实数指数幂及其运算教案

3.1.1 实数指数幂及其运算

1．整数指数

(1)一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即n n n a a a a a =⋅⋅⋅⋅个

叫

做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并规定a 1＝a .

(2)正整指数幂

在a n 中，n 是正整数时，a n 叫做正整指数幂． 正整指数幂具有以下运算法则：

①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③a

m a n ＝a m －n (a ≠0，m ＞n )；④(ab )m

＝a m b m .其中m ，n ∈N ＋.

(3)整数指数幂

在上述法则③中，限制了m ＞n ，如果取消这种限制，那么正整

指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a 0＝1(a ≠0)；②a －n ＝1

a n (a ≠0，n ∈N ＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a

b )n ＝a n b n ；③(a m )n ＝a mn .其中m ，n ∈Z .同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．

0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”．

【例1】化简：(a 2b 3)－2·(a 5b －2)0÷(a 4b 3)2.

解：原式＝2232464232

86()()1=()()a b a b a b a b

----⋅⋅⋅ ＝(a －4·a －8)·(b －6·b －6) ＝a －12b －12.

2．根式

如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算． 当n a 有意义时，式子n

a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．

n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零．

根式有两个重要性质：(1)(n

a )n ＝a (n ＞1，n ∈N ＋)，当n 为奇数时，a ∈R ，当n 为偶数时，a ≥0(a ＜0时无意义)；(2)n a n ＝

⎩

⎪⎨⎪⎧

a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数. 析规律 关于根式的知识总结

正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为负无意义，零取方根仍为零．

【例2－1】已知＝－a －1，则实数a 的取值范围是__________．

解析：|a ＋1|，

∴|a ＋1|＝－a －1＝－(a ＋1)．∴a ＋1≤0，即a ≤－1. 答案：(－∞，－1]

【例2－2】化简下列各式：

；

.

解：(1)原式＝(－2)＋2|＋2) ＝－2＋(2＋2)＝－2.

(2)＝(1＋1)＝

辨误区 根式运算应注意的问题

利用n

a n 的性质求值运算时，要注意n 的奇偶性．特别地，当n 为偶数时，要注意a 的正负．

3．分数指数幂

(1)分数指数幂的意义 正分数指数幂可定义为：

①1

n

a

＝

n

a (a ＞0)；②m n

a ＝(n

a )m

＝n

a m

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a ＞0，n ，m ∈N ＋，且m n 为既约分数.

负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：1=m n

m n

a a

-⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，n ，m ∈N ＋，且m n 为既约分数. 提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数． 感悟：1.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；

2．m n

a 与n

a m 表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互

转化；

3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但要注意在像1

4

()a -＝

4

－a

中的a ，则需要a ≤0.

(2)有理指数幂的运算法则：

①a αa β＝a α＋β；②(a α)β＝a αβ；(3)(ab )α＝a αb α(其中a ＞0，b ＞0，α，β∈Q )．

析规律 有理指数幂的运算

1．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的幂，底数不变，指数相乘；(3)积的幂等于幂的积．

2．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：

11112222()()a b a b +⋅-＝a －b (a ＞0，b ＞0)；111122222

()2a b a b a b ±=+±(a ＞0，b ＞0)．

【例3－1】求值：

(1)4

3

8-；(2)34

81；(3)323

-⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)23

27125-

⎛⎫

⎪⎝⎭

. 解：(1)44433433

3

18=(2)=2

=2=

16

⎛⎫⨯--

-

⎪-⎝⎭

. (2)3334434

4

4

=(3)=3=3=27⨯.