2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版
全国高二数学 联合竞赛预赛试题（湖北省）新人教版说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=4022 ．3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈．4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．5．设z 是模为2的复数，则1||z z-的最大值与最小值的和为 4 ． 6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3|23||1||23|2x y y y x a -++-+--≤恒成立，则实数a 的最小值为232．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||2x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =.------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++.------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分（2）显然111113424a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++.------------------------------------------20分11．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. （1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．解 （1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l 上，所以133k b -=+，故11)3b =-+.联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kbx x k +=-+，21222421b x x k -=+， 212122242()222121k b by y k x x b b k k +=++=-+=++，222221212121222244()()()()2121b kby y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++222421b k k -=+------------------------------------------6分因为11(1)QA x y =-，22(1)QB x y =-，所以11221212(2,1)(2,1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =----=+--12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++222222224442()2121212121b kb b k b k k k k --=-++-+++++2221[3221)1]21b k b k =++--+222112[1)21)1]2133k k =++-+--+ ＝0，所以QA QB ⊥，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.如果直线l 的斜率不存在，则A 、B两点的坐标为，容易验证∠AQB ＝90°也成立. 因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB ＝90°，所以△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在，易求得△QAB的面积为3S =.如果直线QA 和QB 的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为(1y m x =+，代入椭圆C 的方程，消去y，得222(21)41)1)40m x m x +--+--=，则||QA ==. 又QB ⊥QA ，所以，同理可求得221|()1|||||122()1m m QB m m-+==+-+.--------------------------16分于是，△QAB 的面积为11||||22S QA QB ==⋅22222222|1|||)|4(1)4(1)(21)(2)2(1)m m m m m m m m m +⋅-+=⋅+⋅=⋅+⋅++++222221||1142()1mmm m m m -+++=⋅++. 令22212cos ,sin 11m m m m θθ-==++，则21|sin |2412sin 4S θθθ+=⋅+.注意到13sin||sin()|22θθθϕ+=+≤=，212sin24θ+≥，且等号不能同时取得，所以32432S<⋅=. ------------------------------------------20分。
2007年全国高中数学联赛湖北省预赛
( 1) 证明 : Q 是线段 MN 的中点 ; (2) 分别过点 M 、 N 作双曲线的切线 l 1 、
l 2 ,证明 : 三条直线 l 、 l1 、 l 2 相交于同一点 ;
根据题设条件可知 π π π 8 f( ) =f(+ 3π) = f ( - ) 3 3 3
= - f( 4. C.
6. 使得 3 + 81 是完全平方数的正整数 ) 个. n 有 ( (A) 0 (B) 1 ( C) 2 (D) 3
3 2 AB , AP = AD + BC . 4 5
S △A PD ). 则 = ( S △ABC
二、 填空题 ( 每小题 9 分 ,共 54 分)
7 ( C) 15 8 (D) 15 7. 设 [ x ]表示不大于 x 的最大整数 ,集合
(3) 设 P 为直线 l 上一动点 , 过 P 作双
π π 3 ) = - sin = . 3 3 2
曲线的切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B ,证明 : 点 Q 在直线 AB 上 .
14. 已知数列{ an }满足
an + 1 =
如图 1 , 易知 AC ⊥平 面 D1 B 1 BD . 设
5. 有编号分别为 1 ,2 ,3 ,4 ,5 的 5 个红球
和 5 个黑球 ,从中取出 4 个 . 则取出的球的编 ). 号互不相同的概率为 (
(A) 5 21
n
2. 设 D 为 △ABC 的边 AB 上一点 , P 为
(B)
2 7
( C)
1 3
(D)
8 21
△ABC 内一点 ,且满足
AD =
1 x < 2 < 8 的解为 - 3 < x < 3 , 8
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案
球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于(
).
解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点 A 所在 的三个面上，即面 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上；另一类在不过顶点 A 的三个面上，即面 BB1C1C、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上.在面 AA1B1B 上，交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆上，
任意的 x∈R，af(x)+bf(x-c)=1，由此得
.
一般地，由题设可得
，
且
，于是 af(x)+bf(x-c)=1 可化为
，即
，c=π，则对 ，其中
，所以
.
由已知条件，上式对任意 x∈R 恒成立，故必有
，
若 b=0，则由(1)知 a=0，显然不满足(3)式，故 b≠0.所以，由(2)知 sinc=0，故 c=2kπ+π 或 c=2kπ(k∈Z).当 c=2kπ 时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾，故 c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=-1.
1.如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠APC=60°，则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为( B)
A. B. C. D.
解：如图，在侧面 PAB 内，作 AM⊥PB，垂足为 M.连结 CM、AC，则∠AMC 为二面角 A-PB-C
的平面角.不妨设 AB=2，则
上是增函数，在
，设
，
上是减函数，且 y=g(x)的图像关于直线
对称，则对任意
，存在
，使 g(x2)=g(x1).于是
，而 f(x)在
上是减
函数，所以
，即 f(x)在
上的最小值是 .
12.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内，每个小方格内至多 填 1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有(3960)种(用数字作答).
2007年全国高中联赛二试
2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。
过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。
O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。
求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。
二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。
如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。
现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。
问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++511 1iikm，其中[a]表示不大于a的最大整数。
求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。
2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。
求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。
证明：连结BP 、CP 、O 1O 2、EO 2、EF 、FO 1。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，故B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为O 1是△BDF 的外心，故O 1在BP 上且是BP 的中点。
同理可证C 、D 、P 、E 四点共圆，且O 2是的CP 中点。
综合以上知O 1O 2∥BC ，所以∠PO 2O 1=∠PCB 。
因为AF·AB=AP·AD=AE·AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
2007年全国高中数学联赛
2007 年第 12 期
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如图 2 的 16 个小方格内 , 每 个小 方 格 内 至 多 填 1 个 字 母 . 若使相同字母既不同行 也不同列 , 则不同的填法共 图2 有 种 ( 用数字作答) . 三、 解答题 (每小题 20 分 ,共 60 分) n 1 13. 设 an = ∑ . 求证 : 当正 ( ) k =1 k n + 1 - k 整数 n ≥ 2 时 , an + 1 < a n . 14. 已知过点 ( 0 ,1 ) 的直线 l 与曲线 C : 1 y = x + ( x > 0) 交于两个不同点 M 、 N. 求
6. 已知 A 、 B 是集合 {1 ,2 , …,100} 的两 个子集 , 满足 A 与 B 的元素个数相同 , 且 A ∩B 为空集 . 若 n ∈A 时 ,总有 2 n + 2 ∈B ,则 ). 集合 A ∪B 的元素个数最多为 ( (A) 62 (B) 66 ( C) 68 (D) 74 ( 二、 填空题 每小题 9 分 ,共 54 分) 7. 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 , 有 四 个 定 点 A ( - 3 ,0) 、 B (1 , - 1) 、 C ( 0 ,3 ) 、 D ( - 1 ,3 ) 及 一个动点 P. 则| PA | + | PB | + | PC| + | PD | 的最小值为 . 8. 在 △ABC 、 △A EF 中 , B 是 EF 的 中 点 , AB = EF = 1 , BC = 6 , CA = 33 . 若 AB ・ AE + AC ・ AF = 2 , 则 EF 与 BC 的夹角的余 弦值等于 . 9. 已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C1 D1 的棱
2007年湖北卷数学(理科)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工农医类）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.1. 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 A.3 B.5 C.6 D.10 2.将⎪⎭⎫⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为 A.243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y B. 243cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y C. 2123cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y D. 2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y 3.设P 和Q 是两个集合，定义集合P-Q={}Q x P x x ∉∈且,|，如果P={x|log 2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q 等于A ．{x|0<x<1} B.{x|0<x ≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3} 4.平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m ＇和n ＇，给出下列四个命题：①m ＇⊥n ＇⇒m ⊥n; ②m ⊥n ⇒ m ＇⊥n ＇③m ＇与n ＇相交⇒m 与n 相交或重合； ④m ＇与n ＇平行⇒m 与n 平行或重合. 其中不正确的命题个数是A.1B.2C.3D.45.已知p 和q 是两个不相等的正整数，且q ≥2,则=-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→111111lim q pn n n A ．0 B.1 C.qp D.11--q p6.若数列{a n }满足∈=+，n p p a a nn 为正常数(221N*),则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列.则A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线C 1：12222=-by a x （a>0,b>0）的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛物线C 2的准线为l ，焦点为F 2.C 1和C 2的一个交点为M ，则||||||||21121MF MF MF F F -等于 A.-1 B.1 C.21-D.218.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ，则使得nn b a 为整数的正整数n 的个数是A.2B.3C.4D.59.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127 D 65 10.已知直线1=+bya x （a,b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A.60条B.66条C.72条D.78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数y=2x-a 的反函数是y=bx+3,则 a= ;b= .12.复数z=a+bi,a,b ∈R,且b ≠0,若z 2-4bz 是实数，则有序实数对（a,b ）可以是 .(写出一个有序实数对即可)13.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+≥+-.32,0,03x y x y x 则目标函数2x+y 的最小值为 .14.某篮球运动员在三分线投球的命中率是21，他投球10次，恰好投进3个球的概率 .（用数值作答）15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y与t 的函数关系式为at y -⎪⎭⎫⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.