数学随机变量及其分布
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的 取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值 函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。
为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我 们引入了分布函数的概念。
定义：设X 是一随机变量，对x R,
称F ( x ) P ( X x )为随机变量X的分布函数；
并称X 服从分布F ( x )，记为X ~ F ( x ).
注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。 （2）分布函数与微积分中的函数没有区别。
P ( X 0) F (0) F (0 0) 0.8 0.3 0.5 P ( X 1) F (1) F (1 0) 1 0.8 0.2
X P
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考：X还能取 到其他数值吗？
例4 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号 灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车首 次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 1 P ( Ai ) P ( Ai ) , 且A1 , A2 , A3相互独立. 2 X的可能取值为 0, 1, 2, 3.
共有10个不同的样本点
记X表示“空格个数”，则有
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
随机变量及其分布
• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称 概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
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• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
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2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右 连续
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2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
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2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应， 其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布， 又称分布律或分布列.
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随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。
我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。
随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。
随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。
针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。
分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。
对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。
因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。
随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。
例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。
对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。
例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。
例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。
对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。
随机变量及其分布
X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
表4-2
由概率的定义可知，分布列中的pk 满足下列性质：
（1）pk 0 k 1，2 ，… 。
∞
（2） pk 1 。 k 1
下面介绍几种常见的离散型随机变量的分布。
1．两点分布（又称0–1分布）
引例3 一批产品共100件，其中有3件次品。从这批产品中任
取一件，考察取出的产品是正品还是次品，试用随机变量 描述试验的结果，并写出其概率分布。
特别地，当n 1时的二项分布就是0-1分布。
例1 某射手射击一次，命中靶心的概率为0.7，现该射手向靶心 射击5次，试求： （1）命中靶心的概率；（2）有3次命中靶心的概率。
解 设该射手命中靶心的次数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，
4，5。根据二项分布的定义X ～B(n，p) ，这里n 5， p 0.7 。 （1）可用{X 0} 表示事件{命中靶心}，由互逆事件的概率公 式及二项概率公式得
1.2 离散型随机变量及其分布
定义2 设X是一个随机变量，如果X的所有可能取值是可数的， 则称X为离散型随机变量。
定义3 设X是一个离散型随机变量，其可能取的值为 xk ( k 1，2 ， ) ，则称
P X xk pk k 1，2 ，
为X的概率分布，简称分布列或分布。
离散型随机变量X的概率分布也可以用表4-2的形式来表示。
pk P{X k} Ckn pk qnk (k 0 ，1，2 ， ，n)
n
n
显然 pk 0 ，且 pk Ckn pk qnk p qn 1 。
k 0
k 0
如果随机变量X的概率分布为 P{X k} Ckn pk qnk (k 0 ，1，2 ， ，n) ，其中 0 p 1，q 1 p，则称X服从参数为 的二项分布，记作 X ～B(n，p)。
第二章 随机变量及其分布
2. 二项分布的推导过程与说明
3. 举例（ 例2，例3，例4 ）
C. 泊松分布
1. 定义：如果随机变量X的概率密度如下：
P(X k)
λ k k!
