3.2 质点系的动量定理 动量守恒定律

t2

i t1
t2
f i dt
Байду номын сангаас

i t1
t2
t2 fidt ( f i )dt
fi
mi
质点系

i
fi 0
t1
i
Fi

i t1
f i dt 0
内力的冲量 之和为零 质点系的重要结论之二
t2
则，质点系的动量定理
F外dt P P0 （积分形式）
§3.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系 二、质点系的动量定理 动量守恒定律 三、火箭飞行原理—— 变质量问题
1
第三章动量与角动量
一、质点系
N个质点组成的系统-- 研究对象
内力 internal force 系统内部各质点间的相互作用力 特点： 成对出现；大小相等方向相反 结论：质点系的内力之和为零 fi 0
v : 炮弹对地速度， v ' : 炮弹对车速度 u u : 车相对地的速度
Mu mv 0
N
y
v'

O
mg
mv 'cos u M m
x
v v 'cos u m(v 'cos u) Mu 0
8 第三章动量与角动量
例2 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的 木块,已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的
11
例5 在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来 为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近 ，到相距为 r 时，它们之间的相对速率为多少？ 解 由动量守恒，机械能守恒
m1

x O 1 1 m1m2 2 2 m1v1 m2v 2 G 0 2 2 r 2G 2G v 2 m1 解得 v1 m2 (m1 m2 )r (m1 m2 )r
t 时刻， 火箭质量为 M，速度为 v
如果不计空气阻力，只计重力，则
Mdv dM Mg vr dt dt
dm dv F vr m dt dt
v 0

t 0
gdt
dM dv v r M0 M
M
M0 v v r ln gt M
19 第三章动量与角动量
例6 柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0 ， 总长度l 质量均匀分布，均匀地以速度v0 提绳。 求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F。 解：(法一) 取整个绳子为研究对象
解得
9
Ft1 Ft2 v2 m1 m2 m2
第三章动量与角动量
例3 如图所示，两部运水的卡车 A 、 B 在水平面上沿同 一方向运动，B的速度为u ，从B上以6kg/s的速率将水抽至 A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不 计，时刻 t 时，A车的质量为M，速度为v 。 求 时刻 t ，A 的瞬时加速度。
x
x o
F
F
0
t
t dt
m0 P0 x0 0 l
P
m0 (x dx )0 l
m0 m0 (F N m0 g )dt (x dx)0 x0 l l
m0 g
受力图
N
N m0 2 m0 m0 F 0 xg N (l x ) g m0 l l l l x g
16
第三章动量与角动量
2. 火箭飞行原理 （rocket）
特征: 火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷气, 所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？ 取微小过程，即微小的时间间隔d t 系统：火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体
t
t dt
喷出的气体
火箭体质量为M
M dM
u
dm
u (V dV )
7.系统的内力可以改变系统内部各质点的动量，但不会引 起系统动量的改变，揭示了物体间的相互作用及机械运 动发生转移的规律。
6 第三章动量与角动量
思考：卫星绕地球作匀速圆周运动，动量是否 守恒？
Fn
地
动量不守恒。因为 Fn 作用，即 F外 0。
7
第三章动量与角动量
例1 炮车放在光滑地面上。炮车质量为 M，炮弹质量 为m。起始时静止当炮弹以 v ' 相对于炮车射出，求： 炮车在 x 方向的反冲速度 u 。 解： 动量定律在惯性系成立。射炮时， 炮车有加速度，为非惯性系。
时间各为 t1, t2
，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动 解 子弹穿过第一木块时，两木块速
度相同，均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 m2v 2 m2v1
Ft1 v1 m1 m2
变质量问题（低速，v << c）有两类：
▲粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射） 还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下， 这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变— 随速度 变化 m = m(v)，这是相对论情形，不在本节讨论之列。
下面以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。
t1
mi
第2步，对所有 质点求和： 第3步，化简上式： 先看外力冲量之和 由于每个质点的受力 时间dt 相同,所以：
3
(
i
t2
t1
外力冲量之和 内力冲量之和

