高三数学一轮复习 圆锥曲线的综合问题热点专题突破课件
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热点专题突破系列(五) 圆锥曲线的综合问题
考点
考情分析
圆锥曲线 以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为背景,通过
中的定点 巧妙设计和整合命制考题,常与一元二次方程、向
问题
量、斜率、距离等知识交汇考查
该问题常涉及直线、圆锥曲线、向量等问题,是高
考热点:
圆锥曲线 中的定值 问题
(1)定值问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系, 一元二次方程的根与系数之间的关系,考查斜率、 向量的运算以及运算能力; (2)解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定
(3)解不等式一般是转化为解一元一次、一元二次
不等式
考点1 圆锥曲线中的定点问题 【典例1】(2013·陕西高考)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴 上截得的弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程. (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的 两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.
率为m,证明:2m-k为定值.
【解题视点】(1)借助椭圆中a2=b2+c2的关系及两个已知条件 即可求解.(2)可以写出BP的直线方程,分别联立椭圆方程及AD 的方程表示出点P,M的坐标,再利用DP与x轴表示点N的坐标,最 终把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可设点P的坐标,把 k与m都用点P的坐标来表示.
故存在λ=1使得 F A F B (F P )2 0 .
考点2 圆锥曲线中的定值问题
【典例2】(2013·江西高考)椭圆C:
x2 a2
y2 b2
1
(a>b>0)的离心率
e
3， 2
a+b=3.
(1)求椭圆C的方程.
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,
直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜
由x2=4y,得: y x所，以
2
kPA
x1 2
,kPB
x2 2
.
因为 PAPB所以0， PA⊥PB,所以x1x2=-4.
直线PA的方程是: yx12
4
同理,直线PB的方程是:
x21xx1,
y x2x② x22
即①y
.
x1x 2
x12 4
.
24
由①②得:
y0
x1x2 4
1.
(2)由(1)可得直线AB的方程为 yx12
4)2+y2=42+x2⇒y2=8x.
y2 8x,
y
kx
b,
(2)设直线l的方程为y=kFra Baidu bibliotek+b,联立
得k2x2+2kbx+b2=8x,
k2x2-(8-2kb)x+b2=0(其中Δ>0),
设Px(1x1x ,k2x18 +－ bk22)k,Qb,(xx1x 22 ,kxk b 22 2 +,b), 则
所以 F A F B x 1 x 2 (x 4 1 2 1 ) (x 4 2 2 1 ) 2 x 1 2 4 x 2 2 .
因为 P(x1 x2所,以1)，
FP(x1 x2 ,2),
所以 (F P )2 2x1x224x12x 2222 ，
4
4
所以 F A F B (F P )2 0 .
【加固训练】 过抛物线x2=4y上不同两点A,B分别作抛物线的切线相交于点 P(x0,y0), PAPB0. (1)求y0. (2)求证:直线AB恒过定点. (3)设(2)中直线AB恒过定点F,是否存在实数λ,使 FAFB (FP)2 0 恒成立?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设 A (x1,x4 12),B (x2,x4 22)x1x2.
01 , x0
即 x 4k 所2以，点
2k 1
N(4k 2 ,0). 2k 1 4k 0
所以MN的斜率为m 2k 1
2
将①代入 x 2 y 2解 1得，
4
P(84kk2221,4k42k1).
直线AD的方程为:y 1 x ②1 .
2
联立①②解得 M(4k2, 4k ).
2k1 2k1
由D(0,1), P(84kk2221,4Nk4(2kx,10)),三点共线可知
4k 4k2
1
1
8k 2 4k 2
2 1
0
【规范解答】(1)因为 e 3 所 c以，
2a
a 2 c， 3
又由a2=b2+c2得b 1 c ，代入a+b=3,
3
得 c a3=, 2,b=1.
故椭圆C的方程为 x 2 y 2 1.
4
(2)方法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为
y=k(x-2)(k 0,k ①1,)
“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化
为代数式或三角式,证明该式为定值
考点
考情分析
常涉及不等式恒成立、求函数的值域问题和解不
等式问题,是高考热点:
圆锥曲线 中的最值 与取值范
围问题
(1)恒成立问题一般考查整式不等式、分式、绝对 值不等式在某个区间上恒成立,求参数取值范围; (2)求函数的值域,一般是利用二次函数、基本不 等式或求导的方法求解,有时也利用数形结合思想 求解;
4
令x=0,可得
yx12 4
x2x1 4
x1，
x22 4 x2
x12 4
x1
xx1，
因为 x1x 2 所1以，y=1.
4
所以直线AB恒过点(0,1).
(3)由(1)得: F A ( x 1 ,x 4 1 2 1 ) ， F B ( x 2 ,x 4 2 2 1 ) ， x 1 x 2 4 ，
若x轴是∠PBQ的角平分线,则
kPB+kQBk=xx111b
kx2 x2
b 1
kx1bx x 21 11 x k 2x 21 bx112kx1x2 x 1 k 1b x x 21 1x22b
8kb k2x11x210
即k=-b,
故直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).
【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化 量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证 明该定点与变量无关.
【解题视点】(1)依据已知条件,根据圆的几何性质找等式即可 得出轨迹方程.(2)x轴是∠PBQ的角平分线,说明直线BQ的斜率 与直线BP的斜率互为相反数.
