复旦半导体物理习题及答案1

为面心立方点阵
第一次作业
对于面心立方：
0 1 1 a 3 a3 Ω=( ) 1 0 1 = 2 4 1 1 0
a ×a 2π b1 = 2π 2 3 = ( −i + j + k ) Ω a a × a 2π 面心立方倒点阵为： b 2 = 2π 3 1 = (i − j + k ) Ω a a ×a 2π b3 = 2π 1 2 = (i + j − k ) Ω a
由极值条件：
dE =0 dk k12 h 2 3 求得：当 k = k1 时， Ec ( k ) min = 4m0 4
当 k = 0 时， Ev (k ) max
2 1
直接能隙 E
导带底
间接能隙 E 声子
导带 价带
ℏω = E g
价带顶
k12 h 2 = 6m 6m0
2
Ω ω
g
0
k
k
0
k
∴ Eg = Ec (k ) min − Ev (k ) max =
m* = 0.86m0 ， p
m* E0 p 解：i）受主杂质电离能： ∆E A = = = 0.095eV 2 8ε 0 ε r2 h 2 m0 ε r2
其中 E0 = −13.6eV
m* q 4 p
ε 0 h2 ii）波尔半径： a0 = = 0.53 A π me2 εm 空穴基态轨道半径： p 0 = r * 0 a0 = 6.8 ×10−10 m r mp
* 3、锑化铟的禁带宽度Eg=0.18eV，相对介电常数 ε r = 17，电子的有效质量 mn = 0.015m0 ， m0为电子的惯性质量，求 i )施主杂质电离能；ii )施主的弱束缚电子基态轨道半径。
* * mn q 4 mn E0 解：i）施主杂质电离能：∆ED = = = 7.06 ×10−4 eV 2 8ε 0 ε r2 h 2 m0 ε r2
a ×a b1 = 2π 2 3 Ω a3 × a1 b 2 = 2π Ω a ×a b 3 = 2π 1 2 Ω
第一次作业
−1 1 1 a 3 a3 对于体心立方： Ω = ( ) 1 −1 1 = 2 2 1 1 −1
a ×a 2π b1 = 2π 2 3 = (j+k) Ω a a × a 2π 体心立方倒点阵为： b 2 = 2π 3 1 = (k + i ) Ω a a ×a 2π b3 = 2π 1 2 = ( i + j) Ω a
* 0
2、晶格常数为0.25nm的一维晶格，当外加102V/m，107V/m的电场时，试分别计算电子自 能带底运动到能带顶所需要的时间。 解：准动量定理：
dk = qE dt h dt = dk qE t h 21a h t = ∫ dt = ∫0 dk = 2aqE 0 qE F =h
当E=102V/m，t=8.3×10-8s 当E=107V/m，t=8.3×10-13s
k h = 1.018 × 10−19 J = 0.64eV 12m0
ℏ2 2）电子有效质量： = m d 2E 2 dk
*
3m ℏ2 导带底电子有效质量：m = = 0 = 3.42 ×10−31 kg 8 d 2 Ec (k ) dk 2 k = 3 k
2π 。 K h1h2 h3
a3 a3/h3 a2/h2 a1/h1 A
δ ij =
1 0
C Kh B a1
i= j i≠ j
a2
K h ⋅ CA = (h1b1 + h2b2 + h3b3 ) ⋅ (a1 / h1 − a3 / h3 O )
= h1b1 ⋅ a1 / h1 − h3b3 ⋅ a3 / h3 = 0
第一次作业
4、试证体心立方点阵与面心立方点阵互为正倒点阵。 证明：体心立方点阵： 面心立方点阵： a a a1 = ( −i + j + k ) a1 = ( j + k ) 2 2 a a a 2 = ( k + i ) a 2 = ( i − j + k ) 2 2 a a a3 = ( i + j) a3 = ( i + j − k ) 2 2 倒点阵：
其中 E0 = −13.6eV
ε 0 h2 ii）波尔半径： a0 = = 0.53 A π me2 ε r m0 r a0 = 5.9 ×10−8 m 电子基态轨道半径： n 0 = * mn
ε 4、磷化镓的禁带宽度Eg=2.26eV，相对介电常数 r = 11.1，空穴有效质量 m0为电子的惯性质量，求 i )受主杂质电离能；ii )受主所束缚的空穴的基态轨道半径。
h 2 k 2 h 2 ( k − k1 ) 2 h 2 k 2 3h 2 k 2 Ec (k ) = + 和Ev (k ) = − 3m0 m0 6m0 m0
