双曲线的第二定义及其应用

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第三讲---双曲线的第二定义

第三讲双曲线的第二定义知识梳理（一）双曲线的第二定义：平面内一动点的比为常数 e  到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。

（二）焦点三角形的面积公式。

S1  r1r2 sin   b 2 tan 2 23.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式：标准方程图像渐进线方程x2 y 2   1(a  0.b  0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0  a yy 2 x2   1(a  0.b  0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0  a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0  a典例分析题型一：与双曲线准线有关的问题例 1.(1)若双曲线x2 y 2   1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2   1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x  2 y  0 ，两条准线间的距离为解：双曲线渐进线方程为 y  16 13 ，求双曲线的标准方程。

133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2    （   0 ）在分   0 时   4 和   0 时。

。

4 9题型二：双曲线第二定义及其运用例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。

求动点的轨迹方程。

练习：已知双曲线x2 y 2   1(a  0, b  0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ，若 y  3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。

高二数学双曲线第二定义及应用

x2 y2 1 64 36
F1
O
F2 x
a2 x c
a2 x c
练习2：求焦半径公式
y M(x1,y1)
a2 a2 又 | MN 1 | x1 ( ) x1 c c c a2 | MF1 | ( x1 ) ex1 a a c
设M（x1 , y1 ),
c 2 a
小
y
结
F1
o
F2
x a2 （二）准线方程： x , (a c) c （三）焦半径公式的推导及其应用
y2 x2 思考：（1）双曲线 2 2 1的准线方程及焦半径公式？ a b （2）如何求中心不在原点的双曲线的准线方程？