三、解答题：本大题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 的面积为3，且满足0≤∙≤6，设和的夹角为θ. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f (θ)=2sin 2θθπ2cos 34-⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最大值与最小值.17.（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图； （Ⅱ）估计纤度落在[)50.1,38.1中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[)34.1,30.1的中点值是1.32）作为代表. 据此，估计纤度的期望.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥V -ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ， D 是AB 的中点，且AC =BC =a ，∠VDC =θ⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ. （Ⅰ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取 值范围.19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2=2px (p >0)相交于A 、B 两点.（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点， 求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）20.（本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数f (x )=21x 2+2ax ，g (x )=3a 2ln x +b ，其中a >0.设两曲线y =f (x )，y=g (x )有公共点，且在该点处的切线相同. （Ⅰ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （Ⅱ）求证：f (x ) ≥g (x ) (x>0).21.（本小题满分14分） 已知m ，n 为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x >-1时，(1+x )m ≥1+mx ；（Ⅱ）对于n ≥6，已知21311<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n ，求证mn n m ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2131，m =1,1,2…，n ；（Ⅲ）求出满足等式3n +4m +…+(n +2)m =(n +3)n 的所有正整数n .2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。
2007年普通高等学校招生全国统一考试-数学(理)-湖北
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ） Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ） Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题： ①m n m n ''⊥⇒⊥； ②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ．12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 13．设变量x y ，满足约束条件02 3.x y x +⎧⎨-⎩≥，≤≤则目标函数2x y +的最小值为．14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．（本小题满分12分） 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点． （I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）． 21．（本小题满分14分） 已知m n ，为正整数，VAx（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132mm m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132m mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)nnn m n n ++++=+的所有正整数n ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于 1.40的概率约为10.040.250.300.442++⨯=．（Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点，样本数据CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，sin 2θϕ=． π02θ<<∵， 0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 22a a C A a B a D V θ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a aVD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，nn ··． ADBCHV得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是sin BC BCa ϕθ===n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000D A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，0tan V θ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，于是0tan DV a θ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，，00DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB =，，．从而(00)ABDC =，，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan 022ABDV a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，·，即AB DV ⊥． 又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x yz =，，n ，则由00ABDV ==，··n n ，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)θ=，，n ，又022BC a ⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan 2sin sin 2BC a BCθϕθ===n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴， 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法4：以CA CB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a a C A a B a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，．设(00)(0)V t t >，，．（Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，， (0)(00)0000AB CV a a t =-=++=，，，，··，即AB CV ⊥．22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ， 设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩，，，，，，，，，，n n ····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)CB a =，，，于是sin CB CBa ϕ====···n n(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t 递增． 0sin ϕ<<∴π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p ==∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴221111()(244y p a y =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-==2= 又由点到直线的距离公式得d =．从而112222ABN S d AB p ===△···∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=， 则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-== 令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是 当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为20x ≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1k x kx ++≥，则当1m k =+时，1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，所以1(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．（Ⅱ）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033m m n n ⎛⎫+-> ⎪++⎝⎭≥， 于是11133n nm m n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≤11132mn m n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12m n =，，，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，2121111111113332222n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2131333n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 即34(2)(3)n n n n n n ++++<+．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．故只需要讨论12345n =，，，，的情形：当1n =时，34≠，等式不成立；当2n =时，222345+=，等式成立；当3n =时，33333456++=，等式成立；当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，故4444434567+++≠，等式不成立； 当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n 只有23n =，．解法2：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当1x >-，且0x ≠时，2m ≥，(1)1m x mx +>+． ① （ⅰ）当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为0x ≠，所以20x >，即左边>右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1k x kx +>+，则当1m k =+时， 因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以20kx >． 于是在不等式(1)1kx kx +>+两边同乘以1x +得 2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，所以1(1)1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132n n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭∵，11132nm m n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴， 而由（Ⅰ），111033mm n n ⎛⎫--> ⎪++⎝⎭≥， 1111332n n m m m n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴≤． （Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式00000034(2)(3)n n n n n n ++++=+成立， 即有00000002341333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ② 又由（Ⅱ）可得0000000234333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0000000011111333n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 00011111112222n n n -⎛⎫⎛⎫<+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与②式矛盾． 故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ． 下同解法1．。
2007年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案[www.3edu.net]
![2007年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案[www.3edu.net]](https://img.taocdn.com/s3/m/31819456a417866fb84a8ed5.png)
2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，做PF ⊥AB ，垂足为F 。
O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。
求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。
二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。
如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。
现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。
问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
三、（本题满分50分）设集合P ={1，2，3，4，5}，对任意k ∈P和正整数m ，记f (m ，k )=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++5111i i k m ，其中[a ]表示不大于a 的最大整数。
求证：对任意正整数n ，存在k ∈P 和正整数m ，使得f (m ，k )=n 。
2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。
求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。
证明：连结BP 、CP 、O 1O 2、EO 2、EF 、FO 1。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，故B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为O 1是△BDF 的外心，故O 1在BP 上且是BP 的中点。
同理可证C 、D 、P 、E 四点共圆，且O 2是的CP 中点。
综合以上知O 1O 2∥BC ，所以∠PO 2O 1=∠PCB 。
2007年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2007年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2007*1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，060=∠APC ，则二面角C PB A --的平面角的余弦值为A.71 B.71- C.21 D.21-◆答案：B★解析：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A−PB−C 的平面角。
