新人教A版必修二 平面向量的应用举例 课件(39张)

图 4-4-2
A.1
B. 3
C. 5
D. 7
3.(2014 年新课标Ⅰ)已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若A→O
＝12(A→B＋A→C)，则A→B与A→C的夹角为___9_0_°___.
4. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为CD的中点，
则A→E·B→D＝_______.
解析：方法一，如图 D29，以 A 为坐标原点，AB 所在的直 线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2，0)，D(0,2)，E(1,2).
(x－2)2＋y2＝45上，所以圆心(2,0)到直线的距离 d≤r，即
2－z
1＋14
≤ 25.解得 1≤z≤3.故选 A.
答案：A
(3)抛物线 x2＝6y 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 M，
N 两点，点 P 为 x 轴正半轴上任意一点，则(O→P＋P→M)·(P→O－P→N)
＝( )
方法三，如图 4-4-5，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，且|O→A|＝ |O→B|＝1.
图 4-4-5
∵a⊥b，∴|A→B|＝ 2. 由(a－c)·(b－c)＝0，知(a－c)⊥(b－c)，即 CA⊥CB. ∴O，A，C，B 四点共圆. ∴当 OC 为直径时|c|最大，为 2.故选 C.
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线 向量定理：
a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔___x_1_x_2＋__y_1_y_2_＝__0__. (3)求夹角问题，利用夹角公式： cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1xy212＋y1xy222＋y22(θ 为 a 与 b 的夹角).
则B→D·C→D＝( )
A.－32a2
B.－34a2
C.34a2
D.32a2
解析：因为B→D·C→D＝B→D·B→A＝B→A＋B→C·B→A＝B→A2＋B→C·B→A＝ a2＋a2cos 60°＝32a2.故选 D.
答案：D
(5)在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝4，E 为 CD 的中点，则
A→E·A→C＝( )
答案：6
(2)(2017 年新课标Ⅲ)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2， 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若A→P＝λA→B＋μA→D， 则 λ＋μ 的最大值为( )
A.3
B.2 2
C. 5
D.2
解析：如图 D32，建立平面直角坐标系，则 A(0,1)，B(0， 0)，C(2,0)，D(2,1).设 P(x，y)，根据等面积公式可得圆的半径
DE＝2EF，则A→F·B→C的值为( )
A.－58
1 B.8
C.14
D.181
解析：设B→A＝a，B→C＝b， ∴D→E＝12A→C＝12(b－a).∴D→F＝32D→E＝34(b－a). ∴A→F＝A→D＋D→F＝－12a＋34(b－a)＝－54a＋34b. ∴A→F·B→C＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.故选 B. 答案：B
1.如图 4-4-1，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数 量积中最大的是( A )
A.P→1P2·P→1P3 C.P→1P2·P→1P5
图 4-4-1 B.P→1P2·P→1P4 D.P→1P2·P→1P6
2.如图 4-4-2，已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝ 60°，E 为 CD 的中点，则A→E·B→D＝( A )
图 D29
∴A→E＝(1,2)，B→D＝(－2,2). ∴A→E·B→D＝1×(－2)＋2×2＝2. 方法二，由题意，知A→E·B→D＝(A→D＋D→E)·(A→D－A→B) ＝A→D＋12A→B·(A→D－A→B) ＝A→D2－12A→D·A→B－12A→B2＝4－0－2＝2.
答案：2
考点 1 平面向量在平面几何中的应用 例 1：(1)(2017 年天津)在△ABC 中，∠A＝60°，AB＝3， AC＝2.若B→D＝2D→C，A→E＝λA→C－A→B(λ∈R)，且A→D·A→E＝－4，则 λ 的值为__________.
考点 2 平面向量在解析几何中的应用 例 2：(1)(2017 年北京)已知点 P 在圆 x2＋y2＝1 上，点 A 的 坐标为(－2,0)，O 为原点，则A→O·A→P的最大值为________. 解析：设 Px0，y0，A→O·A→P＝2，0·x0＋2，y0＝2x0＋4. 由 x20＋y20＝1，得－1≤x0≤1. 所以 2x0＋4≤6，即A→O·A→P的最大值为 6.
则 A0，－12，B 23，0，C0，32，D－ 23，0.
点 E 在 CD 上，则D→E＝λD→C0≤λ≤1.设 Ex，y，
则x＋
23，y＝λ
23，32.
即yx＝＋322λ3.＝ 23λ，
∴E
23λ－
23，32λ.
∴A→E＝
23λ－
23，32λ＋12，B→E＝
23λ－
3，32λ.
由数量积的坐标运算法则，可得：
例题：(1)(2018 年浙江)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单
位向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为π3，向量 b 满足 b2－4e·b＋3
＝0，则|a－b|的最小值是( )
A. 3－1
B. 3＋1
C.2
D.2－ 3
解析：设 a＝(x，y)，b＝(m，n)，e＝(1,0)， 则由〈a，e〉＝π3，得 a·e＝|a||e|cos π3，x＝12 x2＋y2，y＝ ± 3x. 由 b2－4e·b＋3＝0，得 m2＋n2－4m＋3＝0，(m－2)2＋n2＝1. 因此|a－b|的最小值为圆心(2,0)到直线 y＝± 3x 的距离 2 2 3＝ 3减去半径 1，为 3－1.故选 A.
