2011年北约数学真题(含解析)

2011年北大等13校联考数学试卷
（文科做1-5题，理科做3-7题）
参考思路：
1、可以用余弦定理：先利用已知三边求出平行四边形一角的余弦值，则另一角的余弦值可知（互为相反数），再求未知对角线；也可以利用解几中的重要结论：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方和（不过要先建立坐标系证明该结论）。

2、最容易想到的方法自然是联立两抛物线方程，解出交点坐标，用两点式或点斜式表示……好吧，我承认这样做有点难算，不过其实也不算太难啦（最后化简结果似乎是不含根式的）。

当然，也可以先设直线方程Y=kX+b，与两抛物线分别联立，再对比所得交点的系数，从而得解（我的一位同学就是这样做的）。

3、常规题。

先求公差，再求通项，再求前n项和，最后利用二次函数的性质解之（注意n 为正整数），或利用an《=0且a（n+1）>=0解之（n和n+1下标）。

4、可以考虑反证法；不然就用余弦定理表示出cosC，把式子分子中的a、b利用原题中的不等式换成c，再用基本不等式，中间经过若干步转换，最后化简为cosC》=0.5，于是得证。

第4题解答：
6.
最绝的方法：
假设存在四个正实数满足题目，不妨按大小排列并计为A,B,C,D(A>B>C>D>0), 则：AB*CD*AC*BD*AD*CB=（ABCD）（ABCD）（ABCD）=2*3*5*6*10*16=28800 因为：27*27*27〈28800〈32*32*32
所以：ABCD的值小于32，但是AB=16，CD=2，ABCD=32
故不存在四个正实数满足题目。

方法1
假设存在四个正实数满足题目，不妨按大小排列并计为A,B,C,D(A>B>C>D>0), 则两两乘积分别为:AB,AC,AD,BC,BD,CD,
因为:A>B>C>D>0,所以AB>AC>AD,AB>AC>BC,AD>BD>CD,BC>BD>CD,
所以:AB>AC>AD>BC>BD>CD或者AB>AC>BC>AD>BD>CD,
所以:AB=16,AC=10,BD=3,CD=2,
所以:AB+AC/BD+CD=A/D=16+10/3+2=26/5,
所以:AB-AC/BD-CD=A/D=16-10/3-2=6,
因为6不等于26/5，所以不存在4个正实数满足题设.
从以上解析来看，需要假设4个正实数存，注意到乘积的大小，
构造等式AB+AC/BD+CD=AB-AC/BD-CD即可以简单解题。

在解题中，数字5与6没有用到，大大简化难度。

方法2
因为:AB=16,AC=10,BD=3,CD=2,
所以:ABCD=ABCD,即有AB*CD=AC*BD=BC*AD
而16*2=32,10*3=30,5*6=30，故这样的4个正实数不存在。

方法2巧妙运用ABCD=ABCD使题目迎刃而解。

方法3
因为;2*3=6
所以:CD*BD=BC或则CD*BD=AD
1.当CD*BD=BC,解出D=1,C=2,B=3,A=5,但AB=15与AB=16矛盾，故解不合理.
2.当CD*BD=AD,则有A=BCD,即BC=5,BD=3,CD=2,
即AB*AC*AD=AAAA=960,(BC*BD*CD)*(BC*BD*CD)=AAAA=900,矛盾故这样的4个正实数不存在.
方法3从2*3=6切入题目.。