《不等关系与不等式》第一课时参考教案
不等关系与不等式说课稿参考模板范本
不等关系与不等式各位评委、老师，大家下午好，我说课的题目是《不等关系与不等式》,下面我从教学背景分析、教学目标设置、教学对策分析、教学过程设计、教学后反思五个方面进行说课。
一、教学背景分析1、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》第一节《不等关系与不等式》的第一课时，本节主要内容是感悟不等关系，抽象数学模型，通过从大自然中的不等关系，现实世界日常生活中的不等关系让学生感受不等关系是客观存在的基本数量关系，我们要去学习它，就要用不等式（组）表示它。
初中学过一元一次不等式（组），所以本节课的学习既是对已学知识的深化，也是为后继学习其它不等式模型奠定基础。
不等式与方程，函数等知识有密切联系，并且是刻画和解决优化问题的重要工具，因此，本章的学习既有利于提高学生对数学各部分知识联系性的认识，又有助于学生体会优化思想和不等式在解决优化问题中的广泛应用。
2、学情分析学生在初中学过一元一次不等式（组），并且积累了的一些含不等关系的例子，也具备一定的抽象概括能力，但是从实际问题中挖掘不等关系，确立未知变量，寻找量与量之间的联系，建立不等式模型还有一定难度。
由教学内容分析和学情分析，确定以下重难点：重点：（1）学会运用不等式（组）表示实际问题中的不等关系。
（2）体会不等关系和不等式的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示不等关系二、教学目标设置基于以上分析，依据课标要求，确定以下教学目标：（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量不等关系。
（2）会用不等式（组）表示不等关系。
（3）通过自主探究，合作交流，欣赏数学中的不等关系，在头脑中建立起不等观念。
三、教学对策分析为了让学生经历数学知识形成的过程，我采取创设情境，小组合作，展示交流，自主探究，问题引导等教学方法，并用多媒体辅助教学,充分调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。
四、教学过程1、总体流程图2、具体过程说明（1）情境引入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，把同学们带到美丽的大自然中老师：从美丽的自然风景回到我们的数学课堂中，你能从数学的角度观察不同的景色包含的数量关系吗？【设计意图】：引导学生找不等关系，让学生在诗情画意中感受不等关系的客观存在，唤起学生的学习热情，引出本节课题。
不等关系与不等式第一课时教学设计
3.1 不等关系与不等式教学设计（第一课时）【教学过程】一．情景导入，创设问题：以章头图为情景，让学生发挥想象，举出生活中类似“不等关系”的实例.如：某天的天气预报报道，最高气温30℃，最低气温15℃.(学生举手发表，教师给以肯定与表扬)〖设计意图〗由章头图让学生自由发挥，举出类似的例子.提问：如何用数学符号表示这些不等关系呢？生：用不等式.回顾不等式的相关知识：举例-7＜-5；3+4＞1+4；26x ≤；a +2≥0；3≠4；22≥.不等式：用不等号将两个式子连接起来所成的式子.我们学过的有哪些不等号？> 表示大于 < 表示小于≥ 表示大于或等于（不小于、不低于）≤ 表示小于或等于（不大于、不超过）人的身高有高与矮，重量有轻重之分，数有大小之分.即两个实数有：a b >或a b <或a b =三种大小关系如：（给出教材上的两个实例，学生用不等式表示出来）实例1 限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h.实例2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不 少于2.3%.（对两个不等式同时满足的强调）二．师生互动，建立不等关系：问题1 设点A 与直线l 的距离为d ，B 为直线l 上任意一点，如图，你能得出怎样的不等关系？ AdlB［学生活动］由学生讨论、发言，师生共同总结出d AB ≤问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表 示销售的总收入不低于20万元呢？［师生活动］阅读题目，学生勾画出重要信息（注意单位的统一），按下列要求独立思考. 提问：怎样用自己的语言描述出销售总收入？用数学式子又怎样表示呢？（见预学案）解：设杂志的定价为x 元，则定价提高了( 2.5x -)元，即定价提高了（2.50.1x -）个0.1销售量减少了(2.50.20.1x -⨯)万本. 此时销售量为( 2.580.20.1x --⨯)万本.那么总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯⋅万元. 故可以建立不等式 2.5(80.2)200.1x x --⨯⋅≥. ［学生活动］学生结合学案讨论，最后师生共同总结.问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求， 600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.如何用不等式组表示上述所有不等关 系？［学生活动］自己阅读题目，找出其中蕴涵的不等关系.提示：若令截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样 的不等量关系呢？由学生讨论，举手到黑板上进行板演，最后集体讲评.解：令截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意得：5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤ ⎧⎪≥ ⎪⎨≥⎪⎪≥⎩[学有所用] 74p 练习1 （学生举手到黑板上板演）生活实例探究 若b 克糖水中有a 克糖，其中0b a >>；之后再放m 克糖（0m >）为什么会 变得更甜呢？思考：之后再放m 克糖使得糖水的什么变了？试猜想此过程中是否蕴涵了一个 不等关系？三. 类比实数的大小，比较代数式的大小：事实上，对于两个实数a b 、：若a b -是正数，那么a b >；若a b -等于零，那么a b =；若0a b -<， 那么a b <.反过来也成立吗？故有：0;0;0.a b a b a b ->⇔⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽-=⇔⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽-<⇔⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽思考：实数可以比较大小，那么，对于任意的两个代数式，又如何比较大小呢？四．实例剖析比较代数式2225856x x x x ++++与的大小.活动：让学生验证糖水实例探究中的猜想.归纳作差比较法的步骤：1.作差；2.变形：配方、因式分解、通分（分母）分子有理化3.定号.练习：比较下列代数式的大小（1）233x x +与；（2）6421x x x ++与 （其中1x ≠±）.五.课堂小结1.通过具体情景，建立不等式（组）2.比较两个代数式的大小——作差法【本节作业】7551P A B【板书设计】 3.1不等关系与不等式（一）实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题。
