数字信号处理-性能函数及最陡下降法
姚天任-现代数字信号处理1-6章习题答案
第二章2．1已知x 是一平稳随机信号，取1、0、-1三个值的概率相等。
用x 对载波)(n c 进行调制后在噪声信道中传输。
接受信号为M n n v n xc n y ,,1,0 ),()()( =+=式中)(n v 是方差为σ2v的零均值白色高斯噪声，与x 相互独立。
上式用矢量表示为v c x y +=（1） 求条件概率函数)/()/(x y f y x f和。
（2） 由y求x 的四种估计：最大后验概率估计x MAP ˆ，最大似然估计x ML ˆ，最小均方误差估计x MS ˆ，最小线性均方误差估计xLMSˆ。
并用图形对它们进行比较。
解：（1）先求)/(x y f ，显然在这种情况下，y是一个1+M 的正态随机矢量，,][/c x v c x E mxy =+=I m m M v T T Txy x y xy v v E c x v c x c x v c x E y y E 12///][ ]))([( ]))([(+==-+-+=--=∑σ)]()(1exp[)2( )](1)(21exp[][)2(1)/(222/)1(21221)1(221c x y c x y c x y c x y vx y f T vM v M vT M M I---=---=+-+++σσσσππ求)/(y x f。
)/(y x P =)()()/()(),(y f x P x y f y f y x f= 已知)1(31)(31)1(31)(-+++=x x x x P δδδ简记)/()/(a y f a x y f ==根据全概率公式，得：)]1/()0/()1/([31 )1()1/( )0()0/()1()1/()()(=≤+=≤+-=≤===≤+==≤+-=-=≤=≤=∴x y Y P x y Y P x y Y P x P x y Y P x P x y Y P x P x y Y P y Y P y F)]1/()0/()1/([31)()(-++==y f y f y f y d y dF y f记)1/()0/()1/(ˆ-++=y f y f y f A，则 Ay f y x P A y f y x P Ay f A y f y x P )1/()/1(,)0/()/0()1/(31)1/(31)/1(====-=-=-=同理： 由)/(y x P 的分布律，我们可以容易得到)/(y x fA x y f x y f x y f y x f /)]1()1/()()0/()1()1/([)/(-+++-=δδδ（2） 求最大似然估计xMLˆ已知：0ˆ)/(ln(=∂∂=x x x y f M Lxy cc yc c c x y c c c x y c x y c xc x y c x y xc x y c x y T T ML T T vT T v T vT vM vx ===-=-----=∂---∂=∂---∂∴+-ˆ0)(1])()([21)]()(21[)]}()(21exp[)2ln{(ˆ2222212解得：σσσσσπ求最小均方误差估计xMSˆ)2(2)2(2]2exp[]2exp[]exp[]2exp[]2exp[2,2, ]exp[]exp[]exp[]exp[]exp[ ]21exp[ )]2(21exp[)]2(21exp[)]2(21exp[)]2(21exp[ )]2(21exp[1 )]2(21exp[1)]1/()1/([1 )]1()1/()()0/()1()1/([)/(22222222222222y a ch y a sh y a y a a y a y a y a yc c c a c c y c y c c y c y c y c y c y y y c c c y y y c c c y y y c c c y y y c c c y y A y c c c y y A y c c c y y A y f y f A A x y f x y f x y f x dx y x xf exav T vT T T vT vT vT vT vT T v TT T v T T T v T T T vTT T v T T T vT T T vML +=-++--====++-=-+++-+-+-++---+-++---+-=--=-+++-==⎰⎰∞∞=∞∞=则原式则令代入将σσσσσσσσσσσσσσδδδ求线性均方误差最小估计xLMSˆ已知)]([)])[var(,cov()(1ˆy E y y y x x E xLMS-+=-① 0)(=x E ， ②Tx T T T T T cv x c x x E y E x E y x E y E y x E x E y x σ2)]([ )()()(]))())(([(),cov(=+=-=--= ③I M v T x T T T T c c v c x v c x E y y E y E y y E y E y 122)])([( )(]))())(([()var(++=++==--=σσ 将I IM =+ˆ1σσσσσσσσσσσ212221121][ ])1[()][var(vT x x vT x x vvT x x vI c I c I c c IIc I c I y----+-=+=利用矩阵反演公式④ y y E y=-)(∴yc c cc c c y c c c c y c c c c c c y c c c c c c y c c cc c y E y y y x x E xvT T TvTxv vxTvTxvTxvTx xTTvTxvvxvTxvT x vTvx vT x LMSxσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ22222222224222222222222242221 )( )(][ ][ ]1[ )]([)])[var(,cov()(ˆ+=+=+-+=+-=+-=-+=-题2。