南阳城说否定也要陪葬咯.更重要の是,那么多天来の相处,壹起经历生死,东舌早已否将秦琼当作外人,反而当作咯自己の好兄弟,若是秦琼出咯什么事,东舌内心绝对会留下壹道难以磨灭の阴影.时过两响,吱の壹声,房门终于打咯开来,大夫挥咯挥衣袍,脚步沉重地走咯出来."草民拜见钱塘王."只见出来の大夫躬下身子朝东舌行咯壹礼,面色凝重.东舌心急如焚,哪还有心情做那些客套之礼,当即亲自扶起咯大夫,急忙问道:"大夫,孤那兄弟如何？"他深深の谈咯壹口气,缓缓说道:"那位将军の命也真够大の,草民为他诊视筋脉,发现他急火攻心,并且五脏六腑都受到咯否同程度の震荡之伤,若是再来迟半步,怕是神医华佗再世,也再难救咯.""那现在是怎么个情况？"东舌紧接着追问.大夫背上咯自己の药囊,拿出手中の壹长方子说:"好在来の及时,草民已经为他施行咯壹系列针灸驱气,现在已经脱离咯生命危险,只要配上草民手中の方子,大概半月,就能恢复正常状态咯.""是吗,那就好."听到大夫の确认通告,东舌深呼壹口气,心中久久悬着の壹块巨石才掉咯下来,脸上神色舒缓开来."雨召,送壹下大夫离开,去帐房去壹些银两给大夫."回来之后の东舌,语气变得十分亲切近人,直呼伍雨召本名,反倒让伍雨召壹时有点反应否过来."诺,先生跟我来吧."伍雨召点咯点头,带着大夫转身走出庭院. 秦琼の伤势,总算没什么事情咯,接下来要考虑の就是南阳之役咯.送走大夫之后,长辽开口朝东舌说道:"殿下,末将有壹些事情想和殿下讨论壹下,诸位将军正好在场,也好随我壹起去正堂商议壹下要事."东舌点咯点头,壹挥袖袍,身后分别跟着罗士信,赵雨,长辽,蒋琬,川蒙,众人壹起朝正堂走去.钱塘王府,王府正堂.襄阳文武全都汇聚在咯正堂之中,左文右武,东舌坐在王座之上,环视壹眼,武将有长辽,罗士信,赵雨,川蒙.而文臣有只有蒋琬可怜丁丁の壹个,吐茂公要驻防江夏以防江东杜伏威偷袭,而流逊如今却被死守在咯南阳城中.东舌那才意识到咯自己手中文臣是有多么の缺乏,下壹次召唤壹定要侧重智力来召唤咯.随后赶来の伍雨召匆匆站进咯武将の行列之中,壹时文臣和武将形成咯鲜明の人数对比.见众人已经尽数来齐,东舌开口说道:"孤否在襄阳那段日子里,襄阳情况如何？蒋总管否妨直言."蒋琬站出身来,躬曲咯壹下身子,壹脸严肃地将情况壹壹报道"回殿下,那几月来库房总共收入叁万八千贯,收入粮食约为九千石,百姓和乐,荆州各地并没什么任何异象,否过……咳咳."东舌心中暗暗赞赏壹番,自己出襄阳前,财库收入只有现今の叁分之二,那蒋琬果然没什么叫自己失望.蒋琬语气抑扬顿挫,说到壹半干咳几声,好似在吊胃口壹般,咳嗽几声之后,紧接着说到."臣在治理荆州之时, 却发现有两个可造之才,现二人正在门外等候,否知殿下是否愿意召见此二人.""让他们进来吧."听到蒋琬说发现咯两个人才,东舌内心萌生几分好才之心,自己手中正缺文臣.东舌话音刚落,门外走进两人,只见在左壹人,身高七尺有余,长得否算英俊潇洒,却也是眉清目秀,壹身素袍,显然为人较为勤俭,出身寒苦."草民见过殿下,久闻殿下大名,今日壹见果真否枉流言,年轻有为,气势沉着有度."只见他当先上前参拜,细细打量壹番东舌浑身上下,语气中流转着书生意气,好似等待今日已经久等多时."操作界面,帮本宿主检测壹下,此人是谁？"东舌闻其语气淡然而又蕴含着壹股意气风发,忍否住使用金手指开始扫描."正在检测中……此人正是吐庶吐元直,吐庶四维如下,武力:69,智力:94,统率:87,政治83.""哈哈,终于让我收到咯吐庶咯,操作界面大爷,真够意思啊/"原来眼前此人就是赵雨爆出来の吐庶,潜水那么久,如今却投到自己王府上来咯,东舌脸上否动声色,心中却乐开咯花.东舌平息内心の激动,面色没什么丝毫流露出惊喜之意,语气平静の问道:"听闻先生才高八斗,敢问先生尊姓大名？"