第3讲 匀速圆周运动及其应用

(3)小球落到A点时的速度方向．
平抛运动与圆周运动的综合应用
为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一 个与水平方向夹角为37°、长为l = 2.0m的粗糙倾斜轨道AB， 通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE， 整个轨道除 AB 段以外都是光滑的。其AB 与BC 轨道以微小 圆弧相接，如图所示．一个小物块以初速度v0＝4.0m/s从某 一高处水平抛出，到A点时速度方向恰好沿 AB 方向，并沿倾 斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数 μ = 0.5， （取g＝10 m／s 2 、sin37°＝ 0.6、cos37° ＝0.8） （1）求小物块到达A点时速度。 vA=5m/s （2）要使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆 弧轨道的半径应该满足什么条件？ 小于等于0.66m （3）为了让小物块不离开轨道， 并且能够滑回倾斜轨道 AB，则竖 直圆轨道的半径应该满足什么条件？
解析：因为要计算自行车前进的速度，即车轮Ⅲ边缘上的线速度的 大小，根据题意知：轮Ⅰ和轮Ⅱ边缘上的线速度的大小相等，根据 v＝rω 可知：r1ω1＝r2ω2，已知 ω1＝ω＝2πn，则轮Ⅱ的角速度 ω2 r1 ＝ ω， 因为轮Ⅱ和轮Ⅲ共轴， 所以转动的角速度相等， 即 ω3＝ω2， r2 ωr1r3 2πnr1r3 根据 v＝rω 可知，v3＝r3ω3＝ ＝ 。答案：D r2 r2
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过
多大？ 4 2 m/s
轻绳模型
双轨道问题
用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环(管径远小于R)竖直放 置,一小球(可看作质点,直径略小于管径)质量为m=0.2kg 在 环内做圆周运动,求:小球通过最高点A时,下列两种情况下球
对管壁的作用力. g=10m/s2
杆或轨道对物体有无作用力的临界速度 （3）拱桥模型：
如图所示，在光滑水平面上竖直固定一半径为R的光滑半圆槽轨
道，其底端恰与水平面相切．质量为m的小球以大小为v0的初速
度经半圆槽轨道最低点B滚上半圆槽，小球恰能通过最高点C后 落回到水平面上的A点．(不计空气阻力，重力加速度为g) 求： (1)小球通过B点时对半圆槽的压力大小； (2)A、B两点间的距离；
D．摆球A、B做匀速圆周运动的线速度vA<vB
（多选）如图，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平
面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内 壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ AB ） A．球A的线速度一定大于球B的线速度 B．球A的角速度一定小于球B的角速度 C．球A的运动周期一定小于球B的运动周期 D．球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力
答案：3R
（2）课本P74 例2
C O B A
圆周运动中的临界、极值问题
水平面内 临界问题 （2）解题关键点：确定临界状态并找出满足临界状态的条件
比如：绳子张力达到最大或者张力为零、支持力为零、静摩擦力最大等 （1）解题思路：明确对象受力分析，合外力提供向心力
如图所示，两绳系一质量为 m＝0.1 kg 的小球，两绳的 另一端分别固定于轴的 A、B 两处，上方的绳长 l＝2 m，两 绳拉直时与轴的夹角分别为 30°和 45°，问球的角速度在 什么范围内两绳始终有张力？
程中的( D ) A．线速度大小之比为3∶2∶2 B．角速度之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
课本P73 例1
如图是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为 r1 的大齿轮，Ⅱ是
半径为 r2 的小齿轮， Ⅲ是半径为 r3 的后轮， 假设脚踏板的转速为 n r/s， 则自行车前进的速度为 ( π nr1r3 A. r2 2π nr2r3 C. r1 π nr2r3 B. r1 2π nr1r3 D. r2 )
考点一 圆周运动中的运动学分析
[方法模型]
1.传动的类型：
传动装置
课本P73
(1)同轴转动；(2)皮带传动；(3)齿轮传动 2．传动装置的特点：
v = ωr
(1)同轴转动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；
(2) 皮带传动、齿轮传动：皮带 ( 或齿轮 ) 传动和不打滑的摩擦传动
的两轮边缘上各点线速度大小相等．
如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的 水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台
以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经
过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O
点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g
(1)若 ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求 ω0； (2)若 ω＝(1± k)ω0，且 0＜k＜1，求小物块受到的摩擦力的大小和方向．
考点二 圆周运动的动力学分析
v 4 2 F向 m an m m r m v m 2 r ...... r T
2 2
应用向心力公式解题的一般步骤
（1）明确对象。确定它在哪个平面内做圆周运动，找到 圆心O和半径 r。 （2）受力分析、运动分析。确定研究对象在某个位置所 处的状态，进行受力分析，分析哪些力提供了向心力。 （3）列方程（牛顿第二定律）。取指向圆心方向为正方 向，根据向心力公式列出方程。
杆既可 以提供 拉力,也 可以提 供支持 力。
如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳 拴着在竖直平面内做圆周运动，g取10 m/s2，求：
2 m/s
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？ 15 N
3、向心力的来源： 沿半径方向的合力
匀速圆周运动：合外力一定指向圆心，充当向心力
如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体
一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水
平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，
物块相对木板始终静止，则(
A. 物块始终受到三个力作用
D)
B. 只有在a、b、c、d四点，物块受到合外力才指向圆心 C. 从a到b，物体所受的摩擦力先增大后减小 D. 从b到a，物块处于超重状态
注意：对于匀速圆周运动，F向提供物体所受的合外力F合
(4）解方程。求题目要求的物理量
圆周运动中的动力学问题分析（牛顿运动定律）
