【公开课课件】第2讲(理)计数原理与二项式定理
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二项式定理 经典课件(最新)
高中数学课件
[强化训练 4.1] (1)(2015 年高考·课标全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数
为( )
A．10
B．20
C．30
D．60
(2)(2019 年内蒙古包头一模)(x2－x＋y)5 的展开式中，x4y3 的系数为( )
A．8
B．9
C．10
D．12
(3)(2019 年河南一模)(2x2＋x－1)5 的展开式中，x3 的系数为________．
【思路分析】
高中数学课件
【解析】 (1)二项展开式的通项是 Tr＋1＝C4r(x y)4－r·(－y x)r＝(－1)rC4rx4－2ry2＋2r，
令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C42＝6.
(2)a＝πsinxdx＝(－cosx)|0π＝2，所以二项展开式的通项是 Tr＋1＝C6r(2 0
答案：(1)B (2)16 4
高中数学课件
高频考点 3 系数最大项问题
【例 3.1】 已知(3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x－1)n 的展开式的二项式 系数和大 992.
(1)求2x＋1x2n的二项式系数最大的项； (2)求2x＋1x2n的展开式系数最大的项．
高中数学课件
高频考点 4 特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式
【例 4.1】
求2x＋1x＋
25(x>0)的展开式经整理后的常数项．
【解】
解法 1：2x＋1x＋
25在
x>0
时可化为
x＋ 2
1x10，因而
Tr＋1＝C10r
1 10－r 2
二项式定理的推导课件2
【例 1】
(1)求3
x＋ 1x4的展开式；
(2)求值 C1n＋3C2n＋9C3n＋…＋3n－1Cnn．
[思路点拨] (1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展 开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．
[解]
(1)法一：3
x＋ 1x4＝(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
【例 2】 (1)求 n；
3 已知在
x－ 1 3
2
n
的展开式中，第 x
6
项为常数项．
(2)求含 x2 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨] 利用展开式中的通项公式求出当 x 的次数为 0 时 n 的值，再求解(2)(3)问．
[解] (1)由通项公式知，展开式中第 k＋1 项为
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解] 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x －1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．
类型 2 利用通项公式求二项展开式中的特定项
求二项展开式中的特定项
2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫作(a＋b)n 的二项展开式； (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n})叫作二项式系数； (3)展开式中的__C__kna_n_－_kb_k___叫作二项式通项，记作_T_k_＋_1__，它表 示展开式的第_k_＋__1项； (4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝ _C__0n＋__C__1nx_＋__C_2n_x_2_＋_…__＋__C__knx_k_＋__…__＋__C_nn_x_n ____．
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
二项式定理ppt课件
二项式定理的应用领域
总结词
二项式定理的应用领域非常广泛，包括组合数学、概率论、统计学和物理学等。
详细描述
二项式定理在数学中有着广泛的应用，它可以应用于组合数学中的排列和组合计 算，概率论中的概率分布计算，统计学中的样本方差和总体方差计算，以及物理 学中的量子力学和统计力学等领域。
02
二项式定理的公式与性质
统计力学
在统计力学中，二项式定理用于计算 分子在特定条件下可能处于的微观状 态数。
二项式定理在计算机科学中的应用
数据压缩
二项式定理用于计算数据压缩的比特率，以确定压缩后数据的存储空间。
加密算法
二项式定理用于实现某些加密算法，如RSA公钥加密算法。
二项式定理在其他工程领域的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，二项式定理用于计算系统的传递函数。
03
创新研究方法
随着数学研究方法的不断创新，二项式定理的研究方法也将不断更新和
完善，以适应新的研究需求和挑战。
THANKS
感谢பைடு நூலகம்看
二项式定理的化简技巧
合并同类项
在展开二项式定理后，可以将同类项 合并，以便简化表达式。
利用代数恒等式化简
利用二项式定理的逆用
在某些情况下，可以利用二项式定理 的逆用对表达式进行化简，如 $(ab)^n = sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k$。
在展开过程中，可以运用代数恒等式 对表达式进行化简，如 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
二项式定理展开与化简的应用
解决组合计数问题
二项式定理可以用于解决组合计 数问题，例如计算从 $n$ 个不同 项中选取 $k$ 个的不同方式的数
计数原理-完整版课件
解析： ∵C06＋C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝26＝64， ∴C16＋C26＋C36＋C46＋C56＝64－2＝62. 答案： 62
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
2020届一轮复习数学(理)：第11章第2讲 二项式定理 课件(39张)
解析 根据二项式系数的性质知,(x+y )2m的二项式系数最大的项有一项,即 ������2������������ =a,(x+y)2m+1的二项式系数最大的项有两项,即������2������������+1 =������2������������++11 =b.又13a=7b,所以 13������2���m��� =7������2������������+1,将各选项中m的取值逐个代入验证,知m=6满足等式.
