量子力学期末考试试题和答案A

2002级量子力学期末考试试题和答案

A 卷

一、简答与证明：（共25分）

1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分）

2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）

3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）

4、证明

)ˆˆ(2

2x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p

ˆ之间的测不准关系。（6分）

二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A

，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A

ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A

ˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态

),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求

1、0=t 时氢原子的E 、2L

ˆ和z L ˆ的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ˆ和z L ˆ的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符

由下面的矩阵给出

⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H 000000200030001ˆ 这里，H H H

'+=ˆˆˆ)0(，C 是一个常数，1<

y

x iS S S +=+，

y

x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021

的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？

一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae

-⋅=ρρη

ψ

2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：

[])()()()(21

12212211q q q q A ϕϕϕϕφ-=

。

4、)ˆˆ(2

2x x p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2η=+=，因为x p ˆ是厄密算符，所以)ˆˆ(2

2x x p x x p i -是厄密算符。

5、设F

ˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F

ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有

4222k )G ˆ()F ˆ(≥

⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。 坐标x 和动量x p

ˆ之间的测不准关系为：2ˆη

≥∆⋅∆x p

x

二、解1、由于1ˆ2=A

，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ˆ的矩阵是：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 100122121

12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，

21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01

12

12b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

=010*

12

*12b b *

12121

b b =∴

令δ

i e b =12，其中δ为任意实常数，得B

ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=-00)(ˆδδi i e

e A B

2、类似地，可求出在B 表象中算符A ˆ的矩阵表示为：⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e B A

在B 表象中算符A

ˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδ

δ00

i i e e ，即⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e

⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδ

δi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即

=---λ

λδ

δi i e

e ⇒ 012

=-λ 1±=∴λ

对1=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+

121δϕi A

e ，对1-=λ有：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-

121δϕi A e 所以，在B 表象中算符A

ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121δi e 3、类似地，在A 表象中算符B

ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-121δi e 从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B

ˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=-1121δδ

i i e e S

三、解： 已知氢原子的本征解为：

)

3,2,1(1

22

02Λ=-

=n n a e E s n

),()(),,(ϕθϕθφlm nl nlm Y r R r =，将)0,(r ψ向氢原子的本征态展开， 1、)0,(r ψ=∑nlm

nlm nlm

r c

)

,,()0(ϕθφ，不为零的展开系数只有三个，即

21)0(210=

c ，

21)0(310

-=c ，21)0(121=-c ，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：54

，于是归一化的展开系数为：

51

5421)0(210=

=

c ，52542

1)0(310-=-=c ， 52

5421

)0(121==-c

（1）能量的取值几率

535251)0,(2=+=

E W ，52

)0,(3=E W ，

平均值为：

3

252

53E E E += （2）2L ˆ取值几率只有：

1)0,2(2=ηW ，平均值222ˆη=L （3）z L ˆ

的取值几率为：

535251)0,0(=+=

ηW ，52)0,(=-ηW ，平均值

η52ˆ-=z L