天一大联考2020-2021学年高三上学期高中毕业班阶段性测试(三) 文科数学

天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(三)文科数学一､选择题1. 已知集合{}2540A x x x =-+<，{}13B x x =-<<，则A B =（ ）A. {}13x x <<B. {}14x x -<<C. {}11x x -<<D. {}34x x <<A解出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B .由2540x x -+<得14x <<，所以{}14A x x =<<，所以{}13A B x x ⋂=<<.故选：A. 2. 已知53zi i =+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限D根据复数运算求出z ，将写出复数点的坐标，判断象限. 解：因为53zi i =+，所以313iz i i+==-， 所以z 在复平面内对应的点为()1,3-，z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．3. 某超市今年1月至10月各月的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A. 收入和支出最低的都是4月B. 利润（收入 支出）最高为40万元C. 前5个月的平均支出为50万元D. 收入频数最高的是70万元D根据折线图提供的数据判断各选项．解析对于A，由折线图知，收入和支出最低的都是4月，故A正确. 对于B，利润最高的是7月份，为40万元，故B正确.对于C，前5个月的支出(单位：万元)分别为50，70，40，30，60，平均数为50万元，故C正确.对于D，收入(单位：万元)为100，90，80，70，60，50的频数分别为1，3，2，2，1，1，因此收入频数最高的为90万元，D错误.故选：D．4. 三国时期的吴国数学家赵爽根据一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，他所绘制的勾股圆方图被后世称为“赵爽弦图”.如图所示的图形就是根据赵爽弦图绘制而成的，图中的四边形都是正方形，三角形都是相似的直角三角形，且两条直角边长之比均为2.现从整个图形内随机取一点，则该点取自小正方形（阴影部分）内的概率为（）A. 19B.125C.116D.136B本题首先可给各点加上标签，然后设HL x，计算出正方形HEFG的面积以及正方形IJKL的面积，再然后用同样的方法算出正方形ABCD的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出结果.如图，给各点加上标签：设HL x ，则2EL x ，5HE x ，正方形HEFG 的面积为25x ，正方形IJKL 的面积为2215422x x x x ，则正方形IJKL 的边长为x ， 同理可得5AE x =，25DEx ，5AD x =，则正方形ABCD 的面积为225x ， 故该点取自小正方形内的概率2212525x Px ，故选：B .5. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则其解析式可以是（ ）A. ()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()52sin 26πx x f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C. ()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()22sin 3x πx f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B由图象可得出函数()f x 的最小正周期，可得出ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，可得出ϕ的表达式，由此可得出函数()f x 的解析式.由图知()f x 的最小正周期54126⎛⎫=-= ⎪⎝⎭T πππ，22T πω∴==，可得2ω=±， 若2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，2sin 22sin 2663f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，sin 13πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，可得()232k k Z ππϕπ+=+∈，解得()26k k Z πϕπ=+∈，此时，()2sin 222sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若2ω=-，则()()2sin 2f x x ϕ=-+，2sin 22sin 2663f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，sin 13πϕ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，可得()232k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()526k k Z πϕπ=+∈，此时，()552sin 222sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B. 方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足1314a a =，241a a =，则11a =（ ） A. 64 B. 128C. 256D. 512C设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，根据已知条件求得1a 、q 的值，由此可求得11a 的值.设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由已知条件可得22131********a a a q a a a q ⎧==⎪⎨⎪==⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，101081111222564a a q ==⨯==.故选：C.7. 