知识讲解 电磁感应与电路知识、能的转化和守恒专题 基础

电磁感应与电路知识、能的转化和守恒专题

编稿：张金虎 审稿：代洪

【学习目标】

1．运用能的转化和守恒定律进一步理解电磁感应现象产生的条件、楞次定律以及各种电磁感应现象中能量转化关系。

2．能够自觉地从能的转化和守恒定律出发去理解或解决电磁感应现象及问题。

3．能够熟练地运用动力学的一些规律、功能转化关系分析电磁感应过程并进行计算。

4．熟练地运用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，并能灵活地将电路的知识与电磁感应定律相结合解决一些实际的电路问题。

5．在电磁感应现象中动力学过程的分析与计算。具体地说：就是导体或线圈在磁场中受力情况和运动情况的分析与计算。

6．在电磁感应现象中，不同的力做功情况和对应的能量转化、分配情况。

【要点梳理】

要点一、运用能的转化和守恒定律理解电磁感应现象产生的条件

1．条件

穿过闭合电路的磁通量发生变化。

2．对条件的理解

（1）在电磁感应的过程中，回路中有电能产生。因此电磁感应的过程实质上是一个其它形式的能向电能转化的过程，这个转化过程必定是一个动态的过程，必定伴随着宏观或微观力做功，以实现不同形式能的转化，也就是说必须经过一个动态的或者变化的过程，才能借助磁场将其它形式的能转化为电能。

（2）导体切割磁感线在闭合回路中产生感应电流的过程：如图所示，导体棒ab 运动，回路中有感应电动势E BLv =和感应电流E I R

=产生。有感应电流I 的导体棒在磁场中受到与棒运动方向相反的安培力F BIL =安作用，要维持导体棒运动产生持续的电流必须有外力F 外克服安培力做功，正是这一外力克服安培力做功的过程使其它形式的能转化为了回路的电能。可见磁通量发生变化（导体棒相对于磁场运动）是外力克服安培力做功，将其它形式的能转化为电能的充要条件。

（3）闭合电路所包围的磁场随时间发生变化产生感应电流的过程：如图所示，磁感应强度随时间变化时，在它的周围空间产生与磁场方向垂直的感应电场，感应电场使得导体中的自由电荷定向移动，形成感应电流。这个感应电场必定阻碍原磁场的变化，要维持持续的感应电流必须有一种外力克服这种阻碍做功，将其它形式的能转化为回路的电能。

要点二、用能的转化和守恒定律理解楞次定律

1．楞次定律

感应电流具有这样的方向：即感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。由楞次定律出发不难推出，感应电流的方向总是阻碍线圈或导体相对于磁场的运动。如图所示，感应电流的方向由b a →，使棒ab 受到的安培力与它相对磁场运动的方向相反，要使棒保持匀速运动必须施加与安培力方向相反的外力。

2．由能量守恒定律出发推知，导体棒ab 中的感应电流方向必定是由b a →，与楞次定律的结果完全一致。

假设棒ab 中感应电流的方向不是由b a →，而是由a b →，由左手定则可以判断棒ab 受到的安培力则是垂直于棒向右，与棒运动的速度方向相同。那么导体棒在这个安培力的作用下不断向右做加速运动，我们看到的结果将是棒的动能不断增大，回路中产生的电能不断增加，且没有消耗其它的能量，也就是说这一过程能量凭空产生，显然违背了能的转化和守恒定律，我们假设ab 棒中感应电流的方向由 a b →是错误的，应该是由b a →，与楞次定律的结论完全一样。我们有理由说楞次定律是能的转化和守恒定律的必然结果。

