矩形的性质与判定典型例题

矩形的证明题目

一．选择题（共5小题）

1．（2016春•巴南区校级月考）如图矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成的，其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，…，则第⑧个矩形的周长为（）

A．168 B．170 C．178 D．188

2．（2016•姜堰区校级模拟）矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是（）

A．32 B．16 C．8 D．16+a2

3．（2016•深圳模拟）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：

①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，

其中正确结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．（2015•十堰一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（）

A．8 B．8 C．4D．6

5．（2015•天台县模拟）如图，矩形ABCD中，BC=1，连接AC与BD交于点E1，过E1作E1F1⊥BC于F1，连接AF1交BD于E2，过E2作E2F2⊥BC于F2，连接AF2交BD于E3，过E3作E3F3⊥BC于F3，…，以此类推，则BF n（其中n为正整数）的长为（）

A．B．C．D．

二．解答题（共25小题）

6．（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC；

（2）已知DC=，求BE的长．

7．（2015•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．

（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；

（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

8．（2015•石家庄二模）已知：如图所示，四边形ABCD是矩形，分别以BC、CD为一边作等边△EBC和等边△FCD，点E在矩形上方，点F在矩形内部，连接AE、EF．

（1）求∠ECF的度数；

（2）求证：AE=FE．

9．（2015春•巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE 折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．

（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；

（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．

10．（2015秋•开江县期末）已知，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且AG=AC，∠ACG=2∠GAF．

（1）若∠ACB=60°，求∠ECB的度数．

（2）若AF=12cm，AG=6.5cm，求△AEF中EF边上的高？

11．（2015春•宜兴市校级期中）定义：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．

（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．

12．（2015春•汕头校级期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推．

（1）求矩形ABCD的面积；

（2）求第1个平行四边形OBB1C的面积是

第2个平行四边形A1B1C1C是

第3个平行四边形OB1B2C的面积是

（3）第n个平行四边形的面积是．

13．（2015春•青山区期中）如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．

（1）求证：四边形ABCD为矩形；

（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．

①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：

②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．

14．（2015春•富顺县校级月考）矩形ABCD中，AB=3，AD=4；P是AD上的任意一点，过P作PE⊥OA，PF⊥OD，求PE+PF的值？

15．（2015春•启东市校级月考）如图，已知矩形ABCD中，过点C引∠A的平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB，MD．

（1）求证：BE=DC；

（2）求证：∠MBE=∠MDC．

（3）如果AB=6，AD=10，则四边形ABMD面积=．

16．（2014•丹东一模）（1）如图1，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且BE=ED，P 为对角线BD上一点，PF⊥BE于点F，PG⊥AD于点G．判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．

（2）如图2，当四边形ABCD变为平行四边形，其他条件不变，若∠ABC=60°，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．

（3）如图3，当四边形ABCD满足∠ABD=90°，AB=3，BD=4，其它条件不变，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．

17．（2014•南岸区一模）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，点F是CB延长线上一点，连接EF交AB于点G，且DE=BF．AE的垂直平分线MN交AE于点N、交EF 于点M．若∠AFG=2∠BFG=45°，AF=2．

（1）求证：AF=CE；

（2）求△CEF的面积．

18．（2014春•涪陵区期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．

（1）求矩形ABCD的周长；

（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．

①求DE的长；

②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．

（3）M是AD上的动点，在DC 上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC 边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．