弹性力学平面问题

平面问题和应力函数
一、平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题：
y
平面应变问题：
y
构件特征：
x
z
受力特点： 平行于板面，板面上无载荷
应力分量： 应变分量： 位移分量：
z ＝ xz ＝zy ＝0 x , y , xy(x,y) yx ＝ zx ＝ 0 x , y , xy (x,y); z
u (x,y), v (x,y); w
m ( z
x)
( )
z
1 E
z
m
x
y
xy
xy
G
2(1 E
m ) xy
yz
yz
G
2(1 E
m
)
yz
zx
zx
G
2(1 E
m
)
zx
应变协调方程（相容方程）：
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
2 y
z 2
2 z
y 2
2 yz
yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
x
x
y
y
xy
yx
z
z
由于 1 [ m( )] 0 m( )
zE z
x
y
z
x
y
对于平面应变问体,真正独立的应力分量只有三个。
x , y , xy yx , z zx zy 0
3.平面应变问题的定义
对于无限长柱体， 所有的应变与位移都发生xoy
面内，就称为平面应力问题。这类问题称为平面
x
z 载荷与 z 轴垂直沿 z 轴不变
x , y , xy(x,y) xz＝ zy＝0,z＝m(x+ y ) z ＝ yx ＝ zx ＝ 0 x , y , xy (x,y)
u (x,y), v (x,y); w=0
弹性力学问题的基本方程
空间问题的基本方程
➢平衡微分方程
ij
x j
fi
0
➢几何方程
ij
1 ui 2 x j
u j xi
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
xy
x
y
y
zy
z
fy
0
xz
x
yz
y
z
z
fz
0
x
u x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
xy
v x
u y
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
➢物理方程（广义虎克定律）
ij
1
m
E
ij
m
E
kk
ij
( )
x
1 E
x
m
y
z
y
1 E
y
zx
x
xy
z
zx
y
yz
x
2 2 x
yz
y
xy
z
yz
x
zx
y
2 2 y
xz
z
yz
x
zx
y
xy
z
2
2 z
xy
二、平面问题的基本方程
➢平衡方程 ➢几何方程： ➢物理方程
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
➢协调方程（相容方程）
1 E
y
m ( z
x)
( ) ( ) x
1 E
x
m
y
m x
m y
1 E
(1 m 2 ) x m(1 m ) y
E
1 /(1
m 2 ) x
m 1 m
y
1 E1
(
x
m1
y)
式中：
应变问题 x , y , xy yx
平面应力
平面应力问题的基本假设：
x x (x, y) y y (x, y) xy xy(x, y)
z zx zy 0
平面应变问题的基本假设：
x x (x, y) y y (x, y) xy xy(x, y)
z zy zx 0
(2)应变分量
yz
1 2
( v z
w y
)
0
zx
1 ( w 2 x
u ) z
0
0，故仅考虑: (x, y); (x, y); (x, y)
z
x
x
y
y
xy
xy
三个应变分量。
(3) 应力分量
(x, y); (x, y); (x, y); (x, y)
此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图
y
yx xy
x
x
xy
y yx
xy x
yx y
3.平面应力问题的定义
对于仅有平行于xy面的三个应力分量的均质薄板
类问题，就称为平面应力问题。 x;
; y
xy
xy
二. 平面应变问题
1.引例: 水坝、隧洞等
简化为等长度很长的截面柱体, 载荷垂直于长度方 向，且沿长度方向不变—作为无限长柱体看待。
平面应变
平面问题和应力函数
一、平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题：
y
平面应变问题：
y
构件特征：
x
z
受力特点： 平行于板面，板面上无载荷
应力分量： 应变分量： 位移分量：
z ＝ xz ＝zy ＝0 x , y , xy(x,y) yx ＝ zx ＝ 0 x , y , xy (x,y); z
u (x,y), v (x,y); w
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
xy
x
1 E
y
1 E
1 G
xy
x my
y mx 2(1 m)
E
平面应变问题：
m m ,E 1 m
xy
1
E
m
2
平面应变问题的物理方程：
( ) z
1 E
z
m
x
y
0
( ) z m x y
( ) x
1 E
x
m
y
z
y
xz
y
y
yz
zy zz
y
y
yx
yx
xy
xz
z
x x
zx
xy
2)平面应变问题
z
o
x
y
48
z
x y
2. 平面应变问题的特征
(1)位移分量
对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截 面，而对称截面上的各点是不能产生沿Z向的位移 的，因此,对任一截面都应有：
w 0 z 0,且u u(x, y),v v(x, y)
简化为图示等厚度板 受载情况--平行于板 面且沿板厚均匀分布 前后板面没有载荷； 此种情况即属平面应 力问题。
2.平面应力问题的特征
y
x
Z
t/2
y
薄板如图：厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂 直于中面的任一直线为z轴,建立坐标系如图所 示。因板面上（z=t/2）不受力，所以有：
( )z z t 0, ( )zx z t 0, ( )zy z t 0
x
z 载荷与 z 轴垂直沿 z 轴不变
x , y , xy(x,y) xz＝ zy＝0,z＝m(x+ y ) z ＝ yx ＝ zx ＝ 0 x , y , xy (x,y)
u (x,y), v (x,y); w=0
5.1、 5.2 平面应力与平面应变问题
一. 平面应力问题
1.引例： 墙壁、座舱隔板等
2
2
2
由于板很薄,外力又不沿厚度变化,应力沿板的厚度又是连续
分布的,因此,可以认为在整板的所有各点都有:
z 0, zx 0, zy 0
根据剪应力互等定理可知
xz 0, yz 0,
x
z
t/2 t/2
y
y
所以,在薄板中只剩下平行于x、y面的三个应力 分量，即：
、 x
、
y
xy
；
yx