透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分
第二次数学危机
第二次数学危机一、早期的微积分思想1.芝诺悖论早在2500年前，人类就有了微积分的思想,人们对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。
古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。
这造成数与量的长期脱离。
古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。
他们对于连续与离散的关系很有兴趣。
大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。
——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。
这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。
“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。
从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。
运动是矛盾的，所以运动是不可能的。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。
前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。
它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。
其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。
它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。
2.早期微积分思想微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。
数学史上三次危机
数学史上三次危机对于数学仅限于学校里学的那点东西，薄如蝉翼，谈不上什么深刻理解，但也听说过数学史上有三次危机。
限于老郭水平不高，能力有限无法深入，蜻蜓点水的说一下。
第一次数学危机-无理数的发现勾股定理是咱们小伙伴们都熟悉的，a^2+b^2=c^2。
这个公式出来之后就用到了已知两条边长求解直角三角形第三条边的边长问题上。
很明显，开平方之后会出现根号2、根号3这种情况，这种不能完全开平方的数是无限不循环的小数，我们现在叫做无理数。
我们现在理解这些数当然是没问题的，不过在当时，这种数的出现，打破了毕达哥拉斯学派认为的世界的和谐性质。
他们认为宇宙万物都可以归结为整数或者是整数之比。
这就导致了一种认识上的“危机”，这个危机被称为第一次数学危机。
其实，这次“危机”（我并不认为这是什么危机）给几何的发展带来了一次推动。
因为，出现了无理数意味着，人类依靠直觉和经验建立的科学不一定是可靠的，而严格的推理证明才是靠得住的。
从那以后，希腊人开始重视演绎推理，并且建立了几何公理体系。
这就是危难之中的机遇，古希腊人抓住了这个机遇，创造了平面几何的第一次辉煌。
第二次数学危机-阿基里斯追不上乌龟“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。
这个数学悖论故事是很有名的，其实我们现在的小伙伴都能知道，这是不可能发生的事，只要求一个极限，这个事就搞定了，跟本不存在追不上乌龟的事情。
然而在17世纪，微积分刚刚诞生那个时代，这个事还真是个大事。
当时包括牛顿、莱布尼茨等等大佬都没有找到解决这个问题的办法。
当时微积分刚刚初创，逻辑基础非常的不牢固。
很多基础问题，无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
那时候，这个问题争论的焦点就在于无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。
数学的第二次危机对积分起源所起的作用
数学的第二次危机与微积分微积分诞生于17世纪后半叶，主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。
以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。
Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零？引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。
尽管德国的莱布尼茨也同时发明了微积分，但是他也没有明确给出极限的定义，没有给微积分一个准确的理论支撑。
第二次数学危机的质是数学思想的不严密，分理论缺乏逻辑基础。
尽管微积分在解决实际问题方面是成果丰硕，可是理论基础的不稳固，导致了越来越多的责难和悖论，在数学界产生了令人震撼的撞击，让数学陷入了更加矛盾的境地。
历史要求给微积分以严格的基础。
在数学家们的共同努力下，到19世纪末，分析的严格化问题得到了解决，一批杰出的数学家积极为微积分的奠基工作而努力。
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔，他指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。
法国数学家柯西在数学分析和置换群理论方面做了开拓性的工作，详细而有系统地发展了极限理论。
他认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来。
接着，外尔斯特拉斯精确地引进了“ε－δ”语言，这样，微积分就建立在严格的极限理论的基础上了。
至此，第二次数学危机宣告彻底解决了，在微积分创建200余年后，数学家们终于赢来了胜利凯旋之日。
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机微积分在数学史上的发展有着重要的地位，不仅是一种研究工具，更是引领了数学领域的新一波革命。
然而，在微积分创立的同时，数学却遭遇了第二次数学危机，为什么会出现这样的情况呢？微积分的创立微积分的创立是由牛顿和莱布尼茨两位伟大的数学家分别独立发明的。