i
t2
t1
t2 t2 Fidt ( Fi )dt F外dt
t1 i t1
第三章动量与角动量
内力冲量之和 同样，由于每个质点的 受力时间dt 相同, 因为内力之和为零： 所以有结论：
21 第三章动量与角动量
mg
0
m0 m x l
dm m0 dx dt l dt dx 0 dt
10 第三章动量与角动量
Mv mu (M m)v
例4 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链 条自由下落在地面上时, 求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时， 解 设 地面所受链条的作用力。 h L m
链条在此时的速度 根据动量定理
i
质点系
F
质点系中的重要结论之一 外力 external force 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定：系统内任一质点受力之和写成
内力之和
Fi fi
外力之和
2 第三章动量与角动量
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质点系内力 的特点加以化简 获最简形式。
V dV
速度 V
M
V
u
---喷气速度（相对火箭体）
第三章动量与角动量
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根据动量定理列出原理式：
(M dM )(V dV ) dm(u V dV ) MV Fdt
假设在自由空间发射， M dV 注意到：dm = - dM， 按图示，可写出分量式，稍加整理为：
20 第三章动量与角动量
l
(法二) 类似火箭飞行的方法求解 系统是 已提升的质量(主体) m 和将要提升的质量dm
t
t dt
m0 0 m0 0 dm
x
F
x o
( F mg )dt dm0
dm F mg 0 dt m0 2 m0 F 0 xg l l
此例中方法2更简便些
i
5
常矢量 P＝mv
P＝ mivi 常矢量
第三章动量与角动量
讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点 系内各质点的速度必须是相对同一惯性参照系而言。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其他 一切惯性系中 均守恒。 4. 若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管 总动量可能并不守恒 5. 当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞） 可认为动量近似守恒。 6. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ， 在宏观和 微观领域均适用。
相对速率
mv1 mv 2 0
v1
v2
m2
v12 v1 v 2 m2
2G 2G m1 (m1 m2 )r (m1 m2 )r
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第三章动量与角动量
两个质子发生二维的完全弹性碰撞
两个质子在盛有 液态氢的容器中发生 弹性碰撞 . 一个质子 从左向右运动, 与另 一个静止质子相碰撞, 碰撞后, 两个质子的 运动方向相互垂直 。
第1步，对 mi 使用动量定理： t2 t2 Fidt fidt Pi Pi 0
t1
fi
质点系 Fi
t2 Fidt f idt ) (Pi Pi 0 )
t1 i
Pi mii Pi 0 mii 0
磁感强度的方向垂直
纸面向里 。
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第三章动量与角动量
三、火箭飞行原理——变质量问题
“神州”号飞船升空
14 第三章动量与角动量
1. 变质量问题
设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为v，由于外力 F 的作用 和质量的并入，到 t +dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度
变为 v+dv 。在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m 合并前的速度为 u，根据动量定理有
V
udM 0
M
M dV udM 0
M0 V V0 u ln M
提高火箭速度的途径有二： 第一条是提高火箭喷气速度u 第二条是加大火箭质量比M0/M
18 第三章动量与角动量
dM dV u M V0 M0
M0 火箭的质量比 N M
对应的措施是： 选优质燃料 采取多级火箭
解
选A车M和t 时间内抽至 A车的水m为研究系统， 水平方向上动量守恒
A A
v
B
u
mu v Mv mu v v v v M m M m dm u 6 m (u ) u v a lim v dt M M t 0 t M
Fdt (m dm)(v dv ) (mv dmu )
略去二阶无穷小量得
Fdt mdv v r dm
dm dv F vr m dt dt
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Fdt mdv (v u )dm
vr u v
dm 与 m 合并前 相对于m 的速度
（密歇尔斯基方程）
第三章动量与角动量
t1
4
第三章动量与角动量
t2
F外dt P P0
t1
微分形式？
动量定理
某段时间内，质点系动量的增量，等于 作用在质点系上所有外力在同一时间内 dP 的冲量的矢量和 F ——质点系动量定理
可以写成
F ma 吗？
注意后面的 讲解。
dt
质点动量守恒定律： F外 0 质点系动量守恒定律： Fi外 0
m ml l l L
v 2 g(l h)
dm dl dt
fdt 0 (vdt )v v dt 2m(l h)g 2 f v v dt L
m F f ' ml g (3l 2h)g L 第三章动量与角动量
f '
地面受力