八年级上册——角平分线性质与判定

角平分线的性质

[问题]如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？

[操作]

作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于1

2

MN的长为半径作弧．两弧在

∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

[探索]

按以下步骤折纸

将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

[证明]

已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E

求证：PD=PE

证明：

[几何语言描述]

Q P在AOB

∠的平分线上

PD OA

⊥于D，PE OB

⊥于E

∴PD PE

=

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【例1】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？

【例2】如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ．求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．

【例3】如图，D 是ABC ∆的外角ACE ∠的平分线上一点，DF AC ⊥于F ，DE BC ⊥于E ，且交BC 的延长线于E 。 求证：CE CF =。

【例4】已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分

别是E 、F ，BD=CD ，求证：∠B=∠C ．

【例5】如图，在△ABC 中，已知AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．求

证：AB=AC+CD ．

【例6】如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论

【课后作业】

1、如图所示，∠B＝∠C＝90°，根据角平分线的性质填空：

（1）若∠1＝∠2，则________＝________；

（2）若∠3＝∠4，则________＝________．

2、如图所示，下列推理中正确的个数是（）

①因为OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD=PE；

②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；

③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=

1.5cm，则BC=（）

A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm

4、如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．下列结论中错误的是（）

A．PC＝PD B．OC＝OD

C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC

（第2题）（第3题）（第4题）

5、如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5 cm，BD＝3 cm，则点D到AB的距离为（）

A．5 cm B．3 cm C．2 cm D．不能确定

6、如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）

A．OD＞OE B．OD＝OE C．OD＜OE D．不能确定

7、如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD 之间的距离等于________

8、如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；

④BD平分∠ADC中，正确的结论是（）

A．①②B．①②③C．①②④D．只有①

（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）

9、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点

F在AC上，BD＝DF．求证：（1）DC＝DE；（2）CF＝EB．

10、如图，四边形ABCD中，AB=AD,CD=CD，点P是对角线AC上一点，PE

⊥BC于E,PF⊥CD于F，求证：PE=PF

11、如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，

BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．

求证：CE=CF．

12、已知，（如图）在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BF上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN

13、如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，三角形ABC的面积等于90，

AB=18，BC=12，求DE的长。

14、如图1，在△ABC中，∠A，∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB

与R，AB=7，BC=8,AC=9（1.）求BP、CQ、AR的长。（2）.如图2若CD⊥BO于D 求证∠OCD=1

2

∠A（3）.

如图3若BO的延长线叫AC于E，CO的延长线叫AB于F，若∠A=60°，求证：OE=OF.