独立性及贝努里概型
合集下载
伯努利概型和贝利努概型
伯努利概型和贝利努概型
伯努利概型和贝利努概型都是三种简单概型中的一个，相对伯努利概型是考研中概率题型中常考考点之一，并且考研中对伯努利概型的考察经常和实际问题相结合，所以考生对伯努利概型的掌握，不仅仅限于对符号和分布律的记忆了，也要理解伯努利概型，知道什么时候应该使用伯努利概型。
首先，我们先看看伯努利概型是怎样定义的：2021考研管综初数管综初数备考伯努利概型，关于伯努利概型中，最主要抓住的关键点三个：1.独立，2.重复，3.两种结果。
而其中两种结果可以通过人为的方式来规定，所以一般伯努利概型的问题，常常会解读出独立重复试验。
伯努利概型对考生的要求是要从题干中抽象出来伯努利概型的问题。
所以各位考生复习伯努利概型从这三个角度进行复习。
以上是为管综考研考生整理的“20XX考研管综初数强化备考：浅析伯努利概型”相关内容，希望整理的能有所帮助。
事件的独立性
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1, A2,…, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 … An）
1 P( A1A2 … An) 1 P( A1)P( A2)…P( An) A1, A2,…, An
也相互独立
定义1.11 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
有 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称A1，A2， An相互独立.
注. A1, A2,, An相互独立 A1, A2,, An两两相互独立
定义1.10 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B), P(BC ) P(B)P(C ), P( AC ) P( A)P(C ), P( ABC ) P( A)P(B)P(C ), 则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
P( A B) P( A)
1.引例 盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,
有放回地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
P(B A)
3 P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
(i 1,2,, n)
所以，系统Ⅱ正常工作的概率：
P(B2 ) P( A1 An1)P( A2 An2 )P( An A2n)
1-5事件的独立性与伯努利概型
例 6 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道 工序的次品率分别为 2% ， 3% ， 5% ，假设各道序是 互不影响的，求加工出来的零件的次品率. 解 设
A={产品为次品}, Ai={第i道工序的产品为次品} (i=1,2,3),则来自A A1 A2 A3
P(A) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 A3 )
,P ( Ai ) pi , i 1,2 , , n, Ai 第i个元件正常工作
串联系统的可靠性
由n 个元件串联而成的系统,只要有一 个元件失效,该系统就失效.因此串联系 统的可靠性为:
P串 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) p1 p 2 p n
P (1 105 ) 520
1 520 105 0.9948
例8 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击.设 三人射中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7,一人射中 飞机被击落的概率为0.2, 两人射中飞机被击落的 概率为0.6,三人射中,则飞机被击落.求飞机被击落 的概率. 解 设 A {飞机被击落 }, Bi {飞机被i个人击中 }, i 1,2,3
例1 掷两次硬币,观察其出现正面H和反面T的情 况.设事件 A={第一次出现正面H}, B={第二次出现正面H}, 则试验的样本空间为 Ω={HH,HT,TH,TT} 所以
A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}
P(A)=2/4=1/2, P(B)=2/4, P(B|A)=1/2, P(AB)=1/4
p并 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 pn )
元件n
例9 设由5个元件组成的系统 如图1所示, 元件的可靠性分 别为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ,
贝努里概型
(1) 恰有k粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？
解 恰有k粒种子出苗的概率为
P6 (k) C6k 0.67k0.336k , (k 0,1, 2, 3, 4, 5, 6).
K P6(k)
0
0.0013
1
0.0157
2
0.0798
其中 p + q = 1。
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次
不发生，由试验的独立性，有
P Ai1Ai2 L Aik Ai,k1L Ain pk (1 p)nk pk qnk .
在n次试验中，A发生k次的方式有Cnk 种。且任何两种 方式都是互不相容的，于是有
将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。
如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。
3. 贝努里公式
定理1 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发 生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发 生k次（0≤k≤n）的概率为
Pn(k) Cnk pk qnk , k 0, 1, 2, , n
加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保
险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取
20000元，问（不计利息）
（1）A={保险公司亏本}的概率是多少？
（2）B={保险公司每年获利不少于100000元}的概率是多少？
解 若一年死亡X人，则保险公司支出20000X（元），一年 中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是
1 P( A1 A2 An ) 1 (1 r)n 1, (n )
解 恰有k粒种子出苗的概率为
P6 (k) C6k 0.67k0.336k , (k 0,1, 2, 3, 4, 5, 6).
K P6(k)
0
0.0013
1
0.0157
2
0.0798
其中 p + q = 1。
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次
不发生，由试验的独立性，有
P Ai1Ai2 L Aik Ai,k1L Ain pk (1 p)nk pk qnk .
在n次试验中，A发生k次的方式有Cnk 种。且任何两种 方式都是互不相容的，于是有
将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。
如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。
3. 贝努里公式
定理1 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发 生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发 生k次（0≤k≤n）的概率为
Pn(k) Cnk pk qnk , k 0, 1, 2, , n
加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保
险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取
20000元，问（不计利息）
（1）A={保险公司亏本}的概率是多少？
（2）B={保险公司每年获利不少于100000元}的概率是多少？
解 若一年死亡X人，则保险公司支出20000X（元），一年 中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是
1 P( A1 A2 An ) 1 (1 r)n 1, (n )
第四节 独立性
(2) P(CD) P(C) P(D) 1 C9 0.04 0.968 0.04 0.0104.