数字信号处理实验报告
实验一 信号、系统及系统响应一、实验目的1、熟悉理想采样的性质，了解信号采样前后的频谱变化，加深对时域采样定理的理解。
2、熟悉离散信号和系统的时域特性。
3、熟悉线性卷积的计算编程方法：利用卷积的方法，观察、分析系统响应的时域特性。
4、掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号、系统及其系统响应进行频域分析。
二、 实验原理1.理想采样序列：对信号x a (t)=A e −αt sin(Ω0t )u(t)进行理想采样，可以得到一个理想的采样信号序列x a (t)=A e −αt sin(Ω0nT ),0≤n ≤50，其中A 为幅度因子，α是衰减因子，Ω0是频率，T 是采样周期。
2.对一个连续时间信号x a (t)进行理想采样可以表示为该信号与一个周期冲激脉冲的乘积，即x ̂a (t)= x a (t)M(t),其中x ̂a (t)是连续信号x a (t)的理想采样；M(t)是周期冲激M(t)=∑δ+∞−∞(t-nT)=1T ∑e jm Ωs t +∞−∞,其中T 为采样周期，Ωs =2π/T 是采样角频率。
信号理想采样的傅里叶变换为X ̂a (j Ω)=1T ∑X a +∞−∞[j(Ω−k Ωs )],由此式可知：信号理想采样后的频谱是原信号频谱的周期延拓，其延拓周期为Ωs =2π/T 。
根据时域采样定理，如果原信号是带限信号，且采样频率高于原信号最高频率分量的2倍，则采样以后不会发生频率混叠现象。
三、简明步骤产生理想采样信号序列x a (n),使A=444.128，α=50√2π，Ω0=50√2π。
（1） 首先选用采样频率为1000HZ ，T=1/1000，观察所得理想采样信号的幅频特性，在折叠频率以内和给定的理想幅频特性无明显差异，并做记录；（2） 改变采样频率为300HZ ，T=1/300，观察所得到的频谱特性曲线的变化，并做记录；（3） 进一步减小采样频率为200HZ ，T=1/200，观察频谱混淆现象是否明显存在，说明原因，并记录这时候的幅频特性曲线。
数字信号处理知识点
答：数字汇聚；远程会议系统；融合网络；数字图书馆；图像与文本合一的信息检索业务；多媒体通信；个 人信息终端 4、 数字信号处理器的实现方法？10’ 答：在通用的微型计算机上用软件实现；单片机实现；利用专门用于信号处理的可编程 DSP 芯片实现；利用 特殊用途的 DSP 芯片实现；用 FPGA 等可编程阵列产品实现；利用通用的计算机系统上加上加速卡来实现 5、数字信号处理器的结构特点？ 答：哈佛结构及改进的哈佛结构；乘加流水线为核心的数据通路；片内片外两级存储体系；指令系统的多级 流水线；特殊的 DSP 指令 6、数字信号处理如何实现，或其特点或为什么 DSP 处理器与通用微处理器的相比较指令的执行速度快？6 点 答：系统主时钟频率大大提高；采用 RISC 精简指令系统；采用流水线并行执行指令结构；采用专用的硬件结 构加速指令的执行；采用先进的多总线结构与多种寻址方式；多字节的数据长度 7、设计一个实际应用的 DSP 系统的步骤？ 答：首先，由性能一系列技术要求及应用要求选定芯片；其次，芯片选定后，系统硬件与软件的设计与调试 可同时进行；最后，利用硬件、软件的结果可以进行系统的集成，并进行系统的最后的试验与调试 8、哈佛结构与冯诺依曼结构相比有哪些优点？ 答：哈佛结构是将数据和程序分别存储在不同相互独立的存储器中，每个存储器单独编址，独立访问；系统 设置了程序和数据总线，因此数据吞吐率提高一倍；而冯诺依曼结构则是指令、数据、地址存储在同一存储 器中，统一编址，因而取指令与取数据都访问同一存储器成为影响速度的瓶颈，使得数据吞吐率低 9、哈佛结构与流水线结构？ 答：哈佛结构是并行运算，把程度和数据存储器分开，总线也分开，多组流水线并行工作； 流水线结构是指在流水线结构中，几条指令是并行执行，每条指令处于其执行过程中的不同状态 10、成为数字信号处理器的条件是什么？ 答：必须能在一个指令周期内并行完成乘和累加这两个操作； 在进行算术运算的同时，可并行地完成数据的移动存储，并能自动修改地址指针； 具有高效的逻辑运算能力和程序分支跳转指令 11、数字系统中有哪几种因有限字长影响而引起的误差？ 答：A/D 变换器将模拟输入信号变成一组离散电平时的量化效应；把系数用有限位二进制数表示时产生的量 化效应；在数字运算过程中，为限制位数而进行尾数处理以及防止溢出而压缩信号电平的有限字长效应，包 括低电平极限环振荡效应以及溢出振荡效应 12、研究有限长效应的目的？ 答：如果数字信号处理是在通用计算机上实现时，字长已经固定，做误差分析为了知道结果的可信度，否则 要采取改进措施，但是一般计算机字长较长，可不考虑字长的影响 用专用硬件实现数字信号处理时，一般采用定点实现，涉及到硬件采用的字长问题，因而必须了解为达 到所需精度所必须选用的最小字长，以便在设备价格和达到精度之间作合适的折衷 ？13、用窗函数设计 FIR 滤波器的步骤？课本 P342 答：根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应 根据过渡带及阴带衰减的要求，选择窗函数的形式，并且估计窗口长度 N ，设待求滤波器的过渡带用 示，它近似于窗函数主辨宽度 计算滤波器的单位取样响应 验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算 14、IIR 和 FIR 数字滤波器的比较？ 答：1、在相同技术指标下，IIR 滤波器由于存在着输出对输入的反馈，所以可用比 FIR 滤波器较小的阶数满足指
数字信号处理知识点整理Chapter3.