e
λ
,
k =0,1,2,… ( >0) ,
(2.4)
则称X服从参数为 的泊松分布，记作：
X ~ ()
2. 说明
3. 举例
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§3 随机变量的分布函数
P{X=4}=0.218 P{X=5}=0.175 P{X=6}=0.109 P{X=7}=0.055
P{X=k} < 0.001 , 当 k ≥ 11时
P{ X=8 }=0.022 P{ X=9 }=0.007 P{X=10}=0.02
例3：
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射 击400次，试求至少击中两次的概率。
解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，
X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律 为：P{X= k}= (1-p)k p , k=0,1,2,3, P{X= 4}= (1-p)4。用表格表示如下：
X
01
2
34
pk
p (1-p) p (1-p)2 p (1-p)3 p (1-p)4
代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布 律两性质。
• 而有的实验结果与数值无直接关系，我们可 以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出 现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。
例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，
在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它 们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样 本空间S={e}={(i,j)} i,j=1,2,3。 i,j分别为第一，第 二次取到球的号码。 以X表示两球号码之 和，得到样本空间 的每一个样本点e， X都有一值与之对 应，如图2-1。
高中数学必修知识点随机变量及其分布
高中数学必修知识点随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x nX 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率8、公式： .0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
随机变量及其分布公式
随机变量及其分布公式可以用二项分布来描述。
二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，恰好发生k次某事件的概率。
3，二项分布的概率分布：设某事件在一次试验中发生的概率为p，不发生的概率为1-p，则在n次独立重复试验中，恰好发生k次这个事件的概率为P(x=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，即C(n,k)=n!/k!(n-k)!4，二项分布的性质：1）二项分布是离散型概率分布；2）二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
1.二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，记作X~B(n,p)。
其中，p为成功概率，k为发生次数，n为试验次数。
2.离散型随机变量的均值：如果离散型随机变量X的分布列为p1,p2.pn，则随机变量X的均值或数学期望为E(X)=Σ(xi*pi)，即所有取值与对应概率的乘积之和，反映了离散型随机变量取值的平均水平。
3.均值的性质：如果Y=aX+b，其中a和b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX+b)=aE(X)+b。
4.常用分布的均值：1) 两点分布：E(X)=1*p+0*(1-p)=p。
2) 二项分布：E(X)=np。
3) 超几何分布：E(X)=nM/N。
5.离散型随机变量的方差：离散型随机变量X的方差D(X)描述了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算数平方根σX为随机变量X的标准差。
方差的计算公式为D(X)=Σ[(xi-E(X))^2*pi]，即所有偏离程度的平方与对应概率的乘积之和。
6.方差的性质：1) 常数的方差为0.2) 随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身。
3) 随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量方差的积。
7.常用分布的方差：二项分布的方差为D(X)=np(1-p)。
高等数学3.3 随机变量及其函数分布
, ,
1 y 1 其它
例3.4 设二维随机变量(X , Y)具有密度函数
2e (2 x + y ) , f ( x, y ) = 0 , 求概率 P{Y ≤X} .
x 0, y 0 其它
解 将(X , Y)看作是平面上随机点的坐标 . 即有 {Y ≤X}= {(X , Y) G } , 其中G为xOy平面上 直线 y=x 及其下方的部分 , 如右图所示 . 于是
却未必服从二元正态分布 . 这是因为不同的
对应于不同的二维正态分布, 但它们的边缘 分布却可能一样 .
二、两个随机变量函数的分布:
1、Z = X + Y 的分布: 设(X , Y)的概率密度为 f (x , y) , 则Z = X + Y 的 分布函数为
FZ (z ) = P Z z
=
x yz
??????221211exp2121fxy????设二维随机变量xy的密度函数为???????????????????2211222212122xxyy??22121212其中为参数数且?????????????????????????2212120xy称服从参数为????????????????????二元正态分布的记作221212xyn??????????????????二元正态分布的边缘分布是一元注正态分布4它们的参数对应于二元正态分布的前前个参数
2 0 称 X Y 服从参数为 1 2 12 2
的二元正态分布, 记作
X Y N 1 2
2 1 2 2
注 二元正态分布的边缘分布是一元正态分布, 它们的参数对应于二元正态分布的前4个参数. 但两个边缘分布为正态分布的二维随机向量
随机变量及其分布知识点总结
随机变量及其分布知识点总结随机变量是数学中的一个基本概念,描述了一个随机事件的可能结果。
在概率论和统计学中,随机变量的分布是研究随机变量性质的重要工具。
本文将总结随机变量及其分布的相关知识,包括随机变量的定义、表示、分布、期望、方差等。
一、随机变量的定义随机变量是一种描述随机事件可能的变量,通常用符号 $X$ 表示。
随机变量的取值可以是离散的或连续的。
离散的随机变量只取有限或可数个取值,而连续的随机变量则取无限个取值。
二、随机变量的表示随机变量的表示通常用概率密度函数 $f_X(x)$ 或概率质量函数$g_X(x)$ 表示。
概率密度函数是描述随机变量取值分布的函数,通常用$f_X(x)$ 表示。
概率质量函数是描述随机变量离散程度的函数,通常用$g_X(x)$ 表示。
三、随机变量的分布随机变量的分布描述了随机变量取值的概率分布。
离散分布描述了随机变量只取有限或可数个取值的概率分布,连续分布描述了随机变量取无限个取值的概率分布。
1. 离散分布离散分布通常用 $P(X=x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。
离散分布的概率质量函数通常用 $g_X(x)$ 表示。
例如,正态分布的概率质量函数为:$$g_X(x) = frac{sqrt{2pi}}{x!}e^{-frac{(x-1)^2}{2}}$$2. 连续分布连续分布通常用 $P(X leq x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。
连续分布的概率质量函数通常用 $f_X(x)$ 表示。
例如,均匀分布的概率质量函数为: $$f_X(x) = begin{cases}1, & x in [0,1],0, & x in [1,2],end{cases}$$四、期望和方差随机变量的期望是随机变量的取值的总和。
离散分布的期望通常用$E(X)$ 表示,连续分布的期望通常用 $E[X]$ 表示。
期望的概率质量函数通常用$f_X(x)$ 表示。
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数讲解
Copyright © 2006 NJUFE
正态分布的概率计算公式：设 ～N (， 2 )，
P( a) (
a
)； x2 ) ( x1 )；
P( x1 x2 ) (
c P( c) 1 ( )； c c P( c) 2 ( ) ( )； c c P( c) ( ) ( ) 1.
