、瞬心位置的确定

角加速度为正表示逆时针方向，角加速度为负表示顺时针方向。 解析法在曲柄滑块机构和导杆机构中的应用，自学。
2 l332 l112 cos(1 3 ) l 2 2 cos( 2 3 ) 同样可取实部得： 2 l 2 sin( 2 3 )
2 i ( 2 3 ) l112 e i (1 3 ) l 2 2 ie i (2 3 ) l 2 2 e l3 3i l332
角速度为正表示逆时针方向，角速度为负表示顺时针方向。
按欧拉公式展开，取实部相等， 得：
3、加速度分析： 将（b） l1i1e
i1
l2i 2ei 2 l3i3ei3
i 2
对时间求导。得：
i3
为了消去 2 ，将上式两边乘 e
l1 e
2 i1 1
l 2 i 2 e
l11ie i (1 2 ) l2 2ie i ( 2 2 ) l33ie i (3 2 )
l1 sin( 1 2 ) 3 1 l3 sin( 3 2 ) l1 sin( 1 3 ) 同理求得： 2 1 l 2 sin( 2 3 )
所以,S必在P12 P13上。
例：找出下面机构所有的速度瞬心。 速度瞬心数目：
N ( N 1) K 2 4 ( 4 1) 6 2
1 4 2 3 P12 1
P24
P23 2
3
1
P13
1
P14
4
P34
四、利用瞬心对机构进行运动分析
例1：图示机构中，已知 lAB、lBC和 动。
∥BC ?
2 3 BC
B→C
l
3l BC
2 ? 1 l AB 2 2VB 3 B 2
2 B 1
1
A
b1(b2)
3 k'