不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。
在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。
2007*2、设实数a 使得不等式2232a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,41 D.[]3,3-◆答案：A★解析：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。
由对称性排除C ，从而只有A 正确。
一般地，对R k ∈，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的R k ∈成立。
由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。
2007*3、将号码分别为9,,2,1 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于A.8152 B.8159 C.8160 D.8161◆答案：D ★解析：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为8192=个。
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为( )A. B. C. D.2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( )A. B. C. D.[-3，3]3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+10＞0成立的事件发生的概率等于( )A. B. C. D.4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( )A. B. C.-1 D.15.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( )6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为( )A.62B.66C.68D.74二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________.8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于________.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________.10.已知等差数列{a n}的公差d不为0，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数.若2，且是正整数，则q等于________.a11.已知函数，则f(x)的最小值为________.12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种(用数字作答).三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.设，求证：当正整数n≥2时，a n+1＜a n.14.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数f i(x)(i=1，2，3，4)满足：(1)对i=1，2，3，4，f i(x)是偶函数，且对任意的实数x，有f i(x+π)=f i(x)；(2)对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为( B )A. B. C. D.解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M.连结CM、AC，则∠AMC为二面角A-PB-C 的平面角.不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得.在△AMC中，由余弦定理得.2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( A )A. B. C. D.[-3，3]解：令，则有，排除B、D.由对称性排除C，从而只有A正确.一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立.由于，所以，从而上述不等式等价于.3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于( D )A. B. C. D.解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个.由不等式a-2b+10＞0得2b＜a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为.4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( C )A. B. C.-1 D.1解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x-c)=2，于是取，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x-c)=1，由此得.一般地，由题设可得，，其中且，于是af(x)+bf(x-c)=1可化为，即，所以.由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0.所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z).当c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾，故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=-1.由(1)、(3)知，所以.5.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( A )解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线(当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆).当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1-r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D.由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A.6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为( B )A.62B.66C.68D.74解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B.证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个.由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B.如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66.二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为().解：如图，设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|A C|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值.8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于().解：因为，所以，即.因为，，，所以，即.设与的夹角为θ，则有，即3cosθ=2，所以.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于().解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则.同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条.在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为.这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长为.10.已知等差数列{a n}的公差d不为0，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数.若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于().解：因为，故由已知条件知道：1+q+q2为，其中m为正整数.令，则.由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知.11.已知函数，则f(x)的最小值为().解：实际上，设，则g(x)≥0，g(x)在上是增函数，在上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线对称，则对任意，存在，使g(x2)=g(x1).于是，而f(x)在上是减函数，所以，即f(x)在上的最小值是.12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有(3960)种(用数字作答).解：使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种.所以，符合题设条件的填法共有722-72-16×72=3960种.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.设，求证：当正整数n≥2时，a n+1＜a n.证明：由于，因此，于是，对任意的正整数n≥2，有，即a n+1＜a n.14.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(x p，y p).若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1.由方程组消去y，得，即(k-1)x2+x-1=0.由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k-1)>0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得.对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为…(4).同理可求得直线l2的方程为…(5).(4)-(5)得，因为x1≠x2，故有…(6).将(2)(3)两式代入(6)式得x p=2.(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得2y p=(3-2k)x p+2，而x p=2，得y p=4-2k.又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段(不含端点).15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数f i(x)(i=1，2，3，4)满足：(1)对i=1，2，3，4，f i(x)是偶函数，且对任意的实数x，有f i(x+π)=f i(x)；(2)对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.证明：记，，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x).令，，，，其中k为任意整数.容易验证f i(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，f i(x+π)=f i(x)，i=1，2，3，4.下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x).当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x).下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).当时，显然成立；当x=kπ时，h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，，故，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x.于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).综上所述，结论得证.。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖北.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷上无效． 3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．tan690°的值为（ ）Ａ．Ｄ．2．如果{}|9U x x =是小于的正整数，{}1234A =，，，，{}3456B =，，，，那么U UAB =（ ）Ａ．{}12，Ｂ．{}34，Ｃ．{}56，Ｄ．{}78，3．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．10Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3 ４．函数21(0)21x x y x +=<-的反函数是（ ）Ａ．21log (1)1x y x x +=<-- Ｂ．21log (1)1x y x x +=>-Ｃ．21log (1)1x y x x -=<-+ Ｄ．21log (1)1x y x x -=>+5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱11AA BB ，的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)A G λλ=≤≤．则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）1D1C本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ） A ．300 B ．360 C ．420 D ．4507．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ） A ．1564B ．15128C ．24125D ．481258．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1B．CD ．39．设(43)=，a ，a 在b，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ） A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，10．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题： ①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是q 的必要条件而不是充分条件； ④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是（ ） A ．①④⑤ B ．①②④ C ．②③⑤ D ．②④⑤二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．设变量x y ，满足约束条件300x y x y -+⎧⎪+⎨≥，≥，则目标函数2x y +的最小值为 ．54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5kg ）12．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为______．13．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为 ．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为．（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠．（I ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（II ）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．18．（本小题满分12分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（I ）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （II ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 19．（本小题满分12分）设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．（I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小．并说明理由． 20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，n b =*n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列．