(完整版)初高中数学衔接知识点专题(一)数与式的运算

初高中数学衔接知识点专题（一）

★ 专题一 数与式的运算

【要点回顾】 1．绝对值

[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔

．

2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=

[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]

33a b =- (立方差公式)

说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式

[1]

0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：

(1) 2

= ；

(2)

= ；

(3) = ；

(4)

= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a

的平方根，记作0)x a =≥，其

(0)a ≥叫做a 的算术平方根．

[3]立方根的概念： 叫做a

的立方根，记为x =4．分式

[1]分式的意义 形如

A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A

B

具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式

A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A

B

就叫做繁分式，如2m n p m n p

+++，

说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

【例题选讲】

例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．

例2 计算：

（1）2

2

1()3

x +

（2）2211111()()5225104

m n m mn n -

++

（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222

(2)()x xy y x xy y ++-+

例3 已知2

310x x -==，求3

3

1

x x +的值．

例4 已知0a b c ++=，求

111111

()()()a b c b c c a a b

+++++的值．

例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

（1）

（2）

1)x ≥

（3） （4）

例6 设

x y ==

，求33

x y +的值．

例7 化简：（1）11x

x x x x -+

- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+

（1）解法一：原式=22

2(1)1

1(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1

(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

++====

-⋅-+-++-

-+-⋅ （2）解：原式=222

3961161

(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)

x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--

22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)

x x x x x x x x x x +-------===+-+-+

说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；

(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 ．

【巩固练习】

1． 解不等式 327x x ++-<

2．

设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．

3． 当2

2

320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22

a b a b b a ab

+--的值．

4．

设x

=

，求42

21x x x ++-的值．

5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-

6．化简或计算：

(1)

3÷ (2)

(3)

(4) ÷

1

A 0 C |x －1|

|x －3|

● 各专题参考答案 ●

专题一数与式的运算参考答案

例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；

①若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <； ②若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >．综上所述，原不等式的解为13x <<．

解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．

解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．

（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =； ①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x ＜0，或x

＞4．

例2（1）解：原式=2

21[()

]3

x +

+222

22

2

1

11()()()2(22()3

33

x x x x =+

+++⨯

+⨯⨯

43

28139

x x x =-+-

+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

（2）原式=3333

1111()()521258m n m n -=

-

（3）原式=24222336

(4)(44)()464a a a a a -++=-=-

（4）原式=2

2

22

2

2

2

()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3

32

6

3

3

6

()2x y x x y y =+=++ 例3解：2

310x x -==Q 0x ∴≠ 13x x

∴+= 原式=222

2

1111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x

+-+

=++-=-= 例4解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-Q

∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab

+++⋅+⋅+⋅222()()()

a a

b b

c c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ①

33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+Q

3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abc

abc

-=-

例5解：（

1）原式

6==- （2）原式=(1)(2)2 3 (2)

|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)

x x x x x x x x -+-=->⎧-+

-=⎨---=≤≤⎩

说明：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．