3
C 4
p
b3
b1'(b2')
b3'
b'' 3
例：已知：机械各构件的长度，等角速度 1
求：滑块E: 导杆4 :
4 ， 4
， vE aE
x
E
5
，构件 1以 ω逆时针方向转 1
求：①机构的全部瞬心位置；
②从动件3的速度。
P24
速度瞬心数目：
N ( N 1) K 2 4 ( 4 1) 6 2
P34→∞ P13 P12 B 2
v3 vC
1
P14 A 4
1
1l P1 4P1 3
1
P23 C 3
例2：凸轮以匀速逆时针转动，求该位置时从动件2的速度V2。
复数矢量法：是将机构看成一封闭矢量多边形，并用复数形式表 示该机构的封闭矢量方程式，再将矢量方程式分别对所建立的直 角坐标系取投影。
i 矢量的复数表示法： a ae a(cos i sin ) ax ia y
例：已知各杆长分别为 机构的位置 1 和构件1的
l1 , l2 ,l 3, l4 ,
设S为12的瞬心，由 瞬心定义,得 2 P12
vS2S1 S
vS3S1
3 P13
vS 2 vS 3
根据相对运动原理,得
1
vS 2 vS1 vS 2 S1 和 vS 3 vS1 vS 3S1 所以 vS 2 S 1 vS 3 S 1 实际上,若S不在P12 P13上，则 vS 2 S 1 vS 3 S 1
i1
以复数形式表示：
l1e
l2 e
i 2
l 4 l3 e
i 3
（a）
欧拉展开：
l1 (cos 1 i sin 1 ) l 2 (cos 2 i sin 2 ) l 4 l3 (cos 3 i sin 3 )
整理后得：
l1 sin 1 l2 sin 2 l3 sin 3 l1 cos 1 l2 cos 2 l4 l3 cos 3
x 4
6
A 1
1
D 3 2 B
C 6
三级机构运动分析 图示的摇筛机构中，已知机构的位置，各构件的尺寸及构件1 的等角速度ω1。求构件3的角速度和角加速度，C、D、E三点 的速度和加速度。 P
36
E C 3 2 B 1 A 6 D 4 6 G 5
F
1
6
§2-4 用解析法求机构的位置、速度和加速度（简介）
y C
匀角速度 1 。
求： 2 , 3 , 2 , 3 , 2 , 3
B
2
2
3
1
A
1
1
3
D 4 x
解：1、位置分析，建立坐标系
确定矢量： l1 , l 2 , l 3 , l 4
写出封闭矢量方程式：
l1 l 2 l 4 l3
vE vC vEC vB vEB
？ ⊥CD ⊥EC ？ V pc ？ ⊥AB ⊥EB 1l AB ？
Note: 速度影像
二、加速度分析
或 大小
aC aB aCB n t n t n t aC aC aB aB aCB aCB
2 f (1 ) 解方程组得： 3 f (1 )
2、速度分析：将式（a）对时间 t 求导得：
l1e l 2 e l 4 l3 e i i i l1i1e l2i 2e l3i3e
1 2
i1
i 2
i 3
（a）
3
（b）
为消去 2，两边乘 e i 2 得：
v2 v P1 2 1l P1 3P1 2
3 2 B
1
P13
v2
P12
1
P23→∞
注意：1.速度瞬心法只能对机构进行速度分析，不能加速度分 析。2.构件数目较少时用。
一、在同一构件上点间的速度和加速度的求法（基点法）
已知机构各构件的长度和 1 ,1
vC , vE , aC , aE , 求： 2， 2，3， 3，
三、瞬心位置的确定
1、若已知两构件的相对运动，用定义确定…… 2、形成运动副的两构件（用定义） 3、不形成运动副的两构件（三心定理） 三心定理： 作平面运动的三个构件共有 3个瞬心，它们位于同 一直线上。
P12
A B vA2A1 vB2B1 1 P12 2 P12∞ n K vK2K1 P12 n
三心定理证明
2 vC 3lCD ? 12 l AB 1l AB lCD 2 vCB l BC
链接
方向 C→D ⊥CD B→A ⊥AB C→B ⊥BC
2 l BC ?
n 任取一点π作为极点，任意长度矢量 b' 代表加速度矢量 ' aB
n aB m / s2 加速度比例尺 a mm b' '
一、速度分析
vB 3 vB 2 vB 3 B 2
⊥AB ∥BC
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方向 ⊥BC
大小
？
1l AB
?
二、加速度分析
k r aB 3 aB 2 aB 3 B 2 aB 3 B 2
⊥BC B→A ⊥BC
或 方向 大小
n t n k r aB 3 aB 3 aB 2 aB 3 B 2 aB 3 B 2
C
B
2 E
3
1
A
1
1
4
D
速度影像的用处、注意点速度多边形
一、速度分析
vC vB vCB
链接
方向⊥CD ⊥AB ⊥CB 1l AB 2lBC ? 大小 ？ 任取一点p作为极点，任意长度矢量 pb 代表速度矢量 vB
vB m / s 速度比例尺 V mm pb
同理 方向 大小
l 2 e
2 i 2 2
i 2
l3i 3 e
l33 e
i3
，得：
2 l112 e i (1 2 ) l 2 2 i l 2 2 l3 3ie i (3 2 ) l332 e i (3 2 ) 2 l 2 2 l112 cos(1 2 ) l332 cos( 3 2 ) 取实部得： 3 l3 sin( 3 2 ) i 3 同理为了消去 3 ，将上式两边乘 e 得：
同理
n t n t aE aB aB aEB aEB
? B→A ⊥AB E→B ⊥EB
1l AB
2 2 l BE 2 ？ 1 l AB
方向
大小
2 l BE
Continue 由于
n t 2 2 aCB (aCB ) 2 (aCB ) 2 (lCB 2 ) (lCB 2 ) 2 4 2 l BC 2 2
4 2 a EB l EB 2 2 4 2 a EC l EC 2 2
所以
aCB : a EB : a EC l BC : l BE : lCE
Note: 加速度影像
2
C
2
B 2 E 3

1
A 4
1
1
3 3
c'''
D
e'
c'
b b'' b'
e'' e c p c''