简单的线性规划教程
简单的线性规划(一)
y
1
x+<0 x+y-1=0
x
二元一次不等式表示平面区域
例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
二元一次不等式表示平面区域
例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
简单的线性规划
中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，
但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也 渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决 实际问题提供了一种重要的解题方法―数学建模法.通 过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解 决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应 用数学的意识和解决实际问题的能力。
二元一次不等式表示平面区域
作业：P64 习题 7.4 1
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块儿热毛巾轻柔地为自己擦脸呢，就伸出双手哆哆嗦嗦地抓住男娃儿的手，吃力地说：“小直子，是你吗？你哥和你姐呢？”小沙弥记 着师傅的嘱咐，不敢多说什么，只轻轻地说：“你一定饿坏了吧？我喂你多喝点儿热粥吧。等喝饱了，你就安静地睡觉。放心啊，一切 都好着呢！你先歇息，有什么话，咱们以后再说。”小沙弥说着，扶着耿老爹慢慢坐起来。然后端来一碗热粥，一勺一勺地喂给耿老爹 喝。耿老爹确实饿坏了，一口气喝下去两碗，这才对小沙弥说：“我喝好了。告诉爹，你是怎么逃命的啊？你的头发怎么没了呢？你哥 和你姐呢？”聪明的小沙弥有点儿明白了，这个落难的人，是把自己当成他的儿子了！而且，他们是父子四人一起落难的！震惊的小沙 弥不敢多问，赶快扶耿老爹重新躺下来，并且给他掖一掖被子，亲切地说：“你太累了，需要好好歇息。我先把灯熄了吧。我就睡在你 的旁边，有什么事情你就叫我。我也很累了，咱们睡觉吧！”小沙弥说着，一口吹灭了灯，躺在耿老爹身旁装睡。听耿老爹又念叨了一 句：“唉，怎么没有看见你哥和你姐呢？”一会儿，听到耿老爹呼吸均匀地睡着了，小沙弥轻轻地下炕，直奔师傅屋里去了。老和尚还 没有歇息，正微微眯缝着眼睛在铺上打坐呢。小沙弥进屋来没敢大声说话，只是垂手站在一边。老和尚听见动静微睁双眼，看到是机灵 的小徒弟进来了。他心下明白，小家伙这个时候还来，肯定是有重要事情要和他说，就问：“徒儿，可是落难的施主醒过来了？”小沙 弥说：“师傅，他醒过来了，我已经喂他吃了两碗热粥，此时睡着了。他把我认作自己的儿子了，睡着之前一直喊我小直子，问我是怎 么逃命的，头发怎么没有了；还说怎么没有看见我的哥哥和姐姐。”老和尚双手合十说：“阿弥陀佛！不幸的人啊，看来是父子四人同 时落难的。你回去一定要好生照顾。他刚刚活过来，意识尚未完全清醒呢。如果认你为儿，你不必否认。等他的身体逐渐恢复了，我再 给他慢慢疏导吧。”小沙弥听从师傅嘱咐，马上返回厨房的火炕上陪耿老爹睡觉去了。从此之后，耿老爹就在小寺庙里住了下来。这个 寺庙实在是太小了，除了前院正中供奉有大肚弥勒佛的香火房还算说得过去之外，前、后院加起来也就还有十几间极普通的木制板房了。 而且，这个寺庙里的僧人也就只有前面提到的师徒四人。不过，这个寺庙虽然很小，僧人也只有老少四人，但出家人慈悲为怀的慈善和 仁爱之心却是一点儿也不少的。尽管日日三餐都是粗茶淡饭，但师徒四人亲亲热热和和气气地生活在一起。因此，与其说这是一个寺庙， 倒不如说这里就是一个普普通通的人家。而且，师徒四人都用特别友善的心，非常耐心地对待身体逐渐恢复，但意识一直糊涂不清的耿 老爹。尤其是那个极其机
《简单的线性规划(一)》教案
课题：7.4 简单的线性规划(一)教材分析：本节课是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次方程的几何意义的基础上，引领学生进一步研究二元一次不等式的几何意义，为后面学习用图解法求二元函数最值问题创造条件．使学生体会数与形的转化过程，逐步加强学生应用几何图形解决代数问题的意识．基于以上分析，在教学中应充分利用多媒体课件向学生展示代数条件与几何图形的对应关系，加强学生对问题的了解，培养学生学习数学的兴趣．教学目标：1．使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2. 掌握根据二元一次不等式（组）正确做出平面区域的方法，培养学生作图的能力．3．让学生通过观察、联想，体验数学的作用，培养学生学习数学的兴趣，培养学生勤于思考、勇于探索和团结协作的精神。