������60+������61+������62+������63+������64 +������65+������66=26=64.
理科数学 第十一章：计数原理
(3)[2015 新课标全国Ⅱ,15,5分][理](a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的
系数之和为32,则a=
.
思维导引 展开后根据已知条件列方程求解或运用分配律结合通项求解.
理科数学 第十一章：计数原理
解析 解法一 (������2 + ������ + ������)4=[(������2 + ������)+������]4,(把“三项”当“两项”看) 其展开式的第r+1项的通项公式为Tr+1=������4r(������2 + ������)4−ry r,(利用通项公式求解) 因为要求x 3y 2的系数,所以r =2,即T3=������42(������2 + ������)4−2y 2=6(x 2+x )2y 2. 因为(x2 + x)2的展开式中x3的系数为2,所以x3y2的系数是6×2=12. 解法二 (x2+x+y )4 表示4个因式x2+x+y 的乘积, 在这4个因式中,有2个因式选y ,其余的2个因式中有一个选x,剩下的一个选x2 , 即可得到含x 3y 2 的项,(利用组合数公式求解) 故x3y2的系数是������42·������21·������11=12.
������60+������61+������62+������63+������64 +������65+������66=26=64.
理科数学 第十一章：计数原理
(3)[2015 新课标全国Ⅱ,15,5分][理](a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的
系数之和为32,则a=
.
思维导引 展开后根据已知条件列方程求解或运用分配律结合通项求解.
理科数学 第十一章：计数原理
解析 解法一 (������2 + ������ + ������)4=[(������2 + ������)+������]4,(把“三项”当“两项”看) 其展开式的第r+1项的通项公式为Tr+1=������4r(������2 + ������)4−ry r,(利用通项公式求解) 因为要求x 3y 2的系数,所以r =2,即T3=������42(������2 + ������)4−2y 2=6(x 2+x )2y 2. 因为(x2 + x)2的展开式中x3的系数为2,所以x3y2的系数是6×2=12. 解法二 (x2+x+y )4 表示4个因式x2+x+y 的乘积, 在这4个因式中,有2个因式选y ,其余的2个因式中有一个选x,剩下的一个选x2 , 即可得到含x 3y 2 的项,(利用组合数公式求解) 故x3y2的系数是������42·������21·������11=12.
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数
例2
已知二项式3
x－32x10.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
解
3
x－32x10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10(3
x)10－k－32xk
103k
x ＝Ck10310－k－23k· 2 (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究 若(1＋ 3)4＝a＋b 3(a，b 为有理数)，则 a＋b＝___4_4__. 解析 ∵(1＋ 3)4＝1＋C14×( 3)1＋C24×( 3)2＋C34×( 3)3＋C44×( 3)4 ＝1＋4 3＋18＋12 3＋9＝28＋16 3， ∴a＝28，b＝16， ∴a＋b＝28＋16＝44.
跟踪训练1 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋ 1)－1. 解 原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1)－ C55(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
展开式的第 4 项(k＝3)的二项式系数为 C310＝120.
解答
(2)求展开式第4项的系数； 解 展开式的第 4 项的系数为 C31037－233＝－77 760. (3)求第4项. 解 展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
解答
反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展 开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开 式中“项的系数”这两个概念. (2)第 k＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 Ckn. 例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数
例2
已知二项式3
x－32x10.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
解
3
x－32x10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10(3
x)10－k－32xk
103k
x ＝Ck10310－k－23k· 2 (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究 若(1＋ 3)4＝a＋b 3(a，b 为有理数)，则 a＋b＝___4_4__. 解析 ∵(1＋ 3)4＝1＋C14×( 3)1＋C24×( 3)2＋C34×( 3)3＋C44×( 3)4 ＝1＋4 3＋18＋12 3＋9＝28＋16 3， ∴a＝28，b＝16， ∴a＋b＝28＋16＝44.
跟踪训练1 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋ 1)－1. 解 原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1)－ C55(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
展开式的第 4 项(k＝3)的二项式系数为 C310＝120.