受到东舌如此褒奖自己,吐庶有些否好意思,便谦虚壹笑:"草民姓吐单名庶,字元直,是荆州人士,至于才高八斗,草民实在否敢当,只是略略识得一些粗字罢咯.""您要是只会认字,难否成我只会画画？"吐庶壹袭自谦,听の东舌倒是有些自嘲.东舌左右思酌半响,久之开口说道:"先生否必如此自谦,若是太平盛世,孤定为加官进爵,可悲现在恰逢乱世,先生倒否如在孤钱塘王府中暂当壹个幕僚,日后再提拔,您看如何？"东舌壹番话让吐庶有些受宠若惊,本以为自己撑死也就只能当个小吏,东舌却开口让他留在自己府中,那对于壹个寞落书生是何等の待遇.吐庶立即跪倒东舌面前,感激地说道:"谢殿下大恩,元直定当倾尽生平之力辅佐殿下/""元直起来吧."东舌直呼本名,对吐庶满意の点咯点头,侧过头又望向咯另外壹人.只见此人身高八尺,放眼望去,五官标致,鼻梁宽大,壹身着装十分随意,却无否散发着壹种文雅の气息,否过在那文雅之中,却又带着几分勇士独有の味道.吐庶退入蒋琬左边,此人便上前几步,拱手否矜否伐地说道:"草民参见殿下,草民名长璞,字文宇,便是那襄阳人士.""长璞？我好像从来都没什么听到过那个人."听到此人自报姓名长璞,东舌心中思绪对此人生出无数疑问.无从所知の情况下,东舌便只能再次动用金手指来扫描,"操作界面,帮本宿主查询壹下,此人是谁？""正在检测中叮咚,长璞,长璞四维如下,武力:77,智力:85,统率:80,政治:90.原为隋末农民起义荆州人士,前来投靠反王萧铣,却被萧铣否受接见,故此隐居避世.""四维如此看来倒是壹个全能型の人才,可谓罕见,萧铣既然否能让您得志,我定否会再让您消逝在历史潮流之中."衡量着长璞の四维,东舌内心自有计较壹番,长璞当前既然侧重于政治与智力,倒否如协助蒋琬壹起打理荆州,蒋琬完全侧重政治,长璞则是各方面都有涉及,说否定会出现1+1大于2の效果.虽然四维足够,但是壹般途径还是要走の.东舌若有所思地点咯点头,开口问道:"那孤问您,您都会些什么？"长璞嘴角抹起壹丝笑意,眼中迸射出壹道精光,回应东舌说:"草民会舞刀弄枪,会治政管理,会布列兵阵."长璞の语气是那样の自在,没什么半分の拖泥带水,很自然の说咯出来,却是让两旁文武听得有点否爽."您还真是直接啊,就否能婉转点么？"长璞の回答让东舌有些无语,显然长璞否怎么会做人,难怪萧铣会否接见您.沉吟片刻,东舌考虑咯壹下两旁人の感受,说道:" 孤念您年纪尚小,就先留在蒋总管の身边好好学习,协助蒋总管治理荆州,日后再给您进行封官,您看如何？""草民谨遵殿下命令."长璞虽然没什么和吐庶那样壹般显眼,但也是没什么直接浪费咯壹身所学,日后还能再放光彩,便回应壹声,转身退到左侧.解决完政事之后,就该解决武の咯,当下南阳之围才是最关键の问题.哐/东舌刚想开口询问长辽,突然门外飞进咯壹个守门の侍卫,壹个莽汉の伴着光影走咯进来,嗓音浩荡,嘴中否断の喷粗."他奶奶の,敢骂我杀猪の,信否信我戳您壹百个透明窟窿/"Ps:（青衣在那里推荐壹下好友の壹本书,雄霸天下叁国魂,壹样是新人否容易,感兴趣の朋友可以去看看）（未完待续o(∩_∩)o）壹百零七部分援兵之计Ps:（求打赏,求推荐,求收藏哈）突然发生壹幕,众人眼光齐刷刷望向咯大门.只见壹个莽汉在门口否断爆着粗口,还壹边挥手作着要打人の样子.此人身长八尺,豹头环眼,燕颔虎须,声若巨雷,势如奔马,东舌扫视壹眼,心中已经隐隐断定,此人便是被木靖爆出来の长飞."您那个黑厮是谁啊,您吓到人咯您知否晓得,信否信我拧咯您の脑袋."罗士信忍否住站咯出来,气冲冲地挑衅起长飞."哎呦呦,您个长得跟死猪壹样の东西,信否信我戳您几百个透明窟窿/"长飞捋咯捋袖子,就要冲上来和罗士信打架.长辽见势否对,急忙从上前去,挽住长飞の臂

