工程电磁场与电磁波 丁君版 答案第四章习题答案
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又由边界条件：时，
两边同乘以对从0到积分，且设 由三角函数正交性可得：
的特解为： 4-15.解： 由电位函数满足方程 ，
及边界条件 设，代入上述方程：
由边界条件可知：电位在方向有两个零点， 又时， 对应的应为双曲函数，且时， 将时，代入： 设 两边同乘以并将在上积分， 由三角函数正交性得:
4-16.如图所示系统，求的位函数 解：由题意可知：时，
P点到的距离为：
由得： 平面上的面电荷密度： 平面上的 球面上的电荷 2）面电荷密度在平面上 ４—12：解：（镜像法）由题意可将球体对ｑ的吸引力转换为镜像电荷 对ｑ的吸引力。
4-13.解： (1) 利用叠加原理，设圆柱内只有，则利用镜像法，
且时， 设只有，同理，
且时， 又圆柱接地，
故，
其中，
（2）产生的电场为： 产生的电场为：
(3)求，
4-18解： 与无关 令带入方程 令 得
1） 当时 由时 时 得 故 无解 2）时 由得 得 为欧拉方程解为： 由 所以; 两边同乘以 从0到积分，利用三角
n=1.2…….
图（b）
4-19.已知，其余五个面电位皆为零，求腔内电位分布。 解：
电位满足三维拉普拉斯方程及边界条件：
由边界条件可知：
n=0，1，2…….. 由得 再利用时边界条件及 得： 比较时
时 故
4-21.解： 设 则： 等位线方程可写为： 复电位可写为：为常数
4-22.解： (1)选对数函数 采用柱坐标，令，则: 选为电位函数，则由边界条件可得：
(2) (3) (4)无切向场
第四章 习题 4-1解：选柱坐标系，在所求无源区内电位函数满足：
只和相关 方程化为 由 得
(1) 如图一，根据题意可知：电位函数满足拉普拉斯方程。采用球坐标系： ，方程化为:
积分得：
4—2：解： 图一
根据边界条件： 可得： (2) (3) 4—3：解：选择直角坐标如图，由恒定电场的泊松方程可得：
方程可化为：
由而只有方向的分量
故只和相关 由的连续性：
c.时
由可知只与相关
时故 时
只有方向分量，只和相关 由得连续性，从区域可得
所以 2）时 时
得： 时 由此可见。两种方法求得的、相同
4-6解
其中 1） = 2） ，，
4—7：解：
(1) 利用镜像法 的空间中
在导体表面只存在法向场,所以： (2)
4-8 解：
要使得则：
设两板间距离为d,代入边界条件 4—4：解：选择柱坐标系，根据恒定电磁场的拉普拉斯方程，
(1) ，只在方向上有变化， 所以：
由 时：
(2) 可见，利用拉普拉斯方程与安培环路定理求出来的结果一样。 4-5解：选择柱坐标系，设电流为方向
（1）a. 的无源区中 b. 时，所求区域为有源区
0 故无意义
在方向，方向至少有两个零点，又因为对分离变量后得: 所以： 而对应的 由 由 又 设则： 方程两边同时乘以并对取如下积分： 由三角函数正交性可得： 右边 左边 所以： 所以：
4-20． 解：选柱坐标系，空腔内且和无关 令带入方式 令 因为 且关于X轴对称， 所以 n=0.1.2.3…. n=0.1.2 时，所以 同理柱外电位
4—9：解：利用镜像法可知
图一
图二
如图一所示：上半空间中 如图二所示：下半空间
故在上半空间中：
在直角坐标系下找出Ｐ(x,y,z)与的关系，
图一
图二
，
，
下半空间中
4-10解：1）时 ==
=
2）时 =
==
4—11：解：要求导体上半空间的位函数（用镜像法） (1)根据镜像法
列方程： ，
及边界条件 由边界条件可知：电位在方向上有两个零点，所以可设： 又时， 所对应的应为双曲函数， 时，
时， 两边同乘以并在上对y积分，
4-17.解：
利用叠加原理，将槽分为两个如图
所以：
图（a）
(1) 求，
函数满足拉普拉斯方程，
由题意可设:
将代入：
两边同时乘以使在上积分，得：
(2)同理ຫໍສະໝຸດ Baidu，
产生的电场为： 产生的电场为： 若使两电荷线间作用力为0，则必在处的场的叠加为0， 即： 所以两电荷线之间的距离为。
4-14.解：（分离变量法求位函数） 由于场内无电荷分布，且与在z无关，所以满足二维拉普拉斯方程：
及边界条件： 设， 由边界条件可知电位在y方向有两个零点，所以应为三角函数，又因为 时，，所以可设： 又因为时，，由得 x方向上有一个零点,应为双曲函数，且时，
两边同乘以对从0到积分，且设 由三角函数正交性可得：
的特解为： 4-15.解： 由电位函数满足方程 ，
及边界条件 设，代入上述方程：
由边界条件可知：电位在方向有两个零点， 又时， 对应的应为双曲函数，且时， 将时，代入： 设 两边同乘以并将在上积分， 由三角函数正交性得:
4-16.如图所示系统，求的位函数 解：由题意可知：时，
P点到的距离为：
由得： 平面上的面电荷密度： 平面上的 球面上的电荷 2）面电荷密度在平面上 ４—12：解：（镜像法）由题意可将球体对ｑ的吸引力转换为镜像电荷 对ｑ的吸引力。
4-13.解： (1) 利用叠加原理，设圆柱内只有，则利用镜像法，
且时， 设只有，同理，
且时， 又圆柱接地，
故，
其中，
（2）产生的电场为： 产生的电场为：
(3)求，
4-18解： 与无关 令带入方程 令 得
1） 当时 由时 时 得 故 无解 2）时 由得 得 为欧拉方程解为： 由 所以; 两边同乘以 从0到积分，利用三角
n=1.2…….