解答
(2)求展开式第4项的系数； 解 展开式的第 4 项的系数为 C31037－233＝－77 760. (3)求第4项. 解 展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
解答
反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展 开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开 式中“项的系数”这两个概念. (2)第 k＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 Ckn. 例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.
二项式定理ppt课件
二项式定理
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
二项式定理ppt课件
b=29.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课件新人教B版选修2_3
1.3.1 二项式定理
1.理解用组合的知识推导二项式定理,弄清其适用范围. 2.理解通项的意义,并会灵活运用通项,能区分项的系数与二项式 系数的不同. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的一些简单的问题.
二项式定理
0 n 1 n-1 2 n-2 2 (1)二项式定理:(a+b)n=C������ a +C������ a b+C������ a b +…+ ������ n +…+C������ b (n∈N+).
������ 名师点拨 (1)展开式中第r+1项的二项式系数 C������ 与第r+1项的系 数,在一般情况下是不相同的. (2)在通项中共含有a,b,n,r,Tr+1这5个元素,只要知道其中4个元素, 便可求出第5个元素的值.在有关二项式定理的问题中,常常会遇到: 知道这五个元素中的若干个(或它们之间的关系),求另外几个元素 的问题.这类问题一般是利用通项,把问题归结为解方程(组)或不等 式(组),这里要注意n为正整数,r为非负整数,且r≤n.
【做一做1-1】 (a+b)2n的二项展开式的项数是( A.2n B.n+1 C.2n+1 D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n, 所以展开式有2n+1项. 答案:C
)
0 1 ������ 【做一做 1-2】 化简:C������ (x+1)n-C������ (x+1)n-1+…+(-1)rC������ (x+1)nr ������ +…+(-1)nC������ = .
(1)展开式中含x的一次幂的项; (2)展开式中所有含x的有理项; (3)展开式中系数最大的项. 分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通 项求特定项.
1.理解用组合的知识推导二项式定理,弄清其适用范围. 2.理解通项的意义,并会灵活运用通项,能区分项的系数与二项式 系数的不同. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的一些简单的问题.
二项式定理
0 n 1 n-1 2 n-2 2 (1)二项式定理:(a+b)n=C������ a +C������ a b+C������ a b +…+ ������ n +…+C������ b (n∈N+).
������ 名师点拨 (1)展开式中第r+1项的二项式系数 C������ 与第r+1项的系 数,在一般情况下是不相同的. (2)在通项中共含有a,b,n,r,Tr+1这5个元素,只要知道其中4个元素, 便可求出第5个元素的值.在有关二项式定理的问题中,常常会遇到: 知道这五个元素中的若干个(或它们之间的关系),求另外几个元素 的问题.这类问题一般是利用通项,把问题归结为解方程(组)或不等 式(组),这里要注意n为正整数,r为非负整数,且r≤n.
【做一做1-1】 (a+b)2n的二项展开式的项数是( A.2n B.n+1 C.2n+1 D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n, 所以展开式有2n+1项. 答案:C
)
0 1 ������ 【做一做 1-2】 化简:C������ (x+1)n-C������ (x+1)n-1+…+(-1)rC������ (x+1)nr ������ +…+(-1)nC������ = .
(1)展开式中含x的一次幂的项; (2)展开式中所有含x的有理项; (3)展开式中系数最大的项. 分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通 项求特定项.
二项式定理课件(公开课)
b4 都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 四 个 b
系数
C0 4
C1 4
2 C4
C3 4
C4 4
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
归纳提高 将(a + b) n展开的结果又是怎样呢？ 发现规律 (a b)( a b) (a b) n 对于（a+b） =
问题一： 的展开式共 有多少项？为什么？每一项是怎么构成的？
共 2 2 2 8 项
问题二 :
若 ， 式中又是什么？ ，则展开
(a+b)3 = C30a3 + C31a2b + C32ab2 + C33 b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
问题三：
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？ 问题：
1 4 例1：展开（1＋ ) x
x 系数和第六项的系数.