要点三、法拉第电磁感应定律与能的转化守恒定律

1．法拉第电磁感应定律

电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，对于n 匝线圈构成的闭合电路有：E n t

??=?． 2．法拉第电磁感应定律一些具体的表达形式（均由E n

t ??=?推出） （1）磁感应强度B 不变时 S E nB

t

?=?． （2）线圈面积S 固定且不变时 B E nS t ?=?． （3）导体在匀强磁场中切割磁感线产生的瞬时电动势 sin E BLv θ=．

3．法拉第电磁感应定律与能的转化守恒定律

由能的转化和守恒定律出发推导导体棒切割磁感线产生的感应电动势E BLv =（垂直切割的情况）：

如图所示，设长为L 的导体棒以速度v 在匀强磁场B 中切割磁感线时产生的电动势为E ，则回路中的感应电流E I R

=，回路中产生电能的功率是P IE =电；又导体棒受到的安培力F BIL =，要维持棒匀速运动则外力的大小等于安培力，即F BIL =外，外力做功的功率P F v BILv ==外外。 由能的转化守恒定律知：外力做功将其它形式的能转化为电能，所以P P =外电，即BILv EI =，感应电动势E BLv =，因此我们有理由说法拉第电磁感应定律和能的转化守恒定律是协调的。

要点四、感生电场与感生电动势

1．感生电场

英国物理学家麦克斯韦认为，变化的磁场能在周围空间激发电场，我们把这种电场叫做感生电场。

要点诠释：

（1）感生电场是一种涡旋电场，电场线是闭合的。

（2）感生电场的方向可由楞次定律判断。如图所示，当磁场增强时，产生的感生电场是与磁场方向垂直且阻碍磁场增强的电场。

（3）感生电场的存在与是否存在闭合电路无关。

2．感生电动势

磁场变化时会在空间激发感生电场，处在感生电场中的闭合导体中的自由电荷在电场力的作用下定向运动，产生感应电流，或者说，导体中产生了感应电动势。由感生电场产生的电动势叫做感生电动势。

要点诠释：

（1）电路中电源电动势是非静电力对自由电荷的作用。在电池中，这种力表现为化学作用。

（2）感生电场对电荷产生的力，相当于电源内部的所谓的非静电力。感生电动势在电路中的作用就是电源。

要点五、洛伦兹力与动生电动势

一段导体做切割磁感线运动时，导体内自由电荷随导体在磁场中运动，则必受洛伦兹力。自由电荷在洛伦兹力作用下产生定向移动，这样异种电荷分别在导体两端聚集，从而使导体两端产生电势差，这就是动生电动势。若电路闭合，则电路中产生感应电流。

要点诠释：

（1）产生动生电动势的导体也相当于电源，其中所谓的非静电力就是洛伦兹力。

（2）动生电动势的产生与电路是否闭合无关。

（3）当电路不闭合时，切割磁感线的导体两端积聚电荷，则在导体内产生附加电场，电荷在受洛伦兹力的同时也受电场力作用。如图甲所示，当导体AB 以恒定速度1v 向右运动切割磁感线时，负电荷受洛伦兹力方向向下，则B 端聚集负电荷，同时A 端剩余等量正电荷，在导体内产生向下的电场，使负电荷受洛伦兹力的同时，也受电场力，但电场力方向向上，故当洛伦兹力ab U qvB q

l

=时，电荷不再定向移动，此时AB 间电压最大，即达电源电动势ab E U =。

注意：

（1）当切割磁感线的导体棒中有动生电流时，棒内的自由电荷参与两个分运动，一是随导体切割磁感线的运动，二是沿导体定向移动（形成电流）。这两个分运动对应合运动所受洛伦兹力的两个分力，如图乙所示，使电荷沿棒移动形成电流的分力1F 和与导体棒给电荷的作用力在水平方向平衡的力2F 。

（2）沿棒方向的分力1F 对电荷做正功，阻碍导体棒运动的分力2F 对电荷做负功，这两个功代数和为零，不违背洛伦兹力永不做功的特点。即1F 和2F 的合力F 洛始终与电荷运动的合速度v 合垂直。