1 1 0.9610 C10 0.04 0.969 0.0582;
k 2
三、例题讲解
失效率为0.05，各元件是否失效是相互独立的。若有一 个元件失效，设备不能正常工作的概率为0.5，若有两 个元件失效，设备不能正常工作的概率为0.8，若有三 个或三个以上元件失效，设备一定不能使用。 (1)求设备在保修期间不能使用的概率； (2)已知设备不能使用，求是一个元件失效的概率。 解：B表示“在保修期间设备不能使用”，
推广 设 A1 , A2 ,, An 是 n 个事件, 如果对于任意
k (1 k n), 任意 1 i1 i2 ik n, 具有等式
P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik ),
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件 .
例2. 某企业欲通过开发新产品来摆脱目前困境，组织了 三个攻关小组独立研制三种新产品，成功的把握 分别为60%、50%、60%。求： (1)能研制出新产品的概率； (2)至少有两种新产品能研制成功的概率。 解：Ai表示第i个攻关小组成功研制出新产品，则
(1) P(A1 A2 A3 ) 1-P(A1 )P(A2 )P(A3 )
P(A)P(B) P(C) P(D)-P(A)P(B)P(C) -P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)
0.8125；
P(AB) P(C) P(D)-P(ABC) -P(ABD)-P(CD) P(ABCD)
P(ABE) (2) P(AB|E) , P(E)
概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.7 0.6 0.7 0.88;
目录 上页 下页 返回 结束
练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
目录 上页 下页 返回 结束
客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
目录 上页 下页 返回 结束
d
d/2
目录 上页 下页 返回 结束
一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
目录 上页 下页 返回 结束
二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
目录 上页 下页 返回 结束
练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
目录 上页 下页 返回 结束
客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
目录 上页 下页 返回 结束
d
d/2
目录 上页 下页 返回 结束
一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
目录 上页 下页 返回 结束
二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
1.5独立性及伯努利概型 《概率论与数理统计》课件
则称 A1,A2,An 相互独立.
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
概率伯努利概型
能的值
伯努利试验的概率：每 个试验的结果发生的概
率都是相同的
伯努利概型的性质
伯努利概型的数学期望
伯努利概型是一 种离散概率分布， 其概率函数为 P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)， 其中p是成功的 概率，n是试验 次数。
伯努利概型的数 学期望E(X) = p * n，其中p是成 功的概率，n是 试验次数。
伯努利概型的概率分布可以表示为P(A)=p，P(A')=1-p，其中p是事件A发生的概率。
伯努利概型的分布函数
伯努利概型是概率论中一 种基本的概率模型，用于 描述随机变量服从伯努利
分布的情况。
伯努利分布是一种离散型 概率分布，其概率函数为
P(X=k) = p^k * (1p)^(1-k)，其中k为随机
02
伯努利概型的性质包括：期望值、方差、 标准差等，这些性质可以帮助我们分析 和评估伯努利概型在实际问题中的应用 效果。
04
伯努利试验的概率模型
A
B
C
D
伯努利试验：一种只有 两种可能结果的随机试
验
概率模型：描述伯努利 试验中各种结果发生的
概率
伯努利概型：一种特殊 的概率模型，其中每个 试验的结果只有两个可
变量，p为成功概率。
伯努利概型的分布函数F(x) 定义为P(X ≤ x)，其中x为
实数。
1
2
3
伯努利概型的分布函数F(x) 具有以下性质：F(0) = 0，
F(1) = p，F(∞) = 1。
伯努利概型的分布函数F(x) 可以用于计算伯努利概型 的期望、方差等统计量， 以及进行概率计算和统计
推断。
4
02
概率性：每个试验的结果都有一定的概率， 且概率之和为1
伯努利试验的概率：每 个试验的结果发生的概
率都是相同的
伯努利概型的性质
伯努利概型的数学期望
伯努利概型是一 种离散概率分布， 其概率函数为 P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)， 其中p是成功的 概率，n是试验 次数。
伯努利概型的数 学期望E(X) = p * n，其中p是成 功的概率，n是 试验次数。
伯努利概型的概率分布可以表示为P(A)=p，P(A')=1-p，其中p是事件A发生的概率。
伯努利概型的分布函数
伯努利概型是概率论中一 种基本的概率模型，用于 描述随机变量服从伯努利
分布的情况。
伯努利分布是一种离散型 概率分布，其概率函数为
P(X=k) = p^k * (1p)^(1-k)，其中k为随机
02
伯努利概型的性质包括：期望值、方差、 标准差等，这些性质可以帮助我们分析 和评估伯努利概型在实际问题中的应用 效果。
04
伯努利试验的概率模型
A
B
C
D
