立体几何中的空间距离问题
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3
(2)因为BC∥AD，BC平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
过A作AE⊥PB于E，
又AE⊥BC,PB∩BC=B,
D’ A’ D A B B’ C C’
如图所示：线段 AB __为异面直线AA’ 与BC的距离。
练习1
在 直 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 ， AA1=2 ， AB=BC=1，∠ABC=90°.点D是BB1中点， 则异面直线DA1与B1C1的距离是
2 2 ________.
二
点面距离的求法
点评 线面距离、面面距离通常情况下
化归为点面距离求解，求空间点面距离， 若利用传统构造法，关键是“找射影”， 一般是应用垂面法求射影，或等积法间 接求 . 若利用向量法，建系和求平面法向 量是关键.
练习2
如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∠ABC= ,AB=BC= 1 AD=1,PA⊥平面ABCD, 且PA=1，点F在AD上，且CF⊥PC. (1)求点A到平面PCF的距离； (2)求AD与平面PBC间的距离.
2 3
PAC⊥ 平面 PCF ，找到点 A 在平面 PCF 上的射影 H 位于PC上，然后解三角形求AH的长. （2）由于AD∥平面PBC，可考虑依据问 题情境在AD上选择具备特殊位置的点A， 然后推理过 A 点的平面 PAD⊥ 平面 PBC ， 找到过点A的垂线.
分析（ 1 ）通过论证平面
(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所 以PA⊥CF. 又CF⊥PC，PA∩PC=P， 所以CF⊥平面PAC， 所以平面PFC⊥平面PAC. 过点A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF， 即AH为点A到平面PCF的距离. 由已知AB=BC=1，所以AC= 2 ,PC= 3 . 6 在Rt△PAC中，得AH= .
→ ＝a· SB x＋ 3a· y－3a· z＝0， n· 可得 → ＝0＋2 3a· SC y－3a· z＝0， n·
x＋ 即 2
3y－3z＝0， 不妨取 n＝(3， 3，2). 3y－3z＝0.
设点 A 到平面 SBC 的距离为 d， →· |AS n| |0＋0＋6a| 3 则 d＝ |n| ＝ ＝2a. 9＋3＋4
∴sin∠SBC＝
1 2 39 1－13＝ 13 .
1 ∴S△SBC＝2×SB×BC×sin∠SBC 1 2 39 ＝2× 13a×2a× 13 ＝2
于是 h＝
3a2，
3a· 3a2 3 ＝ 2 ＝ a. 2 3a 2
方法三：如图8-7-6，以A 为坐标原点，以AC，AS 所在直
线为y 轴，z 轴，以过 A 点且垂直于yOz 平面的直线为x 轴建 立空间直角坐标系.
图8-7-6
Biblioteka Baidu
∵在△ABC 中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，
∴AC＝ AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝2 于是 A(0,0,0)，B(a， 3a,0)，C(0,2
3a.
3a,0)，S(0,0,3a).
设平面 SBC 的一个法向量 n＝(x，y，z). → ，n⊥SC → 及SB → ＝(a， 3a，－3a)， 由 n⊥SB → ＝(0,2 SC 3a，－3a)，
1. 两点间距离、点到直线的距离和两 平行线间的距离其实是平面几何中的问题， 可用平面几何方法求解. 2. 直线与平面间的距离、平行平面间 的距离可归结为求⑧ 点面间 的距离.
一 异面直线的距离
与异面直线都垂直且相交的直线有且只有 一条，它叫两异面直线的公垂线.两条异面 直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段 的长度是两条异面直线的距离.
5. 异面直线间的距离 : 两条异面直线的 线段 公垂线夹在这两条异面直线间的⑤ 的 长度. 6. 直线与平面间的距离 : 如果一条直线 和一个平面平行 , 从这条直线上任意一点向 这点到垂足间线段 的长度. 平面引垂线,⑥
7.两平行平面间的距离：夹在两平行平 面之间的⑦ 公垂线段 的长度.