（I ）证明：22n n a a q +=；（II ）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列； （III ）求和：1234212111111n na a a a a a -++++++．在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点． （I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．32-12．8 13．314．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．x又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 依题意π6CBH ∠=，所以在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 在BHC Rt △中，πsin62a CH a ==，sin 2θ=∴． π02θ<<∵，π4θ=∴． 故当π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法2：（Ⅰ）以CACB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a aVD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)000a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 002222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，··nn ．得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是πsin 62BC BC a θ===n n ···即sin 2θ=π02θ<<∵，π4θ∴=． 故交π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000D A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，0tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB =，，．从而(00)AB DC =，，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan 0ABDV θ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，，，·，即AB DV ⊥．又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV ==，··n n，得0tan 0θ=⎨+=⎪⎩，． 可取(tan 01)n θ=，，，又022BC a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan π2sin 62BC BC a θθ===n n ···， 即πππsin 0224θθθ=<<，，∵∴=． 故交π4θ=时， 即直线BC 与平面VAB 所成角为π6． 18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ， 则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+，又由已知条件，2242k=·，于是有6k =， 所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，． （Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---．故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大．19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力． 解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，A则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，令2()2h a a =．当a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-时，20()(32(32(17h a h <<-=-=-121617122=<+，即1(0)(1)(0)16f f f -<．解法2：（I ）同解法1． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g ga -==，由（I ）知03a <<-，1170-<<∴．又10+>，于是221112(321)1)0161616a a -=-=-+<， 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，0133a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a 的取值范围是(03-，． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（I ）证：由1n n b q b +=n q ==，∴ 22()n n a a q n +=∈N*． （II ）证：22n n a q q -=，22221231n n n a a q a q ---∴===，222222n n n a a q a q --===，22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．{}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）得2221111n n q a a --=，222211nn q a a-=，于是 1221321242111111111n n n a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+++=+++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24222422121111111111n n a q qq a q qq --⎛⎫⎛⎫=+++++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122311112n q qq -⎛⎫=++++⎪⎝⎭． 当1q =时，2422122111311112n n a a a q qq -⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭32n =． 当1q ≠时，2422122111311112n n a a a q qq -⎛⎫+++=++++⎪⎝⎭223121n q q --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭2222312(1)n n q q q -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦． 故21222223121111 1.nn n n q q a a a q -⎧=⎪⎪+++=⎨⎡⎤3-⎪≠， ，，解法2：（I ）同解法1（I ）． （II ）证：222*1212221221221222()22n n n n nn n n n nc a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++N ，又11225c a a =+=， {}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）的类似方法得222221212()3n n n n a a a a qq ---+=+=， 34212121221234212111n nn n na a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，2222212442123322k k k k k k k a a q qa a q --+---+==，12k n =，，，． 2221221113(1)2n k q q a a a --+∴+++=+++．下同解法1．21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122AMN BCN ACN S SS p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p==，∴当0k =，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ， 则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵，111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-==2=又由点到直线的距离公式得d =从而112222ABN S dAB p ===△···∴当0k =时，2max ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．。
2007-2011全国高中数学联赛试题和答案
1． 若函数()21x f x x =+且()()()n nfx f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】110【解析】()()()121x f x f x x ==+，()()()2212x fx f f x x ==⎡⎤⎣⎦+，……，()()992199x fx x =+．故()()991110f=． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36，【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得342d ≤．解得36a ≤≤． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++ 【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++ 4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a b a b +【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，． 由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OPOQ+=+． F ED CB AO yx于是当22222a b OP OQ a b ==+时，OP OQ 达到最小值22222a b a b+． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．【答案】 0k <或4k = 【解析】 当且仅当 0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，221242x k k k ⎡⎤=-±-⎣⎦ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩，所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩，所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩，所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d = (ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯=……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+ 故981001012a =⨯． 二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k x kmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② …………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得2323m -<<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得33k -<<．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和． 【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以 ()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1nn a n α=+；……………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--． 于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++． 特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212nn a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得121A A ==．故 ()1nn a n α=+．…………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n nn a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得 12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩， 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故 1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数2713y x x x =++-+的最大和最小值． 【解析】 函数的定义域为[]013，.因为 ()27132713213y x x x x x x =+++-=+++-2713+≥3313=+当0x =时等号成立．故y 的最小值为3313+．……………………5分又由柯西不等式得()222713y x x x=+++- ()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-=⎪⎝⎭≤所以11y ≤． …………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．……………………………………15分一、如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC ⌒ 、AC ⌒的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB ⌒（不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，ITQPNMCBA求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =． 于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1sin 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1sin 2PN NT PMT =⋅∠于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，I 2I 1ABCMNPQ TI所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠． 因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．二、求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式：⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x =+-+．则对0x >，1()101h x x'=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =， 121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n =-<+ 因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k kn k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑ 1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n =-+>-． 三、设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C km 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1km l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：p ／∣C km ． 若p ／∣k !，则由1!C ()k kmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i tl k =≡+∏1ki i =≡∏ ()1!mod k p α+≡．及|!p k α，且p α+1／∣k !，知|!C k m p k α且1α+p／∣!C k m k ．