整式的加减知识点及中考常见题型

第二章 整式的加减

知识网络结构图

重点题型总结及应用

题型一 整式的加减运算

例1 已知3313

a x y --与533

b y x -是同类项，则a b 的值为 . 解析：由同类项的定义可得a －3＝3，5－b ＝3，所以a ＝6，b ＝2．因而a b ＝62＝36． 答案：36

点拨 所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，这是两个单项式成为同类项必须具备的条件，即⎧⎨⎩字母相同，

相同字母的指数也分别相同⇔同类项.

例2 计算：（7x 2＋5x －3）－（5x 2－3x ＋2）．

解：原式＝7x 2＋5x －3－5x 2＋3x －2＝2x 2＋8x －5．

方法 本题考查整式的加减及去括号法则．合并同类项时注意字母和字母的指数不变，只把系数相加减．

题型二 整式的求值

例3 已知（a ＋2）2＋|b ＋5|＝0，求3a 2b 一[2a 2b －（2ab －a 2b ）－4a 2]－ab 的值．

分析：由平方与绝对值的非负性，得a＝－2，b＝－5．先化简，再代入求值．

解：因为（a＋2）2≥0，|b＋5|≥0，且（a＋2）2＋|b＋5|＝0，

所以a＋2＝0，且b＋5＝0．

所以a＝－2，b＝－5．

3a2b－[2a2b－（2ab－a2b）－4a2]－ab

＝3a2b－2a2b＋2ab－a2b＋4a2－ab

＝4a2＋ab.

把a＝－2，b＝－5代入4a2＋ab，得

原式＝4×（－2）2＋（－2）×（－5）＝16＋10＝26．

例4 已知2a2－3ab＝23，4ab＋b2＝9，求整式8a2＋3b2的值．

解：因为2a2－3ab＝23，所以8a2－12ab＝92，所以12ab＝8a2－92．

因为4ab＋b2＝9，所以12ab＋3b2＝27，所以12ab＝27－3b2．

由此得8a2－92＝27－3b2，即8a2＋3b2＝119．

题型三整式的应用

例5图2－3－1是一个长方形试管架，在a cm长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2 cm，则x等于（）

A.

8

5

a+

cm B.

16

5

a-

cm C.

4

5

a-

cm D.

8

5

a-

cm

解析：由题意得5x＋2×4＝a，所以x＝

8

5

a-

（cm）．答案：D

点拨本题要注重结合图形来分析问题，以提高综合解决问题的能力．

例6用正三角形和正六边形按如图2－3－2所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为（用含”的代数式表示）．

解析：第一个图案中正三角形的个数为：4＝2×1＋2；

第二个图案中正三角形的个数为：6＝2×2＋2；

第三个图案中正三角形的个数为：8＝2×3＋2；

．．，；

第n个图案中正三角形的个数为：2n＋2．

答案：2n＋2

思想方法归纳

1. 整体思想

整体思想就是在考虑问题时，将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，从宏观

上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特点，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题的解答简捷、明快，往往能化繁为简，由难变易，获得解决问题的捷径，从而促进问题的解决．

例1 计算当a ＝1，b ＝－2时，代数式11()()2436

a b a b a b a b +--+++-的值． 分析：因为a ＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－1，a －b ＝3．

解：原式＝1111()()()()2634a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤--

-++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 17()()312

a b a b =-++． 当a ＝l ，b ＝－2时，原式17753(1)13121212

=⨯+⨯-=-=. 点拨 把（a －b ），（a ＋b ）分别看做一个整体，直接合并同类项，而不是去括号再合并同类项．

例2 若a 2＋ab ＝20，ab －b 2＝－13，求a 2＋b 2及a 2＋2ab －b 2的值．

分析：把a 2＋ab ，ab － b 2分别看做一个整体．

解：∵a 2＋ab －（ab － b 2）＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＝20－（－13）=33．

又∵（a 2＋ab ）＋（ab － b 2）＝a 2＋2ab －b 2，∴a 2＋2ab － b 2＝20－13＝7．

点拨 通过对已知条件相减或相加，得出待求的多项式，从而求出多项式的值．考查了学生的洞察能力．

2 数形结合思想

例3 如图2－3－3所示，已知四边形ABCD 是长方形，分别用

整式表示出图中S l ，S 2，S 3，S 4的面积，并表示出长方形ABCD 的面

积．

解：S 1＝m （2m －n ）＝2m 2－mn ，S 2＝n （2m －n ）＝2mn － n 2，

S 3＝ n 2，S 4＝mn ．

S 长方形ABCD ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝（2m 2－mn ）＋（2mn － n 2）＋n 2

＋mn ＝2m 2－mn ＋2mn － n 2＋n 2＋mn ＝2 m 2＋2mn ．

中考热点聚焦

考点1 单项式

考点突破：单项式是整式中的基础知识，在中考中的考查一般难度不大，多以选择题或填空题的形式出现．解决此类问题要理解单项式的定义及单项式次数的含义． 例1 （2011•柳州）单项式3x 2y 3的系数是 3 ．

考点：单项式。

专题：计算题。

分析：把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数． 解答：解：3x 2y 3=3•x 2y 3，其中数字因式为3，

则单项式的系数为3．

故答案为：3．

点评：确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式