高二数学双曲线知识点及经典例题分析

（A）（B）（C）（D）
9.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，
则双曲线的方程为
（A）（B）（C）（D）
10．已知是双曲线（）的一个焦点，则．
11．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．
12．已知双曲线E： – =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使 · 为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（A）（B）（C）（D）
3．已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（）
（A）（B）（C）（D）
4．若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则等于（）
（A）（B）（C）（D）
5．已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，△ 为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（）
3.已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围
双曲线专题练习题
1．下列双曲线中，渐近线方程为的是（）
（A）（B）（C）（D）
2．已知双曲线（，）的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（）

圆锥曲线与方程 (2)双曲线知识点

圆锥曲线与方程（2）双曲线1．双曲线定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|) a PF PF 221=-（a 为常数c a <<0）的点的轨迹叫做双曲线． ⑴若2a ＜21F F ，则动点P 的轨迹是双曲线．⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线（在直线F 1，F 2上）． ⑶若2a ＞21F F ，则动点P 无轨迹．双曲线的第二定义:平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x ＝c a2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b2，与椭圆相同.2．双曲线的标准方程：焦点在x 轴上时，方程为12222=-b y a x )00(>>b a ，焦点)0,(1c F -)0,(2c F焦点在y 轴上时，方程为12222=-bx ay )00(>>b a ，焦点),0(1c F -),0(2c F 注:222b a c +=（类比勾股定理）双曲线的一般方程：)0(122<=+mn ny mx注：方程C By Ax =+22（C B A ,,均不为0）表示双曲线的条件：方程变形：122=+BC yAC x，考察二次项系数的正负，若AC 与B C 异号，表示双曲线；若C B A ,,同号且B A ≠,则表示椭圆；若C B A ,,同号且AC =BC ，则表示圆．3．双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的性质：(1)范围：a x ≥或a x -≤，y R ∈． (2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称．(3)顶点坐标：双曲线和x 轴有两个交点)0,(),0,(21a A a A -，焦点坐标是)0(，c ±． (4)实轴长2a 、虚轴长2b 、焦距2c ；实半轴a 、虚半轴b 、半焦距c ． (5)双曲线12222=-by ax 的准线方程是cax 2±=，准线到中心的距离为2ac，或令双曲线标准方程22ax -22by ＝1中1为零即得渐近线方程.焦准距：（焦点到对应准线的距离）cb2．通径的长是ab 22，通径的一半(半通径)：2ba．(6) 渐近线方程是x ab y ±=① 双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>渐近线方程：令02222=-by ax )0,0(>>b a ，即x ab y ±=;② 渐近线是02222=-bya x(或x a by ±=⇔0=±by a x)的双曲线设为λ=-2222by ax ．(λ≠0),k 是待定系数．③（焦渐距）焦点到渐近线的距离恒为b ．(7) 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．定义式：a b =．注：①等轴双曲线的渐近线方程为：x y ±= ．②渐近线互相垂直．③等轴双曲线可设为：)0(22≠=-λλy x ．（0>λ时焦点在x 轴，0<λ时焦点在y 轴上）(8) 离心率是22221ab ac ac e +=== （1>e ）e 越大，开口越开阔；e 越小，开口越扁狭． (9) 半径：若点),(00y x P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上一点，21F F 、是其左、右焦点，|||)(|||0201ex a cax e PF +=+=， |||)(|||0022ex a x cae PF -=-=即焦半径：点),(00y x p 在左支上 01ex a PF --=和02ex a PF -=．点),(00y x p 在右支上 01ex a PF +=和02ex a PF +-=．4．双曲线的内外部(1) 00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->． (2) 00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的外部22221x y a b ⇔-<．5．双曲线系方程(1) 双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+λλb ya x（22b a <<-λ）(2) 双曲线12222=-b ya x共渐近线的双曲线系方程可设为λ=-2222bya x)0(≠λ．（当0>λ时焦点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上）．本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.。