伯努利试验：一种只有 两种可能结果的随机试
验
概率模型：描述伯努利 试验中各种结果发生的
概率
伯努利概型：一种特殊 的概率模型，其中每个 试验的结果只有两个可
变量，p为成功概率。
伯努利概型的分布函数F(x) 定义为P(X ≤ x)，其中x为
实数。
1
2
3
伯努利概型的分布函数F(x) 具有以下性质：F(0) = 0，
F(1) = p，F(∞) = 1。
伯努利概型的分布函数F(x) 可以用于计算伯努利概型 的期望、方差等统计量， 以及进行概率计算和统计
推断。
4
02
概率性：每个试验的结果都有一定的概率， 且概率之和为1
贝努里概型
k P(B) = ∑ P( Bi ) = mP( B1 ) = Cn P k (1 − P)n −k i =1 m
概率论
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为
k Pn ( k ) = Cn p k q n −k ,( k = 0,1,..., n )
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第 的亦称为二项概率公式。
例1 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六 有一批棉花种子，出苗率为 ， 求解下列问题： 粒，求解下列问题： (1) 恰有 粒种子出苗的概率； 恰有k粒种子出苗的概率 粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？ 应每穴至少播几粒？ 解 恰有 粒种子出苗的概率为 恰有k粒种子出苗的概率为
4 = C3 0.630.42 + C5 0.640.4 + 0.65 =0.6826 5
在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P3(2)+P3(3)
2 = C3 0.620.4 + 0.63 =0.648
甲应选择五局三胜制。
贝努里（ §1.6 贝努里（Bernoulli)概型 概型
概率论
则事件A、 相互独立 相互独立。 若P(AB) = P(A)P(B) ，则事件 、B相互独立。 在重复试验中，每次试验结果互不影响， 如果 在重复试验中，每次试验结果互不影响，也就 是说各次试验结果发生的概率互不影响， 是说各次试验结果发生的概率互不影响，称这类试验 是独立的。 是独立的。如： (1) 一枚硬币抛 n 次； (2) 一次抛 n 枚硬币； 枚硬币； (3)有放回地抽样：10件产品中有 件次品，从中任 有放回地抽样： 件产品中有 件次品， 件产品中有3件次品 有放回地抽样 取一件，取后放回，连取三次。 取一件，取后放回，连取三次。 1. n重独立性试验 若E可以在相同的条件下重复进 重独立性试验 可以在相同的条件下重复进 各次试验的结果相互独立， 行 n 次，各次试验的结果相互独立，则称这 n 次试验 是独立的， 重独立试验（独立试验序列） 是独立的，或称 n 重独立试验（独立试验序列）。
概率论
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为
k Pn ( k ) = Cn p k q n −k ,( k = 0,1,..., n )
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第 的亦称为二项概率公式。
例1 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六 有一批棉花种子，出苗率为 ， 求解下列问题： 粒，求解下列问题： (1) 恰有 粒种子出苗的概率； 恰有k粒种子出苗的概率 粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？ 应每穴至少播几粒？ 解 恰有 粒种子出苗的概率为 恰有k粒种子出苗的概率为
4 = C3 0.630.42 + C5 0.640.4 + 0.65 =0.6826 5
在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P3(2)+P3(3)
2 = C3 0.620.4 + 0.63 =0.648
甲应选择五局三胜制。
贝努里（ §1.6 贝努里（Bernoulli)概型 概型
概率论
则事件A、 相互独立 相互独立。 若P(AB) = P(A)P(B) ，则事件 、B相互独立。 在重复试验中，每次试验结果互不影响， 如果 在重复试验中，每次试验结果互不影响，也就 是说各次试验结果发生的概率互不影响， 是说各次试验结果发生的概率互不影响，称这类试验 是独立的。 是独立的。如： (1) 一枚硬币抛 n 次； (2) 一次抛 n 枚硬币； 枚硬币； (3)有放回地抽样：10件产品中有 件次品，从中任 有放回地抽样： 件产品中有 件次品， 件产品中有3件次品 有放回地抽样 取一件，取后放回，连取三次。 取一件，取后放回，连取三次。 1. n重独立性试验 若E可以在相同的条件下重复进 重独立性试验 可以在相同的条件下重复进 各次试验的结果相互独立， 行 n 次，各次试验的结果相互独立，则称这 n 次试验 是独立的， 重独立试验（独立试验序列） 是独立的，或称 n 重独立试验（独立试验序列）。
伯努利概型
e
Cnk
pk (1
p)nk
e
n
nk n!
n! k!(n
k )!
pk
(1
p)nk
(p)k
k!
e
[
nk
(1 p)]nk (n k)!
(p)k
k!
e
m0
[
(1
p)]m m!
(p)k e e(1 p)
k!
解 设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实,则
P ( Bm
)
C4m
(1)m 4
( 3 )4 m 4
(m 0,1,2,3,4)
经计算得
P(B0 )
C40
(
1 4
)0
(
3 4
)40
0.316
P(B3 )
C
3 4
(
1 4
)3
(
3 4
)43
0.048
几何分布 在贝努利试验中，通常需要计算事件 A
P(B) (p)k ep , (k 0,1,2, )
k!