教学重点：二元一次不等式表示平面区域．教学难点：1．二元一次不等式表示平面区域；2．根据二元一次不等式（组）正确做出平面区域．教法分析：师生互动，探究、研讨、辨析、总结鉴于高二学生已具有较好的数学基础知识和较强的分析问题、解决问题的能力，本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法．首先设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；其次提供观察、探索、交流的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识．恰当的利用多媒体课件辅助教学，直观生动地呈现学生思维的形成过程，从而提高教学效率．在教学过程中，注重学生的探索经历和发现新知的体验，使其形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略．：二元一次不等式表示平面区域的作图步骤：⑴作出直线；⑵取特殊点；⑶代入表示的平面区域．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．小结：1．二元一次不等式表示平面区域；2．二元一次不等式（组）表示平面区域的作图方法．作业：1．阅读教材Ｐ63－Ｐ65；2．习题7.4 1．《简单的线性规划（一）》教案说明“简单的线性规划”是高中《数学》第二册（上）第七章第四节的内容，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视．线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．本大节内容实质上是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，它虽然只是规划论中极小的一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．通过这部分内容的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣，应用数学的意识，提高认识问题、分析问题和解决实际问题的能力．《大纲》和教科书在这部分内容之前安排了简易逻辑、平面向量等教学内容，把过去教材中位于这部分内容之后的充要条件移入第一章“集合与简易逻辑”中，客观上使这部分内容有了新的思维角度和处理方法的可能．数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中．数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序．数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握．本节内容重视与之密切相关的数形结合思想和坐标方法的教学．在教学中注意把同一数学对象在数量关系和空间形式这两方面结合起来思考，由形思数，由数思形，互相联想，达到相互转化并使问题得以解决．对于某些数学问题，通过引进坐标系，把问题的条件和结论用点的坐标表示为某些数量关系式，然后用代数方法进行解决．在讨论二元一次不等式表示平面区域时候，应用集合观点来描述直线和被直线划分所得的平面区域，并用集合的语言来表达这些点的集合，比较准确和简明．本节内容是本小节的重点．教科书首先借助于一个具体例子，提出一个有关二元一次不等式表示平面区域的问题和猜想，然后证明这一猜想，并不加证明地给出一般的二元一次不等式表示平面区域的结论，说明怎样确定不等式表示直线0Ax By C ++=的哪儿一侧区域，举例说明怎样用二元一次不等式（组）表示平面区域．依据教材的内容，教学中有两个问题有待解决．一个是如何理解二元一次不等式与平面区域的对应关系，另一个是在第一个问题解决之后如何准确作出二元一次不等式所对应的平面区域．如果直接告诉学生一般的二元一次不等式表示平面区域的结论和作出区域的方法，学生可能也能解决一些用二元一次不等式平面区域的题目，但是很难真正理解数形结合的思想方法，并自觉地将这种思想方法应用于其他的数学知识．普通高中《数学课程标准》指出：在高中数学教学中，教师应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与．课堂上，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探索与合作交流．教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程．创设情境必须紧紧围绕意义建构这一目的．本节课开篇借助北京奥运会开幕式上的一幕作为引入，创设了一个导情引思的情境．平面直角坐标系的建立，将形（点）与数（坐标）联系在一起，为奥运场馆、大脚印与坐标平面内的点的对应关系，为区域内的点与坐标代入代数式的结果的对应，做了很好的铺垫．学生已经学过了直线上的点的坐标都满足二元一次方程，而且以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上．在学生得出直线方程后，如何使教材的认知结构（不等关系）和学生的认知（相等关系）构建和谐统一？在教学设计上，我采用以问题为中心，在老师的引导下，通过学生独立思考、讨论、交流等形式，对数学问题进行探究、求解、延伸和发展，通过发现问题、提出问题、解决问题来揭示二元一次不等式与平面区域的关系．