已知变量y 关于变量x 的回归方程为0.5ˆbx ye -=，其一组数据如下表所示：若9.1ˆye =，则x =（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8B【分析】先通过对0.5ˆbx ye -=两边同时取对数转化为线性关系，然后求出样本点中心，进而可求出b ，则可得 1.60.5ˆx ye -=，再令 1.60.59.1x e e -=可得x 的值. 解：由ˆy =e bx -0.5，得ln ˆy =bx -0.5，令z =ln y ，则ˆz =bx -0.5. 12344x +++==2.5，13464z +++==3.5，因为(x z ，)满足ˆz =bx -0.5， 所以3.5=b ×2.5-0.5，解得b =1.6，所以ˆz =1.6x -0.5，所以 1.60.5ˆx ye -=，令 1.60.59.1x e e -=，解得6x =.故选：B. 关键点点睛：对于非线性回归方程，需要通过变形转化为线性方程，然后才能通过公式求解. 8. 已知直线l ：340x y m -+=与圆C ：226430x y x y +-+-=有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A. ()3,37 B. []37,3-C. []3,4D. []4,4-B由直线与圆有公共点转化为圆心到直线的距离小于等于半径即可求解. 因为圆C 的标准方程为()()223216x y -++=， 所以()3,2C -，半径4r =，所以点C 到直线:340l x y m -+=175m+=，根据题意可知1745m+≤，解得373m -≤≤.故选：B9. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 42B. 42-C. 170-D. 682-C根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 因为1i =，0S =，第一次循环：()1022S =+-=-，123i =+=； 第二次循环：()32210S =-+-=-，325i =+=； 第三次循环：()510242S =-+-=-，527i =+=；第四次循环：()7422170S =-+-=-，7298i =+=>，终止循环， 所以输出S 的值为170-.故选：C.10. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（ ） A. 8 B. 4 C. 83 D. 3A设122F F c =，求出1AF ，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F . 设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则223b c a a =-， 所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形， 四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.11. 若实数a ，b 满足22a a =-，()2log 13b b -=-，则a b +=（ ） A. 3 B.103C.72D. 4A由题可得a 和3b -是方程22x x +=的两个根，根据方程22x x +=有唯一实根可得3a b =-. 由条件可知22a a +=，312b b --=，即()3232bb -+-=，即a 和3b -是方程22x x +=的两个根，因为函数2x y x =+在R 上单调递增，因此方程22x x +=有唯一实根， 所以3a b =-，因此3a b +=.故选：A.本题考查与对数指数相关的方程，解题的关键是得出a 和3b -是方程22x x +=的两个根.12. 某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为23π，面积为3π的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）A. 64B.2716πC.98π D.32π C由已知可求出圆锥母线长，进而求出底面半径和圆锥的高，再由勾股定理即可求出球半径，得出球表面积.解析设圆锥的母线长为l ，则侧面积212233S l ππ=⨯=，所以1l =. 设圆锥的底面半径为r ，则223r l ππ=，所以13r =，所以圆锥的高3h ===因为h r >，所以球心在圆锥的高上.设外接球的半径为R ，由()222R h R r =-+，得222133R R ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得R ，所以球的表面积为2294488R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.本题考查圆锥外接球问题，解题的关键是正确建立球内勾股关系，求出球半径. 二､填空题13. 已知x 、y 满足约束条件2360330330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则32z x y=-的最大值为______.152作出不等式组2360330330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩所表示的可行域，平移直线32z x y =-，找到使得该直线在x 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.如图所示，作出不等式组2360330330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域，平移直线32z x y =-，解方程组330330x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即33,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线32z x y =-经过点A 时，直线32z x y =-在x 轴上的截距最大，此时，目标函数32z x y =-取得最大值，所以max 331532222z ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：152. 思路点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属于简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14. 已知1,0A ，(),2B m ，()0,5C ，若254AB BC ⋅=，则m =______. 12由向量数量积的坐标表示计算．