第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。
维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。
本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．。
3.2 自适应横向滤波器自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．。
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221222,,,Tj j jj xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。
3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。
数字信号处理第三版第七章
对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满
足如下条件：
()
,
N1
2
2
h(n)h(N1n), 0≤ n≤ N1
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由 式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤 波器。
情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
仿照情况1的推导方法得到:
H ( e j ) H g () e j = N 1 h ( n ) e j n e j M 2 h ( n )c o s (( n ) )
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool
用情况3的推导过程可以得到:
M
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
（7.1.13）
N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin ［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应 的影响。N 时， 在主瓣附近， WRg(ω)近似为：
数字信号处理
第一部分：数字滤波器的设计
6
第5章 IIR滤波器的设计 一、滤波器的基本概念
1.什么是滤波器、数字滤波器？ 滤波器，是指能够使输入信号中某些频率分量充分地衰 减，同时保留那些需要的频率分量的一类系统。 数字滤波器——把输入序列通过一定的运算变换成所要 求的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。 2.分类 （1）经典滤波器和现代滤波器 （2）IIR和FIR滤波器 （3）低通、高通、带通、带阻滤波器
数字信号处理 Digital Signal Processing
1
绪论：
xa (t) 预滤 A/DC 数字信号处理 D/AC 平滑滤波 ya (t)
图0-2 模拟信号的数字ห้องสมุดไป่ตู้号处理系统框图
前置滤波器：滤除模拟信号的杂散分量，避免采样信号的混叠失真
A/DC： 模数转换（采样、保持、量化、编码） 数字信号处理：核心，对x(n)进行变换，得到想要的y(n)信号； 处理的实质是运算 D/AC：数模转换
4型
Hk=HN-k
频率采样法设计比较简单，所得的系统频率响应在每个 频率采样点上严格与理想特性一致，各采样点之间的频响则 是由各采样点的内插函数延伸叠加而成。
26
3.改善频率响应的措施 为了提高逼近质量，在理想特性不连续点处人为加入过 渡采样点（1～3个），虽然加宽了过渡带，但缓和了边缘上 两采样点之间的突变，将有效的减少起伏振荡，提高阻带衰 减。 H ( ) , H
六、其他要求
如何根据Ha(s)、H(z)判断其为何种类型的滤波器？
17
第6章 FIR数字滤波器的设计 一、基本概念
1.FIR DF具有线性相位的条件
H (e j ) h( n)e jn | H (e j ) | e j ( ) H ( )e j ( )
梯度下降优化算法
梯度下降优化算法综述,梯度下降法梯度下降法是什么？梯度下降法（英语：Gradientdescent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最陡下降法。
要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。
如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。
梯度下降一般归功于柯西，他在1847年首次提出它。
Hadamard在1907年独立提出了类似的方法。
HaskellCurry在1944年首先研究了它对非线性优化问题的收敛性，随着该方法在接下来的几十年中得到越来越多的研究和使用，通常也称为最速下降。
梯度下降适用于任意维数的空间，甚至是无限维的空间。
在后一种情况下，搜索空间通常是一个函数空间，并且计算要最小化的函数的Fréchet导数以确定下降方向。
梯度下降适用于任意数量的维度（至少是有限数量）可以看作是柯西-施瓦茨不等式的结果。
那篇文章证明了任意维度的两个向量的内（点）积的大小在它们共线时最大化。
在梯度下降的情况下，当自变量调整的向量与偏导数的梯度向量成正比时。
修改为了打破梯度下降的锯齿形模式，动量或重球方法使用动量项，类似于重球在被最小化的函数值的表面上滑动，或牛顿动力学中的质量运动在保守力场中通过粘性介质。
具有动量的梯度下降记住每次迭代时的解更新，并将下一次更新确定为梯度和前一次更新的线性组合。
对于无约束二次极小化，重球法的理论收敛速度界与最优共轭梯度法的理论收敛速度界渐近相同。
该技术用于随机梯度下降，并作为用于训练人工神经网络的反向传播算法的扩展。
梯度下降算法是指什么神经网络梯度下降法是什么?梯度下降法是一个最优化算法，通常也称为最速下降法。
最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现已不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。
最速下降法是用负梯度方向为搜索方向的，最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。