高中数学 (3.1.1 不等关系与不等式(一)示范教案 新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零实例4:两点之间线段最短实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.［过程引导］师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢生可以用不等式或不等式组来表示师什么是不等式呢生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）［合作探究］生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为生可以表示为（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画）生 |AC |+|BC |＞|AB |(只需结合上述三角形草图生 |AB |+|BC |＞|AC |、|AC |+|BC |＞|AB |、|AB |+|AC |＞|BC生 |AB |-|BC |＜|AC |、|AC |-|BC |＜|AB |、|AB |-|AC |＜|BC |.交换被减数与减数的位置也可以生 如果用v 表示速度，则生 f≥2.5%或(此时,一片安静,同学们在积极思考生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为⎩⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2p f生 也可表示为f≥2.5%且师 同学们看这两位同学的观点是否正确生 (齐答)大家齐声说，都可以师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达课堂练习教科书第83页练习1、(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）【问题1】 设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点 ［活动与探究］师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨) ［方法引导］师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB 师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形 师 请同学们继续来处理问题［合作探究］【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢生 可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本师 那么销售量变为多少呢？如何表示？生 可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--xx≥20〕师 是否有同学还有其他的解题思路？生 可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n∈N *)， （下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量师 很好，请继续讲生 那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较（留下让学生思考的时间）师 请同学们继续思考第三个问题 ［合作探究］【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍生截得两种钢管的数量都不能为负师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系生由实际问题的意义，还应有师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习 课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力） 布置作业第84页习题3.1A 组4、 板书设计不等关系与不等式（一） 实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x＜3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x 二、课外探究 开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？3.1.2不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助教学重点1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式教学难点1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习） 师 一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答） ［过程引导］师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演） 性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）性质2：a ＜b 且c ＞0⇒ac ＜bc (或cbc a ＜)；a ＞b 且c ＞ac ＞bc (或c b c a ＞ 性质3：a ＜b 且c ＜0⇒ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜ac ＜bc (或c b c a ＜（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？