17世纪末期，牛顿发明了微积分的基本思想，通过对同一函数在两个相邻时刻之间的差别进行极限分析，得出了微分和积分的概念。
莱布尼茨也在同一时间内独立地发明出了微积分的基本思想，但他使用的符号和牛顿有所不同。
微积分的诞生极大地推动了物理学和其他领域的发展。
在物理学中，微积分被用来描述质点的位置变化随时间的导数和加速度，以及力的积分表示功。
微积分也被广泛应用于工程学、经济学、天文学等领域。
第一次数学危机发生在19世纪初期，当时的探究重点是不确定性原理。
卡尔·根特洛克和海森堡等物理学家的研究表明，存在一些物理量的值是无法同时确定的。
这种不确定性引导着波动力学的诞生，而不是经典力学。
然而，第二次数学危机与第一次危机的背景截然不同。
在20世纪初期，一些数学家意识到了基于无穷集合的微积分理论中存在一些悖论。
G·卡扎活、B·罗素和A·怀特海等数学家通过数学的逻辑分析，发现了使得微积分理论变得自相矛盾的问题。
其中一个最著名的问题是伯努利悖论。
伯努利悖论指出如果意像无穷多次抛硬币，每次都有1/2的概率正面朝上，那么这样的尝试会有无穷大的概率得到全部正面或全部反面。
这个问题看着很奇怪，但是仍然能够被证明它是正确的。
结果是，微积分中的传统定义中对于无穷小量，极限和集合的性质并不十分明确。
为了解决这些问题，数学家扩展了微积分的公理化定义，并利用了另一种数学逻辑系统——ZFC公理集合论。
这就意味着微积分和其他数学学科的基础被彻底地改变了。
结语微积分的发明是数学史上的一个里程碑，极大地推动了现代科学的发展。
然而，微积分的诞生也在一定程度上暴露了基于无穷集合的微积分理论的局限性。
浅谈第二次数学危机的
浅谈第二次数学危机随着人类社会的不断发展，对于数学的要求也在一步步的提升。
正是在这发展的过程中各种各样的矛盾不断出现和不断被解决，同时也推动着数学的前进。
当矛盾触及到数学的根基时，便导致了一次数学危机的发生，同时也预示着数学将有新的革命性的进展。
在学习了《微积分学选讲》这门课后，我便想结合课上与课下对微积分学的大致了解，谈谈第二次数学危机解决的过程给我的启示和带来的思考。
最早提出相关问题的要追溯到古希腊时期的芝诺悖论。
飞矢不动，明明是运动的物体却成了静止的；阿基里斯追乌龟，无穷时间以后才能到达的一点。
当时间趋于0 或趋于无穷时会发生什么？这是最早的关于极限问题的思考，也是以后微积分思想最初的萌芽。
可惜以当初人们的水平还无法解决这一问题，数学中代数学的地位也逐渐被几何所取代，芝诺悖论便留待后人去解决。
17世纪开始，人类逐渐步入航海时代和工业时代。
为了解决实际生活中求速度，几何中求面积、体积等问题，人们需要新的数学工具。
开普勒、费马等人在计算求和时提出了最初的积分思想与方法，笛卡尔、巴罗等人在求曲线切线时所用的方法也成为微分学的基础。
17 世纪末，牛顿、莱布尼兹在前人的基础上，将微积分完整化，以“流数法” （牛顿）解释微积分的概念与计算法则，创立通用至今的微积分计算符号（莱布尼兹），极大地推动了数学的发展，过去很多用初等数学无法解决的问题，运用微积分，这些问题往往迎刃而解。
微积分是17 世纪最伟大大数学成就，它推动助学产生巨大进展，数学被融入当时最顶尖的科学问题之中。
反过来，科学给数学提供了许多深奥又引人入胜的问题，开启了数学家们的巨大热情并提供了巨大动力。
然而在微积分融入科学的过程中，人们逐渐发现微积分的基础概念并不明确，微分、无穷小量到底是什么？这个问题不解决，微积分就真的如同罗尔所说，是“巧妙的谬论的汇集” ，近代科学也成了“用错误的方式得到的正确的结论” ，此即第二次数学危机。
为了解决这些问题，欧拉 , 拉格朗日等人进行了一些尝试，由此引出了极限理论的发展，数学分析逐渐走向严格化。
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机微积分是数学的一个分支，也是现代数学的基础之一。
它的诞生与第二次数学危机有着密切的关系。
第二次数学危机是指19世纪末20世纪初发生在欧洲的一场重大数学危机，其核心问题是如何建立数学的基础理论。
在此之前，数学的基础是欧几里得几何学和代数学，在这个框架下数学可以进行许多研究，但是它们无法处理一些特殊的问题，比如无理数的性质和实数的连续性等等。
在这个时期，数学家们为了解决数学的基础问题纷纷开始探索新的方向。
有人试图通过公理系统来建立数学的基础，有人试图通过集合论来解决问题。
但是这些尝试都没有得到满意的结果。
微积分的创立在这个时期成为了解决数学危机的一个重要路径。
微积分是研究函数的变化和积分的运算规则，并且通过极限的概念来进行定义的。
而极限概念的引入正是为了解决无理数连续性的问题。
微积分的创立在很大程度上改变了人们对数学问题的思考方式，使得数学的发展进入了一个全新的阶段。
微积分的创立对于数学的发展产生了巨大的影响。
它在解决实际问题和理论问题中都具有重要的作用。
在实际问题中，微积分可以描述物体的运动、变化和变化率等等。
在理论问题中，微积分可以用来解决曲线的切线、求解最值、求解微分方程等等。
这使得微积分成为了研究自然现象和科学问题的一把利刃。
第二次数学危机的解决是一个漫长而曲折的过程，需要数学家们的共同努力和不断探索。
微积分的创立仅仅是众多数学家贡献中的一部分，但它却是解决数学危机的一个重大里程碑。
微积分的引入不仅解决了数学中一些核心问题，而且为数学的发展开拓了新的方向，使得数学的应用范围和研究深度都得到了极大的拓展。
微积分的创立与第二次数学危机密不可分。
微积分的引入不仅解决了数学中的一些核心问题，还为数学的发展开拓了新的方向。
微积分的应用领域广泛，对于现代科学的发展也具有重要的作用。
微积分的创立可以说是数学史上的一大里程碑。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分
透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分作 者：华中师范大学 计算机科学系2010级 郑舒月 学号2010213877内容摘要：基于大家在学习微积分的过程中的困惑，本文试图透过第二次数学危机谈一谈这位既神秘又可恨可怜的“消失了的量的鬼魂”，以“贝克莱悖论（Berkeley paradox ）”、“芝诺悖论（Zeno paradox ）”等悖论了解牛顿和莱布尼兹关于微积分的理论及公式。
由于18世纪的微积分的理论并不严谨，这就有悖于数学这一学科的首要特点。