要点六、动生电动势与感生电动势的区别和联系

1．产生的物理机理不同

如图所示，导体ab向右运动，ab中的自由电子一起向右运动，向右运动的电子受到洛伦兹力的作用后相对于杆往下端b运动，这就是感应电流，方向由b向a。产生电流的电动

势存在于ab段中，单位电荷受到洛伦兹力为F

vB

e

=，而电动势的大小等于从b到a移动

单位正电荷时洛伦兹力做的功，因此E Blv

=。

感生电动势，是由于变化的磁场周围产生感生电场，线圈中的自由电子在感生电场力作用下发生移动，形成感应电流。单位电荷在闭合电路中移动一周，电场力做的功等于感生电

动势

ФE

t

?

=

?

。

2．相当于电源的部分不同

导体运动产生动生电动势时，运动部分的导体相当于电源，而由于磁场变化产生感生电动势时，磁场穿过的线圈部分相当于电源。

3．Ф

?的含义不同

导体运动产生电动势，Ф

?是由于导体线框本身的面积发生变化而产生的，所以ФB S

?=??；磁场变化产生电动势，Ф

?是由于磁场变化而产生的，所以ФB S

?=??。要点诠释：

（1）在磁场变化，同时导体做切割磁感线运动时，两种电动势可同时存在。

（2）动生电动势和感生．电动势的划分，在某些情况下只有相对意义。

要点七、电磁感应中电路问题的处理方法

在电磁感应中，切割磁感线的导体将产生感应电动势，该导体或回路相当于电源，因此，电磁感应问题往往与电路问题联系在一起。解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法是：

（1）用法拉第电磁感应定律确定感应电动势的大小，用楞次定律确定感应电动势的方向。

（2）画等效电路图。

（3）运用全电路欧姆定律、串并联电路性质、电功率等公式联立求解。

要点八、感生电动势和动生电动势综合的问题

有的问题中既有感生电动势又有动生电动势，最容易产生错误的是计算感应电动势时，只考虑一种而忽视另一种。用楞次定律和右手定则分别判出感生电动势、动生电动势的方向，

求感应电动势时同向相加，反向相减。感生电动势用

Ф

E n

t

?

=

?

求，动生电动势用

sin

E Blvθ

=求。

要点九、电磁感应现象中的力学问题分析

电磁感应的题目往往综合性较强，与前面的知识联系较多，涉及力和运动、动量、能量、直流电路、安培力等多方面的知识。应用主要可分为以下两个方面：

1．电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题，关键要抓好受力情况和运动情况的动态分析：

周而复始地循环，达到循环状态时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态。

2．功能分析：

电磁感应过程往往涉及多种能量形式的转化。图中金属棒ab沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，一部分用来克服安培力做功转化为电路中的电能，最终在R上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能。若导轨足够长，棒最终达到稳定状态匀速运动时，重力势能的减少则完全用来克服安培力做功转化为电路中的电能。因此，从功和能的观点入手，分析清楚电磁感应过程中能量转化的关系，往往是解决电磁感应问题的重要途径。

【典型例题】

类型一、电磁感应过程的受力分析

例1．如图，A是一边长为l的正方形线框，电阻为R。今维持线框以恒定的速度v沿x 轴运动，并穿过图中所示的匀强磁场B区域。若以x正方向作为力的正方向，线框在图示的时刻作为时间的零点，则磁场对线框的作用力F随时间t变化的图线为（）

【思路点拨】把“磁场对线框的作用力”看做外力，无论线框中感应电流方向如何，安培力总与外力方向相反。

【答案】B

【解析】线框匀速进入匀强磁场时产生恒定的感应电动势，线框中有恒定的感应电流，

受到恒定的安培力作用，（由左手定则知道安培力的方向与x 轴方向相反为负），因此使线框匀速运动时必须施加大小恒定的与安培力方向相反的外力（外力的方向与线框运动的方向相同）；又因为线框完全进入磁场时，回路中没有感应电流，线框不受安培力的作用，因此，选项B 正确。