生 对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数师 很好，c 可以为零吗？生 c 不能为零.因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据 （学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位） 师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质 （此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师 若点Ａ对应的实数为a ，点Ｂ对应的实数为b ，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a ＞b .a ＞b 表示a 减去b 所得的差是一个大于０的数即正数，即a ＞b ⇒a -b ＞0.它的逆命题是否正确？生 显然正确师 类似地，如果a ＜b ，则a 减去b 是负数，如果a =b ，则a 减去b 等于０，它们的逆命题也正确.一般地a ＞b ⇒a -b ＞0;a =b ⇒a -b =0;a ＜b ⇒a -b ＜师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生只要考察它们的差就可以了师 很好.请同学们思考下面这个问题(此时，老师用投影仪给出问题 ［合作探究］【问题1】 已知x≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识 （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x 2+1)2－x 4-x 2-1=x 4+2x 2+1-x 4-x 2-1=x 2，由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x2（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析 （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ） (1)2b a +与ba 112+ (a ＞0,b＞ （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞ ∴ba b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞ （2）a 4-b 4-4a 3(a -b=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a3=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］=-(a -b )2(3a 2+2ab +b2=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜∴a 4-b 4＜4a 3(a -b师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用(此时，老师用投影仪给出下列问题［合作探究］【问题2】 求证：（1）a ＞b 且c ＞0 ac ＞bc ；（2）a ＞b a +c ＞b +c师 请同学们思考第一小问该如何证明？生 可用实数的基本性质，∵a ＞b ,∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c ＞0，即ac ＞bc师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生 ac -bc =(a -b )c ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c＞0，所以得证师 这位同学证明得是否正确？生 正确师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？ 生（齐声）没问题师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析 （此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例［例题剖析］已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生 可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c ＞师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、。
不等关系与不等式教案
不等关系与不等式教案教案标题：不等关系与不等式教案教案目标：1. 理解不等关系的概念，并能够正确运用不等关系符号（大于、小于、大于等于、小于等于）。
2. 掌握解不等式的方法，包括图像法和代数法。
3. 能够在实际问题中运用不等关系和不等式解决数学问题。
教学资源：1. 教材：包含不等关系和不等式的相关知识点。
2. 白板、黑板或投影仪：用于展示教学内容和解题步骤。
3. 练习题：用于巩固学生对不等关系和不等式的理解和运用能力。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾等关系的概念，例如“大于”和“小于”。
2. 提出问题：“在数学中，我们还可以比较两个数的大小，但不一定是相等的关系，你知道这个叫什么吗？”引导学生理解不等关系的概念。
概念讲解（10分钟）：1. 解释不等关系的符号表示，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
2. 通过示例和图示，帮助学生理解不等关系符号的含义和使用方法。
解不等式的方法（15分钟）：1. 图像法：通过绘制数轴和标记关键点的方式，帮助学生直观地理解不等式的解集。
演示解不等式的图像法步骤，并让学生跟随进行练习。
2. 代数法：通过运用数学运算规则和性质，将不等式转化为等价的形式，从而求解不等式。
演示解不等式的代数法步骤，并让学生进行练习。
练习与巩固（20分钟）：1. 给学生分发练习题，包括不等关系的填空题和不等式的求解题。
确保题目涵盖不同难度和类型，以满足不同学生的需求。
2. 引导学生独立或合作完成练习题，并及时给予指导和反馈。
3. 随堂检查学生的练习情况，并解答他们可能遇到的问题。
拓展应用（10分钟）：1. 提出一些实际问题，要求学生利用不等关系和不等式进行求解。
例如：“某超市举行促销活动，商品原价的80%作为折扣，你能计算出打折后的价格吗？”2. 鼓励学生思考如何将实际问题转化为数学不等式，并运用所学知识解决问题。
总结与反思（5分钟）：1. 总结不等关系和不等式的概念和解题方法。