关于“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。
但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
从而掀起了第二次数学危机。
关 键 词：第二次数学危机 微积分Abstract ：Based on most of students have the confusion in the process of studying calculus, from the second mathematical crisis,this paper tries to talk about this mysterious,hateful and poor "disappeared quantity of ghosts", with "Berkeley paradox ", "Zeno paradox" and so on, to know about the theories and formulas of Newton and Leibnitz. Because of calculus theori es were not rigorous in the 18th century, this is contrary to the primary feature of math.As the question-- " whether infinitely small quantity is zero" :as infinitely small quantity is concerned in practical application at that time, it must be zero, and is not zero at the same time. But from the view of the form logic , there is no doubt that this is a contradiction. Thus the second mathematical crisis broke out.Key words ：The second mathematical crisis calculus前言大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。
三次数学危机论文
三次数学危机论⽂ 数学史上出现的三次数学危机,与其说是“数学的危机”,不如说是“数学哲学的危机”.下⾯店铺给你分享三次数学危机论⽂，欢迎阅读。
三次数学危机论⽂篇⼀ 摘要：本⽂主要通过数学史上的三次危机的产⽣与消除，针对它们的本质浅谈⾃⼰的认识，实际导致这三次危机原因在与⼈的认识。
第⼀次数学危机是⼈们对万物皆数的误解，随着⽆理数的发现，把第⼀次数学危机度过了。
第⼆次数学危机是⼈们对⽆穷⼩的误解，微积分的出现产⽣了⼀种新的⽅法，即分析⽅法，分析⽅法是算和证的结合。
是通过⽆穷趋近⽽确定某⼀结果。
罗素悖论的发现，给数学界以极⼤的震动，导致了数学史上的第三次危机。
为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进⾏了不懈的探讨，提出了⼀系列解决⽅案，并在不知不觉中⼤⼤推动了数学和逻辑学的发展。
关键词：危机;万物皆数;⽆穷⼩;分析⽅法;集合 ⼀、前 ⾔ 数学常常被⼈们认为是⾃然科学中发展得最完善的⼀门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，⼈们为了使数学向前发展，从⽽引⼊⼀些新的东西使问题化解，在第⼀次危机中导致⽆理数的产⽣;第⼆次危机发⽣在⼗七世纪微积分诞⽣后，⽆穷⼩量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题;第三次危机发⽣在19世纪末，罗素悖论的产⽣引起数学界的轩然⼤波，最后是将集合论建⽴在⼀组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。
本⽂回顾了数学上三次危机的产⽣与发展，并给出了⾃⼰对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。
⼆、数学史上的第⼀次“危机” 第⼀次数学危机是发⽣在公元前580-568年之间的古希腊。
那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕⽒学派对数的认识进⾏了研究，他们认为“万物旨数”。
所谓数就是指整数，他们确定数的⽬的是企图通过揭⽰数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的⼀切现象都能归结为整数或整数之⽐，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。
在那个时期。
微积分(一)三次数学危机
微积分（一）三次数学危机这三次数学危机其实对东方(主要是中国和印度)影响不大，所以只能算是西方的三次数学危机。
三次数学危机对数学及其哲学产生了重大影响。
虽然他们在当时造成了一些困难，但他们从未阻碍数学的发展和应用。
但困境过去后，又给数学带来了新的活力。
从历史阶段上看，数学的三次危机分别发生在公元前5世纪、17世纪和19世纪末，都是发生在西方文化大发展的时期，因此，数学危机的产生，都有其一定的文化背景。
第一次危机是古希腊时代，由于不可公度的线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发的;第二次危机是在牛顿和莱布尼茨建立了微积分理论后，由于对无穷小量的理解未及深透而引发的;第三次危机是当罗素发现了集合论中的悖论，危及整个数学的基础而引起的。
一、第一次数学危机公元前5世纪古希腊的数学非常发达，尤其是毕达哥拉斯创立的学派。
毕达哥拉斯游历埃及和波斯，学习几何、语言和宗教，知识渊博。
后来，他定居在意大利一个叫克罗顿的海滨城市，并招收了300名弟子，被称为毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派对几何学贡献很大，最着名的是所谓毕达哥拉斯定理(中国称勾股定理)的发现：即任何直角三角形的两直角边a、b和斜边c,都有的关系式。
据说当时曾屠牛百头欢宴庆贺。