二、求距离的一般方法
例 ：如图 8-7-4，S 是△ABC 所在平面外一点，AB＝BC
＝2a，∠ABC＝120°，且 SA⊥平面 ABC，SA＝3a，求点 A 到
平面 SBC 的距离.
图 8-7-4
解：方法一：如图8-7-5，作AD⊥BC 交BC 延长线于点D， 连接 SD. ∵SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC. 又 SA∩AD＝A，∴BC⊥平面 SAD.
阳春市实验中学 陈育学
一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的① 线段 的长度. 2. 点到直线的距离：从直线外一点向直线引 垂线，② 点到垂足间线段 的长度. 3. 点 到 平面的距离 ：自点 向平面引垂线 ， ③ 点到垂足间线段 的长度. 4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一 点 条上任意取一点向另一条直线引垂线,④___ 到垂足间线段 的长度.
又 BC⊂平面 SBC，
图 8-7-5
∴平面 SBC⊥平面 SAD，且平面 SBC∩平面 SAD＝SD.
过点 A 作 AH⊥SD 于 H，由平面与平面垂直的性质定理，
可知：AH⊥平面 SBC.于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距离.
在 Rt△SAD 中，SA＝3a，AD＝AB×sin60° ＝ 3a， SA×AD 3a× 3a 3 ∴AH＝ 2 2＝ 2 2＝2a， SA ＋AD 3a ＋ 3a 3 即点 A 到平面 SBC 的距离为2a.
1 1 3 S△ABC＝2AB· BC· sin∠ABC＝2×2a×2a× 2 ＝ 3a2. 在△SBC 中，SB＝ SA2＋AB2＝ 13a，BC＝2a，SC＝
2 2 2 13 a ＋ 4 a － 21 a 1 2 2 SA ＋AC ＝ 21a.cos∠SBC＝ ＝－ ， 2× 13a×2a 13
方法二：设 A 到平面 SBC 的距离为 h，∵VSABC＝VASBC， 1 1 ∴3×SA×S△ABC＝3×h×S△SBC，其中 SA＝3a. 在△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2－2AB· BC· cos∠ABC ＝ 4a ＋4a －2×4a
2 2 2
1 ×－2＝2
3a，
(2)因为BC∥AD，BC平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
过A作AE⊥PB于E，
又AE⊥BC,PB∩BC=B,
D’ A’ D A B B’ C C’
如图所示：线段 AB __为异面直线AA’ 与BC的距离。
练习1
在 直 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 ， AA1=2 ， AB=BC=1，∠ABC=90°.点D是BB1中点， 则异面直线DA1与B1C1的距离是
2 2 ________.
二
点面距离的求法
点评 线面距离、面面距离通常情况下
化归为点面距离求解，求空间点面距离， 若利用传统构造法，关键是“找射影”， 一般是应用垂面法求射影，或等积法间 接求 . 若利用向量法，建系和求平面法向 量是关键.
练习2
如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∠ABC= ,AB=BC= 1 AD=1,PA⊥平面ABCD, 且PA=1，点F在AD上，且CF⊥PC. (1)求点A到平面PCF的距离； (2)求AD与平面PBC间的距离.
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PAC⊥ 平面 PCF ，找到点 A 在平面 PCF 上的射影 H 位于PC上，然后解三角形求AH的长. （2）由于AD∥平面PBC，可考虑依据问 题情境在AD上选择具备特殊位置的点A， 然后推理过 A 点的平面 PAD⊥ 平面 PBC ， 找到过点A的垂线.
分析（ 1 ）通过论证平面
(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所 以PA⊥CF. 又CF⊥PC，PA∩PC=P， 所以CF⊥平面PAC， 所以平面PFC⊥平面PAC. 过点A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF， 即AH为点A到平面PCF的距离. 由已知AB=BC=1，所以AC= 2 ,PC= 3 . 6 在Rt△PAC中，得AH= .
→ ＝a· SB x＋ 3a· y－3a· z＝0， n· 可得 → ＝0＋2 3a· SC y－3a· z＝0， n·
x＋ 即 2
3y－3z＝0， 不妨取 n＝(3， 3，2). 3y－3z＝0.