(2) 若某蚕养出k只小蚕，求它产了n个卵的概率. 由贝叶斯公式，得
P( An
B)
P( An )P(B P(B)
An )
(p)n
n!
e
C p k n
pk
(1
(p)k ep
p)nk
[(1 p)]nk
(n k)!
P(
5)
5 k 0
P(
概率1.4事件的独立性
(2) 计算n个相互独立的事件A1 , A2 ,, An的和事件
的概率可简化为
P A1 A2 An 1 P Ai
i 1 n
三、独立性的概念在计算概率中的应用 三个臭皮匠顶个诸葛亮！！ 对独立事件，许多概率计算可得到简化：
例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1 U A2 U A3)
1
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1UA2UA3) 已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
3
P(A1UA2UA3) 1 P ( A1 A2 An )
问事件A、B是否独立？ 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2 P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B) 说明事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 则 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
练
习
例. 某保险公司把被保险人分为三类：“安全 的”、“一般的”与“危险的”。统计资 料表 明，对于上述3种人而言，在一年期间内发 生事故的概率依次为0.05、0.15与0.30。如 果在被保险人中“安全的”占15%，“一 般 的”占55%，“危险的”占30%，试问： 1. 任一被保险人在一年中发生事故的概 率是多少？ 2. 如果某被保险人在一年中发生了事故， 则他属于“危险的”一类人的概率是多 少？
第五节 事件的独立性
则称 A, B,C 相互独立
P(ABC) P(A)P(B)P(C)
这个概念可推广到n 个事件的独立性定义(见p27)
实质: 任何事件发生的概率都不受其它事件发生与否 的影响
注：仅满足上面三条，称为两两独立
思考: 两两独立与相互独立的区别
对 n ( n >2 ) 个事件
相互独立 ?
两两独立
推论: 设 A1 , A2 , , An是 n个事件 1) 若 A1, A2 ,, An 相互独立, 则其中任意 k 个事件
P(D) P(AB AC) P(AB) P(AC) P(ABC) P(A)P(B) P(A)P(C) P(A)P(B)P(C) 0.776
例5. 某电路如图所示, 已知 A, B, C 正常工作的概率为 0.8, 0.9和0.7
A
B
假定 A, B, C 能否正常工作是相互独立的,
C
B)
P( AB) P(A B)
P( AB) 1 P(AB)
A42 A120
1
A62 A120
1 5
例题、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一
次，其命中率分别为0.6和0.5．现已知目标命
中，则它是甲射中的概率为
。
[解] 记={甲命中目标}，={乙命中目标}， 则={目标被命中} 所求概率为 p
解: 设 A = “任取一件被认为是合格品” B = “任取一件是次品” C = “这批产品被认为合格品”
由题意 P(B) 0.04 P(B) 0.96 P(A | B) 0.01 P(A | B) 0.95
P(A) P(A | B)P(B) P(A | B)P(B) 0.9124 P(C) 0.91243 0.7595
1.4 相互独立事件、独立试验概型
P A1 A2 An 1 P A1 A2 An 1 P A1 A2 An 1 P A1 P A2 P An
1 0.4n 0.99
即
ln 0.01 0.4 0.01 , 解之得 , n 5.026 . ln 0.4
A, B 独立与 A, B不相容有什么关系 A, B 独立
P( AB) P( A) P( B)
A, B 不相容 AB 故当 P( A) 0 或 P( B) 0 时 A, B 独立 不能同时成立 A, B 不相容
若 A, B 独立，问 A, B 是否独立 若 P( AB) P( A) P( B), 则
解 以 A 记“飞机被击落” ，以Bi记“飞机被 i 个人命 中” , 再以Cj 依次记“飞机被甲、乙、丙分别击中” ( i, j = 1, 2, 3), 则易见B1, B2, B3构成样本空间Ω的一个 方式一 P(C1C2C3 C1C2C3 C1C2C3 ) ? 划分.
P( B1 ) ?