对猜想的证明，要从两方面来进行．在直线3460x y -+=左上方区域内的点的坐标都满足3460x y -+<，而且在直线3460x y -+=右下方区域内的点的坐标都满足3460x y -+>．学生在证明的时候，往往会只证明其中的一方面，而忽略对另一方面的证明．只有两方面都得到证明，才能用特殊点来确定平面区域．在实际教学中，处理一些问题时，注意不纠缠于一些细枝末节问题的讨论，重在让学生应用基本的思想方法去解决问题．这样，学生是应用数学思想在思考问题，解决问题，避免了复杂的记忆和一般的讨论．正是基于这样的考虑，教材在给出猜想的证明后，直接给出了一般的二元一次不等式表示平面区域的结论．通过对引入的问题的回顾与反思，其实作出二元一次不等式表示的平面区域的方法步骤，已经很明确了．我们将教材中的例１加以变化后作为练习给出，目的是巩固作平面区域的步骤，区分边界的虚实．本节课的教学设计始终以问题为中心，将学生吸引到教师设置的问题之中，启发学生探讨、辨析，主动地参与探索学习．使学生经历了一个完整的问题提出、解决、发展的过程．通过这节课的教学，不仅仅使学生会用二元一次不等式表示平面区域，更让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的特点，亲身体会数学活动的乐趣，培养学生利用已知数学知识解决未知问题的创新意识，理解知识的来龙去脉，领会知识的产生、发展、形成过程，真正体现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的新课程理念．。
高中数学：简单的线性规划
可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域。
最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线 性规划问题的最优解。
上一页
总结： 从这个问题的求解过程可以
看出，最优解一般在可行域的边 界上，而且通常在可行域的顶点 处取得。
上一页
简单的线性规划
线性规划：一般地求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解。
可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域。
最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线 性规划问题的最优解。
上一页
总结： 从这个问题的求解过程可以
看出，最优解一般在可行域的边 界上，而且通常在可行域的顶点 处取得。
上一页
可行域
oyLeabharlann 1 x5x+6y=30
y y=3x
o l0:2x+y=0
设z=0,画出直线l0， 即l0:2x+y=0。
y=1 x
5x+6y=30
上一页
如图，平移直线l0，当直线l0向上平移时， 所对应的z随之增大；当直线l0向下平移 时, 所对应的z随之减小。
y y=3x
上一页
o l1l:22:x2+xy+=y2=4 l0:2x+y=0
o
y=1 x
5x+6y=30
y y=3x
o l0:2x+y=0
设z=0,画出直线l0， 即l0:2x+y=0。
y=1 x
简单的线性规划(2)课件 (共47张PPT)
在实际问题中常遇到两类问题： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件 下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理地安排和规划 能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它.
下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用.
1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直
y
作出可行域如图所示：
x y 0
M
x
O
2x+y=15
x+2y=18
x+3y=27
作出一组平行直线 z=x+y，当直线经过可行域上的 点M时，z最小.
x 3 y 27, 18 39 解方程组 M ( , ). 得 5 5 2 x y 15,
18 39 由于 5 , 5
钢板类型 规格类型
A规格 2 1
B规格 1
C规格 1 3
第一种钢板
第二种钢板
2
今需要A，B，C三种规格的成品分别15,18,27 块，用数学关系式和图形表示上述要求．各截这 两种钢板多少张可得所需A，B，C三种规格成品， 且使所用钢板张数最少？
【解题关键】列表
A规格 B规格 1 2 x 2y C规格 张数
第一种钢板
第二种钢板 成品块数
2
1
1
3
x
y
2x y
x 3y
【解析】设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张， 共需截这两种钢板共z张，则
2 x y 15, x 2 y 18, x 3 y 27 , x 0, y 0.
线性目标函数 z x y .