不等关系与不等式(第一课时 )
不等关系与不等式（第一课时）课题：3．1．1 不等关系与不等式（第一课时）教学目标：1．了解不等式（组）的实际背景，掌握比较实数大小的方法；2．经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，体会不等式、方程以及函数之间的联系；3．通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，培养学生对客观世界的认识能力；体会不等式组对于刻画不等关系的意义和价值．教学重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；教学难点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；教学方法：启发式教学，讲解法教学用具：多媒体授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：1、创设情境引入课题：问题1 请同学们看这几幅图片，能感觉到美吗？请同学们欣赏美，感受美．【设计意图】选用几幅重叠起伏的壮丽画图（章头图）让学生自由的展开联想，把学生引入到“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然中，让学生感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式的实际背景，唤起学生的学习热情．（教师:该山具有雄山的刚毅，秀山的温柔，灵山的潇洒，此山是以自然景观为载体，人文景观为内涵的庐山.正因为庐山之美，古往今来，多少文人墨客到此为庐山题诗作画，同学们记得大诗人苏轼为庐山题写的《题西林壁》吗（学生回答）？正如诗中所提到的“高”与“低”，“远”与“近”描述的是庐山在数量上的一些不等关系，谈到不等关系，同学们会想到我们非常熟悉的不等关系，相等关系体现的是整齐划一之美，不等关系体现的是错落有致之美）问题2 庐山为什么美？请同学们思考．【设计意图】通过《题西林壁》中所提到的“高”与“低”，“远”与“近”让学生感受庐山的美丽，进而把这种“美”上升到一个高度---不等关系，引出课题．在引出不等关系的定义之后，教师指出：在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．2、具体情境感受不等关系：问题：请同学们从下列情境中感受不等关系，并说出每幅图片中都有哪些不等关系？1）古代文明代表作之一----金字塔2）现代化大都市3）股票K线图4）宇宙空间5）科幻中的星球人归纳总结（师生探讨）：人们经常用长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．【设计意图】课程标准明确提出：通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．该问题的设计，通过大量的学生感兴趣的和富有时代感的素材，让学生感受不等关系，使学生认识到不等关系是客观存在的广泛的数量关系．3、不等关系的数学表示：通过大量事实，在学生感受完不等关系之后，教师指出不等关系与我们生活息息相关，同时提出如下问题：问题1 数学来源于生活，并应用于生活，生活中的不等关系该如何研究?在数学上，我们常运用不等式来研究不等关系的问题．问题2 什么是不等式？不等式的定义：我们用数学符号，连接两个数或不等式，以表示他们之间的不等关系，含有这些符号的式子叫做不等式问题3 不等式是刻画现实世界和日常生活中数量之间差异的一种工具，用不等式如何刻画生活中的不等式关系呢？实例1如下两个图标，请同学说出不等关系和不等式．限速标志限高标志实例2 该酸奶中脂肪的含量f 不少于2．5%，蛋白质的含量p不少于2．3%，写成不等式组为：实例3 如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形.将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取一张纸片,若抽到的是一个半圆则甲方赢；若抽到的是个一个正方形则乙方赢。
不等式与不等关系(第一课时)教案
§3.1不等式与不等关系【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：40v ≤引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
高中数学 3.1不等关系与不等式教案(4) 新人教A版必修5 教案
【教学目标】1.通过具体情境让学生感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。
2．建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系。
3．了解不等式或不等式组的实际背景。
4.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题。
【重点难点】重点:１.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性。
２.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。
3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。
难点:1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系。
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题。
【方法手段】1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。
3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。
【教学过程】【教学反思】(【设计说明】)本节课内容很多，都是不等式和不等式组的有关问题，还有很多是生活中的实例，学生学习起来很感兴趣，课堂的气氛也很好，大多数学生都能很积极地回答问题，使课堂的学习气氛很浓，确实也做到了愉快教学。
设计是按照老师引导式教学，边讲授边引导，启发学习思考问题及能自己解决问题，锻炼学习能自主的学习能力。
【交流评析】一是课堂容量适中，二是实例很好，接近生活，学生感兴趣。
三是学生回答问题积极踊跃，和老师配合很好。
四是多媒体应用的恰到好处，教学设备很完善，老师也能很熟练的应用。
姓名：李春霞学校：四十七中联系方式26918825--5219时间2007-11月。
经典教案3.1不等关系与不等式(1).doc
（2）当销售量小于 吨时，即 ，公司亏损，即 .