从而p ／∣C k m ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1km l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：p ／∣C km ． 若p ／∣k !，则由 1!C ()==-+∏k kmi k m k i 21[((!)]k i i tl k =≡+∏ 1ki i =≡∏ ()!mod k p ≡．即p 不整除上式，故p ／∣C km ． 若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!pk α+Œ．12|(!)p k α+．故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏ 21[((!)]ki i tl k =≡+∏ 1k i i =≡∏()1!mod k p α+≡,及|!p k α，且p α+1／∣k !，知|!C kmp k α且1α+p／∣!C km k ．从而p ／∣C k m．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---12(2)2x x≥⋅⋅--2=，当且仅当122x x =--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ D ）[解] 因240x ax --=有两个实根21424a a x =-+，22424a a x =++， 故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即24224a a -+≥-且24424a a ++<， 解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ）[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 22215()()339+=． 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． [解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=， 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． 4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564ab c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394ca b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a=，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a=无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =． 若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） [解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)nn n n f x a x aaa b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =23-+．[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----， (1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -；(2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3)22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-， 故2112122a a ---=-，解得23a =-+，23a =--(舍去)． 9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)nn n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =112(1)nn n -+．[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅，因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+．[解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，答12图1答12图2所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是723．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111P O A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心． 因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅ 111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则 222211(3)22PP PO OP r r r =-=-=． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如答12图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有113cos 2262PM PP MPP r r =⋅=⋅=，故小三角形的边长1226PE PA PM a r =-=-． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB P EF S S ∆∆-223((26))4a a r =--23263ar r =-． 又1r =，46a =，所以124363183PAB PEF S S ∆∆-=-=． 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈．…5分 由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=．…10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα= …15分 22cos sin 4sin cos αααα+= 21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式:121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122++++<+x x x x x ．即 1210864353210+++--<x x x x x ． …5分 分组分解12108x x x +-1086222x x x ++-864444x x x ++-642x x x ++-4210++-<x x ，864242(241)(1)0+++++-<x x x x x x ，…10分所以 4210+-<x x ，221515()()022---+--<x x ． …15分 所以2152-+<x ，即152-+-<152-+<x ． 故原不等式解集为5151(,)22--． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122++++<+x x x x x ． …5分即6422232262133122(1)2(1)+>+++++=+++x x x x x x x x， )1(2)1()1(2)1(232232+++>+x x xx ， …10分答15图令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)>+g g x x， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211>+x x， …15分 即222()10+-<x x ，解得2512-<x 故原不等式解集为5151(,)22--． …20分 15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >． 直线PB 的方程:00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=． 又圆心(1,0)到PB 的距离为1，0022001()y b x b y b x-+=-+ ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=， 同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-． 因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--2448≥+=． 当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,22x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分 一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：32AE AB =，31BC EC =-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． …10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）记E C B α∠=，则2E C Aα∠=，由正弦定理有sin 23sin 32AE AB αα==，从而3s i n 32s i n 2αα=，即33(3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos4cos 30αα--=， …30分解得3cos 2α=或1cos 23α=-（舍去），故30α=，60ACE ∠=．由已知31BCEC=-=()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠，即31sin cos (31)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=-∠，整理得 231sin cos 22EAC EAC -∠=∠， 故1tan 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=，………40分从而45E ∠=，45DAC DCA E ∠=∠=∠=，ADC ∆为等腰直角三角形．因2AC =，则1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故2BC =，212212cos1355BD =+-⋅⋅=，5BD =．故min ()5210f P BD AC =⋅=⋅=． …50分[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在圆O 外，故0P 在BD上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC ∆之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=， 则对平面上任意点M ，有0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A P C A B =⋅+⋅+⋅ 1112A BC S ∆=答一图1111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=， 记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 23sin 32AE AB αα==，从而3sin 32sin 2αα=，即33(3sin 4sin)4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos4cos 30αα--=， …30分解得3cos 2α=或1cos 23α=-（舍去），故30α=，60ACE ∠=．由已知31BCEC=-=()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠，即31sin cos (31)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=-∠， 整理得231s i n c o s 22EAC EAC -∠=∠，故1t a n 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=，…40分所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，2AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在⊙O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，1112212cos1355B C BD ==+-⋅⋅︒=，故52λ=，所以 min 5()21102f P =⋅⋅=． …50分 二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明：（Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期；（Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)n a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得 1ma nb +=．于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期．…10分又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期．…20分（Ⅱ）若T 是无理数，令 111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令 21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， ……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， ………30分 由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a TT ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k kk a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、（本题满分50分） 设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n kn kk n k k k x x a xa x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为2008111()n n k n kn k k x x a xx -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-． …10分由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()kk b aa x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811kk a=>∑． …20分充分性：假设200811kk a=>∑．定义多项式函数如下：20081()1kk k f s a s==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．…30分 下取数列{}n x 为01nk n k x s==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nk nk s s x s s +=-==-∑．因001s <<，故10lim 0n n s+→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011k k k a s==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a ss a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ）解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
2007年全国高中数学联合竞赛(一试)
2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．如图，在正四棱锥P−ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A−PB−C 的平面角的余弦值为A ．71B ．71-C ．21D ．21-2．设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是A ．]31,31[-B ．]21,21[-C ．]31,41[-D ．[−3，3]3．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于A ．8152 B ．8159 C ．8160 D ．8161 4．设函数f （x ）=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af （x ）+bf （x−c ）=1对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于 A ．21-B ．21 C ．−1 D ．15．设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是6．已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为A ．62B ．66C ．68D ．74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．在平面直角坐标系内，有四个定点A （−3，0），B （1，−1），C （0，3），D （−1，3）及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8．在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________。