第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法
(20200524)简单的线性规划2
y 0
x y 5
【例
2】设变量
x,
y
满足约束条件
2x x
y y
4 1
,
求目标函数
z
3x
5y
的最大值为（
）
y 0
A.6 B.19 C.21 D.45
【练
1】若
x,
y
满足约束条件
| |
x x
|
y | 2
1 ，则
z
2x
y
的最大值为
(
)
A. 7 B.3 C.5 D.7
（2）非线性目标函数的最值及取值范围 x 1 0
x y 0
【例
ห้องสมุดไป่ตู้8】已知
x,
y
满足约束条件
x
y
2
,
若
z
ax
y
的最大值为
4,
则
a
（
）
y 0
A.3 B.2 C. 2 D. 3
x y 2 0 【例 9】 x, y 满足约束条件 x 2y 2 0 , 若 z y ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（ ）
2x y 2 0
二、求解非线性目标函数问题
1.形如 z (x a)2 ( y b)2 型的目标函数
这是一个两点间的距离的模型，也可视为圆的模型，可化归为可行域内的点 (x, y) 与点 (a,b) 间的距离的最值
简单的线性规划第一课时PPT教学课件
2021/01/21
4
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，
每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一
件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从
配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作
8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由 已知条件可得二元一次不等式组
4.2简单的线性规划（1）
y
o
x
2021/01/21
1
【教学目标】 1．了解二元一次不等式表示平面区域； 2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、 可行解、可行域、最优解等基本概念； 3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些 简单的实际问题；
【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解
3
3
这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，
工厂可获得最大利润14万元。
2021/01/21
7
二、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。
把求最大值或求最小值的的函数称源自目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
2021/01/21
12
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谢谢大家观看
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时间：20XX.XX.XX
2021/01/21
13
问题，统称为二元线性规划问y题。
满足线性约可束行的域解 4 3
简单的线性规划第一课时课件
题，并加以解决.（难点）
第4页，共49页。
第5页，共49页。
二元一次不等式（组）表示平面区域的步骤： (1)“直线定界”.作直线Ax+By+C=0； (2)“特殊点定域”.利用特殊点代入,确定不等式表示
的区域是直线的哪一侧；
(3)用阴影表示平面区域.注意判断是否画成实线.
第35页，共49页。
小结：本题是整数线性规划问题，整数线性规划问
题的可行域是由满足不等式组的整点(横、纵坐标 均为整数的点)组成的集合，所求的最优解必 须是整数解.
第36页，共49页。
在可行域内找出最优线性规划整数解问题的一般方法：
1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；
（在包括边界的情况下）
3x + 2y ≤1200
xx
+ 2y ≥0
≤
800
②
y ≥ 0
第10页，共49页。
于是问题转化为，在x,y满足条件②的情况下，求式 子30x+40y的最大值. 画出不等式组②表示的平面区域OABC（阴影部分）
l2:x+2y-800=0 l1:3x+2y-1200=0
第11页，共49页。
第18页，共49页。
第19页，共49页。
解：（1）作出可行域（如 图阴影 y
部分）.