P ( a b) F (b) F ( a )
f ( x)dx；
a
b
若f(x)在x0处连续，则F ( x0 ) f ( x0 )。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1) 连续型随机变量没有分布律； 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
P( x0 ) 0，x0 (， )。
二、随机变量的分布函数及其基本性质
定义2.2 (教材 p 47)
设
是随机变量，x 是任意实数，称函数 F ( x) P( x)， x 为 的分布函数。
对于任意两实数
x1，x2， x1 x2，有
P( x1 x2 ) P( x2 ) P( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5. 几何分布 定义2.6( 若离散型随机变量
的分布律为
P( k ) p(1 p)k 1，k 1 ， 2， 0 p 1
则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变量 一、连续型随机变量的概念 定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 使对一切实数x，都有
pk P( xk )， k 1 ， 2，
为 的分布律(概率分布)。
高中数学知识点总结：随机变量及其分布2页
高中数学知识点总结：随机变量及其分布2页1.随机变量随机变量是定义在样本空间上的函数，它的取值是随机的。
如果随机变量只取有限个或无限个可列值，称为离散随机变量。
3.离散概率分布离散随机变量的取值及其对应的概率称为离散概率分布。
4.期望离散随机变量X的期望是各个取值与其对应的概率乘积之和，用E(X)表示。
5.方差6.二项分布重复独立地进行n次相同的试验，每次试验只有成功和失败两种可能，成功概率为p，失败概率为1-p，记X为n次试验中成功的次数，则X服从二项分布，用B(n,p)表示。
7.泊松分布在一定时间或空间内，事件发生的次数服从泊松分布，如果事件在单位时间或单位空间内出现的概率是λ，则X在一个时间或空间区间内出现x次的概率为e^(-λ)λ^x/x!。
9.概率密度函数连续随机变量X的概率密度函数是一个非负可积函数f(x)，满足积分从负无穷到正无穷等于1，即∫f(x) dx=1。
连续随机变量X的期望是∫xf(x) dx。
12.正态分布在许多自然界现象中，随机变量的分布往往服从正态分布，其概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π)) e^((-(x-μ)^2)/(2σ^2))，其中μ是期望，σ是标准差。
13.中心极限定理如果n个独立随机变量的和服从某个分布，当n趋于无穷大时，它们的和近似服从正态分布。
这就是中心极限定理。
14.卡方分布卡方分布是一种重要的概率分布，它是二项分布的极限情况。
在统计学中广泛应用，用于检验样本方差是否符合正态分布。
t分布是一种重要的概率分布，常用于小样本的统计推断，如t检验。
F分布是一种概率分布，广泛用于方差分析，也用于卡方检验、t检验等。
17.统计量统计量是由样本数据计算出来的统计量，是样本的函数，可以用于对总体进行推断，如均值、方差、相关系数等。
18.抽样分布抽样分布是一个统计量的分布，由样本数据计算得到，用于总体参数的估计和假设检验。
19.点估计点估计是使用样本数据得到总体参数的点估计值，如样本均值、样本标准差等。
随机变量及其分布函数的基本性质
随机变量及其分布函数的基本性质随机变量是概率论中最基本的概念之一，是对随机事件的量化描述。
简单来说，随机变量就是在一个随机试验中可能出现的某个数值。
在数学上，随机变量可以看作是一个实数值函数，它将样本空间中的每个元素映射到实数轴上的某个点上。
分布函数是描述随机变量分布情况的工具，它定义为随机变量取某个值或小于等于某个值的概率。
换言之，分布函数描述了随机变量的累积分布情况。
本文将就随机变量及其分布函数的基本性质进行详细探讨。
一、随机变量的分类在概率论中，随机变量可以分为连续型和离散型两类。
离散型随机变量只取有限个或可数个值，比如掷骰子得到的点数；连续型随机变量可以取任意实数值，比如身高、体重等。
二、随机变量的基本性质1. 取值范围和概率随机变量的取值范围可以是有限或无限的，但概率和必须等于1。
如果随机变量取值范围是有限的，则每个可能的取值的概率都是非负的，且所有概率之和等于1。
如果随机变量取值范围是无限的（比如连续型随机变量），则需要借助于概率密度函数，将其转化为相应的概率。
2. 分布函数每个随机变量都对应一个分布函数，分布函数可以分为累积分布函数和概率质量函数。
累积分布函数是指随机变量小于等于某一值的概率，记为F(t)，可以表示为F(t) = P(X <= t)。
概率质量函数是指随机变量取某个值的概率，记为f(x)，可以表示为f(x) =P(X = x)。
两者的关系可以用以下公式表示：F(t) = sum[f(x), x <= t]。
3. 期望和方差期望是衡量随机变量平均水平的值，表示随机变量在多次试验中平均取值的大小。
方差则是用来度量一个随机变量取值的离散程度的量，表示随机变量的取值与其期望的离差平方之和的平均。
对于离散型随机变量，期望和方差可以表示为以下公式：E(X) = sum[x * f(x), x in X]Var(X) = E[(X - E(X))^2] = sum[(x - E(X))^2 * f(x), x in X]对于连续型随机变量，则需要对其概率密度函数进行积分求解。
2.3.2 人教A版数学选修2-3 第2章 随机变量及其分布