m0为电子惯性质量，k1=1/2a，a=0.314nm。试求： 1）禁带宽度； 2）导带底电子有效质量； 3）价带顶电子有效质量； 4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。
8 c = ≈ 1.633 a 3
c 2
a
第一次作业
3、在面心立方中，晶面指数 ( h1 h2 h3 ) 与密勒指数 ( h k l )存在如下关系： h1 : h2 : h3 = ( k + l ) : (l + h) : ( h + k ) ，试证之。体心立方的晶面指数 ( h1 h2 h3 ) 与密勒指数 ( h k l ) 又存在何规律？ 证明：设一晶面与固物原胞(a1 a2 a3)三坐标轴的截距为r1，r2，r3，而该晶面与结晶学原胞 (a b c)三坐标轴的截距为l1，l2，l3，由定义：
a
∴ h1 : h2 : h3 = [( b + c ) ⋅ n]:[( c + a ) ⋅ n] :[( a + b ) ⋅ n] = (k + l ) : (l + h) : (h + k )
第一次作业
对于体心立方：
c a1 a2 b a a3
1 a1 = ( −a + b + c ) 2 1 a2 = ( a − b + c ) 2 1 a3 = ( a + b − c ) 2
4 2 3 4⋅ π ( a) 2 3 4 (3)面心立方： n = = π 3 a 6
4 3 8 ⋅ π ( a )3 3 (4)金刚石结构：n = 3 38 = π a 16
第一次作业
2、试证六角密堆结构中
c 8 = ≈ 1.633 a 3
证明：在如图所示的正四面体中，
a
c 2
c 2 = a 2 3
r1a1 ⋅ n = d r2a 2 ⋅ n = d r a ⋅ n = d 3 3
∴ h1 : h2 : h3 = 1 1 : r1 r2 1 1 h:k :l = : l1 l2 : 1 r3 1 : l3
l1a ⋅ n = d l2b ⋅ n = d l c ⋅ n = d 3 a ⋅n a ⋅n a ⋅n = 1 : 2 : 3 d d d a ⋅n b ⋅n c⋅n = : : d d d
∴ h1 : h2 : h3 =
∴ h1 : h2 : h3 = [( −a + b + c ) ⋅ n] :[( a − b + c ) ⋅ n] :[( a + b − c ) ⋅ n] = ( −h + k + l ) : (h − k + l ) : (h + k − l )
1 1 1 a1 ⋅ n a 2 ⋅ n a3 ⋅ n : : = : : r1 r2 r3 d d d 1 1 1 a ⋅n b ⋅n c ⋅n h:k :l = : : = : : l1 l2 l3 d d d
ai•bj=2πδij
第一次作业
同理， Kh • CB = 0
∴ K h ⊥ ( ABC )
a1 K h a1 (h1 b1 + h 2 b2 + h 3 b3 ) 2π d= ⋅ = ⋅ = h1 K h h1 h1 b1 + h 2 b2 + h 3 b3 Kh
第二次作业
1、设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec(k)和价带极大值附近能量Ev(k)分 别为：
为体心立方点阵 所以体心立方点阵与面心立方点阵互为正倒点阵
第一次作业
5、试证 倒格矢 K h = h1b1 + h2b 2 + h3b3垂直于晶面指数为 ( h1 h2 h3 ) 的晶面系； 晶面指
数为 ( h1 h2 h3 ) （其中h1 h2 h3互质）的晶面系面间距 d h1h2 h3 = 证明： 晶面族(h1 h2 h3)中最靠近原点的晶面ABC在基矢 a1,a2,a3 上的截距为a1/h1, a2/h2, a3/h3. CA = OA – OC = a1/h1 - a3/h3 CB = OB – OC = a2/h2 - a3/h3 要证明倒格矢Kh垂直于(ABC)面，必须证明Kh 垂直于CA，Kh垂直于CB
第一次作业
1、在格点上排列大小相同的钢球，当钢球紧密堆积时，求简单立方、体心立方、面心立 方、金刚石结构的原胞中钢球体积和原胞体积之比（填充率）。 解：设填充率为n，原胞边长为a，则： 4 a π ( )3 π 2 (1)简单立方： n = 3 = a3 6
4 3 2 ⋅ π ( a )3 3 (2)体心立方： n = 3 3 4 = π a 8
第一次作业
对于面心立方：
1 a1 = ( b + c ) 2 1 a2 = ( c + a ) 2 1 a3 = ( a + b ) 2