幻方

奇数阶幻方

教授（带图）

（1）五阶幻方

（2）七阶幻方

（1）幻方简介：

幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。幻方也是一种汉族传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。幻方也称纵横图、魔方、魔阵，发源于中国古代的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。

《周易本义》中的《洛书》，一个三阶幻方

宋杨辉著《续古摘奇算法》中曾叙述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”。

（2）解幻方方法：

1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）

奇数阶幻方

n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：

把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：

(1)每一个数放在前一个数的右上一格；

(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；

(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

口诀：

1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样

图一

2、单偶数阶幻方

()122＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例）

① 把()122＋

＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二)

图二

（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋

m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方）

② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入(

)

2

2

21a a ——＋、

在C 中填入(

)

2

2

312a a ——＋

、在D 中填入(

)

2

2

413a a ——＋均构成幻方（2

n

a ＝）(如图三)

图三

（因为12＋

m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方）

③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个

方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)：

图四

不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6

＝n 时，1＝

m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的

数字对调。（如图五）

图五

3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六）

图六

② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色（以便于区分），然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格（如图七）

图七

（正确理解“每行每列中任取一半的方格”。本例中因为4＝m ，所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格）

③ 从左上角的方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方，遇到有底色的方格跳过，计数，这样填满了没有底色的方格（如图八）

图八

（从左上角开始按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方，当遇到有底色的方格时空出不填即可）

④ 从右下角的方格开始，按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大依次填入n 阶幻方，这样填满了有底色的方格(如图九)

图九即为所求幻方。

图九

或者

对于n=4k 阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k 个方阵。

因为n 是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4