华达哥拉斯学派研究数学，还很重视音乐，倡导一种“惟数论”的哲学观，“数”与“和谐”是他们的主要的哲学思想。
他们认为，宇的宙的本质是数的和谐。
一切事物都必须而且只能通过数学得到解释。
他们坚持的信条是：“宇宙间的一切现象都可归结为整数或整数与整数的比。
”也就是一切现象都可以用有理数来描述。
例如，他们认为“任何两条不等的线段，总有一个最大公度线段。
”其求法如下(如图 32-1)：设两条线段AB>CD,在AB上用圆规从一端A起，连续截取长度为CD的线段，使截取的次数尽可能地多。
若没有剩余，则CD 就是最大公度线段。
若有剩余，则设剩余线段为EB (EB<CD),再在CD上截取次数尽可能多的EB线段，若没有剩余，则EB 就是最大公度线段，若有剩余，则设为FD (FD<EB),再在EB 上连续尽可能多地截取线段长度等于FD的线段，如此反复下去。
数学的三次危机
数学的三次危机在数学几千年的发展历程上，曾发生过三次动摇数学根基的危机，其中每一次都曾使得人们尤其是数学家怀疑数学的合理性，然而经过无数数学家的力挽狂澜，这三次危机不仅没有让数学失去其合理性，反而使其变得更加强大。
第一次数学危机“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派坚不可摧的信仰。
所谓“万物皆数”就是指任何的实数都可以表示为两个整数的比值。
然而学派引以为傲的毕达哥拉斯定理（也就是我国俗称的勾股定理）却恰恰成了其信仰的终结者。
毕达哥拉斯学派中的一个“好事之徒希伯斯（Hippasu）对学派坚守的“万物皆数”首先表示了怀疑。
他思考了一个问题：边长为1的正方形其对角线有多长呢？一番思索演算之后，他发现这一长度既不是整数，也不是分数，“万物皆数”的信仰就此崩塌。
相传恼羞成怒的学派成员将希伯斯淹死在了海里，真理不仅没有给他荣誉反而招致杀身之祸，可悲亦可叹！自被希伯斯发现之后，√2这个数学史上的第一个无理数便登上了舞台。
然而这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念都是巨大的冲击。
更为恼火的是，面对这一打击，人们手足无措，于是便直接导致了人们认识上史无前例的危机，从而导致了西方数学史上一场浩大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机自微积分被发明之后，质疑之声就从未消停过。
相当长的时间内，数学界对“无穷小”这一概念的理解和使用都是非常混乱的，但微积分理论的基础却恰恰就是“无穷小分析”。
这一理论上的缺陷招致了巨大的抨击，英国大主教更是直接称“无穷小”为盘旋的幽灵。
如果这一危机无法解除，那无数由微积分理论所获得的成果都将遭受无情的质疑。
这也就是数学史上的第二次危机。
转机出现在柯西，魏尔斯特拉斯等人用极限的方法定义无穷小量之后，这时微积分理论经过发展和完善才真正具有了严格的理论基础，从而使得数学大厦变得更加坚实牢固可靠，危机便也解除。
第三次数学危机“数学狂人”康托一手所发展的集合论作为现代数学的基础早已是数学界的共识。
第二次数学危机名词解释
第二次数学危机名词解释
嘿，你知道啥是第二次数学危机不？这可不是一般的事儿啊！
就好比你正在走一条路，本来走得好好的，突然前面出现了一团迷雾，让你一下子不知道该往哪儿走了。
第二次数学危机就有点像这样。
在历史的长河中啊，数学家们一直在探索数学的奥秘。
微积分的出现，那可是个超级大突破！就像给数学世界打开了一扇全新的大门。
但随之而来的，就是各种问题和争议。
比如说无穷小量，这玩意儿到底是个啥呀？有时候感觉它好像存在，有时候又好像不存在，这可把数学家们给难住了。
这就好像你看到一
个影子，你想抓住它，可怎么抓都抓不住。
当时的数学家们那是争论不休啊，“这怎么解释呀？”“这样对不对呀？”大家都在努力寻找答案。
牛顿和莱布尼茨，这两位大佬，他们可是微积分的重要推动者。
但
他们对于一些概念的解释也不是那么清晰，这就引发了更多的疑问和
讨论。
经过了很长时间的探索和争论，数学家们才慢慢搞清楚这些问题，
让数学又向前迈进了一大步。
这第二次数学危机啊，就像是数学发展道路上的一个坎儿，跨过去可不容易，但一旦跨过去，那就是一片新的天地！它让我们看到了数学的严谨性和不断发展的过程。
我觉得啊，第二次数学危机虽然给数学家们带来了很多困扰，但也正是因为有了这些挑战，才让数学变得更加精彩，更加有魅力呀！你说是不是？。
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机导引：微积分是一门研究极限、连续和无穷小的数学学科，它的创立与第二次数学危机有着密切的关系。
本文将从数学历史的角度出发，介绍微积分的创立以及第二次数学危机的背景、原因和影响。
解题歧义的出现：雅可比和弗莱彻微积分的创立可以追溯到17世纪末18世纪初，最初是由牛顿和莱布尼兹独立发展出来的。
在微积分的早期发展过程中，出现了解题歧义的情况。
19世纪中叶，法国数学家雅可比和英国数学家弗莱彻就微积分的基本概念和符号表示发生争论，这个争论被称为微积分的第二次数学危机。
雅可比主张使用极限的概念来定义微积分中的重要概念，而弗莱彻则提出了一种称为“无穷小”的概念来解决微积分中的问题。
这两种概念在解题方法和表达方式上存在较大差异，因此引发了激烈的争论。
第二次数学危机的原因：基础的模糊性和逻辑矛盾第二次数学危机的原因主要包括微积分的基础的模糊性和逻辑矛盾。
微积分的早期发展中，对于极限和无穷小的概念缺乏明确的定义，导致了对微积分的基础问题的思考和讨论。
而雅可比和弗莱彻的争论更是暴露了微积分理论中存在的逻辑矛盾和不完备之处。
微积分的发展还受到了基础数学概念的拓展和发展的影响。
例如实数的引入和无理数的发现，对微积分的基础产生了深远的影响。
这些因素的相互作用导致了微积分的基础问题的复杂化和混乱化，进一步加剧了第二次数学危机的产生。
第二次数学危机的影响：数学基础的重建和方法的统一第二次数学危机对微积分学科的发展产生了深远的影响。
因为微积分的基础问题暴露出来，数学学科的研究者们开始重新思考和重建微积分的基础。
19世纪末20世纪初，数学家们通过引入实数和连续函数的严格定义，逐渐解决了微积分基础的模糊性和逻辑矛盾问题。
第二次数学危机也促使数学家们统一微积分的方法和符号表示。
雅可比和弗莱彻的争论使得人们认识到微积分中存在的异构性和不统一性，因此提出了一种更为统一和一致的符号表示和方法。
这使得微积分的研究更加系统和规范，为后来微积分的发展奠定了重要基础。