2007年高考数学试题湖北卷(理科)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10答案：选Ｂ解析：由展开式通项有()21323rn rrr n T C xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2532r r n r n rn C x --=⋅⋅-⋅ 由题意得()52500,1,2,,12n r n r r n -=⇒==- ，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，故选Ｂ点评：本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求。
本题中“ 非零常数项”为干扰条件。
易错点：将通项公式中r n C 误记为1r n C +，以及忽略0,1,2,,1r n =- 为整数的条件。
2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ） Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭答案：选Ａ解析：法一 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点()''',P x y ，(),P x y ，则π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a ()''',P P x x y y ==--'',24x x y y π⇒=+=+，带入到已知解析式中可得选Ａ法二 由π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移的意义可知，先向左平移4π个单位，再向下平移2个单位。
点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为简单题。
易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移4π个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ） Ａ．{}|01x x <<Ｂ．{}|01x x <≤A BC D A 1B 1C 1D 1 Ｃ．{}|12x x <≤ Ｄ．{}|23x x <≤答案：选Ｂ解析：先解两个不等式得{}02P x x =<<，}{13Q x x =<<。
2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1. 已知,a b 是方程3274log 3log (3)3x x +=-的两个根，则a b += （ ） A. 1027B. 481C. 1081D. 28812. 设D 为△ABC 的边AB 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足34AD AB =,25AP AD BC =+ ，则APD ABCSS =△△ ( )A. 310B. 25C. 715D. 8153. 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,2π)时，()sin f x x =，则8()3f π的值为 ( )A.B.C. 12D. 12-4. 已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM △O B M ，则四面体1O ADM 的体积为 ( )A. 724B. 316C. 748 D. 11485. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( )A. 521.B. 27.C. 13D. 8216. 使得381n +是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个二、填空题：本题共有6小题，每小题9分，共54分，要求直接将答案写在横线上。
7. 设[]x 表示不大于x 的最大整数，集合2{|2[]3}A x x x =-=，1{|28}8x B x =<<，则A B = _________________.8. 若数列{}n a满足：112,3n n a a a +=-=2007a =_______. 9. 设复数123(2)(1)i ,(32)(23)i ,(3)(32)i ,z a b z a b z a b =-+-=+++=-+-其中,a b R ∈，当123z z z ++取得最小值时，34a b +=__________.10. 设(0,)2x π∈，则函数222524sin cos y x x =+的最小值为__________. 11.对于函数()f x =存在一个正数b ，使得()f x 的定义域和值域相同，则非零实数a 的值为__________.12. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点(2,0)P -若过P,A B 两点，交y 轴于M 点，且PM 是PA 与PB 的等比中项，则双曲线的半焦距为__________.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 过点(1,1)Q --作已知直线1:14l y x =+的平行线，交双曲线2214x y -=于点,M N .（1）证明：点Q 是线段MN 的中点.（2）分别过点,M N 作双曲线的切线12,l l ，证明：三条直线12,,l l l 相交于同一点. （3）设P 为直线l 上一动点，过点P 作双曲线的切线,PA PB ，切点分别为,A B .证明：点Q 在直线AB 上.14. 已知数列{}n a 满足递推关系式：21122n n n a a a +=-+，1,n n N ≥∈. （1）若14a =，证明：（ⅰ）当2n ≥时，有12n n a a +≥；（ⅱ）当1n ≥时，有13()2n n n a a +≥.（2）若11a =，证明：当5n ≥时，有111nk kn a =<-∑.15. 求所有的正整数n ，使得36n +是一个完全平方数，且除了2或3以外，n 没有其他的质因数.附加：16.(20分)将等差数列{n a }:*4 1 ()n a n n N =-∈中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{n b },求2006b 的值.17．(20分)给定圆P:222x y x +=及抛物线S:24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,,,A B C D ,如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.18.(20分)如图,四边形ABCD 内接于圆,P 是AB 的中点,PE AD ⊥,PF BC ⊥,PG CD ⊥,M 是线段PG 和EF 的交点,求证:ME MF =.x y o AB C D PP19.(20分)若正整数,,m n k 满足:21mn k =+,证明,存在,,,a b c d N ∈,使以下三式:2222,,m a b n c d k ac bd =+=+=+同时成立.2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准1、解 原方程变形为3333log 3log (3)4log (3)log 273x x +=-，即331log 141log 33x x ++=-+. 令31log x t +=，则1433t t +=-，解得121,3t t =-=-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，所以方程的两根分别为19和181，所以1081a b +=. 故选（C ）.2、解 连PD ，则25DP BC =，所以//DP BC ，故ADP B ∠=∠，故1sin 323214510sin 2APD ABCAD DP ADPS S AB BC B ⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠△△. 故选（A ）.3、解：可知8()(3)()()sin 33333f f f f ππππππ=-+=-=-=-= 故选（B ）. 4、解 易知AC ⊥平面11D B BD ，设O 是底面ABCD 的中心，则AO ⊥平面1DO M .因为1111223S BD BM BM S O B B M B M ⋅==⋅=⋅11△DBM △O B M ，所以113BM B M =，故113,44BM B M ==.于是S S S S S =---1111111△DO M D B BD △DD O △O B M △DBM11311112222424=⨯-⨯-⨯=所以11733248V S AO =⋅==11A-O MD △DO M . 故选（C ）. 5、解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.CA 16、解 当4n ≤时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）.7、解 不等式1288x <<的解为33x -<<，所以(3,3)B =-.若x A B ∈ ，则22[]3,33,x x x ⎧-=⎨-<<⎩所以[]x 只可能取值3,2,1,0,1,2---.若[]2x ≤-，则232[]0x x =+<，没有实数解；若[]1x =-，则21x =，解得1x =-； 若[]0x =，则23x =，没有符合条件的解；若[]1x =，则25x =，没有符合条件的解；若[]2x =，则27x =，有一个符合条件的解x =因此，{A B =- .8、解 由1n n a a +-=两边平方得2113()2()n n n n a a a a ++-=+，又2113()2()n n n n a a a a ---=+，两式相减得1111113()(2)2()n n n n n n n a a a a a a a +-+-+---+=-.由112,3n n a a a +=-=22a =，又由递推关系式易知数列{}n a 是单调递增数列，所以110n n a a +--≠，故113(2)2n n n a a a +--+=，即11223n n n a a a +--+=，即112()()3n n n n a a a a +----=，所以数列{}1n n a a +-是以2143a a -=为首项，23为公差的等差数列，所以1422(1)(1)333n n a a n n +-=+-=+，于是121(23)(1)33n a a n n n =++++=+ ，所以200712007(20071)13433523a =⨯⨯+=.9、解：易求得12386i z z z ++=+，，于是123123z z z z z z ++≥++＝10，123z z z ++取得最小值，当且仅当23238123326a a ab b b -+-===-+-，解得75,34a b ==，所以34a b +=12.10、解 因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，设0k >，22222511sin cos 4sin cos cos y k x k x k x x x=++++-k ≥ （1）其中等号成立当且仅当2242223225225sin sin ,sin ,4sin 411cos cos cos cos x k x x x k x k x x x k ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎩⎩成立，此时1=，设61t k =，则4321520t t +-=.而434333221522162(21)2(21)(421)t t t t t t t t t t +-=-+-=-+-++32(21)(842),t t t t =-+++故32(21)(842)0t t t t -+++=，注意到22sin 1,cos 1x x =≤=≤，判断易知满足限制条件的根只有12t =.当12t =时，6164k t==，不等式（1）取得等号.所以函数的最小值为6468=. 11、解 若0a >，对于正数b ，()f x 的定义域为(,][0,)bD a=-∞-+∞ ，但()f x 的值域[0,)A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求.若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为[0,]bD a =-.由于此时max [()]()2b f x f a =-=，故函数的值域A =.由题意，有b a -=0b >，所以4a =-. 12、解 设渐近线的方程为y kx =3=，解得k =线的渐近线方程为y =，故可设双曲线的方程为222x y λ-= (0)λ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB的方程为2)2y x =+，代入双曲线方程消去y ，得234240x x λ---=.当1612(24)0λ∆=++>，即83λ>-时，上面的方程恰有两实根，且121242,(2)33x x x x λ+==-+.由题设可知，2PM PA PB =⋅，可化为12(2)(2)4x x +⋅+=，即12122()44x x x x +++=，即24(2)24433λ-++⋅+=解得2λ=或14λ=.因此，双曲线的方程为2222x y -=或22214x y -=，即2212y x -=或221714x y -=.=13、解 （1）直线MN 的方程为1(1)[(1)]4y x --=--，即1(3)4y x =-，代入双曲线方程2214x y -=，得 236250x x +-=.设1122(,),(,)M x y N x y ，则12,x x 是方程的两根，所以122x x +=-，于是12121(6)24y y x x +=+-=-，故点(1,1)Q --是线段MN 的中点.（2）双曲线2214x y -=的过点1122(,),(,)M x y N x y 的切线方程分别为111:14x xl y y -=，222:14x x l y y -=.联立，得11221,41,4x xy y x x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相加，并将122x x +=-，122y y +=-代入，得114y x =+，这说明直线12,l l 的交点在直线1:14l y x =+上，即三条直线12,,l l l 相交于同一点. （3）设00(,)P x y ，3344(,),(,)A x y B x y ，则,PA PB 的方程分别为3314x xy y -=和4414x x y y -=，因为点P 在两条直线上，所以303014x xy y -=，404014x x y y -=，这表明点,A B 都在直线0014x x y y -=上，即直线AB 的方程为0014x xy y -=.又0014x y =+，代入整理得0()(1)04xx y y --+=，显然，无论0x 取什么值（即无论P 为直线l 上哪一点），点(1,1)Q --都在直线AB 上.14、证明： 因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，故1n n a a +≥，即数列{}n a 为递增数列.（1）（ⅰ）由14a =及21122n n n a a a +=-+可求得236,14a a ==，于是当2n ≥时，6n a ≥，于是221115232(3)0222n n n n n a a a a a +-=-+=-->，即当2n ≥时，12n n a a +>.（ⅱ）由于2n ≥时，12n n a a +>，所以2n ≥时，2211226232n n n n a a ---+>=⋅=⋅. 由21122n n n a a a +=-+可得11212n n n na a a a +=+-. 先用数学归纳法证明下面的不等式成立：13()122n n a >+ （3n ≥）.Ⅰ）当3n =时，33137()122a =>+，结论成立. Ⅱ）假设结论对(3)n k k =≥成立，即13()122k k a ≥+，则结合（ⅰ）的结论可得111332()2()1222k k k k a a ++>≥+>+，即当1n k =+时结论也成立. 综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式13()122n n a >+对一切3n ≥都成立.因此，当3n ≥时，11211122n n n n n a a a a a +=+->-3()2n >，即13()2n n n a a +>.又12136()2a a ==⋅，232314()13.52a a =>⋅=，所以当1n ≥时，有13()2n n n a a +≥.（2）由于11a =，而数列{}n a 为递增数列，故当1n ≥时，有1n a >. 由21122n n n a a a +=-+可得111122n n n a a a +=---，而11a =，于是 111111111111()122222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++=-=-=------∑∑. 