最速下降法例题
最速下降法例题
最速下降法（Steepest Descent Method）是一种用于求解无约
束优化问题的数值方法，也称为最陡下降法或梯度下降法，其基本思
想是在每一次迭代中，选择当前点到目标函数值下降最快的方向进行
搜索，从而不断逼近极小值点。
下面，我们将通过一个简单的例题来
介绍最速下降法的应用。
假设有一个二次函数 f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 2x - 8y + 8 ，
我们希望使用最速下降法求解该函数的极小值点。
首先，我们需要计
算该函数的梯度向量：
grad(f(x,y)) = (2x - 2, 4y - 8)
接着，我们随机选择一个初始点 (x0, y0) = (0, 0) ，并设置
一个精度要求ϵ = 0.001 。
然后，按照以下步骤进行迭代：
1. 计算当前点的梯度向量 grad(f(xk,yk)) ；
2. 计算当前点到极小值点的最速下降方向 dk = -grad(f(xk,yk)) ；
3. 沿着最速下降方向 dk 移动一定的步长 tk ，得到新的点 (xk+1,
yk+1) = (xk,yk) + tk*dk ；
4. 如果目标函数值的下降量Δk = f(xk+1,yk+1) - f(xk,yk) < ϵ，则停止迭代，否则返回步骤 1 。
通过不断迭代，最终可以得到该二次函数的极小值点(x,y) ≈ (1,2) ，函数值为f(x,y) ≈ 2 。
这就是最速下降法找到极小值点的
基本流程。
值得注意的是，最速下降法有时会因为其“最陡”下降方向不够
精准而表现出较慢或者振荡的特点，因此在实际应用中需要结合其他
优化算法来提高求解速度和准确性。
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
LMS算法的稳定性分析和算法收敛条件
LMS 算法的稳定性分析和算法收敛条件1最小均方法LMS 简介LMS （Least Mean Square ）算法是Widrow 和Hoff 于1960年首次提出的，目前仍然是实际中使用的最广泛的一种算法。
LMS 算法是在最陡下降法的基础上实现的，它是维纳滤波和最速下降算法互相结合而生成的一种新的算法。
通过维纳滤波所求解的维纳解,.必须在已知输入信号与期望信号的先验统计信息,以及再对输入信号的自相关矩阵进行求逆运算的情况下才能得以确定。
因此,这个维纳解仅仅是理论上的一种最优解。
但是通过借助于最速下降算法,LMS 算法以递归的方式来逼近这个维纳解,从而避免了矩阵求逆运算。
2LMS 算法的导出在LMS 算法中用瞬时误差的平方来代替均方误差是LMS 算法最主要的思想,以瞬时误差信号平方的梯度作为均方误差函数梯度的估计。
在最陡下降法中其维纳解方程如下(1)()k k k μξ+=-∇w w （1-1） 其中ξk ∇为梯度矢量，此时的2[()]E e n ξ=, 此时取性能函数()n e 2=ξ来代替之前的性能函数，则新的维纳方程变为如下形式2(1)()()n n e n μ+=-∇w w （1-2） 同时又可以求得22()()()2()2()()e n e n e n e n e n n ∂∂∇===-∂∂x w w （1-3） 所以LMS 算法的权值更新方程可写成下式(1)()()()n n e n n μ+=+w w x （1-4） 为了了解LMS 算法与最速下降法所得到的权矢量之间的关系,需要重写LMS 算法的递推公式，因为)()()()(n w n x n d n e T -=代入LMS 算法的权值更新方程可得)())()()()(()()1(n x n w n x n d n u n w n w T -+=+ 即)()()())()(()1(n d n ux n w n x n ux I n w T +-=+对上式求均值，又因为w （n ）和x （n ）不相关，所以 )]()([)]([)])()([()]1([n d n x uE n w E n x n x uE I n w E T +-=+ （1-5）其中互相关矢量T L p p p n d n E ],...,,[)]()([121-==x p自相关矩阵()()T E n n ⎡⎤=⎣⎦R x x把P 和R 代入1-5式可得uP n w E uR I n w E +-=+)]([)()]1([ （1-6） 由式1-6可知LMS 算法的权矢量的平均值E[w(n)]的变化规律和最速下降法的权矢量w(n)完全一样。
数字信号处理复习总结-最终版
绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。
0.1信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。
这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。
分类：周期信号/非周期信号确定信号/随机信号能量信号/功率信号连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。
3.信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。
包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。
所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。
0.2 数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。
不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。
以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。
（1）前置滤波器将输入信号x a(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。
（2）A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。
在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。
（3）数字信号处理器（DSP）（4）D/A变换器按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。