【总结升华】无论线框中感应电流方向如何，安培力总与外力方向相反。

类型二、导体棒在变化的安培力作用下的运动

例2．如图所示，AB 和CD 是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为l ，导轨平面与水平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B ，在导轨的AC 端连接一个阻值为R 的电阻。一根垂直于导轨放置的金属棒ab ，质量为m ，从静止开始沿导轨下滑，求ab 棒的最大速度（要求画出ab 棒的受力图，已知ab 与导轨间的滑动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计）。

【答案】22(sin cos )mg R B L

θμθ- 【解析】金属棒ab 下滑时产生的感应电流方向和受力如图乙所示，金属棒ab 沿导轨下滑过程中受到重力mg 、支持力N F 、摩擦力f 和安培力F 安四个力作用。

金属棒下滑产生的感应电动势E BLv =，

闭合回路中产生的感应电流为E I R

=，安培力F 安的方向沿斜面向上，其大小为： 22E B L v F BIL B L R R

===安。 根据牛顿第二定律得：

22sin cos B L v mg mg ma R

θμθ--=．

金属棒由静止开始下滑后，做加速度逐渐减小的变加速运动，当加速度减小到零时，速度就增至最大，以后金属棒将以这个最大速度匀速下滑。此时

22max sin cos 0B L v mg mg R

θμθ--=， 解上式得

max 22(sin cos )mg R v B L θμθ-=．

【总结升华】该题是一道电磁学与力学的综合应用题，分析的思路与力学分析思路一样，但在判断安培力的方向和感应电流的方向时，要注意正确使用左、右手定则。

类型三、矩形线框穿过磁场过程的功能关系

例3．如图所示，Ⅰ、Ⅲ为两匀强磁场区，Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里，Ⅲ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度均为B ，两区域中间宽为S 的无磁场区Ⅱ，有一边长为l ()l S ＞，电阻为R 的正方形金属框abcd 置于Ⅰ区域，ab 边与磁场边界平行，现拉着金属框以速度v 向右移动。

（1）分别求出当ab 边刚进入中央无磁场区Ⅱ和刚进入磁场区Ⅲ时，通过ab 边的电流的大小和方向。

（2）把金属框从区域Ⅰ完全拉入Ⅲ区域过程中拉力所做的功。

【思路点拨】正确判断不同位置时各边产生电动势的方向，把握好“外力和与外力相对应的位移”的关系。

【答案】（1）1Blv I R =，方向由b 到a 22Blv I R

=，方向由b 到a （2）222(2)B l v W l S R =- 【解析】（1）当ab 边刚进入中央无磁场区Ⅱ时，只有cd 边切割磁感线产生感应电动势

1E Blv =，

感应电流为

11E Blv I R R

==， 方向由b 到a 。

当ab 边刚进入磁场区Ⅲ时，ab 和cd 两条边都产生感应电动势，这两个感应电动势在回路中的方向是相同的，所以回路中的感应电动势是

22E Blv =，

感应电流是 222E Blv I R R ==， 方向由b 到a ．

（2）金属框匀速运动，所以把金属框从区域Ⅰ完全拉入Ⅲ区域过程中拉力所做的功等于外力克服安培力所做的功，也等于回路产生的电能。

在只有cd 边和ab 边产生感应电动势的时间内回路产生的电能是

2211112222Blv S B l vS W E I t Blv R v R

==?=． ab 和cd 两条边都产生感应电动势的时间内回路产生的电能

22222224B l v l S W E I t R v

-==?． 所以全过程拉力所做的功

22122(2)B l v W W W l S R

=+=-． 【总结升华】①当线框的两边分别在方向相反的磁场中时，回路的感应电动势等于cd 和ab 两段导体产生电动势之和。cd 和ab 分别都受到方向相同的安培力。②解决此类问题时，将外力和与外力相对应的位移弄清楚是防止出错的关键环节之一。