【方法总结】正确理解图象所表达的意思是解决该问题的关键.
例2 比较 与 的大小，其中 R.
【审题要津】比较 与 的大小，只要作差后判出差的符号即可.
解：
， .
【方法总结】两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：
解： .
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9 、4 、3 ，乙种饮料用用奶粉、咖啡、糖分别为4 、5 、5 ，已知每天使用原料为奶粉3600 、咖啡2000 、糖3000 .写出满足上述所有不等关系的不等式.
解：设配制甲种饮料 ，配制乙种饮料 .
则
8.比较 与 .
解： - = .
第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.
例3 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.
4.不等式 的含义.
不等式 应读作“ 大于或者等于 ”，其含义是指“或者 > ，或者 = ”，等价于“ 不小于 ，即若 > 或 = 之中有一个正确，则 正确.
5.能否正确对“问题2”和“问题3”列式.（见课本）
6.实数比较大小的依据与方法.
（1）如果 是正数，那么 ；如果 等于零，那么 ；如果 是负数，那么 .反之也成立，就是.（ >0 > ； =0 = ； <0 < ）.
解：由已知图形知： ，由此得： .
3.1.1不等关系与不等式教案
3、1、1不等关系与不等式（第一课时）教学目标：1、知识与技能目标：（1）、理解不等关系及其在数轴上的几何表示。
（2）、会用两个实数之间的差运算确定两实数之间的大小关系，能比较两个代数式的大小。
2、过程与方法目标：（1）教师提出问题，素材，并及时点拨，与学生进行交流，分析，抽象出数学模型。
（2）设计较典型的问题，通过学生自主探究，激发学习兴趣和积极性。
3、态度情感与价值观目标：（1）通过具体情景，让学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。
（2）培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而培养学生的实践能力。
进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想。
教学重点：实数（代数式）大小比较的基本方法：作差法。
教学难点：判断差的符号难点突破方法：1、结合实例强化2、小组合作探究教法：“自主学习、合作探究、精讲点拨、有效训练”四环节教学法学法：尝试、探究、讨论、总结、运用教具：投影仪板书设计：黑板中央板书课题，左侧依次书写定义、实数（代数式）大小的比较法，其余位置留作演算使用，屏幕保留小结和作业。
教学过程：1、新课引入：现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，同学们能举出一些例子吗？如：（1）天气预报说：今天早晨最低温度为22℃，今天白天的最高温度为30℃，若用t表示气温，那么用数学表达式可写成22℃≤t≤30℃（2）上一章学习的等比数列中规定q≠0（3）根号a中，a的取值范围是什么？a非负实数，即a≥0（4）提问两同学的身高问题，让全体同学比较其大小关系。
如A＞B2、合作探究：（学生思考并回答以下问题）问题一：不等式的定义用不等号连接两个解析式（以表示它们之间的不等关系）所得的式子，叫做不等式．不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．（强调“≥、≤”的读法中的“或”引出问题二）问题二：2≥2，这样写正确吗？（“≥“的含义是什么？）这样写是对的，因为“＞”和“=”只要一个满足就可以了，即a≥b表示a＞b或a=b ，同样a≤b即为a＜b或a=b。
《不等关系与不等式》第一课时参考教案
课题: §3.1不等式与不等关系第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h，写成不等式就是：v40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
3.1不等关系与不等式第一课时教案-人教A版数学必修五第三章不等式
第三章不等式3.1 第一课时不等关系与不等式1 教学目标[1]会用不等式表示现实生活中的不等关系[2]会用不等式或不等式组解决实际问题[3]理解和掌握不等式的性质并能用于解答问题2教学重点/难点重点：用不等式表示不等关系难点：运用不等式的性质进行解题3专家建议针对不等式的每一个性质进行加深讲解，使学生对每一个性质都要理解透切，不仅要理解，重要的是如何运用，并通过举例计算增强学生的解题能力。
4 教学方法启发式教学，互动探究式教学5 教学过程5.1 引入【师】谁知道高速公路的速度是怎样规定的？【生】讨论回答【板演/PPT】最高速度不得超过每小时120公里，最低速度不等低于每小时60公里【师】还有，现在中国富豪榜前两位是谁，同学们知道吗？【生】讨论，思考【师】第一，王健林2200亿，第二，马云1450亿，马云被超了，但相对其他富豪，马云仍是老大，是不是？【师】同学们，速度有大小之分，财富有多少之分，生活中的众多事物都存在着不等关系，相等是相对的，不等才是一定的。