长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让 其在水平面内做匀速圆周运动（通常称为圆锥摆运动），如 图所示．当摆线L与竖直方向的夹角为θ时，求： （1）线的拉力T； （2）小球运动过程中的角速度和线速度的大小；
向 心 加 速 度 和 向 心 力
向 1、方向：始终指向圆心 心 2、物理意义：描述速度方向变化的快慢 加 3、向心加速度的大小： 速 2 v 4π2 2 an= r = vω = ω r = rT 2 度
1、方向：始终指向圆心
向 2、向心力的大小： 2 心 v 4π2 2 Fn= m r = mvω = mω r = m 2r T 力
第3讲 匀速圆周运动及其应用
复习目标
1. 了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念
2. 理解向心力及向心加速度，并能熟悉应用向心力公式 3. 了解匀速圆周运动和变速圆周运动的概念
匀 速 描述圆周运动的物理量： 圆 线速度v 、角速度ω 、周期T 、频率f 、转速n 周 运 1 动 v = S ω= θ n=f= T
考点一 匀速圆周运动及其应用
t
t来自百度文库
v=
2πr
T
ω=
v = ωr
2π
T
做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动
100 m，试求物体做匀速圆周运动时，请问：
(1)线速度的大小； (2)角速度的大小； (3)周期的大小．
（多选）做匀速圆周运动的物体，不变的物理量是( CD ) A．速度 B．加速度 C．角速度 D．周期
(1)A的速率为1.0m/s (2)A的速率为4.0m/s
如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球， 在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点 时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大 小为v，FN－v2图象如图乙所示．下列说法正确的是(
R A．当地的重力加速度大小为 b a B．小球的质量为 R b C．v2＝c 时，杆对小球弹力方向向上 D．若 c＝2b，则杆对小球弹力大小为 2a
课本P74 练2
圆周运动的动力学分析
如图所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动．在 框架上套着两个质量相等的小球A、B，小球A、B到竖直转 轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止．下列说法正 确的是( )
C
A．小球A的合力小于小球B的合力 B．小球A与框架间可能没有摩擦力 C．小球B与框架间可能没有摩擦力 D．圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力一 定增大
(2017届武汉模拟)如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不 同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮 的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中 心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起
来．a，b，c分别为三轮边缘的三个点，则a，b，c三点在运动过
确的是（ ）
AC
A.b一定比a先开始滑动 B.a、b所受的摩擦力始终相等
kg 是b开始滑动的临界角速度 2l D.当ω＝ 2kg 时，a所受摩擦力的大小为kmg 3l
C.ω＝
（1）轻绳模型： 过最高点的临界速度 v临界
竖直面内 临界问题
（2）轻杆模型：过最高点的临界速度
gr v临界 0
' v临界 gr
甲 乙
B)
课本P75 例4
如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球
A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给 系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球 B运动到 最高点时，杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力.则球B在 最高点时（ ） A.球B的速度为零 B.球A的速度大小为
② 轻杆和双轨模型 当FN mg时
能过最高点的临界条件:
v
FN FN mg
讨论
v临界＝0
2
当速度v > gr 时, 杆儿对小球是拉力;
当速度v < gr 时, 杆儿对小球是支持力;
v FN m g m r
2
当速度v = gr 时, 杆儿对小球无作用力。
v m g FN m r
FN=0
(取 g＝10 m/s2)
如图所示，水平转盘的中心有一竖直的小圆筒，质量为
m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A
通过轻绳跨过无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A的质量相
同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ（μ＜1） 倍，重力加速度为g，则转盘转动的角速度ω在什么范围内， 物体A才能与转盘相对静止的转动起来？
C
2gL
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
作业 2017-10-17
（1）如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆细管竖直放置，
两个质量均为m的小球A、B，以不同的速率进入管内，若A球通 过圆周最高点C，对管壁上部的压力为3mg，B球通过最高点C时， 对管壁内侧下部的压力为0.75mg,求A、B球落地点间的距离．
(多选)(2014· 新课标全国Ⅰ· 20)如图所示，两个质量均为m的小 木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离 为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块 所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g. 若圆盘从静止开始绕转
轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正
① 轻绳和过山车模型
v2 最高点：FN mg m r
v
FN mg
v 当FN＝0时，mg m r
2
v临＝ gr vmin
(2)当v gr时， FN 0
v2 FN m mg (1)当v＞ gr时， r
讨论
物做近心运动 (3)当v gr时，
轨道提供支 持力,绳子提 供拉力。
T
θ
l
F合 O
G
O
常 见 的 F合O' 匀 速 mg 圆 周 火车 FN 运 转弯 θ 动 F合
mg
θ
FT
θ
圆 锥 摆
FN r F静 mg FN r F合O mg
R
转盘
圆台筒
O O
F静 FN mg
滚 筒
r
（多选）如图所示的圆锥摆中，两质量相同的摆球A、B在 同一水平面上做匀速圆周运动，关于A、B两球的运动情况 和受力情况，下列说法中正确的是( BC ) A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用 B．摆球A受到的绳子拉力大于摆球B受到的绳子拉力 C．摆球A、B做匀速圆周运动的周期TA=TB