集合间的包含关系 课件

【解】 M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}．P＝{x|x＝b2 －4b＋3＝(b－2)2－1，b∈R}＝{x|x≥－1}．
如图所示，可知M P.
规律技巧 对于两个无穷数集，可借助数轴来确定它们之 间的关系．
三 集合相等及应用
【例3】
若
1，a，ba
＝
0，a＋b，a
2
，则a2014＋b2014的值
(3)包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推 出x∈B，那么A⊆B(或B⊇A)．
不包含的定义也可以表述为：对于两个集合A与B，如果 集合A中至少有一个元素不是集合B的元素，那么A B(或B⊉
A)． (4)不要把子集理解为由集合B中的部分元素组成的集合是
B的子集．这样与∅⊆B相抵触，更与B⊆B相矛盾．
1.集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 自
子集 A⊆B B⊇A 我
2.是一样的 相等 A＝B 校
3.x∉A 真子集 A B(或B A) 对
4.不含任何元素的集合 ∅ 子集 真子集
思考探究1 “∈”与“⊆”有什么区别？ 提示 “∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示 集合与集合之间的关系． 思考探究2 ∅与{0}有什么区别？ 提示 (1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元 素0的集合，∅ {0}.
为________．
【解析】 利用集合相等，它们所含的元素相同来确定a， b的值，再求a2014＋b2014的值．
∵1，a，ba＝{0，a＋b，a2}， ∴0∈1，a，ba，∴b＝0. 此时有{1，a,0}＝{0，a，a2}，∴a2＝1，∴a＝±1. 当a＝1时，不满足互异性． ∴a＝－1.∴a2014＋b2014＝1.
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A； ②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B⊆A，得 mm≥ ＋21， ≥－2， 2m－1≤5，
，解得2≤m≤3.
由①②得m≤3. ∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
【错解】
由B⊆A，得 m2m＋－1≥ 1≤－52，， m＋1≤2m－1，
解得2≤m≤3.
【错因分析】 上述解法是初学者解此类问题的典型错误 解法．原因是考虑不全面，由集合B的含义及B⊆A，忽略了集 合B为∅的可能而漏掉解．因此题目若出现包含关系时，应首先 想到有没有出现∅的可能．
【正解】 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－ 1}，且B⊆A.
【答案】 1
规律技巧 (1)两个集合相等，则所含元素完全相同，与 顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素的互异性或与已知 相矛盾的情形．
(2)证明两个集合相等常用方法是证：A⊆B，且B⊆A.
四 集合基本关系的应用 【例4】 已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}，若
A B，求实数a的取值集合．
规律技巧 写一个集合的子集时，按子集中元素的个数多 少，以一定顺序来写不易发生重复和遗漏．
二 集合间包含关系的判定
【例2】 设M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，P＝{x|x＝b2－4b＋ 3，b∈R}，试确定M与P的关系．
【分析】 集合M与P都是数集．可分别求出x的取值范 围，借助数轴判断M与P的关系．
【解】 将数集A表示在数轴上(如下图所示)，要满足 A B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右 边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．
规律技巧 这类问题，要利用数轴，数形结合，以形定数. 同时要注意验证端点值，做到准确无误.
易错探究
【例5】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋ 1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
3．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且________，我们称 集合A是集合B的______，记作______．
4．我们把________叫做空集，记为________，并规定： 空集是任何集合的________．若A非空，则∅是A的________．
5．任何一个集合是它本身的________，即 A________A．对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么 A________C.
名师点拨 1.子集概念的理解 (1)子集的概念是由讨论集合与集合间的关系引出的，两 个集合A与B之间的关系如下：
A⊆BAA＝≠BB⇔⇒AA⊆BB，且B⊆A A B
其中记号A B(或B A)表示集合A不包含于集合B(或集合
B不包含于集合A)． (2)子集具有以下性质： ①A⊆A，即任何一个集合都是它本身的子集． ②如果A⊆B，B⊆A，那么A＝B. ③如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C. ④如果A B，B C，那么A C.
2．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合， 这种图形称Venn图．Venn图对抽象集合或离散的数集表示其关 系很方便，且有直观明了的效果，特别在下节集合的运算中应 用更为简捷．
典例剖析 一 求给定集合的子集及其个数
【例1】 分别写出下列各集合的子集及其个数：∅， {a}，{a，b}，{a，b，c}．
பைடு நூலகம்
【解】 ∅的子集：∅，即∅有1个子集； {a}的子集：∅，{a}，即{a}有2个子集； {a，b}的子集：∅，{a}，{b}，{a，b}，即{a，b}有4个子 集； {a，b，c}的子集：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}， {b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集．
1．1.2 集合间的基本关系
课前热身 1.对于两个集合A，B，如果________________________ ______________，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________或________． 2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的 子集(B⊆A)，此时集合A和集合B中的元素________，因此，集 合A与集合B________，记作________．