由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。
（5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t)。
0.3 数字信号处理的特点（1）灵活性。
（2）高精度和高稳定性。
（3）便于大规模集成。
（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。
0.4 数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。
数字信号处理知识点
《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩ 2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。
注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n = 当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+- 1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式： 1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解 B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑ （6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a 、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
大学物理-函数的渐近表示 最陡下降法
t za 2
e2 d
ei(3 ) 2
0
0 za 2
e 2 d}
z
g
(t0
)e
zh(t0
)
i0 2
2i
z za 2
e 2 d
0
当 z 大时，类似于上例中的做法，将积分上限扩展到 ， 即得
f (z) ~ i
2
az
g
(t0
)e
zh(
t0
)
i0 2
(3-4-18)
(3-4-14) (3-4-15)
“最陡”方向是 Su 最大的方向，即 |cos(2 + 0)| =1 的
方向,即有
2 0 n ,
n 0
2
(n 0,1, 2,3)
(3-4-16)
它决定两条相互垂直的直线，n = 0,2 和 n =1,3,如图 3-4-4。
由 (3-4-15) 可见，沿 n= 0,2 的线 Su 0 ，这是“最陡上升”
并不失去一般性。]
用 u 和 v 表示 h (t) 的实部和虚部，则
I e e zu izvgdt C
(3-4-9)
当 z 大时，决定被积函数大小的主要因子是 ezu 。根据
在上一例子中得到的经验，应该设法使积分路径通过 zu 的
极大值点，然后在这一点附近取一小段进行积分。然而，由
于 u 是解析函数 h (t) 的实部，满足拉普拉斯方程 u = 0，它
因而有
e dx ~ e dt x(lntt)
1 x[1 1 (t 1)2 ] 2
0
1
ex
xu2
e 2 du
式中 u = t – 1。最后一个积分中的被积函数在 x 大时，很 快地随 |u| 的增加而减小，因而可以近似地将积分限扩展 到 ± ，而有
数字信号处理1
1
西安工业大学
1、基本概念
3、矩形序列 、
1 R N ( n) = 0
1
0 ≤ n ≤ N −1 其它n
观测信号
RN (n)
N −1
n
16
西安工业大学
1、基本概念
4、正、余弦序列 、
x(n) = A sin(ωn) − ∞ < n < ∞
1、正、余弦序列的周期性
x(n) = A cos(ωn) − ∞ < n < ∞ A sin(ω0 n)
西安工业大学
1、基本概念
三、数字信号处理系统组成
抗混叠 时间离散 幅度离散 去伪存真
x(t ) = s(t ) + v(t )
幅度连续 时间连续
x(t)
xa (t )
xa (nT )
x ( n)
y ( n)
ya (t )
y (t )
A/D器件 A/D器件
处理器及算法
D/A器件 D/A器件
13
西安工业大学
经典信号处理
现代信号处理
9
西安工业大学
序 言
四、教材及参考书目
《数字信号处理》，张学智等，兵器工业出版社 数字信号处理》 张学智等， 离散时间信号处理， 美 奥本海姆， 离散时间信号处理， [美]A.V.奥本海姆，西安交通大学出 奥本海姆 版社， 年第2版 版社，2001年第 版 年第 俞卞章等编著，数字信号处理， 俞卞章等编著，数字信号处理，西北工业大学出版社 王世一编著，数字信号处理， 王世一编著，数字信号处理，北京理工大学出版社 西安电子科技大学出版社，数字信号处理考研辅导。 西安电子科技大学出版社，数字信号处理考研辅导。 胡广书，数字信号处理 理论 算法与实现， 理论、 胡广书，数字信号处理—理论、算法与实现，清华大学 出版社。 出版社。 数字信号处理－使用 维纳.K.恩格尔 数字信号处理－使用Matlab，[美]维纳 恩格尔、约翰 ， 美 维纳 恩格尔、 10 .G.普罗克斯编著，刘树棠译，西安交通大学出版社 普罗克斯编著， 普罗克斯编著 刘树棠译，
数字信号处理-丁玉美 高西全 编著-第5章
第５章
无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计
因为 | H (e jc ) |2 1/ 2 ， 所以ωc又称为滤波器的半功率 点。 因此， 设计数字滤波器时， 应根据指标参数及对滤
波特性的要求， 选择合适的滤波器类型（巴特沃斯、 切比
雪夫、 椭圆滤波器等）和设计方法（脉冲响应不变法、 双 线性变换法、 直接法等）进行设计。 IIR数字滤波器的设计 既可以从模拟滤波器的设计入手进行， 也可以直接根据数 字滤波器指标参数， 直接调用滤波器设计子程序或函数 进行。
道， 设计巴特沃斯滤波器时， 对于3 dB截止频率λc进行归
一化最方便。
第５章
无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计
图5.1.5中①、 ②、 ③、 ④对应的4组频率变换公式：
p 频率变换公式： p 归一化低通边界频率： 1, s p s p
第５章
无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计
由图5.1.5很容易看出各种实际AF指标参数的符号和含 义， 以及向箭头方向转换的有关公式。 由于四种实际H(jΩ)
