x 轴夹角为α，再由式（4－4）可求得主矩为mkN 3.295343005.16008318802145.1831821)(21A A⋅-=⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯-=∑='G G q M M F计算结果为负值表示M A ′是顺时针转向。

因为主矢R ′≠0，主矩M A ′≠0，如图4－8（b ）所示，所以还可进一步合成为一个合力R 。

R 的大小、方向与R ′相同，它的作用线与A 点的距离为m 10.32.9553.2953O ==''=R M d 因M A ′为负，故M A （R ）也应为负，即合力R 应在A 点右侧，如图4－8（c ）所示。

第三节 平面一般力系平衡条件及其应用一、平面一般力系的平衡条件平面一般力系向任一点简化时，当主矢、主矩同时等于零，则该力系为平衡力系。

因此，平面一般力系处在平衡状态的必要与充分条件是力系的主矢与力系对于任一点的主矩都等于零，即：R ′=0 M O ′=0根据式（4－2）及式（4－4），可得到平面一般力系的平衡条件为⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000O M Y X （4－5）式（4－5）说明，力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和均等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。

式（4－5）中包含两个投影方程和一个力矩方程，是平面一般力系平衡方程的基本形式。

这三个方程是彼此独立的（即其中的一个不能由另外两个得出），因此可求解三个未知量。

例4－3 梁AB 一端为固定端支座，另一端无约束，这样的梁称为悬臂梁。

它承受均布荷载q 和一集中力P 的作用，如图4－9（a ）所示。

已知P =10kN ， q =2kN/m ，l =4m ，︒=45α，梁的自重不计，求支座A 的反力。

解：取梁AB 为研究对象，其受力图如图4－9（b ）所示。

支座反力的指向是假定的，梁上所受的荷载和支座反力组成平面一般力系。

在计算中可将线荷载q 用作用其中心的集中力2ql Q =来代替。

选取坐标系，列平衡方程。

)(kN 07.7707.010cos 0cos - 0A A →=⨯====∑ααP X P X X )(kN 07.11707.010242sin 2 0sin 2 0A A ↑=⨯+⨯=+==--=∑ααP ql Y P ql Y Y ) ( m kN 28.404707.0108423sin 83 0sin 422ql 022A A ⋅=⨯⨯+⨯⨯=⋅+==⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑l P ql m l P l l m M A αα力系既然平衡，则力系中各力在任一轴上的投影代数和必然等于零，力系中各力对任一点之矩的代数和也必然为零。