类型四、重力势能向电能转化问题

例4．电阻为R 的矩形导线框abcd ，边长ab l =，ad h =，质量为m ，自某一高度自由落下，通过一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场区域的宽度为h （如图所示）。若线框恰好以恒定速度通过磁场，线框中产生的焦耳热是____________（不考虑空气阻力）。

【思路点拨】“线框恰好以恒定速度通过磁场”是一个重要条件，也就是说它通过磁场区域时受磁场力大小和重力大小相等，方向相反，可列出受力平衡方程。再根据焦耳定律即可求出线框中产生的焦耳热（时间可用匀速运动知识计算）。

【答案】产生焦耳热是2mgh ．

【解析】导线框通过磁场区时只有ab 边或cd 边切割磁感线，产生感应电动势E Blv =。 由于线框是以恒定速度通过磁场的，所以它通过磁场区域时受磁场力大小和重力大小相等，方向相反，有

2()Bl v Blv mg R

==， 产生焦耳热

2Q I Rt =，

t 是线框穿越磁场区的时间（从cd 进入到ab 出来），

2h t v

=， 所以：

2222()2Blv h Bl v h Q R mgh R v R ????=??== ???

． 【总结升华】本题线框在穿越磁场区下落的过程中，重力做功2mgh ，但动能没增加（重力势能减小），原因是磁场力做负功，机械能转化为电能，再转化为内能。所以本题也可以从能量转化时守恒直接得出产生的焦耳热等于减少的机械能，即2mgh 。

举一反三

【高清课堂：法拉第电磁感应定律 例2】

【变式】图中MN 和PQ 为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l 为0.40m ，电阻不计，导轨所在平面与磁感应强度B 为0.50T 的匀强磁场垂直．质量m 为36.010kg ?－、电阻为1.0Ω的金属杆ab 始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻1R ．当杆ab 达到稳定状态时以速率v 匀速下滑，整个电路消耗的电功率P 为0.27W ，重力加速度取210m/s 。

试求速率v 和滑动变阻器接入电路部分的阻值2R ．

【答案】 4.5m/s v =2 6.0ΩR =

【解析】由能量守恒得

mgv P =，

代入数据，解得

4.5m/s v =．

导体棒切割磁感线产生感应电动势

E Blv =．

设电阻1R 与2R 的并联电阻为R 并，ab 棒的电阻为r ，则电路中总电阻

1212

R R R r R R =

++． 又满足 P EI =．

以上四式联立解得

2 6.0ΩR =．

类型五、路端电压与电动势的计算

例5．圆环a 和圆环b 的半径之比1

221R R =∶∶，且是由粗细相同的同种材料的导线构成，连接两环的导线电阻不计，匀强磁场的磁感应强度始终以恒定的变化率变化，那么，当只有a 环置于磁场中与只有b 环置于磁场中两种情况下，A B 、两点间的电势差之比为（ ）

A ．11∶

B ．21∶

C ．31∶

D ．41∶

【思路点拨】无论“只有a 环置于磁场中”还是“只有b 环置于磁场中”，哪个环在磁场中，哪个环就是电源，另一环就是外电路。再根据全电路欧姆定律分别计算，即可求得。

【答案】B

【解析】设b 环的面积为S ，由题可知a 环的面积为4S ，若b 环的电阻为R ，则a 环的电阻为2R 。

当a 环置于磁场中时，a 环等效为内电路，b 环等效为外电路，A B 、两端的电压为路端电压，根据法拉第电磁感应定律有：

4BS E t t ?Φ?==??，423AB ER S B U R R t

?==+?． 当b 环置于磁场中时

''