那么我们是如何表示这些不等关系的呢？【生】不等式【板演/PPT】我们用不等式来表示不等关系5.2 新知介绍[1] 不等式表示不等关系【师】同学们，先来看看几个问题【板演/PPT 】问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则有什么不等关系？问题2：某商店经营一批季节性小家电，每个成本40元，经市场预测，定价为50元，可销售200个，定价每个增加1元，销售量将减少10个，若把价格定为x 元，则怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于2000元呢？【生】讨论，思考【板演/PPT 】问题1：||AB d ≤问题2：2000)40(]10)50(200[≥-⨯⨯--x x【师】通过上面两个例子，我们知道，可以用简单的一个不等式表示一个不等关系，那么同学们再看以下一个问题。
【板演/PPT 】问题3：某网站要生产A ，B 两类型的教参，每套教参需要制作和审核两道过程，已知A ，B 类型的教参每套的制作过程的时间分别需要1小时和2小时，审核时间分别需要3小时和1小时，又知制作过程和审核过程每天时间分别不得超过8小时和9小时，而网站A 类和B 类教参每套分别获利润2千元和3千元。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课时)教案 高二数学教案
3.1不等关系与不等式（1）
一、教学目标：
1．知识与技能：
通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．
2．过程与方法：
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．
3．情感、态度与价值观：
通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．
重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式
三、教学模式与教法、学法
教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
(3)
a b
a b
b a
a b a
a b b
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭。
3.1不等关系和不等式教案
3.1不等关系和不等式（第一课时）学习过程：一、课题引入现实世界和日常生活中，也普遍存在着大量的不等关系，例如：1、三角形三边之间的关系2、同班同学身高之间的关系。
3、公路上各种车辆的速度之间的关系你能不能再举出一些存在着不等关系的例子呢?二、不等关系是普遍存在的请同学们指出下列问题中哪两者之间存在着不等关系？1、今天的天气预报说：明天白天的最高温度为13℃；40 白天的气温t与13℃之间存在不等关系，t≤13℃2、a是一个非负实数。
a的取值与零之间存在着不等关系，a≥03、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.汽车的速度v 与40km/h之间存在不等关系，v≤40你能不能用不等符号把上述关系表示出来呢？三、不等式1、像这样，用不等号（<,>,≤,≥,≠）表示不等关系的式子就叫不等式。
其中“<”或“>”连结的不等式叫严格不等式。
用“≤”或“≥”连结的不等式叫非严格不等式。
2、不等式a b ≤的含义：不等式a ≤b 的含义是“a b <”或“a b =”。
等价于“a 不大于b ”，即a b <和a b =之中有一个成立，则a ≤b 成立。
3、小常识：“不等号”是英国数学家哈里奥特（T.Harriot ）于1631年开始使用的，但当时并没有被数学界所接受，直到100多年后，才逐渐成为标准的应用符号。
感悟体验1、2008年9月25日9时，我国“神舟七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了中华民族千年的又一飞天梦想，这是自1970年4月4日成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国航天史上又一新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家。
“东方红一号”与“神舟七号”部分参数的对比见下表，请把表格补充完整。
“东方红一号”与“神舟七号”部分参数对比表分析：观察参数对比可以发现ab s s ''>，a b s s >，a b t t >，a b m m <这些不等式关系，从而说明“神舟七号”飞船比“东方红一号”卫星在很多方面都有了较大的发展。
《不等式与不等关系》教案
《不等关系与不等式》教学设计一教学目标1．掌握比较两个实数大小的方法．2．掌握不等式的八条性质，并能进行简单应用．二教学重难点重点：1.作差法比较两个实数（式）的大小.2.不等式的八条性质的理解和应用.难点：不等式性质的理解和应用.三教学过程（1）复习引入师：在上节课的学习中，我们知道生活中存在着大量的不等关系，怎样用数学语言表示这些不等关系呢？生：用不等式表示.师：本节课我们就具体来学习不等关系与不等式。