2.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角 函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含 有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未 知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角 函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运 算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的 充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.
2，即所求的最大值为 2.故选 C.
方法二，因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，展开(a－c)·(b－c)＝0 后， 得|c|2＝c·(a＋b).由于 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量， 故|a＋b|＝ 2.设〈a＋b，c〉＝θ，则|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cos θ. 当|c|≠0 时，|c|＝|a＋b|·cos θ＝ 2cos θ≤ 2，故|c|的最大值是 2. 故选 C.
(5)(2016 年上海)如图 4-4-4，已知点 O(0,0)，A(1,0)，B(0， －1)，P 是曲线 y＝ 1－x2上一个动点，则O→P·B→A的取值范围是 ______.
图 4-4-4
解析：由题意，设 P(cos α，sin α)，则O→P＝(cos α，sin α). 又B→A＝(1,1)，所以O→P·B→A＝cos α＋sin α＝ 2sinα＋π4∈[－1，
第4讲 平面向量的应用举例
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长 度、夹角等问题. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ为实数.
r＝ 25，即圆的方程为(x－2)2＋y2＝45.
图 D32 A→P＝(x，y－1)，A→B＝(0，－1)，A→D＝(2,0). 若满足A→P＝λA→B＋μA→D，
则xy＝ －21μ＝，－λ.
即μ＝2x， λ＝1－y.
λ＋μ＝2x＋1－y.
令 z＝2x－y＋1，即2x－y＋1－z＝0，因为点 P(x，y)在圆
A→E·B→E＝
23λ－
23×
23λ－
3＋32λ＋12×32λ，
整理，可得A→E·B→E＝34(4λ2－2λ＋2)(0≤λ≤1).
结合二次函数的性质可知，当 λ＝14时，A→E·B→E取得最小值2116. 故选 A.
答案：A
图 D30
(4)(2015 年山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，
A.8
B.10
C.12
D.14
解析：方法一，(转化法)注意到菱形的对角线 AC⊥BD.故 用A→C，B→D表示A→E.
由题意，知A→E＝A→C＋C→E＝A→C＋12C→D＝A→C＋14(B→D－A→C)＝ 34A→C＋14B→D.
∴A→E·A→C＝34A→C＋14B→D·A→C＝34|A→C|2＋14B→D·A→C＝34|AC|2＝12. 故选 C.
27 A. 4
B.－94
C.Fra Baidu bibliotek247
9 D.4
解析：设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立直 线和抛物线方程，可得 x1x2＝－9，y1y2＝94，(O→P＋P→M)·(P→O－P→N) ＝O→M·N→O＝－(x1x2＋y1y2)＝247.
答案：A
(4)(2018 年河南中原名校质量考评)已知 AB 是圆 C：(x－1)2
方法二，(坐标化)如图 D31，建立平面直角坐标系，
则 A(－2,0)，C(2,0).
不妨设 D(0,2a)，则 E(1，a).
∴A→E＝(3，a)，A→C＝(4,0).
∴A→E·A→C＝(3，a)·(4,0)＝12.故选 C.
图 D31
答案：C
【规律方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 建立平面几何与向量联系的主要途径是建立平面直角坐标 系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题.
＋y2＝1 的直径，点 P 为直线 x－y＋1＝0 上任意一点，则P→A·P→B
的最小值是( )
A.1 C. 2
B.0 D. 2－1
解析：(1)∵P→A＝P→C＋C→A，P→B＝P→C＋C→B＝P→C－C→A， ∴P→A·P→B＝(P→C＋C→A)·(P→C－C→A) ＝|P→C|2－|C→A|2＝|P→C|2－1. 又|P→C|的最小值为 C(1,0)到直线 l：x－y＋1＝0 的距离. ∴|P→C|min＝|1－02＋1|＝ 2. ∴P→A·P→B的最小值为 1. 答案：A
(3)(2018 年天津)如图 4-4-3，在平面四边形 ABCD 中，AB ⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点 E 为边 CD 上的动点，则A→E·B→E的最小值为( )
图 4-4-3
A.2116
B.32
C.2156
D.3
解析：建立如图 D30 所示的平面直角坐标系.
解析：A→B·A→C＝3×2×cos 60°＝3，A→D＝13A→B＋23A→C，则 A→D·A→E＝13A→B＋23A→C·λA→C－A→B＝3λ×3＋23λ×4－13×9－23×3＝ －4.解得 λ＝131.
答案：131
(2)(2016 年天津)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点
D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得
答案：A
(2)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c
满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A.1
B.2
C. 2
2 D. 2
解析：方法一，直接设出向量的直角坐标，把问题转化为 坐标平面内曲线上的问题，根据曲线的几何意义解决.
设 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则(a－c)·(b－c)＝0，即 (1－x,－y)(－x,1－y)＝0,即 x2＋y2－x－y＝0,即x－122＋y－122 ＝12.这是一个圆心坐标为12，12，半径为 22的圆.所求的问题等价 于这个圆上的点到坐标原点的最大距离，根据图形，最大距离是
2]. 答案：[－1， 2] 【规律方法】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到
单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的 图象和性质，得到O→P·B→A的取值范围.本题主要考查考生的逻辑 推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思 想等.
难点突破
⊙利用数形结合的思想求最值