幻方

奇数阶幻方教授（带图）（1）五阶幻方（2）七阶幻方（1）幻方简介：幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。

幻方也是一种汉族传统游戏。

旧时在官府、学堂多见。

它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

幻方也称纵横图、魔方、魔阵，发源于中国古代的洛书——九宫图。

公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。

2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。

”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。

九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。

”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。

《周易本义》中的《洛书》，一个三阶幻方宋杨辉著《续古摘奇算法》中曾叙述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”。

（2）解幻方方法：1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。

填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

口诀：1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例）① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二)图二（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方）② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2na ＝）(如图三)图三（因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方）③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)：图四不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。

（如图五）图五3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六）图六② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色（以便于区分），然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格（如图七）图七（正确理解“每行每列中任取一半的方格”。

本例中因为4＝m ，所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格）③ 从左上角的方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方，遇到有底色的方格跳过，计数，这样填满了没有底色的方格（如图八）图八（从左上角开始按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方，当遇到有底色的方格时空出不填即可）④ 从右下角的方格开始，按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大依次填入n 阶幻方，这样填满了有底色的方格(如图九)图九即为所求幻方。

图九或者对于n=4k 阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4*4把它划分成k*k 个方阵。

因为n 是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

（图中红色数字可用中心对称得到）（3）幻方的故事：幻方（magicsquare）起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。

《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。

易十数为体，八九为用，八九不离十。

《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型。

汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟------此不易之道也”等等。

但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。

同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献。

（4）特殊的幻方一、间隔幻方这个幻方每行、每列、每条对角线上8个数的和都是260。

如果把相邻的数按行、按列隔一个取一个，可以把这个幻方分成两个四阶幻方：1 24 43 6235 54 9 3247 58 5 2013 28 39 5022 3 64 4156 33 30 1160 45 18 726 15 52 37这两个四阶幻方每行、每列、每条对角线上4个数的和都是130。

所以叫做“间隔幻方”。

二、多重幻方这个幻方不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和都是260，而且每行、每列、每条对角线上8个数的平方和都是11180，所以叫做“多重幻方”。

三、双料幻方这个幻方不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和都是840，而且每行、每列、每条对角线上8个数的积都是2058068231856000，所以叫做“双料幻方”。

四、同心幻方这个既包括由1～49共49个数组成的7阶幻方，又包括由13～37共25个数组成的5阶幻方，还包括由21～29共9个数组成的3阶幻方。

三个幻方的中心都是25，所以叫做“同心幻方”。

五、母子幻方这个九阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上9个数的和相等，都是369。

它还包含9个三阶幻方（由粗线围成）。

每个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上3个数的和相等，分别是96、231、42、69、123、177、204、15、150，所以，这个幻方叫做“母子幻方”。

六、颠倒幻方1 9 8 68 6 1 96 8 9 19 1 6 8这个幻方如果颠倒过来（绕中心旋转180°）就成为：8 9 1 61 6 8 96 1 9 89 8 6 1也是幻方，所以叫做“颠倒幻方”。

七、质数幻方47 113 1729 59 89101 5 71这个幻方中的9个数都是质数，所以叫做“质数幻方”。

八、魔术幻方125 191 248 169 11648 114 171 92 39136 202 259 180 12769 135 192 113 6064 130 187 108 55这个形似幻方的方阵并不具有幻方的一般特性。

它的奇妙之处在于：你可以任意圈出一个数，然后把与这个数同在一行和同在一列的其余的数划掉；再圈出一个没有划掉的数，然后把与这个数同在一行和同在一列的其余的数划掉；照这样进行下去，直到最后只剩下5个被圈出的数，它们的和一定等于666。

所以叫做“魔术幻方”。

“666”可不是一个普通的数，它就是大名鼎鼎的“野兽数”，对此有兴趣的网友，可以看一下拙文“‘野兽数666’的来历和趣闻”。

九、反幻方1 2 3 4 51 2 34 16 17 18 19 61 2 3 12 13 14 515 24 25 20 78 9 4 11 15 16 614 23 22 21 87 6 5 10 9 8 713 12 11 10 9这三个形似幻方的方阵不仅没有幻方的一般特性，恰恰相反，它的每行、每列、每条对角线上那些数的和都不相等。

所以叫做“反幻方”。

（5）与幻方有关的的故事或图画：（1）那女子沮丧失色，身子摇了几摇，突然一交跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。

那女子面如死灰，叹道：“只道这是我独创的秘法，原来早有歌诀传世。

”黄蓉笑道：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇。

就说四四图罢，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十。

这般横直上下斜角相加，皆是三十四。

”那女子依法而画，果然丝毫不错。

黄蓉道：“那九宫每宫又可化为一个八卦，八九七十二数，以从一至七十二之数，环绕九宫成圈，每圈八字，交界之处又有四圈，一共一十三圈，每圈数字相加，均为二百九十二。

这洛书之图变化神妙如此，谅你也不知晓。

”举手之间，又将七十二数的九宫八卦图在沙上画了出来。

——金庸《射雕英雄传》第二十九回黑沼隐女可以看出上文中瑛姑考校黄蓉的“九宫图”就是一个四阶幻方，也就是“洛书”、“九宫”，而黄蓉的回答也正是古代数学家们所给出的解决幻方的方法。

（2）这幅图《忧郁》是德国画家、版画家及木版画设计家阿尔布雷特·丢勒（Albrecht Dürer）最著名的版画之一。