飞 机 被 命 中
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B) P( AB) P( A | B) P( B) P( B | A) P( A) P( A) P( B)
第四讲 事件的独立性 与Bernoulli独立试验概型
独立性的定义、依实际意义 判断独立性 Bernoulli独立试验概型
抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况，则样本 空间是
S { HH, HT,TH,TT }
记事件 {甲出现正面 }, B {乙出现正面 } A ,B 设A 是两个事件，若
P( AB) P( A) P( B)
A, A B, 之间是没有任何关系的 ,它们具有“独立性” 则称事件 B 相互独立,简称 A, B 独立 A, B “独立”
第4讲 事件的独立性
P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − P( A B)
= 1 − 0.1× 0.2 = 0.98
一 、事件的独立性
1. 两个事件的独立性 2. 三个事件的独立性 定义3 如果随机事件A, B, C 满足
⎧ P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ⎪ ⎨ P ( AC ) = P ( A) P (C ) ⎪ P ( BC ) = P ( B ) P (C ) ⎩
= P ( A) P ( E )[1 − P ( B ∪ C ∪ D )]
= P ( A) P ( E )[1 − P ( B ) P (C ) P ( D )]
= q 2 [1 − (1 − p) 3 ]
解 (2) G表示“元件B， C，D中仅有一个正常工 作”，则
G = BC D + BC D + BCD
P ( B | A) = P ( B) = P ( B | A)
P ( AB) = P ( A) P ( B | A) = P ( A) P ( B)
事件B发 生的概率 不受事件 A与否发 生的影响
一 、事件的独立性
1. 两个事件的独立性 定义1 设A，B是随机试验E的两个随机事件，如果 事件 B 发生的概率不受事件 A 与否发生的影响，则称事件 P ( B | A) = P ( B) = P ( B | A) A与B独立. 设A，B是随机试验E的两个随机事件，如果 P ( AB) = P ( A) P ( B), 则称事件A与B独立. 定义2
解 设事件 A、B、C 分别表示在这段时间内机床 甲、乙、丙不需要工人照管. 有机床需要工人照管也就 是至少有一部机床需要工人照管，另外我们应注意到三 部机床由一名工人照管，即因无人照管而停工等价于在 该段时间内至少有两部机床同时需要工人照管. 又已知条件A、B、C 相互独立，且 P ( A) = 0.9, P ( B ) = 0.8, P (C ) = 0.85 则有机床需要工人照管的概率
第五讲：事件的独立性
3 2
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) p q 3 2 每种情况发生的概率均为：p q 3 3 2 故P( B) C5 p q
例3：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.6， 现检查10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设A＝“检查一件是一级品”， 则每次检查时P（A）＝0.6； 现检查了10件， B=“至少有两件一级品” =“A至少发生2次”。
P( A ) P( B ) P(C ) P( A B ) P( B C ) P( A C ) P( A B C )
(2)某时有机床因无人照管而停工：
0.059 P( ABC ABC ABC ABC ) AB AC BC
二、独立试验概型（贝努利概型）(P16)
则称事件A1，A2， ，An两两独立.
定义：设A1，A2， ，An是n个事件，若其中任意两个事件之间是相互独立的，
记在P15
独立事件积的概率等于概率的积
例2：甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某时 它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85。求某时有 机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。
乘法公式
P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)
推广：
两个事件同时发生 的概率等于其中一个事 件发生的概率乘以这个 事件发生的条件下另一 事件发生的概率
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An 1 ).
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) p 2 q
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) p q 3 2 每种情况发生的概率均为：p q 3 3 2 故P( B) C5 p q
例3：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.6， 现检查10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设A＝“检查一件是一级品”， 则每次检查时P（A）＝0.6； 现检查了10件， B=“至少有两件一级品” =“A至少发生2次”。
P( A ) P( B ) P(C ) P( A B ) P( B C ) P( A C ) P( A B C )
(2)某时有机床因无人照管而停工：
0.059 P( ABC ABC ABC ABC ) AB AC BC
二、独立试验概型（贝努利概型）(P16)
则称事件A1，A2， ，An两两独立.
定义：设A1，A2， ，An是n个事件，若其中任意两个事件之间是相互独立的，
记在P15
独立事件积的概率等于概率的积
例2：甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某时 它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85。求某时有 机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。
乘法公式
P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)
推广：
两个事件同时发生 的概率等于其中一个事 件发生的概率乘以这个 事件发生的条件下另一 事件发生的概率
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An 1 ).
