实变函数期末考试卷A卷
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实变函数期末考试卷A卷 The final edition was revised on December 14th, 2020.
实变
函数
一、 判断题(每题2分,共20分) 1.若A 是B 的真子集,则必有B A <。 (×)
2.必有比a 小的基数。 (√)
3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 (√)
4.无限个开集的交必是开集。 (×)
5.若φ≠E ,则0*>E m 。 (×)
6.任何集n R E ⊂都有外测度。 (√)
7.两集合的基数相等,则它们的外测度相等。 (×)
8.可测集的所有子集都可测。 (×)
9.若)(x f 在可测集E 上可测,则)(x f 在E 的任意子集上也可测。(×) 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 (×)
1.设E 为点集,E P ∉,则P 是E 的外点.( × )
2.不可数个闭集的交集仍是闭集. ( × )
3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则
1(
)lim ().n n n n m E m E ∞
→∞
==(× ) 4.单调集列一定收敛. (√ )
5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.( × )
二、填空题(每空2分,共20分)
1.设B 是1R 中无理数集,则=B c 。
2.设1,1,,3
1,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ,则=0A φ ,='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1
1,11(=++-=n n n A n ,则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ,=⋂∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
5.设E 是]1,0[上的Cantor 集,则mE 0 。
6.设A 是闭集,B 是开集,则B A \是 闭 集。
7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。
8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。
三、计算题(每题10分,共20分)
1.计算dx nx x n nx R n ⎰+∞→1032221sin 1)(lim 。(提示:使用Lebesgue 控制收敛定理) 解:设nx x n nx x f n 3222
1sin 1)(+=),2,1( =n ,则 (1) 因)(x f n 在]1,0[上连续,所以是可测的;
(2)]1,0[,0)(lim ∈=∞
→x x f n n ; (3)因为
显然)(x F 在]1,0[上可积。于是由Lebesgue 控制收敛定理,有
2. 设⎪⎩
⎪⎨⎧=为有理数,的无理数;为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算⎰]2,0[)(dx x f 。 解:因为有理数集的测度为零,所以
2)(x x f = ..e a 于]1,0[, x x f =)( ..e a 于]2,1[。
于是
四、证明题(每题8分,共40分)
1. 证明:)\()(\11n n n n A A A A ∞
=∞==
证明:)(\1n n A A ∞=( A =n n A ∞
=1c )
=)(1c
n n A A ∞= 2. 设M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合,证明M 是至多可列集。
证明:由有理数集的稠密性可知,每一个开区间中至少有一个有理数,从每个开区间中取定一个有理数,组成一个集合A 。因为这些开区间是互不相交的,所以此有理数集A 与开区间组成的集合M 是一一对应的。则A 是有理数集的子集,故至多可列,所以M 也是至多可列集。
3. 证明:若0=*E m ,则E 为可测集。
证明:对任意点集T ,显然成立着
)()(c E T m E T m T m ***+≤。
另一方面,因为0=*E m ,而E E T ⊂ ,所以E m E T m **≤)( ,于是
)(E T m *0=。又因为c E T T ⊃,所以)(c E T m T m **≥,从而
)()(c E T m E T m T m ***+≥。
总之,)()(c E T m E T m T m ***+=。故E 是可测集。
4. 可测集E 上的函数)(x f 为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ,集合])([r x f E <是可测集。
一、填空题(每小题2分,共10分)
( D )1、()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是( )
A 、A
B ⊂ B 、B A ⊂
C 、A C ⊂
D 、C A ⊂
( A )2、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集,则( )
.C E 是不可测集 .D E 是闭集
( C )3、设E 是可测集,A 是不可测集,0mE =,则E A 是( )
.A 可测集且测度为零 .B 可测集但测度未必为零
.C 不可测集 .D 以上都不对
( B )4、设mE <+∞,(){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数,则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的( )
.A 必要条件 .B 充分条件
.C 充分必要条件 .D 无关条件
( D )5、设()f x 是E 上的可测函数,则( )