BS E t t ?Φ?==??． ''222233AB E R R BS S B U

R R R t t

??===+??． 所以 2

1AB AB U U =∶＇∶． 故B 正确。

【总结升华】在一般情况下，A B 、两点间的电势差是路端电压，不等于回路a 的电动势。只有当外电路断开时，a AB E U =。

举一反三

【高清课堂：法拉第电磁感应定律 例2】

【变式1】如图所示，两个互连的金属圆环，粗金属环的电阻为细金属环电阻的二分之

一。磁场垂直穿过粗金属环所在区域。当磁感应强度随时间均匀变化时，在粗环内产生的感应电动势为E 。则a b 、两点间的电势差为（ ）

A ．/2E

B ．/3E

C ．2/3E

D ．E

【答案】C

【高清课堂：法拉第电磁感应定律 例4】

【变式2】粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a b 、两点间的电势差绝对值最大的是（ ）

【答案】B

类型六、电磁感应现象中通过某一截面电量的计算

例6．如图所示，闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从图示位置匀速拉出匀强磁场，若第一次用0.3秒时间拉出，外力所做的功为1W ，通过导线截面的电量为1q ；第二次用0.9秒时间拉出，外力做的功为2W ，通过导体截面的电量为2q ，则（ ）

A ．1212W W q q ＜，＜

B ．1212W W q q ＜，＝

C ．1212W W q q ＞，＝

D ．1212W W q q ＞，＞

【答案】C 选项是正确的1212W W q q （＞，＝）

【解析】用1l 表示导线框竖边长，匀速拉出时产生感应电动势

1E Bl v =；

用2l 表示拉出的横边长，则拉出所用的时间

2l t v

=． 把导线框拉出磁场的过程，线框中电流

1Bl v I R

=， 这段时间通过导线截面的电量

1212Bl v l Bl l q I t R v R

=?=?=． 可见通过导线截面的电量和拉出所用的时间大小无关，是

12q q =．

把导线框出磁场区做功

212W F l Bl Il =?=?，

把12Bl l I Rt =代入得 2

12()Bl l W Rt

=． 说明做功大小和拉出所用的时间有关，本题中1212t t W W ＜，＞。

【总结升华】上述中的12Bl l 实际上是t 时间内把（线圈拉出磁场的过程）线圈中磁通的变化，即12Bl l φ?=，q R φ?=。这一关系不但适用于拉动线圈引起的磁通量变化而产生的感应电流通过导体截面的电量，也适合于线圈不动而磁场在变化产生感应电流通过导体截面

的电量。而2121212()Bl l Bl l Bl l W qE Rt R t

==?=，说明拉力所做的功消耗的机械能转化成了线框中的电能。

类型七、电磁感应与电路综合问题

例7．把总电阻为2R 的均匀电阻丝焊接成一半径为a 的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a 、电阻等于R 、粗细均匀的金属棒MN 放在圆环上，它与圆环始终保持良好的电接触。当金属棒以恒定速度v 向右移动，经过环心O 时，求：

（1）棒上电流的大小和方向以及棒两端的电压MN U 。

（2）在圆环和金属棒上消耗的总热功率。

【思路点拨】首先明确其等效电路，其次根据电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向，然后根据电路有关规律进行综合分析。画等效电路图的步骤是：首先找到感应电动势存在于何处，谁相当于电源；其次是判断出感应电动势的方向；然后分清内、外电路，画出等效电路图。

【答案】（1）43Bav I R =，方向由N 到M ，路端电压：23

Bav （2）28()3Bav P R = 【解析】（1）本题综合考查电磁感应及电路中功率的计算，关键是要分析清楚电路结构，画出等效电路图。把切割磁感线的金属棒看成一个具有内阻为R ，电源电动势为E 的电源，

两个半圆环看成两个并联电阻，画出等效电路如图所示。

当金属棒MN 经过环心O 点时，等效电源的感应电动势为

22E B a a lv v B v B ===

外电路的总电阻为 121212R R R R R R =

=+外 由欧姆定律，此时的等效电路棒上电流大小为

24132

E Bav Bav I R R

R R =

==+总． 由右手定则知电流的方向由N 到M ；根据分压原理，金属棒两端的电压是路端电压，

11233232MN R R E E R U E Bav R R ?==?==+外外． （2）因为整个电路为纯电阻电路，所以在圆环和金属棒上消耗的总热功率等于电源的总功率即：

