离散数学及其应用课件第3章第3-5节

对称差运算满足如下性质： AA = A = A AB=BA （AB）C=A（B C）
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集合恒等式
名称
等式
恒等律 A =A， A E = A
支配律 A E=E， A =
幂等律 A A=A， A A = A
双重否定律 ~(~A) = A
交换律 A B = B A， A B = B A
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
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德.摩根定律
定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： （1） （AB）= A B （2） （A B）= A B 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x | xE(x(AB))} = {x | xE（（xA）（xB）}= {x | xE（xA xB）} = {x |（xExA ）（ xExB）}= A B （2）证明同（1）。
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集合运算的性质
定理3.3.4 设A，B为任意二个集合，则下列吸收律成立。 （1）A （AB）= A （2）A（A B）= A 证明 集合等式的证明还可以利用一些集合恒等式证明。 （1）对任意x, x A （AB） x（A B） x A （xA
xB） x A xA
所以A （AB）= A成立。
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结合律 A (B C)=(A B) C， A(B C)=( AB)C
分配率 A (B C)=(AB) (AC)， A (B C)=(
AB)( AC)
德摩根律 ~(A B) =~ B ~A，~(A B) =~A ~ B
吸收律 A (AB)= A， A(A B)= A
补律
A~A = ， A~A = E
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数定义为集合，即 0 n n {n},n N
由此可见，任一个自然数都是一个集合的名称。
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3.5 集合的特征函数
定义3.5.1 设E是全集，集合A是E的子集，定义集合A的特征函数 为：
1, fA : E {0,1}, fA(x) 0,
x A x E,且x A
根据特征函数的定义，可以得到一个长为n的0-1串表示集合A。
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
1
集合的并运算
定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集合 称为A与B的并集， 可表示为：
AB={x|xAxB} 其文氏图：
对于n个集合A1，A2 ….An的并集为:
n
U Ai A1 U A2 UL U An {x | (i)(x Ai )}
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自然数
自然数集合包含无限多元素，用空集和后继集可以把所有自然 数定义为集合。 定义3.4.1 设A是一集合，A的后继集A+为：
A+=A{A} 例3.4.1 已知集合A={1，2，3}，求A的后继集A+。 解 A的后继集 A+ =A{A} ={1，2，3}{{1，2，3}} ={1，2，3，{1，2，3}}
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例题
例3.5.1 设E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， 集合A={1,2,3,4,5}，集合 B={2,4,6,8,10}，利用特征函数表示集合A和B。 解 集合A的元素是1到5的整数，6到10的整数不属于集合A， 用特征函数表示集合A为1111100000；集合B的元素是大于1且 小于等于10 的偶数，用特征函数值表示集合B为0101010101。
i 1
2
集合的交运算
定义3.3.2 设A，B为集合，由同时属于集合A和集合B的元素组 成的集合，称为集合A与集合B的交集，可符号化表示为：
AB={x|xAxB}。
文氏图：
对于n个集合A1，A2 ….An的交集为:
n
Ai A1 A2 An {x | (i)( x Ai )}
i 1
3
当两个集合的交集是空集时，称它们是不交的。下面例 子中的B和C是不交的， 其文氏图如下：
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集合的对称差运算
定义3.3.5 设A，B为集合，由属于A而不属于B的所有元素和属 于B而不属于A的所有元素组成的集合，称为集合A与B的对称 差，记为AB。可符号化表示为： AB = {x |（xAxB）（xBxA）}
文氏图为：
AB=（A-B）（B-A） =(A ~B) (B ~A)
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例题
例3.3.4 设集合A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6} 则 AB={1，3，5，6}。
所以 A (B C) (A B) (A C) 14
例题
例3.3.5 证明 A (B C) (A B) (A C)
证明 利用集合恒等式证明
A(B C) A ~ (B C) A (~ B ~ C) ( A ~ B) ( A ~ C) (A B) (A C)
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例题
例3.3.6 证明AB当且仅当（A B）=B或（AB）=A。 证明 首先证明当（A B）=B或（AB）=A时，AB。
17
例题
例3.4.2 对于空集，求(1)+，(2) (+)+， (3)((+)+)+。 解 (1) +={}={} (2 ) (+)+ ={}+={}{{}}={，{}} (3) ((+)+)+={，{}}+={，{}}{{，{}}}={，{}，{， {}}}
若集合A有n个元素，则A的后继集A+有n+1个元素。
对任一xA，有xAB，当（A B）=B时，则有xB；当（AB） =A时，有x AB，从而xB。因而AB。 其次证明若AB则有（A B）=B或（AB）=A。
对任一xAB，有xA或xB。若xA，因为AB，则xB，所以任 一xAB均有xB。因而ABB。又因为BAB，所以（A B）=B。
对任一xA，若AB，则有xB，因而有xAB。所以A AB。又 因为AB A，所以（AB）=A。
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例题
例3.5.2 设E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， 集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8,10}， 计算~A，AB，AB，A−B。 解 集合A可表示为1111100000，集合B可表示为0101010101。 因此，把1111100000的每一位取反得：0000011111，即~A={6,7,8,9,10} AB表示为1111100000 0101010101=1111110101，即 AB={1,2,3,4,5,6,8,10} AB表示为1111100000 0101010101=0101000000，即AB={2,4} A−B=A ~B，~B的表示为1010101010，A~B表示为: 1111100000 1010101010=1010100000， 所以，A−B=A ~B={1,3,5}。
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集合的差运算
定义3.3.3 设A，B为任意二个集合，由属于A但不属于B的元 素构成的集合，称为A和B的差，又称为集合B对于A的补集或 相对补集，记为A−B。可符号化表示为：
AB={x|xAxB} 。 其文氏图如下：
A-B=A ~B
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集合的补运算
定义3.3.4 设E为全集，AE，则称 E和A的差集为A的补集 或绝对补集，记作A，即： A=E-A={x|xExA}。 或：A=E-A={x|xA}。
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例题
例3.3.5 证明 A (B C) (A B) (A C)
证明 对任意x,
x A(B C) xA xBC x A (x B x C) x A x B x C x A xB xC (x A x B) (x A x C) xABxAC x (A B) (A C)
集合运算的性质
定理3.3.3 设A，B，C为任意三个集合，则下列分配律成立。 （1）A（BC）=（A B）（A C） （2）A（B C）=（A B）（AC） 证明 用逻辑等价的方法证明。 （1）对任意x, x A（B C） x A x BC x A （x B xC）（x A x B）（x A xC） （xA B）（x A C） x（A B）（A C） 所以A（BC）=（A B）（A C）成立。 （2）证明同（1）。
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Hale Waihona Puke 自然数集0= 1 = + ={} 2 =（+）+={，{}} 3=（（+）+）+={，{}，{，{}}} …… 因此有：1=0+，2=1+，3=2+，……。以这些集合为元素构成的集合{0， 1，2，3，……}是自然数集合。 定义3.4.2 用空集和后继集 (紧跟在n后面的自然数)可以把所有自然
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集合运算的性质
定理3.3.1 设A，B为集合，则下列交换律成立。 （1）A B = B A （2）A B = B A 定理3.3.2 设A，B，C为任意三个集合，则下列结合律成立。 （1）（A B） C = A（B C） （2）（A B）C = A（B C） 证明 用逻辑等价的方法证明（2） 对任意x, x（A B） C x（A B） x C xA xB x C xA x（B C） xA （B C） 所以（A B）C = A（B C）成立。