向G(jλ)转换的公式较多， 所以图中用①、 ②、 ③和④表
示， 它们分别代表以下四组频率变换公式。 为了简化计算， 一般取λp=1， 这时的G(p)称为归一化低通滤波器， λ为归 一化频率。 当然， 也可以根据需要， 对于其他频率（如 λs或λc）进行归一化。 根据教材中模拟滤波器的设计原理知
第５章
无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设 计
采样数字滤波系统的设计指标一般由采样数字滤波系统 的等效模拟滤波器Ha(jΩ)的指标给出。 所以设计这种滤波系 统， 其关键是由Ha(jΩ)指标确定其中的数字滤波器 H(ejω)的指标。 可以证明， H(ejω)与Ha(jΩ)具有如下关系：
数字信号处理复习总结
数字信号处理复习总结如果系统函数的分母中除a0外，还有其它的ak不为零，则相应的h(n)将是无限长序列，称这种系统为无限长单位脉冲响应（IIR，InfiniteImpulseResponse）系统。
（2）低通、高通、带通、带阻滤波器注意：数字滤波器（DF）与模拟滤波器（AF）的区别数字滤波器的频率响应都是以2π为周期的，滤波器的低通频带处于2π的整数倍处，而高频频带处于π的奇数倍附近。
2.设计指标描述滤波器的指标通常在频域给出。
数字滤波器的频率响应一般为复函数，通常表示为其中，称为幅频响应，称为相频响应。
对IIR数字滤波器，通常用幅频响应来描述设计指标，而对于线性相位特性的滤波器，一般用FIR滤波器设计实现。
IIR低通滤波器指标描述：——通带截止频率，——阻带截止频率，——通带最大衰减，——阻带最小衰减，——3dB通带截止频率3.设计方法（重点）三步：（1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。
（2）用一个因果稳定的系统函数去逼近这个性能要求。
（3）用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。
IIR滤波器常借助模拟滤波器理论来设计数字滤波器，（重点）设计步骤为：先根据所给的滤波器性能指标设计出相应的模拟滤波器传递函数Ha(s)( butterworth滤波器设计法等，有封闭公式利用)，然后由Ha(s)经变换（脉冲响应不变法或者双线性变换法等）得到所需的数字滤波器的系统函数H(z)。
在变换中，一般要求所得到的数字滤波器频率响应应保留原模拟滤波器频率响应的主要特性。
为此要求：（重点）（1）因果稳定的模拟滤波器必须变成因果稳定的数字滤波器；（2）数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响。
6.2 脉冲响应不变法、双线性不变法设计IIR数字低通滤波器设计数字滤波器可以按照技术要求先设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数，再按一定的转换关系将转换成数字低通滤波器的系统函数。
其设计流程如图所示6.1所示。
数字信号处理
主要知识点1、数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行处理，这里“处理”的实质是“运算”， 处理对象则包括模拟信号和数字信号。
1、数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数字运算的方法达到处理目的的。
2、数字信号处理的实现方法基本上可以分成两种即软件实现方法和硬件实现方法。
3、梳状滤波器适用于分离两路频谱等间隔交错分布的信号，例如，彩色电视接收机中用于进行亮度分离和色度分离等。
4、时间和幅值均离散化的信号称为数字信号。
5、时域离散信号和数字信号之间的差别，仅在于数字信号存在量化误差。
5、时域离散信号有三种表示方法：用集合符号表示序列、用公式表示序列和 用图形表示序列。
6、时域离散信号是一个有序的数字的集合，因此时域离散信号也可以称为序列。
7、关于）（、、n R n u n N )()(δ三种序列之间的关系8、由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系。
9、判断序列的周期性例如序列)4()(πj en x =的周期为810、序列的简单运算有加法、乘法、移位、翻转及尺度变换。
10、序列的简单运算有加法、乘法、移位、翻转及 。
尺度变换 11、序列之间的加法和乘法是指它的同序号的序列值逐项对应相加和相乘 11、序列之间的加法和乘法是指它的不同序号的序列值逐项对应相加和相乘。
错 11、序列)(n x ，其移位序列)(0n n x -，当00>n 时，称为)(n x 的延时序列。
12、实指数序列定义为)()(n u a n x n =，当1<a 时序列收敛。
13、实指数序列定义为)()(n u a n x n =，当1>a 时序列发散。
14、已知一序列为{}89531)(、、、、=n x ，则该序列的能量为180。
14、已知一序列为{}82119751)(、、、、、=n x ，则该序列的能量为1061。
15、在时域离散系统中，最重要和最常用的是线性时不变系统。
本章要点最速下降法的基本思想及特点牛顿方向Newton法
例4.1 用最速下降法求函数 f (x1, x2)＝x12+4x22 的极小点，（迭代两次）， 并验证相邻两个搜索方向是正交的。初始点取为x(0)=[1,1]T 。
x1
因而由上述定理知： x1
0 0 || x1 || 0
x1
即只需迭代一步就到了极小点，这表明最速下降法用于等值线为圆的目标 函数时，从任意初始点出发，只需迭代一步就到了极小点。
（2）当 1 2 时, 等值线为椭圆。此时对于一般的初始点将产生锯齿现象。
（3）当 1 2
d kT g k d k g k
当且仅当dk=-gk时， (dk)Tgk 最小，从而-gk是最速下降方向。
最速下降法的迭代格式为：
x( k 1) x( k ) tk f ( x( k ) )
（二）算法
开始
给定x(0) , M , 1 , 2 , 令 k=0 计算f( x(k ) ) ||f( x(k ) )|| < 1 否 k>M 是 是
而采用固定步长λ的方法，称为固定步长最速下降法。只要λ充分小，总有：
f x k f xk 1 f xk f x k
f xk
但λ到底取多大，没有统一的标准， λ取小了，收敛太慢，而λ取大了， 又会漏掉极小点。——不精确线搜索解决这个问题
x1 x0 0f x0 1.919877 0.3071785 10
f ( x1 ) 3.686164.
