2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

参考答案及评分标准

说明：

1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两

档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标

准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1. 已知,a b 是方程3274

log 3log (3)3

x x +=-的两个根，则a b += （ ） A. 1027 B. 481 C. 1081 D. 2881

解 原方程变形为

3333log 3log (3)4log (3)log 273x x +=-，即331log 14

1log 33

x x ++=-+.

令31log x t +=，则

14

33

t t +=-，解得121,3t t =-=-.所以31l o g 1x +=-或31log 3x +=-，所以方程的两根分别为19和181，所以10

81

a b +=. 故选（C ）.

2. 设D 为△ABC 的边AB 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足3

4

AD AB =,

25AP AD BC =+

，则APD ABC

S

S =△△ ( ) A.

310 B. 25 C. 715 D. 815

解 连PD ，则2

5

DP BC =，所以//DP BC ，故ADP B ∠=∠，故

1

sin 323

214510sin 2

APD ABC AD DP ADP S S AB BC B ⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠△△. 故选（A ）.

3. 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,

2

π

)时，()sin f x x =，则8()3f π的值为 ( )

A.

2 B.

2

- C. 12 D. 12-

解 根据题设条件可知

8()(3)()()sin 33333f f f f ππππππ=-+=-=-=-= 故选（B ）.

4. 已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，

M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM △O B M ，则四面体1O ADM 的体积为 ( )

A.

724 B. 316 C. 748 D. 11

48

解 易知AC ⊥平面11D B BD ，设O 是底面ABCD 的中心，则AO ⊥平面1DO M .

因为

11112

23

S BD BM BM S O B B M B M ⋅==⋅=⋅11△DBM △O B M ，

所以

11

3

BM B M =，故113,44BM B M ==.于是

S S S S S =---1111111△DO M D B BD △DD O △O B M △DBM

11311

112222424

=⨯-⨯-⨯

=

所以117

3348

V S AO =

⋅==

11A-O MD △DO M . 故选（C ）. 5. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号

互不相同的概率为 ( )

A.

521. B. 27. C. 13 D. 8

21

解 从10个球中取出4个，不同的取法有4

10C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有4

5C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有4

4

5C 280⋅=种.

C

A C 1

因此，取出的球的编号互不相同的概率为

808

21021

=. 故选（D ）. 6. 使得381n

+是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

解 当4n ≤时，易知381n

+不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则

38181(31)n k +=+.

因为381n

+是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得2

31k

x +=，即

231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.

又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.

因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n

+为完全平方数.故选（B ）. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7. 设[]x 表示不大于x 的最大整数，集合2{|2[]3}A x x x =-=，1

{|

28}8

x B x =<<，则A B = _________________.

解 不等式1288

x

<<的解为33x -<<，所以(3,3)B =-.

若x A B ∈，则22[]3,

33,

x x x ⎧-=⎨-<<⎩所以[]x 只可能取值3,2,1,0,1,2---.

若[]2x ≤-，则2

32[]0x x =+<，没有实数解；若[]1x =-，则2

1x =，解得1x =-；

若[]0x =，则2

3x =，没有符合条件的解；若[]1x =，则2

5x =，没有符合条件的解；

若[]2x =，则2

7x =，有一个符合条件的解x =

因此，{A

B =-.

8. 若数列{}n a 满足：112,3n n a a a +=

-=2007a =_______.

解 由1n n a a +-=

2113()2()n n n n a a a a ++-=+， 又2

113()2()n n n n a a a a ---=+，两式相减，得