（板书课题）（2）课堂探究探究一实数（式）比较大小在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：如果a－b>0，那么；如果a－b<0，那么；如果a－b=0，那么 .该结论反过来也成立，即a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. 师：从这种等价关系来看，要比较两个实数a，b的大小，可以由它们的差与0的大小关系来决定，即作差法。
例1 试比较 (x+1)(x+5) 与23（+的大小.x）解由于 (x+1)(x+5)−2)3x(+=)9+xx+x-x6(6+)5(2+=-4<0所以 (x+1)(x+5)<23（+.x）师：请你总结作差法比较实数大小的方法。
生：作差变形判断符号得出结论。
师：在变形时，常用的方法有：配方法，因式分解、分子有理化等，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．练习设a=2x−x,b=x−2,则a与b的大小关系为( ).A.a>bB.a=bC.a<bD.与x有关生：自主思考，由一名学生黑板展示并讲解。
探究二不等式的基本性质师：初中我们学过哪些不等式的性质？生：性质1(对称性) 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.性质2(传递性) 如果a>b，b>c，那么a>c.性质3(可加性) 如果a>b，则a+c>b+c.性质4(可乘性) 如果a>b，c>0，则a c>bc；如果a>b，c<0，则a c<bc.师：思考：用“>”或“<”填空（1）如果a>b,c>d,则a+c b+d（2）如果a>b>0,c>d>0,则a c bd(3) 如果a>b>0,则2a2b(4) 如果a>b>0,.生：独立思考后小组交流，由一个小组回答并证明.师：这样我们就讲不等式的性质又拓展出以下四条：1. （同向可加性）如果a >b ，c>d ，则a +c>b+d ；2. （同向同正可乘性）如果a >b>0，c>d>0，则a c>bd ；3. （可乘方性）如果a >b>0，则n n b a >，(n ∈+N )；4. （可开方性）如果a>b>0，则n n b a >，(n ∈+N , n ≥2).例2 若0>>b a ，0<<d c ，则下列结论正确的是（ ）A. 0>-b d c aB.0<-b d c aC.c b d a >D.c b d a <生：思考后，由一名学生回答。
高三数学不等关系与不等式教案
高三数学不等关系与不等式教案教案：高三数学不等关系与不等式一、教学目标：1. 理解不等关系的含义和性质；2. 掌握不等式的基本性质和解法方法；3. 能够应用不等式解决实际问题。
二、教学内容：1. 不等关系：a. 不等关系的定义；b. 不等关系的性质。
2. 不等式：a. 不等式的定义；b. 不等式的基本性质；c. 不等式的解法方法；d. 不等式的实际应用。
三、教学过程：1. 不等关系：a. 引入不等关系的概念，通过实际例子说明不等关系的含义；b. 讲解不等关系的定义，并通过例题让学生理解不等关系的性质。
2. 不等式：a. 讲解不等式的定义和基本性质，包括加减乘除等运算对不等式的影响；b. 教授不等式的解法方法，包括图像法、试数法和代数法；c. 通过例题和练习让学生掌握不等式的解题技巧。
3. 不等式的实际应用：a. 引导学生观察和分析实际问题中的不等关系；b. 结合实际问题，讲解不等式在解决实际问题中的应用；c. 练习解决实际问题的不等式。
四、教学评价：1. 课堂练习：通过课堂上的例题和练习题，考察学生对不等关系和不等式的理解和掌握程度；2. 作业完成情况：布置相关的作业，检查学生对知识点的掌握情况；3. 课堂参与度：评价学生在课堂上的积极参与程度以及对问题的思考和解答能力。
五、教学资源：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：黑板、彩色粉笔、多媒体投影仪等。
六、教学反思：1. 需要注重练习：不等式解题需要通过大量的练习来提高方法和技巧；2. 注意引导思考：教师要注重引导学生思考，让学生在解题过程中不仅能够得到正确答案，更重要的是理解解题的原理和思路；3. 结合实际应用：要注重将不等式的知识点与实际问题相结合，让学生能够在实际生活中灵活运用。
3.1不等关系与不等式教案
一、复习准备： 1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？ 1.实数的运算性质与大小顺序之间的关系（1）如果a b -是正数，那么a b >； a b ->0⇔a >b ；如果a b -等于零，那么a b =； a b -=0⇔a =b如果a b -是负数，那么a b <. a b -<0⇔a <b ）.反之也成立，就是.（；【例1】b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若在添上m 克糖()0m >，问：糖水是否变甜了. 请依据此事实，提炼一个不等式并回答问题.2.不等式的性质：1.性质1（对称性）如果 a>b ，那么 ；如果b a <，那么 .即a b b a >⇔<.2.性质2（传递性）如果,a b b c >>，那么 .即,a b b c a c >>⇒>.同理 .3.性质3（加法法则）如果 a>b ，那么a c + b c +.（是不等式移向法则的基础）4.性质4（乘法法则）如果 a>b ，0c >，那么 . 如果 a>b ，0c <，那么 . （a 、b 可以是数字，也可以是代数式，运用过程中一定要注意c 的符号）5.