下面先证明：当5n ≥时，有121n a n <-- （*） Ⅰ）根据11a =及21122n n n a a a +=-+计算易得134313217,,28128a a a ===， 2512172172171217()22(1)21281281282128a =-+=--⋅，而2171217217391(1)12821281282564-⋅=⋅>，故5124a <-，即当5n =时，结论成立.Ⅱ）假设结论对(5)n k k =≥成立，即121k a k <--.因为2113(1)22n n a a +=-+，而函数213()(1)22f x x =-+在1x >时为增函数，所以212113111(21)2221212(1)k a k k k k+<--+=-+<----， 即当1n k =+时结论也成立. 综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式121n a n <--对一切5n ≥都成立. 于是当5n ≥时，112n a n +<-，故112n n a +<-，所以1111112nk k n n a a =+=-<--∑. 15、解 设236(6)n x +=+，其中x N +∈，则(12)n x x =+.依题意，可设112223,1223,a ba b x x ⎧=⋅⎪⎨+=⋅⎪⎩其中1212,,,a a b b 均为非负整数，于是 2211232312a b a b ⋅-⋅= （1）如果120a a ==，则213312b b-=，这是不可能的.所以12,a a 中至少有一个大于0，于是x 和12x +均为偶数，从而12,a a 均为正整数.若21a =，则211231223bab⋅=+⋅，显然只可能11a =（否则左右两边被4除的余数不相同），此时21363bb =+，显然只能是212,1b b ==，此时6,108x n ==.若22a ≥，则12x +是4的倍数，从而x 也是4的倍数，故12a ≥，此时22112223233a b a b --⋅-⋅= （2）显然122,2a a --中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）. 1）当220a -=，即22a =时， 21123233ba b --⋅= （3）此时120a ->（否则等式左右两边奇偶性不相同），故21b b >.若12b ≥，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能11b =，从而（3）式即2112321b a ---=，它只有两组解1221,11,a b -=⎧⎨-=⎩和1223,12,a b -=⎧⎨-=⎩即123,2,a b =⎧⎨=⎩和125,3,a b =⎧⎨=⎩此时，对应的x 值分别为24和96，相应的n 值分别为864和10368.2）当120a -=，即12a =时， 22122333a b b -⋅-= （4）此时显然220a ->（否则等式左右两边奇偶性不相同），故21b b ≤. 若22b ≥，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故21b ≤. 若20b =，则212233a b --=，只可能10b =，此时24,4,64a x n ===.若21b =，则（4）式即2121231a b ---=，它只有两组解2121,10,a b -=⎧⎨-=⎩和2122,11,a b -=⎧⎨-=⎩即213,1,a b =⎧⎨=⎩和214,2,a b =⎧⎨=⎩此时，对应的x 值分别为12和36，相应的n 值分别为288和1728.因此，符合条件的n 值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.16．解:由于6015=-+n n a a ,故若n a 是3或5的倍数,当且仅当15+n a 是3或5的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+∞)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{n a }的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{n b }的项8个,为:71=b ,112=b ,193=b ,234=b ,315=b ,436=b ,477=b ,598=b ,于是每个区间段中恰有15个{n a }的项,8个{n b }的项,且有k b b r r k 608=-+,k ∈N ,1≤r ≤8.由于2006＝8×250+6,而436=b ,所以1504343250602506062006=+⨯=+⨯=b b . 17．解:圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y有⎩⎨⎧-==+442121y y k y y ,则212212214)()(y y y y y y -+=- 故)4()()()(||22212212212212y y y y x x y y AD -+-=-+-=22221221)1(16])4(1[)(+=++-=k y y y y ,因此)1(4||2+=k AD据等差,BC AD CD AB BC -=+=2,所以63==BC AD 即6)1(42=+k ,22±=k ,则l 方程为122+=y x 或122+-=y x .18．证:作1AF ⊥BC ,1BE ⊥AD (11,E F 为垂足)则1112PE AB PF ==⇒11PE PF =.设P G ∩11E F ＝k ,因11ABF E 共圆,11CF E A C π∠=∠=-∠.故E F ∥CD ⇒PK ⊥11E F ⇒K 是11E F 的中点.(因△P 11E F 为等腰三角形),⇒PEKF 为平行四边形,(因P 、E 、K 、F 为四边形11ABF E 各边中点).⇒ME MF =.(对角线互相平分).19．证:不妨设m n ≤,对k 归纳,1k =时,由于2mn =,则1, 2m n ==,此时有222201,11m n =+=+, 0111k =⋅+⋅,结论成立.设当() 2k r r <≥时结论成立;当k r=时,由21mn r =+ ○1则222111, 11r r r rn r m r n r r +++≥+=≤<=++,故可令*, , (,)n r s m r t s t N =+=-∈○1式成为()()2 1 r t r s r -+=+ ○2,即1rs ts tr --=,两边同加2t 得, ()()21r t s t t --=+ ○3,因为0,r t m -=>故0, s t ->0, s t t r -><, 由归纳假设知,对于t ,存在1111,,,a b c d N ∈,使2211r t a b -=+,2211s t c d -=+,1111t a c b d =+,即()()2211, 2m r t a b n r s r t s t t =-=+=+=-+-+=()()221111a c b c +++()()()111111r r t t a a c b b d =-+=+++,若记111111, , , a a b b c a c d b d ===+=+,则在○1式中有2222, , m a b n c d k r ac bd =+=+==+,(),,,a b c d N ∈,即k r =时结论成立,由归纳法,证得结论成立.。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖北
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①m n m n ''⊥⇒⊥； ②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ） A ．1-B ．1C ．12-D ．128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ．12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 13．设变量x y ，满足约束条件02 3.x y x +⎧⎨-⎩≥，≤≤则目标函数2x y +的最小值为．14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）． 21．（本小题满分14分） 已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx ++≥；VAx（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132mm m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132m mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)nnn m n n ++++=+的所有正整数n ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）（Ⅱ）纤度落在[， 1.40的概率约为10.040.252++⨯1.320.04 1.360.25 1.4088⨯+⨯=．18．解法1：（Ⅰ）AC =∵ CD AB ⊥∴，又VC ⊥ 又AB ⊂平面VAB ，∴（Ⅱ） 过点C 在平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 在CHD Rt △中，sin CH a θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，sin 2θϕ=． π02θ<<∵， 0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CACB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，样本数据ADBCHV于是，tan 222a aVD a θ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，nn ··．得0tan 022ax ay a a x y θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是sin sin 2BC BCa ϕθ===n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan V θ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，于是0tan DV θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，00DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB =，，．从而(00)ABDC =，，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan 022AB DV a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，·，即AB DV ⊥． 又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()xy z =，，n，则由00ABDV ==，··n n ，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)θ=，，n ，又022BC a ⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan 2sin sin 2BC a BC θϕθ===n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴， 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法4：以CACB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a aC A a B aD ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，． 设(00)(0)V t t >，，． （Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，， (0)(00)0000AB CV a a t =-=++=，，，，··，即AB CV ⊥．A22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ， 设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩，，，，，，，，，，n n ····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)CB a =，，，于是sin CB CBa ϕ====···n n(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t 递增． 0sin ϕ<<∴，π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122ABN BCN ACNS S S p x x =+=-△△△·．2p ==∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得2=又由点到直线的距离公式得d =．从而112222ABN S dAB p ===△···∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+， 因为20x≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1kx kx ++≥，则当1m k =+时，1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，所以1(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．（Ⅱ）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033mm n n ⎛⎫+-> ⎪++⎝⎭≥， 于是11133n nmm n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≤11132mn mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12m n =，，，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，2121111111113332222n nnnn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2131333n nnn n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 即34(2)(3)nnn n n n ++++<+．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．故只需要讨论12345n =，，，，的情形： 当1n =时，34≠，等式不成立； 当2n =时，222345+=，等式成立； 当3n =时，33333456++=，等式成立；当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，故4444434567+++≠，等式不成立； 当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n 只有23n =，． 解法2：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当1x >-，且0x ≠时，2m ≥，(1)1mx mx +>+． ①（ⅰ）当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为0x ≠，所以20x >，即左边>右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1kx kx +>+，则当1m k =+时，因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以20kx >．于是在不等式(1)1kx kx +>+两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，所以1(1)1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭∵，11132nm mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴，而由（Ⅰ），111033mm n n ⎛⎫--> ⎪++⎝⎭≥， 1111332nnm mm n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴≤． （Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式00000034(2)(3)nn n n n n ++++=+成立，即有0000002341333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ② 又由（Ⅱ）可得00000234333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭00011111112222n n n -⎛⎫⎛⎫<+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与②式矛盾． 故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ． 下同解法1．。