2

8()3Bav P IE R

==． 【总结升华】解决电磁感应中的电路问题的基本方法是：首先明确其等效电路，其次根据电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向，然后根据电路有关规律进行综合分析。画等效电路图的步骤是：首先找到感应电动势存在于何处，谁相当于电源；其次是判断出感应电动势的方向；然后分清内、外电路，画出等效电路图

举一反三

【高清课堂：法拉第电磁感应定律 例3】

【变式】如图所示，三角形金属导轨EOF 上放一金属杆AB ，在外力作用下使AB 保持与OF 垂直，以速度v 从O 点开始向右平移，设导轨和金属棒均为粗细相同的同种金属制成，则下列正确的是（ ）

A ．电路中的感应电动势大小不变

B ．电路中的感应电动势逐渐增大

C ．电路中的感应电流大小不变

D ．电路中的感应电流逐渐减小

【答案】BC

类型八、图象问题

例8．图甲中abcd 是一边长为l ，具有质量的刚性导线框，位于水平面内，bc 边中串接有电阻R ，导线的电阻不计，虚线表示一匀强磁场区域的边界，它与线ab 边平行，磁场区域的宽度为2l ，磁感应强度为B ，方向竖直向下，线框在一垂直于ab 边的水平恒定拉力作用下，沿光滑水平面运动，直到通过磁场区域。已知ab 边刚进入磁场时，线框便变为匀速运动，此时通过电阻R 的电流的大小为0i ，试在下图的-i x 坐标上定性画出：从导线框刚进磁场到完全离开磁场的过程中，流过电阻R 的电流i 的大小随ab 边的位置坐标x 变化的曲线。

【答案】见解析

【解析】从ab 边进入磁场到cd 边进入磁场期间，线框是匀速运动（这时线框受磁场力和拉力平衡），流过电阻R 的电流0i i =（恒定不变）。线框全部进入磁场后到ab 边离开磁场前的这段时间（即ab 边的位置在1l 与2l 之间），线框的磁通不变，线框中无感应电流，0i =，这期间线框不受磁场力，线框在恒定拉力F 的作用下加速，使ab 边在离开磁场时的速度大于ab 边在进入磁场时的速度，所以ab 边离开磁场右边界时线框中的感应电流0i i ＞，

其时线框（cd 边）受到的磁场力大于恒定拉力（方向和恒定拉力相反），线框获得与运动方向相反的加速度。所以，ab 边离开磁场后（cd 边还在磁场里），线圈做减速运动，使通过电阻R 的电流i 减小。这段时间使线框减速的反向加速度F F

a m -=磁，这段时间发生的物

理过程是：v E i F a ↓→↓→↓→↓→↓磁。说明这段时间线框做加速度减小的减速运动，所以i 的减小是开始快而后慢。这段时间，线框速度的减小的极限，是线框从无磁场区进入磁场区时刻的速度（即v v ≥出入），与此对应的通过电阻的电流减小的极限是0i （即0i i ≥）。综合上述分析可得：在ab 边进入磁场边界到位置为l 时间，0i i =；在ab 边位置从l 到2l 之间，0i =；在ab 边位置从2l 到3l 之间，i 由大于0i 的某个数值开始减小，最后0i i ≥。i 减小是开始减小快，而后减小慢。

通过电阻R 的电流i 的大小随ab 边位置坐标x 变化的曲线如图乙。

【总结升华】解本题的困难在线框从位置坐标的2l 到3l 之间的这段时间内电流的变化。这段时间线框发生了一系列关联的变化，弄清这些变化是解决本题难点的基础。

类型九、电磁感应综合

例9．如图甲所示，在水平面上固定有长为2m L =、宽为1m d =的金属“”U 形导轨，在“”U 形导轨右侧0.5m l =范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间变化规律如图乙所示．在0t =时刻，质量为0.1kg m =的导体棒以0=1m/s v 的初速度从导轨的左端开始向右运动，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为0.1μ=，导轨与导体棒单位长度的电阻均为0.1Ω/m λ=，不计导体棒与导轨之间的接触电阻及地球磁场的影响(取210m/s g =)．