解：由条件得()1,2AB m =-，(),3BC m =-，所以()()2251,2,364AB BC m m m m ⋅=-⋅-=-++=，解得12m =. 故答案：12． 15. 已知曲线2x y e x =++在点()()0,0f 处的切线与曲线27y x kx =++也相切，则实数k =______.2-或6【分析】首先利用导数的几何意义得到切线方程为23y x =+，再根据直线23y x =+与抛物线27y x kx =++相切，即可得到()2Δ2160k =--=，从而得到答案.()2x f x e x =++，则()1x f x e '=+，()0012f e '=+=，又因为()03f =，所以切线方程为23y x =+， 因为直线23y x =+与抛物线27y x kx =++相切， 所以方程2723x kx x ++=+有两个相等的实数根，()2Δ2160k =--=，解得2k =-或6.故答案为：2-或616. 已知抛物线C ：22y px =（0p >），以()2,0P -为圆心，半径为5的圆与抛物线C 交于A ，B 两点，若17OA =（点O 为坐标原点），则p =______.8在AOP 中，利用余弦定理求得cos AOP ∠，进而得到cos AOx ∠，然后由17OA =，求得点A 的坐标，代入抛物线方程求解. 如图所示：在AOP 中，5AP =，2OP =，17OA =由余弦定理得22217cos 217OP OA AP AOP OP OA +-∠==-⋅， 所以17cos AOx ∠=，所以()1,4A ，代入方程()220y px p =>，解得8p =. 故答案为：8 三､解答题17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin 2A B a b ca b abc+-+=. （1）求sin C 和cos C ；（2）若a =，ABC 的面积为2，求c .（1）sin C =cos C =（2）c =（1）由正弦定理和余弦定理、结合同角三角函数的基本关系可得出关于sin C 、cos C 的方程组，结合()0,C π∈可求得sin C 和cos C 的值；（2）由三角形的面积公式可求得ab =，再由a =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.（1）由余弦定理，222sin sin 2A B a b c a b abc+-+=可化为sin sin cos A B C a b c +=， 再由正弦定理可得sin sin cos 2sin sin sin A B CA B C+==，又因为22sin cos 1C C +=，()0,C π∈，可得sin C =，cos C =；（2）因为1sin 22ABC S ab C ==△，所以ab =，因为a =，所以a =2b =.由余弦定理得2222cos 2042285c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，所以c =方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，15a =，10185S =，115a b =，3221a b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . （1）32n a n =+，112n n b -=；（2）138162n n -+-. （1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由等差数列前n 项和公式求得d 后可得通项公式n a ，然后求得12,b b ，得公比q ，得通项公式n b ； （2）用错位相减法求和n T ．（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q . 因为15a =，1011045185S a d =+=，解得3d =. 所以()53132n a n n =+-=+.由115a b =得11b =，由3221a b =得212b =，所以{}n b 的公比12q =， 所以112n n b -=. （2）由（1）得()11322n n n a b n -=+⋅， 所以()211115181132222n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，所以()231111158113222222n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式相减得()2111111233333222222n n n T n -=++⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯()111223321212nn n -=+⨯-+⨯-3882n n +=-.所以138162n n n T -+=-. 方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求和．数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．19. 某河蟹养殖场今年在临近收获前，随机抽取了100只河蟹逐个称重，重量（单位：g ）数据经过整理得到如下的频率分布直方图规定重量不低于190g 的为优等蟹，重量低于190g 的为普通蟹.（1）估计今年的河蟹为优等蟹的概率； （2）估计今年河蟹重量的中位数；（3）该养殖场今年一共收获了10000只河蟹，根据市场行情，优等蟹按数量卖，价格为20元一只，普通蟹按重量卖，价格为60元/kg ，估计该养殖场今年的销售额.（每组数据以该组区间的中点值为代表）（1）0.35；（2）185g ；（3）138850元.（1）根据频率分布直方图计算出重量不低于190g 的频率，即为所求；（2）设中位数为x ，根据中位数左边的矩形面积之和为0.5列等式可解出x 的值，即为所求； （3）分别计算出优等蟹和普通蟹的销售额，相加可得结果.（1）估计今年的河蟹为优等蟹的概率为()0.0250.010100.35P =+⨯=； （2）设中位数为x ，前三个矩形的面积之和为()0.0050.010.02100.35++⨯=， 前四个矩形的面积之和为()0.0050.010.020.03100.65+++⨯=，所以[)180,190x ∈，由题意得()()0.0050.0100.020100.0301800.5x ++⨯+⨯-=，解得185x =； （3）记今年优等蟹的数量为0.35100003500⨯=（只），普通蟹的总重量为()1550.051650.11750.21850.3100001147500g ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，即1147.5kg ， 所以估计该养殖场今年的销售额为3500201147.560138850⨯+⨯=元.20. 