例二：展开 (2 x
1
) ，并求x 1) 解: ( 2 x x x 1 6 1 5 2 4 3 [(2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) x 3 3 4 2 5 1 6 0 C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) ]
n个
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r 个括号中取b(其余括号中取a)的组合数 Cnr.那 么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？ 引出定理，总结特征 (a+b)n = Cn0an + Cn1an-1b + Cn2an-2b2 +
专题7 第2讲计数原理与二项式定理(理) 课件(50张)
5．(2016· 四川卷，2)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为 导学号 52134886 ( A ) A．－15x4 C．－20i x4 B．15x4 D．20i x4
[ 解析]
r 6－r r 二项式 x＋i 6展开的通项Tr＋1＝C 6 x i ，则其展开式中含x4的项是当
4．(2016· 全国卷Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会 合，再一选择 的最短路径条数为 导学号 52134885 ( B )
A．24
B．18
C．12
D．9
• [解析] E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计 数原理知，共6×3＝18种走法．
3．(2017· 全国卷Ⅲ，4)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为 导学号 52134884 ( C ) A．－80 C．40
[ 解析] 因为x3y3＝x· (x2y3)，
B．－40 D．80
其系数为－C3 22＝－40， 5· x3y3＝y· (x3y2)，其系数为C2 23＝80． 5· 所以x3y3的系数为80－40＝40． 故选C．
[ 解析]
由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可 2
4×3 1 2 2 1 2 1 得安排方式为C3· C4· A2＝36(种)，或列式为C3· C4· C2＝3× ×2＝36(种)． 故选D．
1 2．(2017· 全国卷Ⅰ，6)(1＋ x2 )(1＋x)6展开式中x2的系数为 导学号 52134883 ( C ) A．15 B．20
n
2．重要性质及结论 (1)组合数的性质：
n－m m C n ①Cn ＝__________ ； m－1 m m C C n n ②Cn＋1＝__________ ＋__________ ；
《二项式定理》课件
二项式系数是组合数的一种形式，记 为$C(n, k)$，表示从n个不同元素中 选取k个元素的组合数。
二项式定理的应用场景
01
02
03
04
在数学领域，二项式定理常用 于解决组合数学问题，如排列
、组合、概率等。
在物理领域，二项式定理可以 用于计算各种物理量的展开式 ，如力学、电磁学、光学等领
域。
在计算机科学领域，二项式定 理可以用于快速算法设计、数
详细描述
切比雪夫二项式定理是由切比雪夫发现的一种数学定理，它适用于解决与切比雪 夫多项式相关的问题。该定理可以用来计算切比雪夫多项式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
贝塞尔二项式定理
总结词
贝塞尔二项式定理是二项式定理的一 种特殊形式，它适用于解决与贝塞尔 函数相关的问题。
详细描述
贝塞尔二项式定理是由贝塞尔发现的 一种数学定理，它适用于解决与贝塞 尔函数相关的问题。该定理可以用来 计算贝塞尔函数的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
总结词
牛顿二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决特定的问题，如 无穷级数求和等。
详细描述
牛顿二项式定理是由牛顿发现的一种数学定理，它适用于解决一些特定的问题 ，如无穷级数求和等。该定理可以用来计算二项式展开式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
切比雪夫二项式定理
总结词
切比雪夫二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决与切比雪夫多 项式相关的问题。
04
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
扩展到多于两项的乘积
扩展到无穷级数
二项式定理可以扩展到多项式乘积的 形式，即$(a+b+c)^n$的展开形式。
二项式定理的应用场景
01
02
03
04
在数学领域，二项式定理常用 于解决组合数学问题，如排列
、组合、概率等。
在物理领域，二项式定理可以 用于计算各种物理量的展开式 ，如力学、电磁学、光学等领
域。
在计算机科学领域，二项式定 理可以用于快速算法设计、数
详细描述
切比雪夫二项式定理是由切比雪夫发现的一种数学定理，它适用于解决与切比雪 夫多项式相关的问题。该定理可以用来计算切比雪夫多项式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
贝塞尔二项式定理
总结词
贝塞尔二项式定理是二项式定理的一 种特殊形式，它适用于解决与贝塞尔 函数相关的问题。
详细描述
贝塞尔二项式定理是由贝塞尔发现的 一种数学定理，它适用于解决与贝塞 尔函数相关的问题。该定理可以用来 计算贝塞尔函数的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
总结词
牛顿二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决特定的问题，如 无穷级数求和等。
详细描述
牛顿二项式定理是由牛顿发现的一种数学定理，它适用于解决一些特定的问题 ，如无穷级数求和等。该定理可以用来计算二项式展开式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
切比雪夫二项式定理
总结词
切比雪夫二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决与切比雪夫多 项式相关的问题。
04
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
扩展到多于两项的乘积
扩展到无穷级数
二项式定理可以扩展到多项式乘积的 形式，即$(a+b+c)^n$的展开形式。
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理1.5.1二项式定理
������)3·
1 ������
3
+ C64(
������)2·
1 ������
4 + C65
������ ·
1 ������
5 + C66
16 ������
=x3+6x2+15x+20+151������
+
6 ������2
+
���1���3.