高中数学破题致胜微方法(双曲线进阶性质)：双曲线的第二定义

今天我们研究双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（大于1）的动点M的轨迹叫做双曲线。定点为双曲线的一个焦点，定直线为双曲线的相应准线。
先看例题：
例：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线的距离之比是常数 ,求点M的轨迹方程。
解：如图
设是点M到直线的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M| },
总结：
1.了解双曲线的第二定义中的各常量a，b，c，，的几何意义。认识到离
心率在第二定义中的关键作用。
2.理解双曲线第二定义，以及第一定义与第二定义的等价性。
3.会用双曲线的第二定义求双曲线的轨迹方程。
练习：
1.如果双曲线上一点P到双曲线右准线的距离d等于8，求点P到右焦点F的距离|PF|。
对应于左焦点的准线称为右准线方程为
2.e的几何意义：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
再看一个例题，加深印象
例：如果双曲线上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是＿＿
解：P到左准线的距离为m，由双曲线方程可知
a=5，b=12，c=13，
准线方程为
根据双曲线第二定义得,
。
注意：也可以结合双曲线第一定义，直接求得P到右焦点的距离进而求解。
2.双曲线上一点P到左、右焦点F1、F2的距离之比为1：2，
（1）求P到右准线的距离d，
（2）试求P点的坐标。
3.已知双曲线3x2－y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( )
A .4
B .
C .
D .2
答案：
1.
即点P到右焦点F的距离|PF|为10。

双曲线的第二定义及其应用

l : x a2 的距离的比是常数 c (a c 0) ，
c
a
求动点M的轨迹。
将题目中的条件(a c 0) 变式为 (c a 0)
则动点M的轨迹是什么？
整理发布
研究１：
在平面上，点M(x,y)与定点F(c,0)的距离
和它到定直线 l : x a 2 的距离的比是常数
双曲线的第二定义及其应用
回顾椭圆的第一定义与第二定义、双曲线的定义。
椭圆的第一定义：MF1 MF2 2a (2a F1F2 ）
椭圆的第二定义：
(0 e 1)
双曲线的定义：MF1 MF2 2a (0 2a F1F2 ）
在研究椭圆的过程中，课本P100例题4：
点动 M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定线
研究4：双曲线的第二定义与第一定
义的等价性。
MF1 MF2 2a
MF1 MF2 2a
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
化简，得
a (x c)2 y2 (xc a2 )
(x c)2 y2 c (x a2 ) ac
课堂练习：优化P94 随堂1—6 作业：P114 6、7
优化P95 8、9、10 优化 P95 强化1--7
c (c a 0)
c
,求点M的轨迹。aD:\1.s来自s研究２：双曲线的第二定义
双曲线的第二定义：在平面内，当动点Ｍ到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ｅ（ｅ＞１）时，这个动点的轨迹是双曲线。
D:\2.shs
研究3：双曲线第二定义和椭
圆第二定义的区别与联系。
D:\3.shs

双曲线定义的应用

• 解析：设F(x，y)，因为A、B两点在以C、 F为焦点的椭圆上， • 所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴) • 所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|. • 所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|
所以|FA|－|FB|＝2. 由双曲线的定义知，F 点在以 A、B 为焦点，2 为实轴长的双曲线的下半支上． x2 所以点 F 的轨迹方程是 y2－＝1(y≤－1)． 48
3．双曲线的几何性质：以x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：x≤-a，或x≥a(2)关于x轴、y轴、原点对称，(3)两顶点是(±a,0)(4)离心率 e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为y=±bx/a，准线方程是x=±a2/c 4．双曲线的焦半径公式 (1)双曲线x2/a2-y2/b2=1上一点P(x0，y0)的左焦半径为 |PF1|=|ex0+a|；右焦半径为|PF2|=|ex0-a| (2)双曲线-x2/b2+y2/a2=1上一点P(x0,y0)的下焦半径为 |PF1|=|ey0+a|，上焦半径为|PF2|=|ey0-a| 5．双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐近线方程为x2/a2-y2/b2=0；双曲线x2/a2-y2/b2=1的共轭双曲线为x2/a2-y2/b2=-1.
解析：由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12，又 sinA－sinC |BC| |AB| |AC| 在△ABC 中， sinA＝sinC＝sinB＝2R，有从而 sinB ＝ |BC|－|AB| 5 5 ＝ .故填 . |AC| 6 6
x y （1）双曲线 1 的两 9 16 个焦点F1，F2，A是双曲线上的一点，且|AF1|=8，则 |AF2|=_______.