2.3.2 离散型随机变量的方差、标准差填一填1.(1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．4．离散型随机变量方差的线性运算性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X).判一判判断(1．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．(×)2．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平．(×)3．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．(√)4．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(×)5．若a是常数，则D(a)＝0.(√)6．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则D(X)为0.5.(×)7．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于0.196.(√)8．若X为随机变量则D(X－D(X))＝D(X)．(√)想一想1.提示：随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动，集中与离散的程度，D(X)(或D(X))越小，稳定性越好，波动越小，显然D(X)≥0(D(X)≥0)．2．离散型随机变量的方差与标准差的单位相同吗？提示：不同，方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位．3．随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？提示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，因此它是一个常数(量)．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差．4．决策问题中如何运用均值与方差？提示：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高，然后再计算方差，分析谁的水平发挥相对稳定．当然不同的情形要求不同，应视情况而定。
随机变量及其分布列
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布一、离散型随机变量及其分布列随机变量是指在试验中可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的。
离散型随机变量是指所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量。
离散型随机变量常用大写字母X,Y表示。
离散型随机变量的分布列是将所有可能的取值与对应的概率列出的表格。
二、几类典型的随机分布1.两点分布二点分布是指随机变量X的分布列为X:1，P:pq，其中p 为0~1之间的参数，q为1-p。
伯努利试验只有两种可能结果的随机试验，因此又称为伯努利分布。
2.超几何分布超几何分布是指有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件，这n件中含有这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为C(n,m)C(M,m)/C(N,n)。
超几何分布只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(X=m)，从而列出X的分布列。
3.二项分布二项分布是指在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，事件A不发生的概率为q=1-p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^kq^(n-k)。
其中p为事件A发生的概率，k为事件A发生的次数，n为试验的总次数。
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对于二项分布，当一个试验重复进行n次，每次成功的概率为p，失败的概率为q=1-p时，事件发生k次的概率可以用公式P(n,k) = n。
/ (k!(n-k)!) * p^k * q^(n-k)来计算。
这个公式可以展开成X的分布列，其中X表示事件发生的次数。
因为每个值都可以对应到表中的某个项，所以我们称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。
二项分布的均值和方差可以用公式E(X) = np和D(X) = npq(q=1-p)来计算。
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。
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P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01 P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18
P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81
下面给出几种常见的离散型随机变量的概率分布。
(1) 0-1分布
背景：一次试验的成功次数X所服从的分布.