【规范解答】(1)A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由
几何图象知ME=M N , CA2=CM2=ME2+EC2⇒(x-
2
考点
考情分析
圆锥曲线 以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为背景,通过
中的定点 巧妙设计和整合命制考题,常与一元二次方程、向
问题
量、斜率、距离等知识交汇考查
该问题常涉及直线、圆锥曲线、向量等问题,是高
考热点:
圆锥曲线 中的定值 问题
(1)定值问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系, 一元二次方程的根与系数之间的关系,考查斜率、 向量的运算以及运算能力; (2)解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定
(3)解不等式一般是转化为解一元一次、一元二次
不等式
考点1 圆锥曲线中的定点问题 【典例1】(2013·陕西高考)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴 上截得的弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程. (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的 两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.
率为m,证明:2m-k为定值.
【解题视点】(1)借助椭圆中a2=b2+c2的关系及两个已知条件 即可求解.(2)可以写出BP的直线方程,分别联立椭圆方程及AD 的方程表示出点P,M的坐标,再利用DP与x轴表示点N的坐标,最 终把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可设点P的坐标,把 k与m都用点P的坐标来表示.
故存在λ=1使得 F A F B (F P )2 0 .
考点2 圆锥曲线中的定值问题
【典例2】(2013·江西高考)椭圆C:
x2 a2
y2 b2
1
(a>b>0)的离心率
e
3， 2
a+b=3.
(1)求椭圆C的方程.
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,
直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜
由x2=4y,得: y x所，以
2
kPA
x1 2
,kPB
x2 2
.
因为 PAPB所以0， PA⊥PB,所以x1x2=-4.
直线PA的方程是: yx12
4
同理,直线PB的方程是:
x21xx1,
y x2x② x22
即①y
.
x1x 2
x12 4
.
24
由①②得:
y0
x1x2 4
1.
(2)由(1)可得直线AB的方程为 yx12
4)2+y2=42+x2⇒y2=8x.
y2 8x,
y
kx
b,
(2)设直线l的方程为y=kFra Baidu bibliotek+b,联立
得k2x2+2kbx+b2=8x,
k2x2-(8-2kb)x+b2=0(其中Δ>0),
设Px(1x1x ,k2x18 +－ bk22)k,Qb,(xx1x 22 ,kxk b 22 2 +,b), 则
所以 F A F B x 1 x 2 (x 4 1 2 1 ) (x 4 2 2 1 ) 2 x 1 2 4 x 2 2 .
因为 P(x1 x2所,以1)，
FP(x1 x2 ,2),
所以 (F P )2 2x1x224x12x 2222 ，
4
4
所以 F A F B (F P )2 0 .
【加固训练】 过抛物线x2=4y上不同两点A,B分别作抛物线的切线相交于点 P(x0,y0), PAPB0. (1)求y0. (2)求证:直线AB恒过定点. (3)设(2)中直线AB恒过定点F,是否存在实数λ,使 FAFB (FP)2 0 恒成立?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设 A (x1,x4 12),B (x2,x4 22)x1x2.
01 , x0
即 x 4k 所2以，点
2k 1
N(4k 2 ,0). 2k 1 4k 0
所以MN的斜率为m 2k 1
2
将①代入 x 2 y 2解 1得，
4
P(84kk2221,4k42k1).
直线AD的方程为:y 1 x ②1 .
2
联立①②解得 M(4k2, 4k ).
2k1 2k1
由D(0,1), P(84kk2221,4Nk4(2kx,10)),三点共线可知
4k 4k2
1
1
8k 2 4k 2
2 1
0
【规范解答】(1)因为 e 3 所 c以，
2a
a 2 c， 3
又由a2=b2+c2得b 1 c ，代入a+b=3,
3
得 c a3=, 2,b=1.
故椭圆C的方程为 x 2 y 2 1.
4
(2)方法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为
y=k(x-2)(k 0,k ①1,)
“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化
为代数式或三角式,证明该式为定值
考点
考情分析
常涉及不等式恒成立、求函数的值域问题和解不
等式问题,是高考热点:
圆锥曲线 中的最值 与取值范
围问题
(1)恒成立问题一般考查整式不等式、分式、绝对 值不等式在某个区间上恒成立,求参数取值范围; (2)求函数的值域,一般是利用二次函数、基本不 等式或求导的方法求解,有时也利用数形结合思想 求解;
4
令x=0,可得
yx12 4
x2x1 4
x1，
x22 4 x2
x12 4
x1
xx1，
因为 x1x 2 所1以，y=1.
4
所以直线AB恒过点(0,1).
(3)由(1)得: F A ( x 1 ,x 4 1 2 1 ) ， F B ( x 2 ,x 4 2 2 1 ) ， x 1 x 2 4 ，
若x轴是∠PBQ的角平分线,则
kPB+kQBk=xx111b
kx2 x2
b 1
kx1bx x 21 11 x k 2x 21 bx112kx1x2 x 1 k 1b x x 21 1x22b
8kb k2x11x210
即k=-b,
故直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).
【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化 量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证 明该定点与变量无关.
【解题视点】(1)依据已知条件,根据圆的几何性质找等式即可 得出轨迹方程.(2)x轴是∠PBQ的角平分线,说明直线BQ的斜率 与直线BP的斜率互为相反数.
【规范解答】(1)A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由
几何图象知ME=M N , CA2=CM2=ME2+EC2⇒(x-
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