(2)原式=C���0��� (x+1)n+C���1��� (x+1)n-1(-1)+C���2��� (x+1)n-2(-
1)2+…+C������������ (x+1)n-k(-1)k+…+C������������(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规 律是:
(1)各项的次数都等于n; (2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按 升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n. 2.逆用二项式定理,可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分 析已知多项式的特点,向二项展开式的特点靠拢.
k+…+(-1)nC������������ .
分析对于(1)直接利用二项式定理展开;对于(2)可根据式子的特
点,逆用二项式定理求解.
解(1)
������ +
1 ������
6
= C60(
������)6+C61(
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
二项式定理 优秀课件
项的系数：二项式系数与数字系数的积.
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn
2025年高考数学总复习课件80第十章第二节二项式定理
考向1 求二项展开式中的特定项
【例1】(1)(2024·烟台模拟7的展开式中x13的系数是84，则实数a＝
()
A．2
√B．5 4
C．1
D．
2 4
B
解析：二项式
x+
a
x
7展开式的通项为Tk＋1＝C7kx7－k
a
x
k＝C7kakx7-2k.又展开式中
x13的系数是84，令7－2k＝－3，得k＝5，所以C75a5＝84，解得a＝5 4.故选B．
2 x
13 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk ＋ 1 ＝ C1k3
－2
13－3k kx 2 ，令
13－2 3k＝2，得k＝3，所以－8C133·x2＝－2 288x2，即含x2的项的系数是－2 288.
3．已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
2 5
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 二项式系数的性质
1．在
1 x
－
x
10的展开式中，二项式系数最大的项是(
)
A．第5项
√B．第6项
C．第7项
D．第5或第7项
B
解析：在
1 x
－
x
10的二项展开式中，第6项的二项式系数最大．故选B．
第二节 二项式定理
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
考向3 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
【例3】(2024·烟台模拟)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为( )
相关主题
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a1 到 a5 中 4 个变化必然有 3 升 1 减，a5 到 a12 中必然有 5 升 2 减，是组合的问题， ∴C14×C27＝84.
(3)(2018·浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中 任取2个数字，一共可以组成____1_2_6_0___个没有重复数字 的四位数．(用数字作答)
跟踪训练
1．(2017·全国卷Ⅱ，6)安排3名志愿者完成4项工作，每 人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方D式 共有 ( )
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
[解析] 由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作，
可得安排方式为 C13·C24·A22＝36(种)，或列式为 C13·C24·C12＝3×4×2 3×2＝36(种)．故
(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则 称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数A 的个数为 ( )
A．240
B．204
C．729
D．920
[解析] 分8类，
当中间数为2时，有1×2＝2(个)；
当中间数为3时，有2×3＝6(个)；
当中间数为4时，有3×4＝12(个)；
选 D．
2．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4 人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参9观6 券连号，那 么不同的分法种数是______.
[解析] 5 张参观券分为 4 堆，有 2 个连号的有 4 种分法，每一种分法中的不
同排列有 A44种，因此共有不同分法 4A44＝96 种．
方法2：(1－ 3)5＝C05＋C15(－ 3)＋C25(－ 3)2＋C35(－ 3)3＋C45(－ 3)4＋C55(－ 3)5
＝C05－C15 3＋C25( 3)2－C35( 3)3＋C45( 3)4－C55( 3)5. 因为 a，b∈N*，所以(1－ 3)5＝a－b 3. 因此 a2－3b2＝(a＋b 3)(a－b 3)＝(1＋ 3)5×(1－ 3)5＝(－2)5＝－32.
第一部分
专题强化Байду номын сангаас破
专题七 概率与统计
知识整合
1．必记公式 (1)排列数公式：
n！ Anm＝__n_(_n_－__1_)_(n_－__2_)_…__(_n_－__m_＋__1_)__＝___n_－__m__！__(这里，m，n∈N*，且 m≤n)．
(2)组合数公式：
nn－1n－2…n－m＋1
n！
3．(2019·天津卷，10)2x－81x38 的展开式中的常数项为__2_8___.
[解析] 2x－81x38 的通项为 Tr＋1＝Cr82x8－r·－81x3r＝Cr828－r－18r·x8－4r. 令 8－4r＝0，得 r＝2，∴常数项为 T3＝C2826－182＝28.
