杨辉三角在日常生活中的有趣应用

杨辉三角在日常生活中的有趣应用

[摘要]中国古代数学史曾经有代写论

文自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉三角是中国古代数学家贾宪在公元11世纪发现，并被南宋

数学家杨辉在他的书中所引述，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。

[关键词]杨辉三角趣味性日常生活

杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。杨辉三角形所蕴含的数字排列规律，让我们在感受数学美的同时，也体会到它的趣味性和实用性。下面就通过三个实例与读者共享。

例1.随着经济的快速发展，越来越多的人加入炒股大军。股票的涨停问题也成为人们的重要谈资。有一天，同事谈到股票涨停时，提出一个问题：要经过几次涨停，股资才能翻一倍？大家知道，股票涨停一次，股资增加了原来的百分之十。构建一个模型：

设原来股资为a元，一次涨停后，股资变成

a+10%a=(1+)a=；二次涨停后，股资变成

+10%×=2a；

如此递推，当n(n∈z+)次涨停后，股资变成na元。要经过几次涨停，股资才能翻一倍呢？可以建立以下不等式：na＞2a，即n＞2。那么，最小正整数 n是多少？

简单推算：1=，2=，3=，……手边

没有计算器，再算下去就有一点复杂了。但观察结果的数字，惊奇的发现前三个的结果与杨辉三角相对应。如图1

是否4=呢？结果与计算相同。但当

n=5时，出现了两位数的情形，怎么解决？

能不能像加法运算一样进位加一变成呢？

经过验算猜想与答案完全一致。这样求最小正整数n的运算就可以通过观察得到。当

n=8时，8＞2。也就是经过8次涨停后，

股资翻倍。

例2.在游戏场所经常可以看到这样的

弹球游戏：一个小球向下跌落，碰到第一层阻挡物后等可能的向两侧跌落。碰到第二层阻挡物再等可能的向两侧的第三层跌落。如

此下去，小球一直跌到容器底层，根据具体区域获得相应奖品。可以发现，在两端区域的奖品价值远远高于中间区域，怎样解释这一现象呢？下图是一个竖直平面内的弹球

游戏，图中的竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相通，若竖直线段有一条的为第一层，有两层的为第二层……以此类推，现求有一颗小球从第一层的通道向下运动

跌落到第n+1层第m个通道里的概率。通过观察可以发现，小球落入第1层第1个通道有1种可能，落入第2个通道也有1种可能。小球落入第2层第1个通道有1种可能，落入第2个通道有2种可能，落入第3个通道有1种可能。落入第3层第1个通道有1种可能，落入第2个通道有3种可能，落入第3个通道有3种可能，落入第4个通道有1

种可能……各个通道上的数字如图2所示：

通过观察，各个通道上的数字与杨辉三角形完全一致，由此可以得出第n+1层所有可能有

C0n+C1n+…+C n-1n+C n

n=2n种。因此小球从第一层的通道向下运动跌落到第n+1层第m个通道里的概率为

C m-1n2n。这样就很清楚的观察到

越靠近中间区域小球落入的可能性越大，而两端落入小球的可能性最小。

例年北京奥运会日益临近，各个场馆的门票预售也已经开始。为了节省时间，观众总想找到从一个场馆到达另一个场馆的最

短路径。假设两个奥运场馆的分布如图3所示：Q代表场馆1，P代表场馆2。网线表示北京比赛区域的交通道路，每个方格内均表示建筑物。则由Q到P的最短路径有多少条？由右图可以观察到：由Q到A或由Q到B只有一条最短路径，即Q →A或Q→B，由Q到C有2条最短路径，即Q→A→C或Q→B→C。综合上述分析，问题已经形成杨辉三角的初形。如此递推，可以写出右图所示的“数塔”。这样根据数字排列规律很容易的得到由Q到P的最短路径有35条。

假如虚线框内的一段街道水管突然断裂，导致此路段不能通行，则由Q到P的最短路径有多少条？根据杨辉三角数字排列

规律，如图4所示，最短路径有13条。

随着北京城市建设的快速发展，各种生活配套设施日益完备，行人出行的方式已经不仅仅是简单的平面路径了，而是发展成由立交桥，地铁等构建而成的立体交通网络。假设一名观众正处于图5所示的立体交通网络中，他由P到Q有多少种不同走法？

首先，构建一个由m3(m∈Z+)个大小相同的小正方体拼成一个大正方体表示

一个超级立体交通网络。

在图6中分别过点A11A12A13、

A21A22A23、……作与QO垂直的截面，在这些截面上，网络交叉点的个数恰好为1+2，1+2+3，1+2+3+4，……，这也恰恰分别是1，(a+b+c)2，(a+b+c)3，……的展开式的项数。在每个交叉点上标上该点到Q点的不同走法的种数。这样，在大正方体的上边的面，右边的面，后边的面中交叉点上数字恰好构成杨辉三角，在正方体内部的每个交叉点上的数字都是它的上方，右方和后方与之相邻的三个交叉点上数字之和。由以上结论可以在图5的每个交叉点上标出该交叉路口