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) p 2 q
高三数学相互独立事件乘积的概率与贝努里概型
概率：
C、两个求都不是白球的概率： D、两个求不都是白球的概率：
2、10颗骺子同时掷出：共掷5次：则至少有一次全部出现一个点的概率是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、某人射击1次：击中目标的概率是0.8：他射击4次：至少击中3次的概率是。
4、三人独立地破译一个密码：他们能译出的概率分别为 则能够将此密码译出的概率为。
相互独立事件乘机
姓名
班级
学号
时间
课题
相互独立事件乘积的概率与贝努里概型
设计
一、方法点拨：
1、理解相互独立事件的概念：掌握独立事件乘积的概率乘法公式：
2、掌握贝努里概型Pn（k）＝ ：并会用来解决有关的实际问题。
二、知能达标：
1、甲口袋内有大小相等的8个红球和4个白球：乙口袋内有大小相等的9个红球和3个白球：从两个口袋内各摸出一个球：那么 等于 （ ）
8、已知某产品的优质品率为5﹪：攻关小组要想找一件优质品进行分析研究：问需要检验多少件产品：才能以90﹪的概率保证至少找到一件优质品？
5、10根签中有3根彩签：设首先由甲、然后由乙各抽一签：求下列事件的概率
（1）甲、乙都中彩：（2）乙中彩。
6、如图：三个元件a、b、c安置在线路中：各个元件发生故障是相互独立的：且概率分别为0.3、0.2、0.1：求线路由于元件发生故障而中断的概率。
7 、某类电灯泡：使用时数在1000小时以上的概率为0.2：求3个灯泡在使用1000小时后：最多只有一个坏了的概率。
C、两个求都不是白球的概率： D、两个求不都是白球的概率：
2、10颗骺子同时掷出：共掷5次：则至少有一次全部出现一个点的概率是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、某人射击1次：击中目标的概率是0.8：他射击4次：至少击中3次的概率是。
4、三人独立地破译一个密码：他们能译出的概率分别为 则能够将此密码译出的概率为。
相互独立事件乘机
姓名
班级
学号
时间
课题
相互独立事件乘积的概率与贝努里概型
设计
一、方法点拨：
1、理解相互独立事件的概念：掌握独立事件乘积的概率乘法公式：
2、掌握贝努里概型Pn（k）＝ ：并会用来解决有关的实际问题。
二、知能达标：
1、甲口袋内有大小相等的8个红球和4个白球：乙口袋内有大小相等的9个红球和3个白球：从两个口袋内各摸出一个球：那么 等于 （ ）
8、已知某产品的优质品率为5﹪：攻关小组要想找一件优质品进行分析研究：问需要检验多少件产品：才能以90﹪的概率保证至少找到一件优质品？
5、10根签中有3根彩签：设首先由甲、然后由乙各抽一签：求下列事件的概率
（1）甲、乙都中彩：（2）乙中彩。
6、如图：三个元件a、b、c安置在线路中：各个元件发生故障是相互独立的：且概率分别为0.3、0.2、0.1：求线路由于元件发生故障而中断的概率。
7 、某类电灯泡：使用时数在1000小时以上的概率为0.2：求3个灯泡在使用1000小时后：最多只有一个坏了的概率。
贝努里概型
贝努里概型伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫。
这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了十余位数学家和物理学家，其中有八位数学家（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰、丹尼尔），他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代。
雅可布发明了极坐标，他和他的弟弟约翰是莱布尼茨的朋友，经常书信往来讨论数学问题。
他们对于莱布尼茨发明的微积分方法极为推崇，迅速地接受了莱布尼茨的学说，并且加以发扬光大。
雅可布曾当过洛必达的私人教师，最先提出洛必达法则，是欧拉的老师。
雅可布和约翰两兄弟有时致力于研究同一个问题，但是由于彼此嫉妒和易于激动，这一情况是很遗憾的。
有时两人之间的摩擦爆发成为公开的嫉恨诟骂。
由于解决“最速降线”问题，兄弟两个因为解法的优劣而争论不休，两人之间的口角纷争达数年之久，其所用言辞之粗野很像市井上的对骂而非科学讨论。
这两人之中约翰的脾气似乎更坏，因为多年之后，由于他的二儿子丹尼尔获得了他自己渴望获得的法兰西科学院奖金，约翰竟把他摔出窗外。
n次重复独立试验：（1）相同的条件下重复地做某试验n次；可重复性（2）每次试验结果不受其它各次试验影响；独立性如：掷骰子n重贝努里试验：每次试验结果只有两种可能的n重独立试验1．共进行n次试验；2．各次试验相互独立；3．在每次试验中某事件A或者发生或者不发生；4．在每次试验中事件A出现的概率都是p(0p1)。
n重贝努里试验中事件A恰好发生k(0kn)次的概率为kknkPn(k)Cnp(1p)证明：设Ai＝{第i次贝努里试验中出现A}，B＝{n重贝努里试验中A出现k次}分步：（1）A在指定的前k次试验中出现，后n-k次中不出现pP(A1...Akk1...n)P(A1)...P(Ak)P(k1)...P(n)pkqnkk（2）事件A可能出现在n次试验中的任何k次，共Cn中情况。
kknk所以Pn(k)Cnpq例1（1）将一个对称的硬币掷2次，求出现：恰好一次正面的概率；（2）将一个对称的硬币掷10次，求出现：恰好4次正面的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
.也就是说由A、B、C两两 相互独立不能推出A、, B、C相互独立.同样地由
.不能推出A、B、C两两相互 独立.事件的独立性可以推广到多个随机事件的情形.
定义1.5.3 对 个事件
可能的组合1
=
；
=
若对于所有 有 ;
……
=
则称
相互独立.
个事件相互独立，则必须满足
个等式.
显然 个事件相互独立，则它们中的任意
相互独立，则将其中任意 ）换成其对立事件，则所得
个事件也相互独立.特别地，若
相互独立，则
也相互独立.
3.事件独立性的应用
相互独立事件至少发生其一的概率的计算
设
相互独立，则
=1 =1 =1
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
例1.5.2 分别掷两枚均匀的硬币，令A=｛硬币甲出现 正面｝, B=｛硬币乙出现正面｝ ,验证事件 A,B是相互独立的.
Ω验=证｛：（正、正）（正、反）（反、正）（反、反） ｝
A=｛（正、正）（正、反）｝, B=｛（反、正）（正、正）｝, AB=｛（正、正）｝,
P(A)=P(B)= , P(AB)= = P(A)P(B).
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、 男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女 、男、男）（男、女、女），（女、女、男），（女 、男、女），（女、女、女）｝
.