4．(2018·全国卷Ⅰ，15)从2位女生，4位男生中选3人参 加科技比赛，且至少有1位女1生6 入选，则不同的选法共有 ______种．(用数字填写答案)
(2)数列{an}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|ak ＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不A同 数列的个数为 ( )
A．84 B．168 C．[解7析6] ∵D|a．k＋11－5a2k|＝1，k＝1,2,3，…，11，∴前一项总比后一项大 1 或小 1，
2．混淆排列问题与组合问题的差异． 3．混淆二项展开式中某项的系数与二项式系数． 4．在求展开式的各项系数之和时，忽略了赋值法的应用．
感悟真题、掌握规律
1．(2018·全国卷Ⅲ，5)(x2＋2x)5 的展开式中 x4 的系数为
A．10
B．20
C．40
D．80
( C)
[解析] 展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(2x)r＝2rCr5x10－3r，令 10－3r＝4 可 得 r＝2，则 x4 的系数为 22C25＝40.
2．重要性质及结论
(1)组合数的性质： ①Cnm＝__C_nn_－_m___； ②Cnm＋1＝_C_n_m_____＋_C_mn_－_1____； ③C0n＋C1n＋…＋Cnn＝_2_n___； ④Cnm＋Cmn－1＋…＋Cmm＝__C__mn＋_＋1_1 __.
(2)二项式系数的有关性质：
①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和， 即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝__2_n_－_1_；
①Cnm＝____________m__！______________＝__m__！__n_－__m___！__(这里，m，n∈N*，
且 m≤n)；
②C0n＝1．
(3)二项式定理： ①定理内容：(a＋b)n＝__C_0n_a_n_＋__C_1n_a_n－_1_b_1_＋_… __＋__C__kna_n_－_k_b_k＋__…__＋__C_nn_b_n_(n_∈__N__*)__； ②通项公式：Tk＋1＝___C_nk_a_n_－_kb_k___.
(2)在(2x＋x12)(x2－1x)4 的展开式中，含 x3 的项的系数是__8___. [解析] (x2－1x)4 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr4(x2)4－r(－1x)r＝(－1)rC4rx8－3r， 则含 x2 的项的系数为(－1)2C24＝6，含 x5 的项的系数为(－1)1C14＝－4，所以(2x＋x12) (x2－1x)4 的展开式中，含 x3 的项的系数为 2×6＋1×(－4)＝8.
2．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C， D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有 A ()
A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
[解析] 方法一：首先涂 A 有 C14＝4(种)涂法，则涂 B 有 C13＝3(种)涂法，C 与 A，B 相邻，则 C 有 C12＝2(种)涂法，D 只与 C 相邻，则 D 有 C13＝3(种)涂法， 所以共有 4×3×2×3＝72(种)涂法．
5．(2019·江苏卷，22)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已知 a23＝2a2a4.
(1)求 n 的值； (2)设(1＋ 3)n＝a＋b 3，其中 a，b∈N*，求 a2－3b2 的值． [解析] (1)解：因为(1＋x)n＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn，n≥4，n∈N*， 所以 a2＝C2n＝nn2－1，a3＝C3n＝nn－16n－2， a4＝C4n＝nn－1n2－4 2n－3. 因为 a23＝2a2a4，所以nn－16n－22＝2×nn2－1×nn－1n2－4 2n－3. 解得 n＝5.
2．(2019·浙江卷，13)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是___1_6__2__，系 数为有理数的项的个数是__5___.
[解析] 由二项展开式的通项公式可知 Tr＋1＝Cr9·( 2)9－r·xr，r∈N,0≤r≤9， 当为常数项时，r＝0，T1＝C09·( 2)9·x0＝( 2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数， 可得 r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5.
方法二：按要求涂色至少需要 3 种颜色，故分两类：一是 4 种颜色都用，这 时 A 有 4 种涂法，共有 4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用 3 种颜色，这时 A、B、 C 的涂法有 4×3×2＝24(种)，D 只要不与 C 同色即可，故 D 有 2 种涂法．所以 不同的涂法共有 24＋24×2＝72(种)．
典题例析、命题探明
两个计数原理
典题例析
例 1 (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小
红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
B
()
A．24
B．18
C．12
D．9
[解析] E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计 数原理知，共6×3＝18种走法．
(2)排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数 原理解决；
(3)元素相邻，可以看作是一个整体的方法； (4)元素不相邻，可以利用插空法； (5)间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉； (6)穷举法，把符合条件的所有排列或组合一一写出来； (7)定序问题缩倍法； (8)“小集团”问题先整体后局部法．
[解析] 不含有 0 的四位数有 C25×C23×A44＝720(个)．
含有 0 的四位数有 C25×C13×C13×A33＝540(个)．
综上，四位数的个数为 720＋540＝1 260.
