简单超静定梁,提高梁的强度刚度措施

w
M (x) Iz E
一、改善结构、减少弯矩
１、合理安排支座； 2、集中力分散；
3、 w一般与跨度有关， 与 l 3 成正比，故可减小跨度；
4、增加约束：
提高梁的弯曲刚度的措施
改变支座形式
采用固定端约束（表6-1）
F
采用简支梁方式
F
提高梁的弯曲刚度的措施
将集中力分散
F
q=F/L
减小跨度也是减小弯曲变形的有效方法 在集中力作用下 F
提高梁的弯曲强度的措施
1、合理布置梁的支座
q
A
B
l
q
A l/5
B
3l/5
l/5
+
M图
M图
-
-
+
M max

ql 2 8
0.125 ql2
ql2/50
M max

ql 2 40
0.025 ql2
左边梁的最大弯矩值是右边梁的最大弯矩值的5 倍。因此，右边
梁上的载荷还要提高四倍，才能使得其最大弯矩值同左边的相同。因而，
A
以自重作为重要载荷的结构 考虑经济性
选择高
模量/截面积比
W A
提高梁的弯曲强度的措施
从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却 能获得较大抗弯能力的截面。
在一般截面中，抗弯能力与截面高度的平方成正比。因此，当截面面 积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。
因此，面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形； 环形优于圆形。
多余未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数。
简单超 静 定 梁
比如上面两个例子称为1次超静定问题：
F
A
RA
F RC
RB
B
A
C
B
简单超 静 定 梁
q
A
EI Z
L
B
左图为一次超静定梁
q
A
EI Z
L
以支座B为多余约束，设它反力为FB,
B
FB
假想地解除这个约束，代之以反力FB， 此时受力状态和变形形态与原结构完
max
简单超 静 定 梁
提高梁的弯曲强度的措施
提高梁的弯曲强度的措施
弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要因素， 故弯曲正应力的强度条件：
max

M max Wz
[ ]
要提高梁的承载承力，应从两方面考虑：
一方面是合理安排梁的受力情况，以降低
的值；
另一方面是采用合理的截面形状，以提高W的数值，充分 利用材料的性能。
起重机大梁常采工字形或箱形截面；
最后指出，弯曲变形还与材料的弹 性模量E有关， 但考虑到各种钢材的弹性模量E大 致相同， 达到效果可能不如预期
把截面竖放如图（a）为 把截面横放如图（b）为
Wz1

bh3 12
/
h 2

bh2 6
Wz 2

hb3 12
/
b 2

hb2 6
Wz1 h 1 Wz2 b
所以竖放比横放有更高的弯曲强度，更为合理。
提高梁的弯曲强度的措施
由上例可知，截面的形状不同，其抗弯截面系数W也就不同，可用 比值 W 来衡量截面形状的合理性和经济性
同时应尽量使拉、压应力同时达到最大W值z1。
bh3 12
/
h 2

bh2 6
min
z
z
max
提高梁的弯曲强度的措施
根据材料特性选择截面
对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面
提高梁的弯曲刚度的措施
提高梁的弯曲刚度的措施
由挠曲线的近似微分方程可知
d2w dx2

M (x) EI z
B
根据静力平衡方程：
FB

3 8
ql
kN
3 ql 8
kNm
简单超 静 定 梁
q
A
l
选择超静定梁的静定基是唯一的吗？
另解： 1.取支座A处的约束为多余约
B 束，得到如图静定基。
2.变形协调方程 分析A端在 ,q作用下的转角
MA

1 8
qL2
简单超 静 定 梁
超静定梁的解法步骤：
1.根据梁的结构恰当地选取静定基。 2.在解除约束处寻找变形协调关系。 3.根据力与变形的关系写物理方程。 4.由静力平衡方程求出全部约束力。
右边梁的承载能力要比左边高四倍，因此说来，合理的布置梁的支座，
对提高梁的弯曲强度是十分必要的。
提高梁的弯曲强度的措施
改善荷载的布置情况
F
l
l
2
2
1
M
Fl
4
M
F q
l
l
1 Fl 8
提高梁的弯曲强度的措施
二、梁的合理截面
把弯曲正应力的条件写成 矩与抗弯截面系数W成正比，考虑到
，可见梁能承受的最大弯
（6）列BC段平衡方程
2m
Fy 0, FC Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ FB 408.75 48.75KN
MC 0, MC 4FB 2F 115KN m
F
MB
C
FA
2m
yB
简单超 静 定 梁
(6)作梁的剪力图和弯矩图
FS max 71.25KN M 125 KN m
全一样，但从超静定结构变为静定结
构。称为超静定梁的基本结构。
简单超 静 定 梁
q
A
EI Z
l
B B1 对于基本结构来说，梁由两种荷载，一种
是原有的均布荷载q，另一种是未知力FB, 如果能求出FB，则所有问题都迎刃而解
图中在悬臂梁B点处挠度为零，此为超 静定梁的变形相容条件。
B2
A
EI Z
l
B FB
(3)物理关系：
yA

q44 8EI

FB 43 3EI

32q EI

64FB 3EI
yB
(F23 3EI
F22
2EI
2)FB43 3EI
20F64FB 3EI 3EI
简单超 静 定 梁
（4）代入变形协调方程可得
20 64FB 32q 64FB 3EI 3EI EI 3EI
简单超 静 定 梁
简单超静定梁的求解
简单超 静 定 梁
1.超静定问题及其解法
q
A
B
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由
l
平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超
静定问题,相应的结构称为超静定结构.
支反力数目大于有效平衡方程数目的梁被称为超静定梁
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约 束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的, 故称为多余约束.同时把与之相应的支座反力称为多余反力，而根据 多余约束对位移的限制，建立各部分位移之间关系方程的被称为变 形协调方程
B1 B2 0
简单超 静 定 梁
q
A
EI Z
l
B FB B1
B2
A EI Z
B FB
l
B1 B2 0
qL4 FB L3 8EIZ 3EIZ
0
3 FB 8 ql
简单超 静 定 梁
M
A

1 8
ql 2
q
A
5
FA 8 ql
L
5 ql 8
1 ql 2 8
9 ql 2 128
挠度 W一般与跨度有关，与 l 3 成正比，
若跨度缩短一半，则挠度减为原来的三 分之一
提高梁的弯曲刚度的措施
增加约束： 采用超静定结构
尾顶针、跟刀架或 加装中间支架；
较长的传动轴采用三 支撑；
桥梁增加桥墩。
提高梁的弯曲刚度的措施
二、选择合理的截面形状
Iz
当A几乎不变时，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢等；
FB
20F 96q 20 40-96 20
128
128
8.75KN
A FA
4m
B
FB y A
（5）确定A端与C端约束力，列AB段平衡方程
Fy 0, FA FB 4q 204 8.75 71.25KN
MA 0, MA 4q2 4FB 125KN m FB B
简单超 静 定 梁
例题 2 求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图. 已知 F=40KN，q=20KN/m .
A 4m
F
C
B
D
2m
2m
简单超 静 定 梁
A FA
4m
B
FB y A
FB B 2m
F
MB
C
FA
2m
yB
（1）结构为二次超静定从B处拆开， 超静定梁变成两个悬臂梁。
(2)变形协调方程为：y A= yB