(完整word版)双曲线的第二定义(含解析)

课题：双曲线的第二定义【学习目标】1、掌握双曲线的第二定义；2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题; 一、双曲线中的基本元素（1）。

基本量： a 、b 、c 、e几何意义： a —实半轴、b —虚半轴、c —半焦距，e-离心率；相互关系： )0(,222>>=+=a c ace b a c（2).基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．双曲线的第二定义的推导例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数(0)c c a a >>，求点M 的轨迹．解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意,所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，由此得222()x c y caa x c-+=-．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-．设222c a b -=，就可化为22221(00)x y a b a b-=>>，,这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图）．由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)ce e a=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =，根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以双曲线有两条准线．例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12，求这个动点的轨迹方程．解：由题设知离心率2e =，又定点(40)F ，与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线，所以2c a =，21a c c-=,解得2433a c ==，．所以双曲线中心为803O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．又243b =，故双曲线方程为22(38)3144x y --=．评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线,同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．三．第二定义的应用1、已知双曲线的焦点是()0,26±，渐近线方程是x y 23±=，则它的两条准线间的距离是___________； 2、若双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为8，则点p 到右准线的距离为___________； 3、设双曲线1242522=-y x 上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________; 4、已知双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为14,则其到左准线的距离是__________; 5．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ）(A ）4， 3， 417 （B ）8, 6, 417 （C ）8， 6, 45 （D ）4， 3, 456．顶点在x 轴上,两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为（A ）（A )221169x y -= （B ）2211625x y -= (C ）221916x y -= （D ）2212516x y -= 7．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于(A ） (A ）767 （B ）737 （C ）185 （D )1658．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ）（A ）10 (B ）7（C ）27 (D ）3259．经过点M (3, ―1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 (D ）x 2―y 2=810．以y =±32x 为渐近线的双曲线的方程是(D )（A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=3611．等轴双曲线的离心率为；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是（090,2）12．从双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是。

高中数学双曲线的第二定义

双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率；（2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ；因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；（2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）；对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=。

3双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。

设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ，21,F F 是其左右焦点，e d MF =11， ∴e cax MF =+201，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-；即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中12F F 、分别是双曲线的下、上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。

双曲线的第二定义(含解析)

课题：双曲线的第二定义【学习目标】1、掌握双曲线的第二定义；2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题；一、双曲线中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： )0(,222>>=+=a c ac e b a c （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．双曲线的第二定义的推导例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c c a a>>，求点M 的轨迹．解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，c a =．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-．设222c a b -=，就可化为22221(00)x y a b a b -=>>，，这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）．由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e e a=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以双曲线有两条准线．例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12，求这个动点的轨迹方程．解：由题设知离心率2e =，又定点(40)F ，与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线，所以2c a =，21a c c -=，解得2433a c ==，．所以双曲线中心为803O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．又243b =，故双曲线方程为22(38)3144x y --=．评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．三．第二定义的应用1、已知双曲线的焦点是()0,26±，渐近线方程是x y 23±=，则它的两条准线间的距离是___________； 2、若双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为8，则点p 到右准线的距离为___________； 3、设双曲线1242522=-y x 上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________； 4、已知双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为14，则其到左准线的距离是__________； 5．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ）（A ）4, 3, 417 （B ）8, 6, 417 （C ）8, 6, 45 （D ）4, 3, 45 6．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为（A ）（A ）221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916x y -= （D ）2212516x y -= 7．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（A ）（A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）1658．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ）（A ）10 （B ）7 （C ）27 （D ）3259．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=810．以y =±32x 为渐近线的双曲线的方程是（D ）（A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=3611．等轴双曲线的离心率为；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是（090,2）12．从双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b) 13．与2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =45的双曲线方程是 (191622=-y x ) 14．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . (15322=-y x )15．已知双曲线1366422=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：596）四、课后作业1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B ）（A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22193x y -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y （D ）23x ―y 2=1与22139y x -= 2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（D ）（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）221211e e +=1 3．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±31x ，则这条双曲线的方程是（C ）（A ）221369x y -= （B ）221819x y -= （C ）2219x y -= （D ）221183x y -= 4．双曲线的渐近线为y =±43x ，则双曲线的离心率为（C ）（A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）215或35．如果双曲线221169x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（C ）（A ）245 （B ）6910（C ）8 （D ）10 6．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（B ）（A ）32 （B ）―32 （C ）1 （D ）―1 7．双曲线2214x y k+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 .)0,12(- 8．若双曲线221169x y -=上的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离是 .(889) 9．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(1:3)10．在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B, 6), C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .(12)。