解答排列组合问题的常用方法
排列组合问题从解法上看，大致有以下几种：
(1)有附加条件的排列组合问题，大多需要用分类讨论的方 法，注意分类时应不重不漏；
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般 先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原 理．
(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出 示意图或表格，使问题形象化、直观化．
跟踪训练
1．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所 有可能出现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有 C ()
[解析] 方法一：根据题意，没有女生入选有 C34＝4 种选法，从 6 名学生中 任意选 3 人有 C36＝20 种选法，故至少有 1 位女生入选的选法共有 20－4＝16 种．
方法二：恰有 1 位女生，有 C12C24＝12 种， 恰有 2 位女生，有 C22C14＝4 种，
所以不同的选法共有 12＋4＝16 种．
②若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则 f(x)展开式中的各项系数和为 f(1)，
奇数项系数和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1，
f1－f－1
(3)(2018·浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中 任取2个数字，一共可以组成____1_2_6_0___个没有重复数字 的四位数．(用数字作答)
跟踪训练
1．(2017·全国卷Ⅱ，6)安排3名志愿者完成4项工作，每 人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方D式 共有 ( )
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
[解析] 由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作，
可得安排方式为 C13·C24·A22＝36(种)，或列式为 C13·C24·C12＝3×4×2 3×2＝36(种)．故
(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则 称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数A 的个数为 ( )
A．240
B．204
C．729
D．920
[解析] 分8类，
当中间数为2时，有1×2＝2(个)；
当中间数为3时，有2×3＝6(个)；
当中间数为4时，有3×4＝12(个)；
选 D．
2．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4 人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参9观6 券连号，那 么不同的分法种数是______.
[解析] 5 张参观券分为 4 堆，有 2 个连号的有 4 种分法，每一种分法中的不
同排列有 A44种，因此共有不同分法 4A44＝96 种．
方法2：(1－ 3)5＝C05＋C15(－ 3)＋C25(－ 3)2＋C35(－ 3)3＋C45(－ 3)4＋C55(－ 3)5
＝C05－C15 3＋C25( 3)2－C35( 3)3＋C45( 3)4－C55( 3)5. 因为 a，b∈N*，所以(1－ 3)5＝a－b 3. 因此 a2－3b2＝(a＋b 3)(a－b 3)＝(1＋ 3)5×(1－ 3)5＝(－2)5＝－32.
第一部分
专题强化Байду номын сангаас破
专题七 概率与统计
知识整合
1．必记公式 (1)排列数公式：
n！ Anm＝__n_(_n_－__1_)_(n_－__2_)_…__(_n_－__m_＋__1_)__＝___n_－__m__！__(这里，m，n∈N*，且 m≤n)．
(2)组合数公式：
nn－1n－2…n－m＋1
n！
3．(2019·天津卷，10)2x－81x38 的展开式中的常数项为__2_8___.
[解析] 2x－81x38 的通项为 Tr＋1＝Cr82x8－r·－81x3r＝Cr828－r－18r·x8－4r. 令 8－4r＝0，得 r＝2，∴常数项为 T3＝C2826－182＝28.
4．(2018·全国卷Ⅰ，15)从2位女生，4位男生中选3人参 加科技比赛，且至少有1位女1生6 入选，则不同的选法共有 ______种．(用数字填写答案)
(2)数列{an}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|ak ＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不A同 数列的个数为 ( )
A．84 B．168 C．[解7析6] ∵D|a．k＋11－5a2k|＝1，k＝1,2,3，…，11，∴前一项总比后一项大 1 或小 1，
2．混淆排列问题与组合问题的差异． 3．混淆二项展开式中某项的系数与二项式系数． 4．在求展开式的各项系数之和时，忽略了赋值法的应用．
感悟真题、掌握规律
1．(2018·全国卷Ⅲ，5)(x2＋2x)5 的展开式中 x4 的系数为
A．10
B．20
C．40
D．80
( C)
[解析] 展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(2x)r＝2rCr5x10－3r，令 10－3r＝4 可 得 r＝2，则 x4 的系数为 22C25＝40.
2．重要性质及结论
(1)组合数的性质： ①Cnm＝__C_nn_－_m___； ②Cnm＋1＝_C_n_m_____＋_C_mn_－_1____； ③C0n＋C1n＋…＋Cnn＝_2_n___； ④Cnm＋Cmn－1＋…＋Cmm＝__C__mn＋_＋1_1 __.