第7讲 第二次数学危机-幽灵般的无穷小
第7讲第二次数学危机-幽灵般的无穷小课时题目：第二次数学危机—微积分数学基础的重建课时目标：微积分自由发展后的回归严谨的过程教学难点：无拘束发展的微积分为什么会遇到危机，严谨的基础是如何重建的课时安排：1课时本课思考主题：数学发展周期：自由蓬勃发展-遭遇危机-回归严谨什么是数学危机?危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
人类最早认识的是自然数。
从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决。
但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用整数之比来表示？于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。
可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。
在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。
这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。
这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。
非欧几何学的诞生欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。
尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。
尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。
十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。
特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。
第二次数学危机
微积分受到攻击与责难
十八世纪的数学家对待微积分发展的态 对这些基础问题的讨论不感兴趣。 度。对这些基础问题的讨论不感兴趣。 认为所谓的严密化就是烦琐。 认为所谓的严密化就是烦琐。 在微积分的发展过程中，出现了两种不 在微积分的发展过程中， 荣乐观的局面。 荣乐观的局面。 微积分的基础问题受到一些人的批判和 攻击， 攻击，其中最有名的是贝克莱主教在 1734年的攻击 。 年的攻击
达朗贝尔（ 达朗贝尔（法）
波尔查诺
分析学的奠基人， 分析学的奠基人，公认是法国的多 产的数学家柯西， 产的数学家柯西，柯西在数学分析 和置换群理论方面作了开拓性的工 是最伟大的近代数学家之一。 作，是最伟大的近代数学家之一。 柯西在1821～1823年间出版的《分 年间出版的《 柯西在 ～ 年间出版的 析教程》 无穷小计算讲义》 析教程》和《无穷小计算讲义》是 数学史上划时代的著作，在那里， 数学史上划时代的著作，在那里， 他给出了数学分析一系列基本概念 的精确定义。例如， 的精确定义。例如，他给出了精确 的极限定义， 的极限定义，然后用极限定义连续 导数、微分、 性、导数、微分、定积分和无穷级 数的收敛性。 数的收敛性。
一、危机的出现
17世纪数学史上出现了一个崭新的数学 世纪数学史上出现了一个崭新的数学 分支——数学分析，或称微积分。 数学分析， 分支 数学分析 或称微积分。 微积分成为解决问题的重要工具。同时 微积分成为解决问题的重要工具。 关于微积分基础的问题也越来越严重。 关于微积分基础的问题也越来越严重。 由无穷小量究竟是不是零的问题引起了 极大的争论， 极大的争论，从而引发了第二次数学危 机。
1685年 贝克莱 1685年3 12日出生于 月12日出生于 爱尔兰基尔肯 尼郡1753 1753年 尼郡1753年1月 14日卒于牛津 14日卒于牛津。
浅谈第二次数学危机
四、事件影响
这次危机不但没有阻碍微积分的迅猛发 展和广泛应用，反而让微积分驰骋在各个科 技领域，解决了大量的物理问题、天文问题、 数学问题，大大推进了工业革命的发展。就 微积分自身而言，经过本次危机的“洗礼”， 其自身得到了不断的系统化，完整化，扩展 出了不同的分支，成为了18世纪数学世界的 “霸主”。
2
二、危机的引发
1）牛顿的“无穷小” 微积分的一个来源，是想求
运动物体在某一时刻的瞬时速度。
在牛顿之前，只能求一段时间内的
平均速度，无法求某一时刻的瞬时
速度。
3
例如，设自由落体在时间 t 下落的距离 有公式
S (t ) 1 2 gt 2
S (t )
，
，其中 g 是固定的重力加速度。
S t
4
当 t 变成无穷小时，右端的 1 g (t ) 2 也变成无穷小，因而上式右端就可以认 为是 gt 0 ，这就是物体在 t 0 时的瞬时
速度，它是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量 过去无法解决的科技问题。但是逻辑上
不严格，遭到责难。
5
三、初步解决 直到柯西在1821年的《代数分析教程》中 从定义变量出发，他抓住极限的概念，指出无 穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量， 无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导 数和积分在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯 消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极 限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格 地建立在极限的基础上。
我们要求物体在 t 0 的瞬时速度，先求
1 2 1 2 S S (t1 ) S (t0 ) gt1 gt0 2 2 1 1 2 2 g[(t0 t ) t0 ] g[2t0 t (t ) 2 ] 2 2
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机
微积分是数学中的一门重要分支，也被誉为“现代数学的重要开端”。
它主要研究变量的变化规律和求解极值等问题，是现代科学技术领域不可或缺的工具。