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2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1. 已知,a b 是方程3274log 3log (3)3x x +=-的两个根，则a b += （ ） A. 1027 B. 481 C. 1081 D. 2881解 原方程变形为3333log 3log (3)4log (3)log 273x x +=-，即331log 141log 33x x ++=-+.令31log x t +=，则1433t t +=-，解得121,3t t =-=-.所以31l o g 1x +=-或31log 3x +=-，所以方程的两根分别为19和181，所以1081a b +=. 故选（C ）.2. 设D 为△ABC 的边AB 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足34AD AB =,25AP AD BC =+，则APD ABCSS =△△ ( ) A.310 B. 25 C. 715 D. 815解 连PD ，则25DP BC =，所以//DP BC ，故ADP B ∠=∠，故1sin 323214510sin 2APD ABC AD DP ADP S S AB BC B ⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠△△. 故选（A ）.3. 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,2π)时，()sin f x x =，则8()3f π的值为 ( )A.2 B.2- C. 12 D. 12-解 根据题设条件可知8()(3)()()sin 33333f f f f ππππππ=-+=-=-=-= 故选（B ）.4. 已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM △O B M ，则四面体1O ADM 的体积为 ( )A.724 B. 316 C. 748 D. 1148解 易知AC ⊥平面11D B BD ，设O 是底面ABCD 的中心，则AO ⊥平面1DO M .因为1111223S BD BM BM S O B B M B M ⋅==⋅=⋅11△DBM △O B M ，所以113BM B M =，故113,44BM B M ==.于是S S S S S =---1111111△DO M D B BD △DD O △O B M △DBM11311112222424=⨯-⨯-⨯=所以1173348V S AO =⋅==11A-O MD △DO M . 故选（C ）. 5. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( )A.521. B. 27. C. 13 D. 821解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.CA C 1因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）. 6. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个解 当4n ≤时，易知381n+不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n+是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231kx +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n+为完全平方数.故选（B ）. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 设[]x 表示不大于x 的最大整数，集合2{|2[]3}A x x x =-=，1{|28}8x B x =<<，则A B = _________________.解 不等式1288x<<的解为33x -<<，所以(3,3)B =-.若x A B ∈，则22[]3,33,x x x ⎧-=⎨-<<⎩所以[]x 只可能取值3,2,1,0,1,2---.若[]2x ≤-，则232[]0x x =+<，没有实数解；若[]1x =-，则21x =，解得1x =-；若[]0x =，则23x =，没有符合条件的解；若[]1x =，则25x =，没有符合条件的解；若[]2x =，则27x =，有一个符合条件的解x =因此，{AB =-.8. 若数列{}n a 满足：112,3n n a a a +=-=2007a =_______.解 由1n n a a +-=2113()2()n n n n a a a a ++-=+， 又2113()2()n n n n a a a a ---=+，两式相减，得1111113()(2)2()n n n n n n n a a a a a a a +-+-+---+=-.由112,3n n a a a +=-=22a =，又由递推关系式易知数列{}n a 是单调递增数列，所以110n n a a +--≠，故113(2)2n n n a a a +--+=，即11223n n n a a a +--+=，即112()()3n n n n a a a a +----=，所以数列{}1n n a a +-是以2143a a -=为首项，23为公差的等差数列，所以1422(1)(1)333n n a a n n +-=+-=+，于是121(23)(1)33n a a n n n =++++=+，所以200712007(20071)13433523a =⨯⨯+=.9. 设复数123(2)(1)i ,(32)(23)i ,(3)(32)i ,z a b z a b z a b =-+-=+++=-+-其中,a b R ∈，当123z z z ++取得最小值时，34a b +=__________.解 易求得12386i z z z ++=+，，于是123123z z z z z z ++≥++＝10，123z z z ++取得最小值，当且仅当23238123326a a a b b b -+-===-+-，解得75,34a b ==，所以34a b +=12. 10. 设(0,)2x π∈，则函数222524sin cos y x x=+的最小值为__________. 解 因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，设0k >，22222511sin cos 4sincos cos y kx k x k x x x=++++-k ≥（1） 其中等号成立当且仅当2242223225225sin sin ,sin ,4sin 411cos cos cos cos x k x x x k x k x x x k ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎩⎩成立，此1=，设61t k =，则4321520t t +-=.而434333221522162(21)2(21)(421)t t t t t t t t t t +-=-+-=-+-++ 32(21)(842),t t t t =-+++故32(21)(842)0t t t t -+++=，注意到22sin 1,cos 1x x =≤=≤，判断易知满足限制条件的根只有12t =.当12t =时， 6164k t==，不等式（1）取得等号. 所以函数222524sin cos y x x=+的最小值为6468=. 11.对于函数()f x =b ，使得()f x 的定义域和值域相同，则非零实数a 的值为__________.解 若0a >，对于正数b ，()f x 的定义域为(,][0,)b D a=-∞-+∞，但()f x 的值域[0,)A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求.若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为[0,]b D a=-.由于此时max [()]()2b f x f a =-=，故函数的值域A =.由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =-. 12. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点(2,0)P -.若过P点作斜率为2的直线交双曲线于,A B 两点，交y 轴于M 点，且PM 是PA 与PB 的等比中项，则双曲线的半焦距为__________.解 设渐近线的方程为y kx ==，解得k =线方程为y =，故可设双曲线的方程为222x y λ-= (0)λ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB的方程为2)y x =+，代入双曲线方程消去y ，得234240x x λ---=.当1612(24)0λ∆=++>，即83λ>-时，上面的方程恰有两实根，且121242,(2)33x x x x λ+==-+.由题设可知，2PM PA PB =⋅，可化为12(2)(2)4x x +⋅+=，即12122()44xx x x +++=，即24(2)24433λ-++⋅+=，解得2λ=或14λ=. 因此，双曲线的方程为2222x y -=或22214x y -=，即2212y x -=或221714x y -=.=三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 过点(1,1)Q --作已知直线1:14l y x =+的平行线，交双曲线2214x y -=于点,M N . （1）证明：点Q 是线段MN 的中点.（2）分别过点,M N 作双曲线的切线12,l l ，证明：三条直线12,,l l l 相交于同一点.（3）设P 为直线l 上一动点，过点P 作双曲线的切线,PA PB ，切点分别为,A B .证明：点Q 在直线AB 上.解 （1）直线MN 的方程为1(1)[(1)]4y x --=--，即1(3)4y x =-，代入双曲线方程2214x y -=，得 236250x x +-=. 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12,x x 是方程的两根，所以122x x +=-， 于是12121(6)24y y x x +=+-=-，故点(1,1)Q --是线段MN 的中点. ………5分 （2）双曲线2214x y -=的过点1122(,),(,)M x y N x y 的切线方程分别为 111:14x x l y y -=，222:14x xl y y -=. 联立，得11221,41,4x xy y x x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相加，并将122x x +=-，122y y +=-代入，得114y x =+，这说明直线12,l l 的交点在直线1:14l y x =+上，即三条直线12,,l l l 相交于同一点. …………………………10分（3）设00(,)P x y ，3344(,),(,)A x y B x y ，则,P A P B 的方程分别为3314x xy y -=和4414x xy y -=，因为点P 在两条直线上，所以303014x x y y -=，404014x x y y -=，这表明点,A B都在直线0014x x y y -=上，即直线AB 的方程为0014x xy y -=.又0014x y =+，代入整理得0()(1)04xx y y --+=，显然，无论0x 取什么值（即无论P 为直线l 上哪一点），点(1,1)Q --都在直线AB 上. …………………………20分14. 已知数列{}n a 满足递推关系式：21122n n n a a a +=-+，1,n n N ≥∈. （1）若14a =，证明：（ⅰ）当2n ≥时，有12n n a a +≥；（ⅱ）当1n ≥时，有13()2nn n a a +≥. （2）若11a =，证明：当5n ≥时，有111nk kn a =<-∑. 证明： 因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，故1n n a a +≥，即数列{}n a 为递增数列.（1）（ⅰ）由14a =及21122n n n a a a +=-+可求得236,14a a ==，于是当2n ≥时，6n a ≥，于是221115232(3)0222n n n n n a a a a a +-=-+=-->，即当2n ≥时，12n n a a +>.…………………………5分 （ⅱ）由于2n ≥时，12n n a a +>，所以2n ≥时，2211226232n n n n a a ---+>=⋅=⋅. 由21122n n n a a a +=-+可得11212n n n na a a a +=+-. 先用数学归纳法证明下面的不等式成立：13()122n n a >+ （3n ≥）. Ⅰ）当3n =时，33137()122a =>+，结论成立. Ⅱ）假设结论对(3)n k k =≥成立，即13()122kk a ≥+，则结合（ⅰ）的结论可得111332()2()1222k k k k a a ++>≥+>+，即当1n k =+时结论也成立. 综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式13()122nn a >+对一切3n ≥都成立.因此，当3n ≥时，11211122n n n n n a a a a a +=+->-3()2n >，即13()2n n n a a +>.又12136()2a a ==⋅，232314()13.52a a =>⋅=，所以当1n ≥时，有13()2nn n a a +≥. …………………………10分 （2）由于11a =，而数列{}n a 为递增数列，故当1n ≥时，有1n a >. 由21122n n n a a a +=-+可得111122n n n a a a +=---，而11a =，于是 111111111111()122222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++=-=-=------∑∑. 下面先证明：当5n ≥时，有121n a n <-- （*） Ⅰ）根据11a =及21122n n n a a a +=-+计算易得134313217,,28128a a a ===，2512172172171217()22(1)21281281282128a =-+=--⋅，而2171217217391(1)12821281282564-⋅=⋅>，故5124a <-，即当5n =时，结论成立.Ⅱ）假设结论对(5)n k k =≥成立，即121k a k <--.因为2113(1)22n n a a +=-+，而函数213()(1)22f x x =-+在1x >时为增函数，所以212113111(21)2221212(1)k a k k k k+<--+=-+<----，即当1n k =+时结论也成立. 综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式121n a n <--对一切5n ≥都成立. 于是当5n ≥时，112n a n +<-，故112n n a +<-，所以1111112nk k n n a a =+=-<--∑.…………………………20分15. 求所有的正整数n ，使得36n +是一个完全平方数，且除了2或3以外，n 没有其他的质因数.解 设236(6)n x +=+，其中x N +∈，则(12)n x x =+.依题意，可设112223,1223,a ba b x x ⎧=⋅⎪⎨+=⋅⎪⎩其中1212,,,a a b b 均为非负整数，于是 2211232312a b a b ⋅-⋅= （1）…………………………5分如果120a a ==，则213312bb-=，这是不可能的.所以12,a a 中至少有一个大于0，于是x 和12x +均为偶数，从而12,a a 均为正整数.若21a =，则211231223bab ⋅=+⋅，显然只可能11a =（否则左右两边被4除的余数不相同），此时21363bb=+，显然只能是212,1b b ==，此时6,108x n ==.…………………………10分 若22a ≥，则12x +是4的倍数，从而x 也是4的倍数，故12a ≥，此时22112223233a b a b --⋅-⋅= （2）显然122,2a a --中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）. 1）当220a -=，即22a =时， 21123233ba b --⋅= （3）此时120a ->（否则等式左右两边奇偶性不相同），故21b b >.若12b ≥，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能11b =，从而（3）式即2112321b a ---=，它只有两组解1221,11,a b -=⎧⎨-=⎩和1223,12,a b -=⎧⎨-=⎩即123,2,a b =⎧⎨=⎩和125,3,a b =⎧⎨=⎩此时，对应的x值分别为24和96，相应的n 值分别为864和10368. …………………15分2）当120a -=，即12a =时， 22122333a b b -⋅-= （4）此时显然220a ->（否则等式左右两边奇偶性不相同），故21b b ≤. 若22b ≥，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故21b ≤. 若20b =，则212233a b --=，只可能10b =，此时24,4,64a x n ===.若21b =，则（4）式即2121231a b ---=，它只有两组解2121,10,a b -=⎧⎨-=⎩和2122,11,a b -=⎧⎨-=⎩即213,1,a b =⎧⎨=⎩和214,2,a b =⎧⎨=⎩此时，对应的x 值分别为12和36，相应的n 值分别为288和1728.因此，符合条件的n 值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.…………………………20分。