分布律为 或用ห้องสมุดไป่ตู้式表示
显然，该试验有两个可能的结果： H ,T
我们引入记号：
X
X (e)
1, 0,
e H， e T
于是我们就可以用 {X 1}表示出现的是正面，
而用 {X 0}表示出现的是反面。
X就是一个随机变量。
又如： 将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况.
样本空间S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}; 若记X为三次出现正面的总数，那么，对于样本空间S={e}中
e.
s
X(e) R
随机变量X 是 S R 上的映射
随机变量的取值随试验结果而定, 而试验的各个结 果出现有一定的概率, 因而随机变量的取值有一定的 概率. 例如, 在例2中X取值为2, 记成{X=2}, 对应于样 本点的集合A={HHT, HTH, THH}, 这是一个事件, 当 且仅当事件A发生时有{X=2}. 则称P(A)=P{HHT, HTH, THH}为{X=2}的概率, 即P(X=2)=P(A)=3/8.
例4 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
（2）二项分布(Binomial Distribution)
背景： n重伯努利试验中的成功次数X所服从的分布.
的每一个样本点e，X都有一个数与之对应。X是定义在样本
空间S上的一个实值单值函数。它的定义域是样本空间S， 值域是集合{0，1，2，3}.使用函数记号可以写成：
3 e HHH
X
X
e
2 1
e HHT , HTH ,THH e HTT ,THT ,TTH
0 e TTT
定义 设随机试验E的样本空间是S，若对于每 一个e∈S, 有一个实数X(e)与之对应, 即X=X(e)是定 义在S上的单值实函数，称它为随机变量(random variable, 简记为r.v.)。
456 345 234
123 i
试验的样本空间S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里i,j 分别表示第一,二球的号码. 以X记两球号码之和, 对 于每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 如右上 图所示.
在有些试验中，试验结果表面上看来与数值无关， 仍然可以将结果数值化。
例2 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.
第二章 随机变量及其分布
主要内容
一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布律 三、随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
为了全面研究随机试验的结果, 揭示随机 现象的统计规律性, 将随机试验的结果与实数 对应起来, 即将随机试验的结果数量化, 引入 随机变量的概念.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是伯努利试验.
离散型随机变量分布律的定义 离散型随机变量表示方法 三种常见分布
如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值， 则称X为离散型随机变量. 对于离散型随机变量，关键是要确定：
1）所有可能的取值是什么？ 2）取每个可能值的概率是多少？
设 离 散 型 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 x1, x2, ， 而 P{X xk } pk , k 1,2,
随机变量与普通函数的区别:
(1) 随机变量是一个函数 , 但普通函数是定义 在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).
(2) 随机变量X 的可能取值不止一个, 试验前只 能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值．
(3) X 以一定的概率取某个值.
第二节 离散型随机变量 及其分布律
若随机变量 X的分布律为：
P{X k} Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,2, , n
则称随机变量 X服从参数为n ,p的二项分布，
记为 X ~ B(n, p) 或 X ~ b(n, p)
注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。
例5 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个 次品的概率.
称之为离散型随机变量X的分布律。
P{X xk } pk , k 1,2,
或写成如下的表格形式：
X x1 x2 P p1 p2
xk pk
显然，其中 pi 必须满足以下两个条件：
（ 1 ） 非 负 性 pi 0 ；
（ 2 ） 规 范 性
pi 1 。
i
例3 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独 立投篮投中次数X的概率分布.
X0 1
P 1 p p
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1.
如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功
的概率为p，则成功的次数X服从参数为p的0-1分布。
说明
0-1分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种 可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明 天是否下雨、种籽是否发芽等, 都可以用服从两点分 布的随机变量来描述.
一般, 若L是一个实数集合, 将X在L上取值写成{XL}. 它表示事件B={e|X(e)L}, 即B是由S中使得X(e)L的 所有样本点e所组成的事件. 此时有
P{XL}=P(B)=P{e|X(e)L}, 随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验之前不能 预知它取什么值, 且它的取值有一定的概率. 此性质说 明随机变量与普通函数有本质的差异.
在随机试验完成时, 人们常常不是关 心试验结果本身, 而是对于试验结果联 系着的某个数感兴趣.这样，我们可以 引进一个变量来表示它的各种结果.也 就是说，把试验结果数值化.
j
例1 在一袋中装有编号分别为 3 1,2,3的3只球. 在袋中任取一只 球, 放回. 再取一只球, 记录它们 2 的编号. 计算两只球的号码之和. 1