微积分的创立与第二次数学危机有着密不可分的联系。
第二次数学危机是指20世纪30年代至50年代期间，数学界内部的一场严重危机，导致了数学研究的停滞和衰落。
此时，欧洲的数学家们遇到了一些看似不可解决的问题，这些问题被称为“数学的七大难题”。
其中最重要的难题之一是无穷小量和无限大量的矛盾。
在牛顿和莱布尼茨发明微积分的时候，他们使用了无穷小量来定义微积分中的各种运算。
然而，这种定义是不准确的，因为它会涉及到一些矛盾，如0除以0、无穷小量的大小等问题。
因此，欧洲的数学家们开始寻找一种新的数学方法，以解决危机。
在这个时候，捷克数学家伯努利发现了微积分的基本公式，即微分和积分的定义。
他发现，通过微积分的求导和积分，可以找到曲线的切线和面积等解决曲率和长度等问题，从而推动了微积分的发展。
随着时间的推移，微积分逐渐被发展成为一门完整的学科，奠定了数学和自然科学的基础。
它的应用广泛，涵盖了物理学、工程学、经济学、金融等众多领域。
例如，在物理学中，微积分被用于求解物体的运动和力学问题；在经济学中，微积分被用于分析市场和经济模型等问题。
总之，微积分的创立与第二次数学危机密不可分，微积分的出现解决了数学中的一个重要难题，并为现代科学技术的发展奠定了基础。
微积分的应用也广泛涵盖许多领域，成为现代科学技术领域不可或缺的一部分。
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机【摘要】微积分作为数学中重要的一门分支，不仅在科学领域有着广泛的应用，而且在历史的数学危机中扮演了重要的角色。
本文将从微积分的创立与发展、微积分在科学领域的应用以及第二次数学危机的背景、影响等方面展开论述。
数学家们对第二次数学危机的探讨，以及微积分在解决数学危机中的作用也将被提及。
结论部分将总结微积分对数学的重要性，微积分在危机中的应用，以及未来微积分的发展方向。
通过本文的阐述，读者将更深入地了解微积分在数学发展中的重要性，以及在数学危机中的应用和影响，同时也能够对未来微积分的发展有所展望。
【关键词】微积分、创立、发展、科学领域、第二次数学危机、影响、数学家、探讨、作用、重要性、解决、应用、结论、未来发展方向。
1. 引言1.1 微积分的重要性微积分作为数学中的重要分支，在数学和科学领域中发挥着至关重要的作用。
微积分的重要性主要体现在以下几个方面：微积分是解析几何学和数学物理学的基础。
通过微积分，我们可以研究曲线的斜率和曲线下的面积，这为解析几何学和数学物理学提供了重要的数学工具。
微积分可以帮助我们求解曲线的弧长、曲率和法线等问题，在研究运动学、力学和电磁学等物理现象时，微积分也扮演着不可或缺的角色。
微积分在工程领域的应用广泛。
工程学中经常需要对曲线的变化、曲面的斜率等进行分析，而微积分则可以提供有效的工具和方法。
从建筑工程到航空航天工程，从电子电气工程到汽车工程，微积分都发挥着不可替代的作用，为工程师们提供了解决实际问题的数学手段。
微积分也为现代科学的发展做出了巨大贡献。
在物理学、化学、生物学等各个领域，科学家们经常需要对数据进行分析和建模，而微积分则为他们提供了处理复杂问题的数学工具。
通过微积分，科学家们可以更深入地探索自然界的规律，推动科学的发展进程。
微积分的重要性不可忽视。
它不仅是数学的重要组成部分，也是现代科学和工程领域的基础。
只有深入理解和掌握微积分，我们才能更好地应用数学知识解决实际问题，推动科学技术的发展。
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机
微积分是数学中的重要分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念。
它的创立与第二次数学危机密切相关。
20世纪初，数学正处于一个转折点。
19世纪末，数学界发生了一场严重的危机，即第一次数学危机。
在这一危机中，一些数学家发现了一些矛盾和悖论。
连续函数的导数经常不连续，级数的求和会得到不确定的结果等等。
这些问题使得人们对数学的基础和逻辑产生了怀疑。
为了解决这些问题，数学家们努力寻找一种新的数学基础，以确保数学的逻辑和精确性。
正是在这样的背景下，微积分诞生了。
微积分的核心思想是通过极限来定义和研究函数的变化。
极限是一个基本的数学概念，使得数学家们能够解决连续函数的导数不连续的问题。
它提供了一种新的数学工具，使得数学家们能够更加准确地研究和描述函数的特性。
微积分的创立不仅解决了第一次数学危机中的一些问题，而且为数学的发展打下了坚实的基础。
它引入了新的思想和方法，推动了数学的发展方向。
微积分的创立对于解决第二次数学危机也起到了重要的作用。
第二次数学危机发生在20世纪初，由于康托尔发现了不可数集合，人们对于数学的基础再次产生了怀疑。
不可数集合的发现引发了一系列的讨论和争论，数学界再次陷入了一片混乱之中。
为了解决这个危机，数学家们需要一种更强大的数学工具来处理无穷集合和不可数集合的问题。
微积分的创立成为了解决这个危机的重要途径。
微积分提供了处理无穷集合和不可数集合的工具和方法，例如极限、级数、积分等。
它能够更加准确地描述和研究无穷的数学对象，为数学家们提供了新的工具和思路。
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机1. 引言1.1 微积分的重要性微积分作为数学的重要分支，在数学发展的历史上占据着重要地位。
它通过对极限、导数和积分等概念的研究，建立了一个统一的框架，可以解决那些以前无法解决的问题。
微积分的重要性在于它不仅提供了一种强大的工具，用来解决实际问题和推导新的理论，同时也为整个科学领域的发展做出了巨大贡献。
许多领域，如物理学、工程学、经济学等，都离不开微积分的应用。
在物理学中，微积分被用来描述运动、力学和电磁学等现象。
在工程学中，微积分用来解决结构设计、流体力学和控制系统等问题。
在经济学中，微积分被应用于最优化问题、市场分析和金融建模等方面。
微积分是数学与现实世界联系的桥梁，推动了科学和技术的进步。
微积分在数学发展中的地位不可替代，对于推动整个数学领域的发展起着至关重要的作用。
1.2 第二次数学危机的背景第二次数学危机指的是20世纪初期数学领域出现的一系列严重问题和困境，这些问题主要表现为数学的基础和逻辑的混乱，导致了一场数学危机。
这场危机的背景是19世纪末至20世纪初，数学领域的快速发展和广泛应用，使得人们开始质疑数学的基础和逻辑是否完备和准确。