如图所示，四面体ABCD 的顶点都在圆柱的上、下底面圆周上，且AB 是下底面圆的直径，BC 是圆柱的母线.（1）求证：AD CD ⊥；（2）若AB BC =，异面直线AB 与CD 所成的角为30，且圆柱的侧面积为4π，求四面体ABCD 的体积.（1）证明见解析；（23. （1）过点D 作圆柱的母线DE ，连接AE 、BE ，推导出//CD BE ，BE ⊥平面ADE ，可出CD ⊥平面ADE ，进而可得出AD CD ⊥；（2）利用圆柱的侧面积求得2AB BC ==，由//CD BE 结合异面直线所成角的定义可得出30ABE ∠=，可计算得出1AE =，3BE =进而可计算得出ABE △的面积，由四边形BCDE为平行四边形可得出A BCD A BDE D ABE V V V ---==，利用锥体的体积公式计算可得出结果. （1）如图，过点D 作圆柱的母线DE ，连接AE 、BE ，因为母线DE 与底面ABE 垂直，BE ⊂平面ABE ，BE DE ∴⊥， 因为AB 是底面圆的直径，所以AE BE ⊥， 又AEDE E =，所以BE ⊥平面ADE ，因为//DE BC 且DE BC =，则四边形BCDE 为平行四边形， 所以，//CD BE ，所以CD ⊥平面ADE ， 又AD ⊂平面ADE ，所以AD CD ⊥；（2）圆柱侧面积为4πAB BC π⋅⋅=，所以2AB BC ==.因为异面直线AB 和CD 所成的角为30，且//BE CD ，所以30ABE ∠=︒， 所以1AE =，3BE =132ABE S AE BE =⋅=△， 由于四边形BCDE 为平行四边形，则BCDBDESS=，所以，1133233A BCD A BDE D ABE ABE V V V S DE ---===⋅==△. 方法点睛：求解几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．21. 已知函数()()2ln f x a x x a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若1a =，证明：()211xx e f x x>--. （1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）求得函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22a x f x x-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调性； （2）将所证不等式变形为11ln x x x e+>，构造函数()1ln g x x x =+，利用导数求得()1g x ≥，求得()110x x e<>，由此可证得结论成立. （1）由题易知()f x 的定义域为()0,∞+，()222-'=-=a a x f x x x x. 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，因此()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '>，得0x <<；令()0f x '<，得x >故()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减； （2）当1a =时，()2ln f x x x =-，不等式()211xx e f x x>--即11ln x x x e +>， 令()1ln g x x x =+，则()22111x g x x x x='-=-，令()0g x '=，得1x =.所以当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以()()11g x g ≥=. 又当0x >时，11xe <，所以11ln x x x e +>，故原不等式得证. 方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f xg x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 和点()0,1的直线与椭圆交于M ，N 两点，2F 到直线MN（1）求椭圆C 的方程；（2）若点()0,P t 满足63355PM PN t ⋅≤+，求PMN 的面积的最大值.（1）22132x y +=；（2）5. （1）写出直线MN 方程，由点到直线距离公式可求得1c =，再由离心率得a ，从而求得b 后得椭圆方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，计算,PM PN ⋅由63355PM PN t ⋅≤+得t 的范围，再由弦长公式得弦长MN ，从而得出PMN 的面积，由t 的范围可得最大值． （1）设()1,0F c -，()2,0F c ，0c >. 直线MN 过点1F 和点()0,1，则其方程为11y x c=+， 因为2F 到直线MN=1c =.由3c e a ==得a =222312b a c =-=-=， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）知直线MN 的方程为1y x =+，由221,321x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得25630x x +-=，所以1265x x +=-，1235x x =-，所以1264255y y +=-+=，12121236411555y y x x x x =+++=--+=-.所以()()1122,,PM PN x y t x y t ⋅=-⋅-()2121212x x y y t y y t =+-++2344555t t =---+24755t t =--根据条件2476335555t t t --≤+，解得24t -≤≤.又因为12x x -==所以PMN 的面积121112PMN S x x t =--=-△，当2t =-或4t =时，PMN 的面积最大，最大值为5. ：方法点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线与椭圆交点为1122(,),(,)M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，并把这个结果代入PM PN ⋅求得t 的范围，代入三角形面积公式得面积的表达式，从而可求得最大值．。