(完整版)初高中数学衔接知识点专题(一)数与式的运算

初高中数学衔接知识点专题（一）
★ 专题一 数与式的运算
【要点回顾】 1．绝对值
[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔
．
2．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=
[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]
33a b =- (立方差公式)
说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式
[1]
0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：
(1) 2
= ；
(2)
= ；
(3) = ；
(4)
= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a
的平方根，记作0)x a =≥，其
(0)a ≥叫做a 的算术平方根．
[3]立方根的概念： 叫做a
的立方根，记为x =4．分式
[1]分式的意义 形如
A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A
B
具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式
A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A
B
就叫做繁分式，如2m n p m n p
+++，
说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
【例题选讲】
例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．
例2 计算：
（1）2
2
1()3
x +
（2）2211111()()5225104
m n m mn n -
++
（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222
(2)()x xy y x xy y ++-+
例3 已知2
310x x -==，求3
3
1
x x +的值．
例4 已知0a b c ++=，求
111111
()()()a b c b c c a a b
+++++的值．
例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
（1）
（2）
1)x ≥
（3） （4）
例6 设
x y ==
，求33
x y +的值．
例7 化简：（1）11x
x x x x -+
- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+
（1）解法一：原式=22
2(1)1
1(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1
(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
++====
-⋅-+-++-
-+-⋅ （2）解：原式=222
3961161
(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)
x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--
22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)
x x x x x x x x x x +-------===+-+-+
说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；
(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 ．
【巩固练习】
1． 解不等式 327x x ++-<
2．
设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．
3． 当2
2
320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22
a b a b b a ab
+--的值．
4．
设x
=
，求42
21x x x ++-的值．
5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-
6．化简或计算：
(1)
3÷ (2)
(3)
(4) ÷
1
A 0 C |x －1|
|x －3|
● 各专题参考答案 ●
专题一数与式的运算参考答案
例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；
①若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <； ②若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >．综上所述，原不等式的解为13x <<．
解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．
解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．
（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =； ①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；
③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．
解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x ＜0，或x
＞4．
例2（1）解：原式=2
21[()
]3
x +
+222
22
2
1
11()()()2(22()3
33
x x x x =+
+++⨯
+⨯⨯
43
28139
x x x =-+-
+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
（2）原式=3333
1111()()521258m n m n -=
-
（3）原式=24222336
(4)(44)()464a a a a a -++=-=-
（4）原式=2
2
22
2
2
2
()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3
32
6
3
3
6
()2x y x x y y =+=++ 例3解：2
310x x -==Q 0x ∴≠ 13x x
∴+= 原式=222
2
1111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x
+-+
=++-=-= 例4解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-Q
∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab
+++⋅+⋅+⋅222()()()
a a
b b
c c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ①
33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+Q
3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abc
abc
-=-
例5解：（
1）原式
6==- （2）原式=(1)(2)2 3 (2)
|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)
x x x x x x x x -+-=->⎧-+
-=⎨---=≤≤⎩
说明：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
（3）原式ab =
（4） 原式===
例6解：2
2
(277 14,123x y x y xy ===+=-⇒+==- 原式=2222
()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 【巩固练习】
1．43x -<< 2． 3．3-或2 4．3
5．4
4
4
2
2
22
22
222x y z x y x z y z ---+++ 6．()()((13,2,3,43-。