2
T
然后再从 x1开始新的迭代，经过10次迭代，得最优解 x* (0, 0)T 计算中可 以发现，开始几次迭代，步长比较大，函数值下将降较快但当接进最优点 时，步长很小，目标函数值下降很慢。如果不取初点为 x0 (2, 2)T 而取 x0 (100,0)T 虽然后一初点较前一初点离最优点 x* (0, 0)T 远，但迭代中 不会出现上面的锯齿现象。这时：
博士生入学考试《数字信号处理》考试大纲
博士生入学考试《数字信号处理》考试大纲一、考试性质数字信号处理是信息与通信工程、电磁场与微波技术等专业硕士研究生必须掌握的专业基础理论。
该课程的评价标准是优秀的硕士毕业生能达到的水平，以保证被录取者具有良好的信号处理理论基础。
二、考试形式闭卷、笔试，答题时间：180分钟，各部分的考试比例：数字信号处理40%，现代数字信号处理60%。
三、参考书目姚天任、江太辉编，数字信号处理（第二版），武汉：华中科技大学出版社，2000年姚天任、孙洪编，现代数字信号处理，武汉：华中科技大学出版社，1999年其它包含下列考查要点的数字信号处理、现代数字信号处理的教材。
四、考查要点数字信号处理部分：（一）离散时间信号与系统系统的线性、移变性、因果性和稳定性；系统的差分方程和系统函数；离散时间信号的傅立叶变换和Z变换的计算、性质及其应用。
（二）离散傅立叶变换离散傅立叶变换的定义和性质；利用循环卷积计算线性卷积；时间抽选和频率抽选的FFT算法推导和应用。
（三）数字滤波器的结构与设计数字滤波器的结构；数字滤波器的设计。
现代数字信号处理部分：（一）维纳滤波和卡尔曼滤波维纳滤波；维纳-霍夫方程；维纳滤波的均方误差；维纳滤波器设计与计算；标量卡尔曼滤波器。
（二）自适应滤波自适应线性组合器；均方误差性能曲面；性能曲面的基本性质；最陡下降法；学习曲线和收敛速度；自适应最小均方算法（LMS）；权矢量噪声；失调量；最小二乘自适应滤波器。
（三）功率谱估计经典谱估计；谱估计的参数模型方法；AR模型的Yule-Walker方程；Levinson-Durbin 算法；格型滤波器；AR模型参数提取方法；特征分解频率估计；信号、噪声子空间频率估计。
五、考试样题（略）。
《数字信号处理》实验指导书
的相角, Ai 就是极点 pi 到单位圆上的点 e jω 的矢量长度(距离),而θ i 就是该矢量 的相角,因此有:
M
∏ B e j(ψ1 +ψ 2 +⋅⋅⋅⋅+ψ M ) j
H (e jω ) =
j =1 N
= H (e jω ) e jϕ (ω )
∏ A e j(θ1+θ2 +⋅⋅⋅⋅+θ N ) i
(1) 设有直流信号 g(t)=1,现对它进行均匀取样，形成序列 g(n)=1。试讨 论若对该序列分别作加窗、补零，信号频谱结构有何变化。 四、实验过程及结果（含程序）
12
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16
实验三 IIR 数字滤波器的设计
一、实验目的 (1)掌握双线性变换法及脉冲相应不变法设计 IIR 数字滤波器的具体设计 方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、高通和 带通 IIR 数字滤波器的计算机编程。 (2)观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双 线性变换法及脉冲响应不变法的特点。 (3)熟悉 Butterworth 滤波器、Chebyshev 滤波器和椭圆滤波器的频率特 性
《数字信号处理》
实验指导书
班级： 学号： 姓名： 苏州科技学院 电子教研室
实验一 信号、系统及系统响应
一、实验目的
(1) 熟悉 MATLAB 平台的使用，掌握离散信号、离散系统的 MATLAB 实现。 (2)掌握根据系统函数绘制系统零极点分布图的基本原理和方法。 (3)理解离散系统频率特性分析的基本原理，掌握根据系统函数零极点分布来分 析离散系统频率响应的几何矢量法。
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变换类型 低通
Байду номын сангаас
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(3.2.23)
min V TQ QTV
令
' ' V ' Q TV [v1' , v2 ,..., vN ]T , V QV '
(3.2.24)
则
min V 'T ΛV '
min i vi'2
i 1 N
(3.2.25)
上式将性能函数变成了平方和的形式。 观察(3.2.24)式，该式将V坐标中的Rxx的特征向量变成了V′
坐标中的单位向量。
qi' QT qi [q1 , q2 ,..., q N ]T qi [0,...,1,..., 0]T
(3.2.26)
也就是说，qi′为V′坐标中的第i个单位向量，qi′亦是Λ 矩阵对应于λi的特征向量。
的情况；图(b)是μ较大时的情况，此时过渡过程已发生振荡。
w2
w2
w(0) w(0) w1 (a) (b) w1
(a)
值的影响 较小时的情况； （b） 较大时的情况
图 3.2.7
* i k 1
N
-
j τk
(3.2.44) (3.2.45)
式中
' cik qik v0k
上式说明第i个加权系数按照 N个指数和的规律变化，由初始值
收敛到最佳值，其时常数与特征值成反比。 下面分析性能函数的过渡过程。按照(3.2.25)式，性能函数如 下式：
2 E[e 2 ] min i v 'ji j i 1 N
(3.2.46)
2j
将(3.2.40)式代入，得到
' E[e 2 ] min i v02i e j i 1 N
i
(3.2.47)
上式说明性能函数也是按N个指数和的规律变化，和加权系
数过渡过程不同的是时间常数不同， 它的时常数为
imse
i
2
1 4i
(3.2.48)
| 1 2 i | 1 0
i 1,2,..., N 1
max
(3.2.37)
满足时，才能得到： limW j W * 。 (3.2.37) 式 即 是 最 陡 下 降
j
法的收敛条件，式中λmax是Rxx的最大特征值。(3.2.36)式中的0 表示0矢量。
3. 过渡过程
(3.2.19)
(3.2.20)