图（b）
4-19.已知，其余五个面电位皆为零，求腔内电位分布。 解：
电位满足三维拉普拉斯方程及边界条件：
由边界条件可知：
n=0，1，2…….. 由得 再利用时边界条件及 得： 比较时
时 故
4-21.解： 设 则： 等位线方程可写为： 复电位可写为：为常数
4-22.解： (1)选对数函数 采用柱坐标，令，则: 选为电位函数，则由边界条件可得：
(2) (3) (4)无切向场
第四章 习题 4-1解：选柱坐标系，在所求无源区内电位函数满足：
只和相关 方程化为 由 得
(1) 如图一，根据题意可知：电位函数满足拉普拉斯方程。采用球坐标系： ，方程化为:
积分得：
4—2：解： 图一
根据边界条件： 可得： (2) (3) 4—3：解：选择直角坐标如图，由恒定电场的泊松方程可得：
方程可化为：
由而只有方向的分量
故只和相关 由的连续性：
c.时
由可知只与相关
时故 时
只有方向分量，只和相关 由得连续性，从区域可得
所以 2）时 时
得： 时 由此可见。两种方法求得的、相同
4-6解
其中 1） = 2） ，，
4—7：解：
(1) 利用镜像法 的空间中
在导体表面只存在法向场,所以： (2)
4-8 解：
要使得则：
设两板间距离为d,代入边界条件 4—4：解：选择柱坐标系，根据恒定电磁场的拉普拉斯方程，
(1) ，只在方向上有变化， 所以：
由 时：
(2) 可见，利用拉普拉斯方程与安培环路定理求出来的结果一样。 4-5解：选择柱坐标系，设电流为方向
（1）a. 的无源区中 b. 时，所求区域为有源区
0 故无意义
在方向，方向至少有两个零点，又因为对分离变量后得: 所以： 而对应的 由 由 又 设则： 方程两边同时乘以并对取如下积分： 由三角函数正交性可得： 右边 左边 所以： 所以：
4-20． 解：选柱坐标系，空腔内且和无关 令带入方式 令 因为 且关于X轴对称， 所以 n=0.1.2.3…. n=0.1.2 时，所以 同理柱外电位
4—9：解：利用镜像法可知
图一
图二
如图一所示：上半空间中 如图二所示：下半空间
故在上半空间中：
在直角坐标系下找出Ｐ(x,y,z)与的关系，
图一
图二
，
，
下半空间中
4-10解：1）时 ==
=
2）时 =
==
4—11：解：要求导体上半空间的位函数（用镜像法） (1)根据镜像法
列方程： ，
及边界条件 由边界条件可知：电位在方向上有两个零点，所以可设： 又时， 所对应的应为双曲函数， 时，
时， 两边同乘以并在上对y积分，
4-17.解：
利用叠加原理，将槽分为两个如图
所以：
图（a）
(1) 求，
函数满足拉普拉斯方程，
由题意可设:
将代入：
两边同时乘以使在上积分，得：
(2)同理ຫໍສະໝຸດ Baidu，
产生的电场为： 产生的电场为： 若使两电荷线间作用力为0，则必在处的场的叠加为0， 即： 所以两电荷线之间的距离为。
4-14.解：（分离变量法求位函数） 由于场内无电荷分布，且与在z无关，所以满足二维拉普拉斯方程：
及边界条件： 设， 由边界条件可知电位在y方向有两个零点，所以应为三角函数，又因为 时，，所以可设： 又因为时，，由得 x方向上有一个零点,应为双曲函数，且时，