由等可能性可知，这8个基本事件的概率都是 这时A包含了6个基本事件，B包含了4个基本事件，
解: 设 ={第 个人血清中含有肝炎病毒}
可以认为
相互独立，所求的概率为
=1 =1 = 0.33.
虽然每个人有病毒的概率都是很小，但是混合后 ，则有很大的概率.在实际工作中，这类效应值得充 分重视.
例1.5.7 张、王、赵三同学各自独立地去解一道 数学题，他们的解出的概率为1/5，1/3，1/4，试求 （1）恰有一人解出的概率；（2）难题被解出的概率 .
.
P(B|A)= P(B),
, P(B|A)=
由此可得 P(AB)= P(A) P(B).
定义1.5.1 设 A、B F,若P(AB)= P(A) P(B) 则称 事件A、B是相互独立的，简称为独立的.
根据定义，两个事件的独立性实质上就是一个事件 的发生不影响另一个事件的发生. 必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立的，因为 必然事件与不可能事件的发生与否，的确不受任何 事件的影响，也不影响其它事件是否发生.
孩｝.对下述两种情形，讨论A和B的独立性.
1）家庭中有两个小孩 ；2）家庭中有三个小孩.
解: 1）有两个小孩的家庭，这时样本空间为： Ω=｛(男、男),(男、女),(女、男),(女、女)｝ A=｛(男、女),(女、男)｝ B=｛(男、男),(男、女),(女、男)｝
于是
AB=｛（男、女），（女、男）｝ P(A)= , P(B)= , P(AB)=
（2
）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ }，{A， }、
{ 、 }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立. 证明 不失一般性.设事件 与 独立，仅证 与
相互独立，其余情况类似证明 因为
又 与 独立，所以 从而
所以， 与 相互独立.
:
用数学归纳法可以证明
定理1.5.2 设 个（1
AB包含了3个基本事件.
P(AB)= , P(A)= , P(B)=
显然 P(AB)=P(A)P(B)，从而A与B相互独立.
2)多个事件的独立性
定义1.5.2 设三个事件A,B,C满足 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立. 由三个事件的独立性可知，若A、B、C相互独立
例1.5.8 如果构成系统的每个元件的可靠性均为
0< <1,且各元件能否正常工作是相互独立的, 试求下面两种系统的可靠性.
图1
1
2
1
2
图2
1
2
1
2
解:1)每条道路要能正常工作当且仅当该通路上各
元件正常工作故其可靠性为
,也即通路发生
故障的概率为
.由于系统是由两通路并联而
成的，两通路同时发生故障的概率为 ，因此
，则它们两两相互独立，反之不一定成立.
例1.5.4 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 第二面染成白色，第三面染成黑色,第四面上同时染上 红、黑、白三色，以A、B、C分别记投一次四面体，出 现红、白、黑颜色的事件，
则P(A)=P(B)=P(C)=
P(AB)=P(BC)=P(AC)= ,P(ABC)= 故A、B、C两两相互独立.但不能推出
独立性及贝努里概型
2020年4月23日星期四
1.独立性的概念
1)两个事件的独立性
先看一个具体的例子 例 取1.一5.个1 ，中有设放袋回中地有取五两个次球，（记三A新=｛两第旧一）次每取次得从新 球｝,B=｛第二次取得新球｝， 求P(A), P(B), P(B|A).
解: 显然P(A)=
, P. (B)=
上述系统的可靠性为
解: 设 （i=1，2，3）分别表示张、王、赵三同学 解出难题这三个事件，
由题设知
相互独立.
1. 令A={三人中恰有一人解出难题}
则A=
P(A)= P( =
+P( +
)+P(
)
+
=
(2)令B={难题解出}
=1
= 2）在可靠性理论中的应用 对于一个电子元件，它能正常工作的概率 ,称为 它的可靠性，元件组成系统，系统正常工作的概 率称为该系统的可靠性.随着近代电子技术组成迅 猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成 为一门新的学科------可靠性理论.概率论是研究 可靠性理论的重要工具.
所以A、B是相互独立的.
实质上，在实际问题中，人们常用直觉来判断事件间的 ”相互独立”性，事实上，分别掷两枚硬币，硬币甲出 现正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间没有影响 ，因而它们是相互独立的，当然有时直觉并不可靠.
例1.5.3 一个家庭中有男孩，又有女孩，假定生男 孩和生女孩是等可能的，令A=｛一个家庭中有男 孩，又有女孩｝，B=｛一个家庭中最多有一个女
.不能推出A、B、C两两相互 独立.事件的独立性可以推广到多个随机事件的情形.
定义1.5.3 对 个事件
可能的组合1
=
；
=
若对于所有 有 ;
……
=
则称
相互独立.
个事件相互独立，则必须满足
个等式.
显然 个事件相互独立，则它们中的任意
相互独立，则将其中任意 ）换成其对立事件，则所得
个事件也相互独立.特别地，若
相互独立，则
也相互独立.