4
l :2x 3y 0
A
2
o
y 4 B
D4x 3 y 12
x C
4x 3y 36
令 z 0 ，作直线 l : 2x 3y 0 . x 3
当把直线 l 向下平移时，所对应的 z 2x 3y 的函数值随之减小，所以，
§5.2简单的线性规划
错解剖析得真知（十三）§5.2简单的线性规划一、知识导学1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.三、经典例题导讲[例1]．画出不等式组表示的平面区域.错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.[例2]已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范围.错解：由于1x－y 2 ①,2x+y 4 ②,①+②得32x 6 ③①×(－1)+②得：02y 3 ④.③×2+④×(－1)得. 34x－2y12错因：可行域范围扩大了.正解：线性约束条件是：令z＝4x－2y，画出可行域如图所示，由得A点坐标（1.5，0.5）此时z＝4×1.5－2×0.5＝5.由得B点坐标（3，1）此时z＝4×3－2×1＝10.54x－2y10[例3]已知,求x2+y2的最值.错解：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），令z= x2+y2由得A点坐标（4，1），此时z＝x2+y2＝42+12＝17，由得B点坐标（－1，－6），此时z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，由得C点坐标（－3，2），此时z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值13.错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.正解：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），令z= x2+y2,则z即为点（x，y）到原点的距离的平方.由得A点坐标（4，1），此时z＝x2+y2＝42+12＝17，由得B点坐标（－1，－6），此时z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，由得C点坐标（－3，2），此时z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，而在原点处，，此时z＝x2+y2＝02+02＝0，当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值0.[例4]某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？分析：数据分析列表设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为目标函数z=80x+120y作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为z=80×100+400×120=56000(元)max若只生产书桌，得0<x≤300，即最多生产300张书桌，利润为z=80×300=24000（元）若只生产书橱，得0<y≤450，即最多生产450张书橱，利润为z=120×450=54000（元）答：略[例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z m2，则目标函数z=x+2y作出可行域如图作一组平行直线x+2y=t，由可得交点，但点不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin =4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20若只截第一种钢板，由上可知x≥27，所用钢板面积最少为z=27(m2);若只截第二种钢板，则y≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m2).它们都比zmin大，因此都不行.答：略[例6]设，式中满足条件，求的最大值和最小值.解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，∴，．说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.四、典型习题导练1．画出不等式－+2y－4＜0表示的平面区域.2．画出不等式组表示的平面区域3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？5.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？6．（06年高考广东）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]§5.3 基本不等式的证明一、知识导学1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.二、疑难知识导析1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.三、经典例题导讲[例1] 已知a>b(ab),比较与的大小.错解： a>b(ab)，<.错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正解：，又 a>b(ab)，(1)当a、b同号时，即a>b>0或b<a<0时，则ab>0,b－a<0, ,<.(2)当a、b异号时，则a>0,b<0, >0,<0>.[例2]当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（）A. B. C. D.错解：所以选B.错因是由于在、、中很容易确定最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏与前三者的大小比较.正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知选项A、B、C中，最小，而＝，由当a b时，a+b>2,两端同乘以，可得（a+b）·＞2ab,＜，因此选D.[例3]已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.错解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4 = (1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2=得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，∴(a + )2 + (b + )2的最小值是.[例4]已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小.解法一：∵0 < 1 x2 < 1, ∴∴解法二：∵0 < 1 -x2 < 1, 1 + x > 1, ∴∴∴解法三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 -x < 1, 1 < 1 + x < 2,∴∴左-右 =∵0 < 1 -x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴∴[例5]已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd 证：证法一（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数∴要证：xy≥ac + bd只需证：(xy)2≥(ac + bd)2即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd即：a2d2 + b2c2≥2abcd由基本不等式，显然成立∴xy≥ac + bd证法二（综合法）xy =≥证法三（三角代换法）∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = x sinα, b = x cosαy2 = c2 + d2 c = y sinβ, d = y cosβ∴ac + bd = xy sinαsinβ + xy cosαcosβ = xy cos(α-β)≤xy[例6]已知x > 0，求证：证：构造函数则，设2≤α<β由显然∵2≤α<β∴α-β > 0, αβ- 1 > 0, αβ > 0 ∴上式 > 0∴f (x)在上单调递增，∴左边四、典型习题导练1.比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.2.已知a,b,c,d都是正数，求证：3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：4.若，求证：5.若x > 1，y > 1，求证：6．证明：若a > 0，则。
简单的线性规划PPT优秀课件(1)
y
B
(1 , 2)
A (2 , 4)
x y 6
y
B
(1 , 2)
xyA3
(2 , 4)
x y 1
0C (1 , 0 )
x
x y 1
0C
(1 , 0 )
x
（ 图2 ）
四.课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1、首先，要根据线性约束条件画出可行域 （即画出不等式组所表示的公共区域）
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
教学课件-5.3 简单的线性规划 精品
st 2
0,
0
s
s
1, t s.
y
st 2
0,
在直角坐标系sOt中作出区域
B={(s,t)|0≤s≤1，-s≤t≤s}如图(2)所示， 区域B的面积S= 1 ×1×1×2=1.