一些尖端的数学问题和矛盾也开始浮现，例如集合论的悖论、连续统假设的争议等，给数学界带来了巨大的困扰和挑战。
数学的发展也导致了数学家们在逻辑、基础和方法论等方面的分歧，这使得数学界在20世纪初期出现了一种思维混乱和分歧的局面。
第二次数学危机的背景是数学领域内部的矛盾和不确定性，使得数学家们不得不重新审视数学的基础和逻辑体系，以确保数学的科学性和完整性。
这场危机也促使了数学领域内部的一系列变革和探讨，推动了数学发展的向前发展。
2. 正文2.1 微积分的创立微积分的创立可以追溯到17世纪的牛顿和莱布尼兹。
牛顿是英国的物理学家和数学家，莱布尼兹是德国的数学家和哲学家。
他们在不同的国家，独立地发展了微积分的理论。
牛顿利用几何方法引入了微积分的基本概念，如导数和积分，而莱布尼兹则采用代数方法，开创了微积分的符号表示法。
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透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分作者：华中师范大学计算机科学系2010级郑舒月学号77内容摘要：基于大家在学习微积分的过程中的困惑，本文试图透过第二次数学危机谈一谈这位既神秘又可恨可怜的“消失了的量的鬼魂”，以“贝克莱悖论（Berkeley paradox）”、“芝诺悖论（Zeno paradox）”等悖论了解牛顿和莱布尼兹关于微积分的理论及公式。
由于18世纪的微积分的理论并不严谨，这就有悖于数学这一学科的首要特点。
关于“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。
但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
从而掀起了第二次数学危机。
关键词：第二次数学危机微积分Abstract：Based on most of students have the confusion in the process of studying calculus, from the second mathematical crisis,this paper tries to talk about this mysterious,hateful and poor "disappeared quantity of ghosts", with "Berkeleyparadox ", "Zeno paradox" and so on, to know about the theories and formulas of Newtonand . Because of calculus theori es were not rigorous in the 18th century, this iscontrary to the primary feature of the question-- " whether infinitely smallquantity is zero" :as infinitely small quantity is concerned in practical application at that time, it must be zero, and is not zero at the same time. Butfrom the view of the form logic , there is no doubt that this is a contradiction.Thus the second mathematical crisis broke out.Key words：The second mathematical crisis calculus前言大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。
这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。
初次接触微积分时，大家都被弄迷糊了，基本学完教材微积分的知识，仍是无数个疑问让大家百思不得其解，比如：无穷小量似乎有时是0，有时又非零；dydx =f'(t)是否可以看做普通的除式或一个比式，有时候它似乎可以作为除式，可是有时候它却并非如此；导数与微积分之间千丝万缕的关系似乎永远也说不全，道不明。
后来了解到微积分的发展，从古希腊数学家认识到数在比例论上有不足之处所陷入的困惑，渐渐孕育了无穷小的概念，再到基本攻破第二次数学危机，特别是着名数学家柯西（Cauchy ）的出现，加之前人的成果，建立了微积分的严密逻辑理论基础。
成为严密的数学王国中一颗璀璨明珠。
21世纪，微积分已应用于解决很多实际问题，跨越物理、计算机等多个领域，解决矩阵等计算，求近似问题，并广发应用于经济管理与农业上；在Mathematics 等系列软件的诞生后，对于微积分的发展和学习更是有极大地促进作用，这也从另一个方面提醒现今学习好微积分是必不可少的。
本文基于以上的困惑及考虑，从第二次数学危机认识牛顿和莱布尼兹的理论及公式，希望对大家有所帮助。
正文我们知道，没有一门新的科学是某个人的单独成果，它往往要经历无数前人的努力，还甚至面临质疑与诽谤。
古希腊人虽然没有明确的极限概念，它们将无穷小排除在几何证明之外，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。
它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理，但却十分麻烦。
在17世纪下半叶，像费马、巴罗等数学家在微积分的研究上，还没有能将无穷小分析涉及的观点、方法和发现组成一门有着独特算法的新的数学分支。
我们现在所熟悉的公式——牛顿-莱布尼茨公式。
显然，人们将微积分的发明还是归功于这两位着名的数学家——艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼茨，撇开无聊的关于优先权的问题不谈，只论他们所研究出的成果看，他们的功绩主要在于：1，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。
其实牛顿当初陈述的并不是像我们现在这样从算术的角度看数列极限，这些数代表了相关几何量的（算术）长度变得无穷小的时候它们之间的比，牛顿在《原理》中这样阐述“严格地说，消失量的最终比不是最终量之比，而是这些无限减少的量之比的极限，尽管这些极限可以比任何给定都要接近它，但在这些量无限减少之前，它们既不能超过也不能达到这个极限。