3.事件独立性的应用
相互独立事件至少发生其一的概率的计算
设
相互独立，则
=1 =1 =1
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
例1.5.2 分别掷两枚均匀的硬币，令A=｛硬币甲出现 正面｝, B=｛硬币乙出现正面｝ ,验证事件 A,B是相互独立的.
Ω验=证｛：（正、正）（正、反）（反、正）（反、反） ｝
A=｛（正、正）（正、反）｝, B=｛（反、正）（正、正）｝, AB=｛（正、正）｝,
P(A)=P(B)= , P(AB)= = P(A)P(B).
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、 男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女 、男、男）（男、女、女），（女、女、男），（女 、男、女），（女、女、女）｝
.
由等可能性可知，这8个基本事件的概率都是 这时A包含了6个基本事件，B包含了4个基本事件，
解: 设 ={第 个人血清中含有肝炎病毒}
可以认为
相互独立，所求的概率为
=1 =1 = 0.33.
虽然每个人有病毒的概率都是很小，但是混合后 ，则有很大的概率.在实际工作中，这类效应值得充 分重视.
例1.5.7 张、王、赵三同学各自独立地去解一道 数学题，他们的解出的概率为1/5，1/3，1/4，试求 （1）恰有一人解出的概率；（2）难题被解出的概率 .
.
P(B|A)= P(B),
, P(B|A)=
由此可得 P(AB)= P(A) P(B).
定义1.5.1 设 A、B F,若P(AB)= P(A) P(B) 则称 事件A、B是相互独立的，简称为独立的.
根据定义，两个事件的独立性实质上就是一个事件 的发生不影响另一个事件的发生. 必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立的，因为 必然事件与不可能事件的发生与否，的确不受任何 事件的影响，也不影响其它事件是否发生.
孩｝.对下述两种情形，讨论A和B的独立性.
1）家庭中有两个小孩 ；2）家庭中有三个小孩.
解: 1）有两个小孩的家庭，这时样本空间为： Ω=｛(男、男),(男、女),(女、男),(女、女)｝ A=｛(男、女),(女、男)｝ B=｛(男、男),(男、女),(女、男)｝
于是
AB=｛（男、女），（女、男）｝ P(A)= , P(B)= , P(AB)=
（2
）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ }，{A， }、
{ 、 }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立. 证明 不失一般性.设事件 与 独立，仅证 与
相互独立，其余情况类似证明 因为
又 与 独立，所以 从而
所以， 与 相互独立.
:
用数学归纳法可以证明
定理1.5.2 设 个（1
AB包含了3个基本事件.
P(AB)= , P(A)= , P(B)=
显然 P(AB)=P(A)P(B)，从而A与B相互独立.
2)多个事件的独立性
定义1.5.2 设三个事件A,B,C满足 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立. 由三个事件的独立性可知，若A、B、C相互独立
例1.5.8 如果构成系统的每个元件的可靠性均为
0< <1,且各元件能否正常工作是相互独立的, 试求下面两种系统的可靠性.
图1
1
2
1
2
图2
1
2
1
2
解:1)每条道路要能正常工作当且仅当该通路上各
元件正常工作故其可靠性为
,也即通路发生
故障的概率为
.由于系统是由两通路并联而
成的，两通路同时发生故障的概率为 ，因此
，则它们两两相互独立，反之不一定成立.
例1.5.4 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 第二面染成白色，第三面染成黑色,第四面上同时染上 红、黑、白三色，以A、B、C分别记投一次四面体，出 现红、白、黑颜色的事件，
则P(A)=P(B)=P(C)=
P(AB)=P(BC)=P(AC)= ,P(ABC)= 故A、B、C两两相互独立.但不能推出
独立性及贝努里概型
2020年4月23日星期四
1.独立性的概念
1)两个事件的独立性
先看一个具体的例子 例 取1.一5.个1 ，中有设放袋回中地有取五两个次球，（记三A新=｛两第旧一）次每取次得从新 球｝,B=｛第二次取得新球｝， 求P(A), P(B), P(B|A).
解: 显然P(A)=
, P. (B)=
上述系统的可靠性为
解: 设 （i=1，2，3）分别表示张、王、赵三同学 解出难题这三个事件，
由题设知
相互独立.
1. 令A={三人中恰有一人解出难题}
则A=
P(A)= P( =
+P( +
)+P(
)
+
=
(2)令B={难题解出}
=1
= 2）在可靠性理论中的应用 对于一个电子元件，它能正常工作的概率 ,称为 它的可靠性，元件组成系统，系统正常工作的概 率称为该系统的可靠性.随着近代电子技术组成迅 猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成 为一门新的学科------可靠性理论.概率论是研究 可靠性理论的重要工具.
所以A、B是相互独立的.
实质上，在实际问题中，人们常用直觉来判断事件间的 ”相互独立”性，事实上，分别掷两枚硬币，硬币甲出 现正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间没有影响 ，因而它们是相互独立的，当然有时直觉并不可靠.
例1.5.3 一个家庭中有男孩，又有女孩，假定生男 孩和生女孩是等可能的，令A=｛一个家庭中有男 孩，又有女孩｝，B=｛一个家庭中最多有一个女