2
答案 1
x y 3 0,
【例2】已知实数x,y满足 x y 1 0,
x 2.
（1）若z=2x+y,求z的最大值和最小值；
分析 (1)不等式组表示的平面区域是各个不 等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不
等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意
是否包含边界.
(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点.
解 (1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右 下方的点的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方 的点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方的点的集
（5）线性规划实质上是“ 数形结合”数学思想方法 在一个方面的体现，将最值问题借助图形直观、 简便地寻找出来，是一种较快地求最值的方法. （6）在求解应用问题时要特别注意题目中的变量 的取值范围 ，不可将范围盲目扩大.
基础自测
1.如图，阴影部分表示的区域可 用二元一次不等式组表示为
x y 1 0
3.已知x和y是正整数，且满足约束条件 x y 2,
则z=2x+3y的最小值是 14 .
2x 7,
解析 先画出满足约束条件的可行域，如图
阴影部分所示，
结合图联立得
x y 2, 2x 7,
解之得x=3.5,y=1.5,
但x∈N*，y∈N*，据图分析，
当x=4,y=2时，z=2x+3y有最小值为14.
3.3.2简单的线性规划
线 性 约 束 条 件
44
x y
16 12
x
0
y 0
y
4 3
4
0
8x
将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内
所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y
都是有意义的.
问题：求利润2x+3y的最大值.
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:
当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?
例4.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料 的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要 的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸 盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。
若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车 皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种 肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
分析：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车
皮数，于是满足以下条件：
y
4x＋y ≤10
18x＋15y ≤66
x ≥ 0
x
y ≥ 0
o
30
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮， 能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，
约束条件为下列不等式组，可行域如图红色阴影部分：
4x＋y 10
第一步： 根据约束条件画出可行域；
第二步： 将z看成“截距”,令z＝0，画直线l0；
第三步： 观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解；
第四步： 求出目标函数的最大值或最小值.
画 移 求答
线性规划
也可以通过比较可行域边界顶点 的目标函数值大小得到。
简单的线性规划教学教案
简单的线性规划教学教案教学目标：1.理解线性规划的概念和应用。
2.学会构建线性规划模型。
3.掌握常用的线性规划求解方法。
教学重点：1.线性规划的基本概念和原理。
2.如何根据实际问题构建线性规划模型。
3.线性规划的常用求解方法。
教学难点：1.如何确定线性规划模型的约束条件。
2.如何进行线性规划问题的求解。
教学准备：1.教师准备PPT、教学案例和练习题。
2.学生准备纸笔和计算器。
教学过程：一、导入（10分钟）1.引入线性规划的概念，简单介绍线性规划的应用背景和目标。
2.提问：你知道线性规划吗？它有什么应用领域？二、概念讲解（20分钟）1.讲解线性规划的基本定义和特点。
解释什么是线性规划问题，以及如何区分线性规划和非线性规划。
2.介绍线性规划的基本假设和约束条件。
三、模型构建（30分钟）1.通过实际案例，讲解线性规划的模型构建过程。
2.以一个简单的生产问题为例，引导学生如何根据给定的条件构建线性规划模型。
3.引导学生讨论和思考，如何确定目标函数和约束条件。
四、线性规划问题的求解方法（30分钟）1.介绍线性规划问题的常用求解方法，包括图形法、单纯形法等。
2.以图形法为例，演示如何利用图形法求解线性规划问题。
3.引导学生通过练习题熟练掌握线性规划问题的求解方法。
五、案例分析（20分钟）1.给出一个较为复杂的线性规划问题，引导学生分组进行讨论和求解。
2.学生展示解题过程和结果，并进行讨论和总结。
六、总结与拓展（10分钟）1.整理本节课的主要内容，进行总结。
2.引导学生扩展拓展线性规划的应用领域。
教学延伸：1.鼓励学生通过实际案例进行线性规划模型的构建和求解。
2.将线性规划与其他数学知识结合，如代数、数学建模等。
教学反思：1.这节课应该增加更多的实例分析，帮助学生更好地理解线性规划的构建和求解过程。
2.可以设计更多的练习题，帮助学生巩固所学知识。