设点 A 到平面 SBC 的距离为 d， →· |AS n| |0＋0＋6a| 3 则 d＝ |n| ＝ ＝2a. 9＋3＋4
∴sin∠SBC＝
1 2 39 1－13＝ 13 .
1 ∴S△SBC＝2×SB×BC×sin∠SBC 1 2 39 ＝2× 13a×2a× 13 ＝2
于是 h＝
3a2，
3a· 3a2 3 ＝ 2 ＝ a. 2 3a 2
方法三：如图8-7-6，以A 为坐标原点，以AC，AS 所在直
线为y 轴，z 轴，以过 A 点且垂直于yOz 平面的直线为x 轴建 立空间直角坐标系.
图8-7-6
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∵在△ABC 中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，
∴AC＝ AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝2 于是 A(0,0,0)，B(a， 3a,0)，C(0,2
3a.
3a,0)，S(0,0,3a).
设平面 SBC 的一个法向量 n＝(x，y，z). → ，n⊥SC → 及SB → ＝(a， 3a，－3a)， 由 n⊥SB → ＝(0,2 SC 3a，－3a)，
1. 两点间距离、点到直线的距离和两 平行线间的距离其实是平面几何中的问题， 可用平面几何方法求解. 2. 直线与平面间的距离、平行平面间 的距离可归结为求⑧ 点面间 的距离.
一 异面直线的距离
与异面直线都垂直且相交的直线有且只有 一条，它叫两异面直线的公垂线.两条异面 直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段 的长度是两条异面直线的距离.
5. 异面直线间的距离 : 两条异面直线的 线段 公垂线夹在这两条异面直线间的⑤ 的 长度. 6. 直线与平面间的距离 : 如果一条直线 和一个平面平行 , 从这条直线上任意一点向 这点到垂足间线段 的长度. 平面引垂线,⑥
7.两平行平面间的距离：夹在两平行平 面之间的⑦ 公垂线段 的长度.
二、求距离的一般方法
例 ：如图 8-7-4，S 是△ABC 所在平面外一点，AB＝BC
＝2a，∠ABC＝120°，且 SA⊥平面 ABC，SA＝3a，求点 A 到
平面 SBC 的距离.
图 8-7-4
解：方法一：如图8-7-5，作AD⊥BC 交BC 延长线于点D， 连接 SD. ∵SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC. 又 SA∩AD＝A，∴BC⊥平面 SAD.
阳春市实验中学 陈育学
一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的① 线段 的长度. 2. 点到直线的距离：从直线外一点向直线引 垂线，② 点到垂足间线段 的长度. 3. 点 到 平面的距离 ：自点 向平面引垂线 ， ③ 点到垂足间线段 的长度. 4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一 点 条上任意取一点向另一条直线引垂线,④___ 到垂足间线段 的长度.
又 BC⊂平面 SBC，
图 8-7-5
∴平面 SBC⊥平面 SAD，且平面 SBC∩平面 SAD＝SD.
过点 A 作 AH⊥SD 于 H，由平面与平面垂直的性质定理，
可知：AH⊥平面 SBC.于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距离.
在 Rt△SAD 中，SA＝3a，AD＝AB×sin60° ＝ 3a， SA×AD 3a× 3a 3 ∴AH＝ 2 2＝ 2 2＝2a， SA ＋AD 3a ＋ 3a 3 即点 A 到平面 SBC 的距离为2a.
1 1 3 S△ABC＝2AB· BC· sin∠ABC＝2×2a×2a× 2 ＝ 3a2. 在△SBC 中，SB＝ SA2＋AB2＝ 13a，BC＝2a，SC＝
2 2 2 13 a ＋ 4 a － 21 a 1 2 2 SA ＋AC ＝ 21a.cos∠SBC＝ ＝－ ， 2× 13a×2a 13
方法二：设 A 到平面 SBC 的距离为 h，∵VSABC＝VASBC， 1 1 ∴3×SA×S△ABC＝3×h×S△SBC，其中 SA＝3a. 在△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2－2AB· BC· cos∠ABC ＝ 4a ＋4a －2×4a
2 2 2
1 ×－2＝2
3a，