瑕积分的收敛判别法

a
0+ a
(2) 若c (a,b),且f ( x)在c点无界，则f ( x)在[a,b]
上的积分为
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0+ a
0+ c
为 b a
f
( x)dx.
即：
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
a
0+ a
这时也称瑕积分收敛, a称为瑕点.
当上述的极限不存在时, 称瑕积分发散.
类似地， 可以定义
(1) f ( x)在区间[a,b)上瑕积分，b为瑕点，
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
b dx
当 p 1 时收敛；
a ( x a)p (a 0) 当 p 1 时发散．
4. 定理4.4（比较判别法极限形式）
设f ( x), g( x) 0, 且 lim f ( x) l，则 xa g( x)
1
当0

l

时,
b
a
f
(
x
)dx与
b
a
g( x)dx同敛散；
2
0 1 ( x 1)3
1 dx
1 dx
0
2
( x 1)3
lim 0
0
2 3 ( x 1)3
3 dx
1
2
( x 1)3
lim 0
3 dx
1
2
( x 1)3
3 3 2,
3 dx

0
2
( x 1)3
3(1 3
2).
2 dx
例3
计算广义积分
1
. x ln x
解
2 dx
2
lim
dx
1 x ln x 0 1 x ln x
lim 0
2 1
d(ln x) ln x

lim ln(ln
0
x)
2 1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 )) 0
lim
0
b
f ( x)dx lim
a
0
1
ba 1

f (a
1) y
1 y2
dy


1 ba
f
(a

1) y
1 y2
dy
瑕积分 无穷积分 约定 : 积分下限a是瑕点, f ( x), g( x) R[a ,b]
瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .
f1( x)dx

k b 2a
f2 ( x)dx.
性质２若f ( x)的瑕点为x a, 且 c (a,b)为任意常数，
则瑕积分 b f ( x)dx与 c f ( x)dx同敛散，且
a
a
b
a
f
( x)dx

c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx.
三、瑕积分收敛的判别法
１.定理4.1(柯西准则)
2
当l＝0时，ab
g( x)dx 收敛

b
a
f
( x)dx收敛；
3
当l＝ 时,
b
a
g(
x
)dx
发散

b
a
f ( x)dx发散.
5. 定理4.5(Dirichlet判别法)
设f ( x), g( x)在(a,b]上有定义，且f ( x)有唯一瑕点x a,
0, f ( x), g( x)在[a ε,b]上可积，如果f ( x), g( x)满足
.
故原广义积分发散.
注意 （1） 瑕积分与定积分表达方式相同，遇到有限区
间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。
（2） 瑕积分N-L公式，换元积分公式、分部积分
公式仍然成立，代入上、下限时对应的是极限值。
问题： 如何判断瑕积分的敛散性?
设a是f ( x) 的瑕点, 作代换x a 1 , 则 y
当上述右边的两个极限都存在时，称该瑕积分收敛；
当上述右边的其中的一个极限不存在时，称该瑕积分发散.
例1
讨论瑕积分
1 0
1 xp
dx
(p

0)的收敛性.
解: 由于x 0是瑕点，且
1

x1pdx

1

1
p(1
1
p
),
p 1,


ln
,
p 1.
(0
1),

0, f ( x), g( x)在[a ε,b]上可积，对充分靠近a的
x ( x a),如果有0 f ( x) g( x),则
1o
若 b a
g( x)dx 收敛

b
a
f
( x)dx 收敛;
2o
若 b a
f
( x)dx 发散
b
a
g( x)dx 发散.
常用的比较对象：
若f ( x)在(a,b]上有定义,a为瑕点,且 b f ( x)dx 收敛， a
则 b f ( x)dx 收敛,|
b
f ( x)dx |
b
f ( x)dx.
a
a
a
绝对收敛 收敛. 收敛 绝对收敛.
3. 定理4.3（比较判别法）
设f ( x)，g( x)在(a,b]上有定义，瑕点同为 x a, 且对
§8.4 瑕积分的收敛与计算
一、无界函数的广义积分
定义4.1 设f ( x)在区间(a,b]上有定义，而在点a的右
邻域内无界,但对 (0,b a), f ( x)在[a ε,b]上
可积，若 lim b f ( x)dx存在, 则称此极限为f ( x)在 0+ a
(a,b]上的广义积分（也称瑕积分），记
二. 瑕积分的性质
性质１若f1( x),
f1( x)的瑕点同为x

a
,
k1
,k
为任意常数，
2
则当瑕积分ab
f 1
(
x
)dx与ab
f ( x)dx都收敛时， 2
瑕积分ab[k1 f1 ( x) k2 f2 ( x)]dx也收敛，且
b a
[k1
f1(x)
k2
f2 ( x)]dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k b 1a
故当0 p 1时， 瑕积分收敛， 且
11
11
1
0
x
p
dx

lim
0

x
p
dx

1
; p
当p 1时, 瑕积分发散于 .
3
例2 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
解： 由于x 1为瑕点，所以
3 dx
1 3 dx
0
2
( x 1)3
( )
若f ( x)在(a,b]上有定义，且lim f ( x) , 0, f ( x)在
xa
[a

,b]上可积，则
b
a
f
( x)dx
(a为瑕点)收敛的充要条件是
0, 0,只要当a u1 u2 a δ,有
2. 定理4.2
u2
u1
f
( x)dx

.