立体几何中的轨迹问题答案

立体几何中的轨迹问题

【判断轨迹】

一、点线面中的轨迹问题

1.平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是

一条直线

解：设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面

内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ．

2．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）

在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是（除去两点的圆）

3．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为

2

9

的点的轨迹是四个点 简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等

于

2

9

的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=

-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．

二、柱体中的轨迹问题

1.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是

线段B 1C ．

2.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．

3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能圆或圆的一部分

l

A

B

C

α

4．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是

轨迹的图形是一个平行四边形 ．

三、锥体中的轨迹问题

1.若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )

2.在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．

答案 线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）

3..如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．

5.四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )

A ．圆

B ．不完整的圆

C ．抛物线

D ．抛物线的一部分 分析：∵AD ⊥面P AB ，BC ⊥平面P AB ∴AD ∥BC 且AD ⊥P A ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB

∴AD P A =CB PB ∴PB =2P A

在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)

即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )

【轨迹中计算问题】

1.

A C P

A

B

P A B

P

A B C

P

A

B

C

D P A B

C D

．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为23

3

的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是

，它的长度为． 3 —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M

在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方

体的面所围成的几何体的体积为 π6

．

4。已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．

5.如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是

（ ）

分析：将线段MN 投影到平面ABCD 内，易得y 为x 一次函数．

A

B

C D M

N

P A 1

B 1

C 1

D

1

1

A

C

C 1

A E C

C 1

A A

B 1

A 1

(1)

(2)

(3)

(4)

A B C D D 1

C 1 B 1

A 1

M

N

3 3 2

3