简单的线性规划教程
奶粉（g） 咖啡(g) 糖(g) 利润（元）
乙产品(1 杯)
资源限额（g）
9
4
3600
4
3 0.7
5
10 1.2
2000
3000
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
作出可行域： 目标函数为：z =0.7x +1.2y 400 _ 作直线l:0.7x+1.2y=0， C ( 200 , 240 ) _ 300 _ 把直线l向右上方平移至l1的位置时， 直线经过可行域上的点 C ，且与原点 _ 3 x + 10 y = 3000 _ 7 x + 12 y = 0 距离最大， _ 0 此时z =0.7x +1.2y取最大值 1000 _ 400 500 _ 0 _ _ 解方程组
A(18/5,39/5)
x+y =0
2 1 0 12
作出一组平行直线t = x+y，
78
2x+y=15
18
x+2y=18 x+3y=27
27
x
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移， 经过可行域内的整点 B(3,9) 和 C(4,8) 且和原点距离最近的直线是 返回 x+y=12，它们是最优解. 答:(略)
分析:这是线性规划的理论和方法的应用中的第一类问题．即在人力、物力 资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多任务．解题一般步骤为：① 设出所求的未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④作出可行域； ⑤运用图解法求出最优解．
返回
①确定变量及目标函数：
简单的线性规划最新课件
几个结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般 在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。
2、求线性目标函数的最优解，要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。
简单的线性规划最新课件
在关数据列表如下：
A种原料 B种原料
甲种产品
4
12
乙种产品
1
9
现有库存 10
60
利润 2 1
x
-
5y
3
5x 3y 15
求z=3x+5y的最大值和最小值。
简单的线性规划最新课件
5x+3y=15 y
5
y=x+1
B(3/2,5/2)
1
O1
5
-1
A(-2,-1)
X-5y=3 x
Zma x1;7 Zmi简 n 单的 线1 性规划最1新课件
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
x 4 y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
最优解
x 1
任何一个满足
时,求z的最大值和最小值.
不等式组的 （x,y）
线性规 划问题
可行域 所有的 可行解
简单的线性规划最新课件
有关概念
由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x， y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。欲达到
1，求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。
简单的线性规划(一)PPT课件
12
x+y-1＞x0+y0-1= 0
1
x
即 ｘ＋ｙ－１＞０
o1
X+y-1=0
2020年10月2日
4
因为点Ｐ（ｘ０，ｙ０）是直线ｘ＋ｙ－１＝０ 上任意点，所以对于直线ｘ＋ｙ－１＝０右上方 的任意点（ｘ，ｙ），ｘ＋ｙ－１＞０都成立
同理，对于直线ｘ＋ｙ－１＝０左下方的任意点 （ｘ，ｙ），ｘ＋ｙ－１＜０都成立。
Y
Y
2
X
O3
2
O
X
5
O3 X -4
（1）
2020年10月2日
（2）
（3）
8
例2画出不等式组
x－ｙ＋５≥０ x＋ｙ≥０
x≤３
分析：不等式组表示的平面区域是 各不等式所表示的平面点集 的交集，因而的各个不等式 所表示的平面区域的公共部 分。
表示的平面区域
x－y+5=0
Y
x+y=0
O
X
x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不
等式所表示平面区域的公共部分。
2020年10月2日
9
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应 画成虚线，否则应画成实线。
2、画图时应非常准确，否则将得 不到正确结果。
3、熟记“直线定界、特殊点定域” 方法的内涵。
2020年10月2日
10
练习2：
1.画出下列不等式组表示的平面区域：
Y
y x
（一）
2020年10月2日
1
问题1、在平面直角坐标系中，
x+y-1=0
表示的点的集合表示的图形是什么？
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{
返回
例题分析
目标函数z= x+y
y
15 10 B(3,9) C(4,8) 8 A(18/5,39/5) 6 4 2 0
调整优值法
x+y =0
18x+2y=18 8 12x+y=12 2x+y=15 作出一组平行直线z=x+y， 2 4 6
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
②分析约束条件：
• Ｚ的值随甲、乙两种产品的产量Ｘ,Ｙ变 化而变化，但甲、乙两种产品是否可以 任意变化呢？它们受到哪些因素的制约？ 怎样用数学语言表述这些制约因素？
例题分析
列表：
消耗量 产品
资源
甲产品 （1t）
xt
乙产品 （1t）
yt 资源限额
（ t）
A种矿石（t）
B种矿石（t）
煤（t） 利润（元）
10 5 4 600
4
300 200 360
4 9 1000
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
把题中限制条件进行转化：
约束条件
目标函数： z=600x+1000y.