式中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，qi称为特征向量，满足下式：
1 i j q qj 0 i j
T i
(3.2.21) (3.2.22)
Rxx qi i qi i 1,2, , N
Λ是由特征值组成的对角矩阵， 用下式表示：
Diag 1, 2 ,..., N ) (
v 'j1 ' v j 2 ... v ' jN
所以
v ji qik v 'jk
k 1
N
再将(3.2.40)式代入，得到
' v ji qik v0 k e k 1 N j
i
(3.2.43)
w ji w cik e
过渡过程是指权矢量和性能函数由起始点随迭代次数的增 加，进行变化的过程。权矢量的过渡过程： 按照(3.2.34)式，权矢量的递推解是
V j' ( I 2Λ) j V0'
第i个权系数递推方程是
' v 'ji ( I 2i ) j v0i
(3.2.38)
令
1 2 i e
式的递推解为
(3.2.33)
此时，［·］项已变成对角矩阵，假设起始值是V0′，可得到上
V j' ( I 2Λ) j V0'
(3.2.34)
再将(3.2.24)式代入，再经过坐标平移，即代入Vj=Wj-W*式， 最后得到权系数的递推公式：
W j W * Q( I 2Λ) j QT (W0 W * )
令 V=W-W*=［v1, v2, …, vN］T (3.2.16) (3.2.15)
V称为偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的3.2.17)
因为Rxx 是对称的，正定或半正定的，利用它的特征值和特
征向量再进一步简化，假设 Rxx 是 N×N 维，它的 N 个特征值为：
数字信号处理
3.2.2 性能函数表示式及其几何意义
3.2.3 最陡下降法
3.2.2 性能函数表示式及其几何意义
自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数
E[e ] E[d ] 2R W W RxxW
2 j 2 j T dx T
下面我们推导它的其它表示方法以及几何意义。 将(3.2.14)式代入(3.2.8)式，可以用最小均方误差表示性 能函数，推导如下： 为表示方便，令 ζ=E［e2j］, 则
T
V 'T ΛV' c1
即 或者
' 1v1'2 2v22 c1
' v1'2 v22 1 c1 / 1 c1 / 2
(3.2.27)
显然，上式是一个椭圆方程，v1′和v2′是椭圆族的主轴，如果
λ1＜λ2,则v1′是长轴，v2′是短轴。因此(3.2.24)式起坐标旋
转的作用，将v1v2旋转到主轴上，形成v1′v2′主轴。对于维数N
-
1 τi
i 1,2,3,..., N
(3.2.39)
将上式代入(3.2.38)式，得到
' v 'ji e v0i 1 τi
i 1,2,3,..., N
(3.2.40)
上式说明第i个分量v i′按指数规律变化，其时常数为
i
1 1n(1 2i )
i=1, 2, 3, …, N
(3.2.41)
因为一般μ取得比较小，可以近似为
i
1 2 i
i=1, 2, 3, …, N
(3.2.42)
因为
q11 q12 ... q1N q21 q22 ... q2 N ' V j QVj ... ... ......... q q ... q NN N1 N 2
λ1,λ2,…,λN，将Rxx进行分解，得 Rxx=QTΛ Q,Λ =QTRxxQ
通过调节使Q归一化，即 (3.2.18)
QTQ I , QT Q1
q11 q12 ... q1N q21 q22 ... q2 N Q [q1 , q2 ,..., q N ] ... ... ... q N 1 q N 2 ... q NN
＞2的情况，长轴对应最小特征值，按照上面的椭圆方程长轴正
比于 1 / min ；短轴对应于最大特征值，正比于 1 / min 。
3.2.3 最陡下降法
Wj1 Wj (- j )
1. 最陡下降法的递推公式
将(3.2.11)式代入(3.2.29)式，得到
(3.2.29)
W j 1 W j (2 Rd x 2 RxxW j ) W j 1 [ I 2 Rxx ]W j 2RxxW *
在上式两边都减去W *,并令Vj=W j-W*, 得到
(3.2.30)
(3.2.31)
Vj+1=［I-2μ Rxx］Vj
(3.2.32)
由于［·］项不是对角矩阵，计算与分析均复杂。
Rxx QΛQ T QΛΛ -1, Λ Q 1 Rxx Q V j' Q 1V j , V j QV j' V j'1 Q 1[ I 2 Rxx ]QV j' (Q 1 IQ 2 Q 1 Rxx Q)V j' ( I 2 )V j'
mse max
但为保证收敛， μ 不能取得太大，受限于最大特征值 λmax 。
这样，如果特征值比较分散时，即 λmax 和 λmin 相差很大时， 使最陡下降法的收敛性能很差。下面分析μ值的影响。
μ值收敛过程影响很大，首先必须选择得足够小，使之满
足收敛条件：
0
1
max
但按照(3.2.47)、 (3.2.48)式，它影响收敛速度。 一般希望 在保证收敛的条件下，选大一些，使时间常数小一些，收敛的 速度快一些。但当 μ 选择得太大时，即使收敛条件满足，也可 能形成振动性的过渡特性。 在图 3.2.7 中，图(a)是μ较小时
下面用二维权矢量的情况说明它的几何意义。对于二维权矢量 情况，有下面公式：
w1 v1 * W , V W W w2 v2
rxx (0) rxx (1) Rxx rxx (1) rxx (0) min (W W * ) T Rxx (W W * )
(3.2.35)
上面递推公式中，［· ］部分已变成对角矩阵， 这使分析与研 究自适应特性变得简单了。
2. 收敛条件
由最陡下降法的递推公式不难分析出它的收敛条件，即当 迭代次数 j 趋于∞时，权系数收敛最佳时的条件。按照上式， 显然只有当
lim [ I 2 Λ] j 0
j
(3.2.36)
或
V T RxxV c1
当c=ζmin时，对应椭圆的中心，V=W-W*, 则相当于W坐标平移到V 坐标的原点，即 V 坐标的原点对应W坐标的最佳点 W * 。这里,
v1v2不是椭圆的主轴。但经过对Rxx的分解：
且V′=QTV将性能函数的椭圆族(按照(3.2.25)式)变成
1 0 Q Rxx Q Λ 0 2