(1)通过计算分析4s 内导体棒的运动情况；

(2)计算4s 内回路中电流的大小，并判断电流方向；

(3)计算4s 内回路产生的焦耳热．

【答案】(1)0.5m x =（见解析） (2)0.2A 顺时针方向(3)0.04J

【解析】 (1)导体棒先在无磁场区域做匀减速运动，有

mg ma μ-=；0t v v at =+；20x v t at =+．

导体棒速度减为零时，

0t v =．

代入数据解得： 1 s 0.5 m t x ==，，因x L l <－，故导体棒没有进入磁场区域． 导体棒在1s 末已停止运动，以后一直保持静止，离左端位置仍为

0.5m x =．

(2)前2s 磁通量不变，回路电动势和电流分别为

00E I ==， ．

后2s 回路产生的电动势为

0.1V B E ld t t

?Φ?=

==??． 回路的总长度为5m ，因此回路的总电阻为 50.5ΩR λ==．

电流为

0.2A E I R

==． 根据楞次定律，在回路中的电流方向是顺时针方向．

(3)前2s 电流为零，后2s 有恒定电流，回路产生的焦耳热为

20.04J Q I Rt ==．

举一反三

【高清课堂：法拉第电磁感应定律 例8】

【变式】如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L L ，左端接有阻值为R 的电阻，

处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中，质量为m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度0v .在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．

（1）求初始时刻导体棒受到的安培力．

（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为p E ，则这一过程中安培力所做的功1W 和电阻R 上产生的焦耳热1Q 分别为多少?

（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少?

【答案】（1）220L v B R 水平向左 （2）2012p E mv -2012p mv E - （3）2012

mv 【解析】（1）初始时刻棒中感应电动势

0E Lv B =

棒中感应电流 E I R =

作用于棒上的安培力

F ILB =

联立得 22

0L v B F R

= 安培力方向：水平向左

（2）由功和能的关系，得安培力做功

21012

p W E mv =- 电阻R 上产生的焦耳热

21012

p Q mv E =- （3）由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置

2012

Q mv =．

类型十、感生电场问题

例10．如图所示的是一个水平放置的玻璃圆环形小槽，槽内光滑，槽宽度和深度处处相同。现将一直径略小于槽宽的带正电小球放在槽中，让它获得一初速度0v ，与此同时，有一变化的磁场垂直穿过玻璃圆环形小槽外径所对应的圆面积，磁感应强度的大小跟时间成正比例增大，方向竖直向下。设小球在运动过程中电荷量不变，则（ ）

A ．小球受到的向心力大小不变

B ．小球受到的向心力大小不断增大

C ．磁场力对小球做了功

D ．小球受到的磁场力大小与时间成正比

【思路点拨】可运用楞次定律判断感生电场的方向，再考虑带电小球动能是否变化。

【答案】B

【解析】本题考查了洛伦兹力和楞次定律，解题关键是由楞次定律判断出感生电场的方向。当磁感应强度随时间均匀增大时，将产生一恒定的感生电场，由楞次定律知，电场方向和小球初速度方向相同，因小球带正电，安培力对小球做正功，小球速度逐渐增大，向心力也随着增大，故A 错B 对；洛伦兹力对运动电荷不做功，故C 错；带电小球所受洛伦兹力F qBv =，随着速率的增大而增大，同时B t ∝，则F 和t 不成正比，故D 错。

【总结升华】本题有一定的综合性。判断感生电场的方向可运用楞次定律，感生电场对小球做功，使带电小球动能增大。带电小球既受电场力又受磁场力。