返回
例题分析
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、y t,利润总额为z元,那么 10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 z=600x+1000y. 作出以上不等式组所表示的可行域
10 20 30 40 5x+4y=200
90
x
{
10x+4y=300 600x+1000y=0
返回
答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。
例题分析
例2
要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每
规格类型 钢板类型
张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
A(18/5,39/5)
x+y =0
2 1 0 12
作出一组平行直线t = x+y，
78
2x+y=15
18
x+2y=18 x+3y=27
27
x
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移， 经过可行域内的整点 B(3,9) 和 C(4,8) 且和原点距离最近的直线是 返回 x+y=12，它们是最优解. 答:(略)
{
y
50 40
75
l l
作出一组平行直线 600x+1000y=t， 经过可行域上的点M时,目标函数 在y轴上截距最大. 此时z=600x+1000y取得最大值. 5x+4y=200 由 4x+9y=360 解得交点M的坐标为(12.4,34.4)
M (12.4,34.4) 4x+9y=360
10
0
• ①画－画出线性约束条件所表示的可行 域； • ②移－在目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵（横）截距最大、最小的直线； • ③求－通过解方程组求出最优解； • ④答－作出答案．
概述:
在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我 们经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决 这类问题的理论基础是线性规划．利用线性规 划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一 种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问 怎样安排动用这些资源，能使完成的任务量最 大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项 任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的 人力、物力资源量最小．本节课主要研究这两 类问题．
导入新课:
实际问题
抽象概括
数学模型
推 理 演 算
还原说明 数学模型的解 实际问题的解
例题分析
例 1: 某工厂生产甲、乙两种产品 .已知生产甲种产品 1t 需消 耗 A种矿石 10t 、 B种矿石 5t 、煤 4t ；生产乙种产品 1吨需消 耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600 元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的 计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过 200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精 确到0.1t),能使利润总额达到最大?
27
x
x+3y=27
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
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例题分析
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
y
15 9
B(3,9)
C(4,8)
{
打网格线法
目标函数t = x+y
y
——线性规划的简单应用
o
x
复习引入
1.已知二元一次不等式组
{
x-y≥0 x+y-1≤0 y≥-1 x+y=1
（1）画出不等式组所表示的平面区域；
y
（ 2 ）设 z=2x+y ，则式中变量 x,y 满足
的二元一次不等式组叫做x,y的 线性约束条件 ； ； 线性目标函数 线性约束条件 满足 的解(x,y)都叫做可行解；
分析:这是线性规划的理论和方法的应用中的第一类问题．即在人力、物力 资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多任务．解题一般步骤为：① 设出所求的未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④作出可行域； ⑤运用图解法求出最优解．
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①确定变量及目标函数：
若设生产甲、乙两种产品分别为Ｘt,Ｙt,利 润总额为Ｚ元，则用Ｘ,Ｙ如何表示Ｚ？
z=2x+y 叫做
x-y=0 1
0
x
1
(2,-1)
使z=2x+y取得最大值的可行解 为 ， y=-1 (2,-1) 且最大值为 ； (-1,-1) 3 (-1,-1) 使z=2x+y取得最小值的可行解 ， 且最小值为
2x+y=0
-3
；
这两个可行解都叫做问题的
最优解 。
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2．叙述线性规划的图解法步骤：
A规格
2 1
B规格
1 2
C规格
1 3
第一种钢板 X张 第二种钢板 y张
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种 钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N* 目标函数为 z=x+y 作出可行域（如图）
巩固练习1:
x 0 y 0 不等式组 表示的平面区域内 4 x 3 y 12
的整数点共有（ ）个
y
4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
4x+3y=12