性质5（同向可加性）如果,a b c d >>，那么a c + b d +.（两个或多个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向）6.性质6（同向可乘性）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd .7.性质7（乘方法则）如果 ，那么,n n a b >（n ∈N ，2n ≥）.8.性质8（开方法则）如果，那么>（n ∈N ，2n ≥）.（性质6、7、8注意条件）【例2】用不等号“>”或“<”填空:(1),a b c d a c ><⇒- b d -.(2)0,0a b c d >><<⇒ac bd .(3)0a b >>⇒（4）0>ab ，则a b a 1⇔> b 1；0<ab ，则a b a 1⇒> b 1. 【变式训练】比较下列两数(或代数式)的大小:(2)()22121x y x y +++-与. 【例3】已知 1260,1536a b <<<<，则a b -及a b 的取值范围分别是. 【变式训练】 1.已知22ππαβ-<<<，求αβ-的范围.2.若二次函数()y f x =的图象过原点，且()()112,314,f f ≤-≤≤≤求()2f -的取值范围.教学过程一、复习不等式性质二、讨论讲解【例1】已知0,0a b c >><,求证:c c a b >. 【变式练习】1.已知0,0a b c d >>>>,求证>2.已知0,0,0,a bc d e >><<<求证：e e a c b d>--. 【例2】 若0,0a b >>,求证:22b a a b a b+≥+. 【变式练习】已知a 、b . 【例3】若R b a ∈,，求证: ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）；【变式训练】证明下列不等式(1)若0,>b a ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；(2)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）； （3）若0,>b a ，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+（当且仅当b a =时取“=”）.。
人教A版数学《不等关系与不等式》(一)教案
福建省长乐第一中学高中数学必修五《3.1 不等关系与不等式（一）》教案第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.教学重点：从实际问题中找出不等关系.教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元；二、讲授新课：1、教学用不等式表示不等关系① 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.② 举例：例如：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是v ≤40. ③ 文字语言与数学符号之间的转换.文字语言 数学符号 文字语言 数学符号大于 > 至多 ≤小于 < 至少 ≥大于等于 ≥ 不少于 ≥小于等于 ≤ 不多于 ≤④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a<b,那么a-b 是负数;如果a-b 等于0.它们的逆命题也正确.即(1)0;(2)0;(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<2、教学例题：①出示例1：日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。
（浓度＝溶质溶液） ②出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入还不底于20万元呢？（教师示范 → 学生板演 → 小结）3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.三、巩固练习：１.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买３片和２盒，请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。
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课题: §3.1不等式与不等关系
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h，写成不等式就是：
v
40
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
2.5%2.3%
f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1
x x --⨯万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
2.5(80.2)200.1
x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
5.评价设计
【板书设计】【授后记】。