”这段话表明，牛顿意识到了无穷小概念中包含的困难。
如此就缺乏算术明确性，才在第二次数学危机中有激烈的争论。
他由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。
同时关于微积分基础的问题也越来越严重。
以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。
Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。
这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。
十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，数学也迎来了一次空前的繁荣时期。
十八世纪被称为数学史上的英雄世纪，这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。
它们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。
人们用微分学的理论发现了哈蕾彗星，用积分学的理论可以计算任意平面图形的面积，只要知道包围这个图形的曲线方程。
在数学本身它们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。
因此有些人就对基础问题的讨论不感兴趣。
如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。
更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。
但也因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。
贝克莱是一位着名的唯心主义哲学家，不仅如此，他还精通数学，他对于牛顿、莱布尼茨理论中不严格的地方大肆攻击，在他的《分析学者》中他这样指出“Δx一会不等于零，一会儿又等于零，可以说是消失了的增量，就像漂泊不定的鬼魂；由此得到的导数作为Δy与Δx消失了的增量之比，“既不是有限量也不是无穷小量，但又不是无”，从而就不过是消失了的量的鬼魂不具有任何意义”。
十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管的可靠与否，特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。
对无穷级数的收敛、发散含糊不清的情况，.格兰迪（Grandi，1671－1742）提出悖论“从虚无创造万有”，对无穷级数x=1 -1+1-1+……的求和问题，一方面，无穷级数x=（1-1）+（1-1）+……=0；另一方面，x=1-（1-1）-（1-1）-……=1，由上得出0=1；在等式两边同乘任何数，就可得0=任何数，这就是被格兰迪称为的“从虚无（0）创造万有（任何数）”。
又有人指出因为0和1是等可能的，所以级数的和应为平均数1/2。
这样的悖论日益增多，数学家们在研究无穷级数的时候，作出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。
他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。
但是他本人未能提供这样的理论。
拉格朗日为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，曾试图把整个微积分建立在泰勒展式的基础上。
但是，这样一来，考虑的函数的范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。
到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力。
首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺，他开始将严格的论证引入到数学分析中。
1816年，他在二项展开公式的证明中，明确提出了级数收敛的概念，同时对极限、连续和变量有了较深入的理解。
特别是着名数学家柯西的出现，他在数学分析和置换群理论方面作了开拓性的工作。
柯西在1821～1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的着作，在那里，他给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。
例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。
接着，魏尔斯特拉斯引进了精确的极限定义。
这样，微积分就建立在严格的极限理论的基础上了。
今天我们微积分课本中使用的定义，基本上就是柯西的，不过现在写得更加严格一点。
一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。
它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔、和彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。
波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。
柯西在1821年的《》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。
他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。
在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。
十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。
同时，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。
这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。