双曲线必备二级结论

双曲线必备二级结论摘要：1.引言：介绍双曲线的定义和基本性质2.双曲线的二级结论：解释二级结论的含义和作用3.推导过程：详述如何从基本性质推导出二级结论4.实际应用：说明二级结论在解决双曲线相关问题中的重要性5.结论：总结双曲线二级结论的重要性和应用价值正文：双曲线是一种重要的数学曲线，它在几何学、微积分学等领域都有广泛的应用。

双曲线的定义是：到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

这个常数被称为双曲线的离心率，两个定点被称为双曲线的焦点。

双曲线具有很多基本性质，如渐近线、离心率、焦点等，这些性质为研究双曲线提供了重要的理论基础。

在双曲线的研究中，有一个非常重要的结论，即双曲线的二级结论。

所谓二级结论，是指在双曲线研究中，从基本性质推导出的一些具有重要意义的结论。

这些结论不仅对理解双曲线的性质有帮助，而且在解决实际问题中也具有很大的价值。

那么，如何从双曲线的基本性质推导出二级结论呢？首先，我们需要了解双曲线的渐近线。

双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的离心率有关。

当离心率为0 时，双曲线退化为直线；当离心率为1 时，双曲线退化为抛物线。

通过研究渐近线与双曲线的关系，我们可以得到一些有用的信息。

接下来，我们可以利用双曲线的定义和基本性质，通过一系列的推导和证明，得出一些重要的二级结论。

例如，双曲线的离心率与焦点的距离之间的关系、双曲线的面积公式等。

这些结论为我们深入研究双曲线提供了重要的理论依据。

在实际应用中，双曲线的二级结论具有很大的价值。

例如，在解决与双曲线相关的几何问题、微积分问题时，我们可以利用二级结论简化问题，提高解题效率。

同时，二级结论也为我们理解双曲线的性质提供了直观的解释。

总之，双曲线的二级结论是研究双曲线的重要工具，它不仅对理解双曲线的性质有帮助，而且在解决实际问题中也具有很大的价值。

双曲线第二定义及应用

则 | MA | 5 d 4
( x 5) 2 y 2 5 16 4 x 5
x2 y2 化简得 1 16 9
引例：求与定点 A(c,0) 及定直线的距离的比是定值的动点M的轨迹方程。解：设M(x,y),
| MA | 5 则 d 4
( x 5) 2 y 2 5 16 4 x 5
2
2
和离心率，并用第二定义描述该双曲线。
16 焦点坐标F (5,0) 准线方程x 5
2 2
5 离心率e 4
y x 1的两准线间的距离等于( B ) 2、双曲线 4 3
6 （A） 7 7
8 （B） 7 7
8 （C） 5
16 （D） 5
3、
D
y
8 10 32 d d 8 5
双曲线第二定义
平果县第二中学黄晶
双曲线第二定义
复习：双曲线的几何性质：
焦点在x轴上
定义
图形
焦点在y轴上
||MF1||MF2||=2a(2a<|F1F2 |) (M是动点，F1，F2是定点)
标准方程 |x| a，y R 范围 (x，y都可) 顶点焦点 (±a，0)
|y| a，x R (x，y都可)
2
2
PF
1 d 2 | PF | d 2
A F
Pd P d
解：由题意得e 2，设点P到右准线
2 y 例如：已知点A（3， 1 ）、F（2， 0） , 在双曲线x 2 1 3 1 上求一点P，使得 PA PF 的值最小，并求出最小值。 2 分析：本题的关键是利用双曲线的第 1 1 y d P 二定义将 PA PF 中的 PF 转化。 2 2 p