(2)二项式系数的有关性质：
①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和， 即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝__2_n_－_1_；
①Cnm＝____________m__！______________＝__m__！__n_－__m___！__(这里，m，n∈N*，
且 m≤n)；
②C0n＝1．
(3)二项式定理： ①定理内容：(a＋b)n＝__C_0n_a_n_＋__C_1n_a_n－_1_b_1_＋_… __＋__C__kna_n_－_k_b_k＋__…__＋__C_nn_b_n_(n_∈__N__*)__； ②通项公式：Tk＋1＝___C_nk_a_n_－_kb_k___.
(2)在(2x＋x12)(x2－1x)4 的展开式中，含 x3 的项的系数是__8___. [解析] (x2－1x)4 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr4(x2)4－r(－1x)r＝(－1)rC4rx8－3r， 则含 x2 的项的系数为(－1)2C24＝6，含 x5 的项的系数为(－1)1C14＝－4，所以(2x＋x12) (x2－1x)4 的展开式中，含 x3 的项的系数为 2×6＋1×(－4)＝8.
2．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C， D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有 A ()
A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
[解析] 方法一：首先涂 A 有 C14＝4(种)涂法，则涂 B 有 C13＝3(种)涂法，C 与 A，B 相邻，则 C 有 C12＝2(种)涂法，D 只与 C 相邻，则 D 有 C13＝3(种)涂法， 所以共有 4×3×2×3＝72(种)涂法．
5．(2019·江苏卷，22)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已知 a23＝2a2a4.
(1)求 n 的值； (2)设(1＋ 3)n＝a＋b 3，其中 a，b∈N*，求 a2－3b2 的值． [解析] (1)解：因为(1＋x)n＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn，n≥4，n∈N*， 所以 a2＝C2n＝nn2－1，a3＝C3n＝nn－16n－2， a4＝C4n＝nn－1n2－4 2n－3. 因为 a23＝2a2a4，所以nn－16n－22＝2×nn2－1×nn－1n2－4 2n－3. 解得 n＝5.
2．(2019·浙江卷，13)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是___1_6__2__，系 数为有理数的项的个数是__5___.
[解析] 由二项展开式的通项公式可知 Tr＋1＝Cr9·( 2)9－r·xr，r∈N,0≤r≤9， 当为常数项时，r＝0，T1＝C09·( 2)9·x0＝( 2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数， 可得 r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5.
方法二：按要求涂色至少需要 3 种颜色，故分两类：一是 4 种颜色都用，这 时 A 有 4 种涂法，共有 4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用 3 种颜色，这时 A、B、 C 的涂法有 4×3×2＝24(种)，D 只要不与 C 同色即可，故 D 有 2 种涂法．所以 不同的涂法共有 24＋24×2＝72(种)．
典题例析、命题探明
两个计数原理
典题例析
例 1 (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小
红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
B
()
A．24
B．18
C．12
D．9
[解析] E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计 数原理知，共6×3＝18种走法．
(2)排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数 原理解决；
(3)元素相邻，可以看作是一个整体的方法； (4)元素不相邻，可以利用插空法； (5)间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉； (6)穷举法，把符合条件的所有排列或组合一一写出来； (7)定序问题缩倍法； (8)“小集团”问题先整体后局部法．
[解析] 不含有 0 的四位数有 C25×C23×A44＝720(个)．
含有 0 的四位数有 C25×C13×C13×A33＝540(个)．
综上，四位数的个数为 720＋540＝1 260.
解答排列组合问题的常用方法
排列组合问题从解法上看，大致有以下几种：
(1)有附加条件的排列组合问题，大多需要用分类讨论的方 法，注意分类时应不重不漏；
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般 先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原 理．
(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出 示意图或表格，使问题形象化、直观化．
跟踪训练
1．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所 有可能出现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有 C ()
[解析] 方法一：根据题意，没有女生入选有 C34＝4 种选法，从 6 名学生中 任意选 3 人有 C36＝20 种选法，故至少有 1 位女生入选的选法共有 20－4＝16 种．
方法二：恰有 1 位女生，有 C12C24＝12 种， 恰有 2 位女生，有 C22C14＝4 种，
所以不同的选法共有 12＋4＝16 种．
②若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则 f(x)展开式中的各项系数和为 f(1)，
奇数项系数和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1，
f1－f－1