第二章(2)双曲线知识梳理

［变式训练］
6．如图所示，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3，，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近，而另一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当的直角坐标系，求出这条界线的方程.
[能力提升]
1．若，则“ ”是“方程表示双曲线”的( )
（2）若直线与曲线有两个公共点，求的取值范围；
（3）若，为曲线上的点，求的最小值.
例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，点与其渐近线的距离为，过点P作斜率为的直线交双曲线于两点，交轴于M，且是与的等比中项.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的方程.
［剖析］(1)由点与其渐近线的距离为，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。
4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是 ± =0，则可把双曲线方程表示为－ = （ ≠0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程.
［解］解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即A、C两个救援中心的距离为
（II），所以P在BC线段的垂直平分线上
又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为联立两方程解得：

双曲线的第二定义

a 3
b 1
3
c2
e 2
x2 y2 （例2、已知双曲线 2 － 2 1(a 0, b 0)的焦点F1 c,0）F2 (c,0), a b P( x0 , y0 )是双曲线右支上任意点，求证：| PF | a ex0 ， 1
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率.
图形
. .
F1
y
y
F2
F2(0,c)
B1
A1 A2
O
F2
x
F1(-c,0)
2 2
B1 F2(c,0)
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程范围对称性顶点离心率渐进线
x y 1 (a b 0) a b
2 2
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
y a 或 y a，x R
a2 证明：双曲线的左准线为x c
l' y
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得： 2 a a x0 c 整理得 :| PF1 | a ex0 (| PF1 |min a c)
F1
.
O
.
F2
x
由双曲线的第一定义得 | PF2 || PF1 | 2a a ex0 ：
M .
| MF2 | e, (d为M到右准线的距离) . d F1
O
.

F2
A x
(| MA | d ) min
a 9 36 xA 9 c 5 5
2
小
y
结
F1
o
F2
x
a （二）准线方程：x ,(a c) c

双曲线的第二定义应用

由双曲线的第一定义得：
| PF2 | | PF 1 | 2a
| PF 1 | 2a, | PF 2 | 4a
F1
.
O
.
F2
x
又 | PF 1 |min c a a
不存在这样的点 P满足条件
x2 y2 例4：双曲线 1的左右焦点为 F1 , F2，点P在双曲线上， 9 16 t1t 2 64 y 且F1 PF2 , 求S F1PF2 3 P. 解：设| PF 1 | t1 , | PF 2 | t2
x2 y2 x2 y2 例5：已知椭圆 2 2 （ 1 a1 b1 0）与双曲线 2 2 1 a1 b1 a2 b 2 （a2 0，b2 0）有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点，试用b1、b2 表示△PF1 F2的面积。
2 2 2 2 解：由题意得 a1 b1 a2 b2 c2 a12 a22 b12 b22
双曲线习题课
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线 y l ' a 定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的
准线，常数e是双曲线的离心率.
对于双曲线 y x 1， 2 2 a b
2 2
l d .M
即 | MF2 || MF1 | 6
F1
.
O
.

F2
A x
| MA | | MF2 || MA | | MF1 | 6
2 2 (| MA | MF1 | 6) min | AF | 6 14 2 6 10 2 6 1
x2 y 2 例2：过双曲线右焦点作直线交双曲线 2 2 1的右支 a b 于A，B两点，判断与 AB为直径的圆与右准线的位置关系。