圆的标准方程练习题

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圆的标准方程

一．引趣二．复习问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？三．新课四．求圆的标准方程练习1、求圆的方程（直接应用）练习2、写出圆心和半径（逆向应用）例1、求满足下列条件的各圆的方程:(1)以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆.(2)圆心在x轴上,半径为5且过点A(2,-3)的圆.(3)过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x-2y-1=0相切的圆的方程.评注例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。

解法一（利用斜率）：解法二（利用平面几何知识）：解法三（利用平面向量知识）：练习3.（1）写出过圆x2+y2=10上一点M （2，√6）的切线的方程（2）求过点A（5，15）向圆x2+y2=25所引的切线方程。

练习4、猜想过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x。

,y。

)的切线方程并给予证明。

切线方程为:(ｘ–ａ)(ｘ。

–ａ)+(ｙ–ｂ)(ｙ。

–ｂ)=r?练习5.已知圆的方程是x2+y2=1，求（1）斜率等于1的切线的方程；（2）在y轴上截距是√2 的切线的方程。

例3、（1）某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m，拱高为4m。

求该圆拱桥所在的圆的方程。

变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。

试给他们计算中间两根柱子的长度。

变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。

课堂小结：备选练习。

圆的标准方程练习题

（一）第四章 4.1 4.1.1A 级基础巩固一、选择题1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的方程是 ( )A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝102．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P(3,2)满足 ( )A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外3．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为 ( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，44．(2016·锦州高一检测)若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是 ( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝15．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝ () A ．－43B ．－34C ．3D ．26．若P(2，－1)为圆(x －1)2＋y2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0二、填空题7．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是.8．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是三、解答题9．圆过点A(1，－2)、B(－1,4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．10．已知圆N 的方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆上，求a 的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．B 级素养提升一、选择题1．(2016～2017·宁波高一检测)点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32与圆x2＋y2＝12的位置关系是 ( )A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定2．若点(2a ，a －1)在圆x2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，1]B ．(－1,1)C ．(2,5)D ．(1，＋∞)3．若点P(1,1)为圆(x －3)2＋y2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 ( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝04．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．2二、填空题5．已知圆C 经过A(5,1)、B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为____.6．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为____.C 级能力拔高1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1,1)在AD 边所在的直线上．求AD 边所在直线的方程.2．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P(3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.第四章 4.1 4.1.2A 级基础巩固一、选择题1．圆x2＋y2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 ( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)2．(2016～2017·曲靖高一检测)方程x2＋y2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为 ( )A ．－2,4,4B ．－2，－4,4C ．2，－4,4D ．2，－4，－43．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C 过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为 ( )A ．x2＋y2－6x －2y ＋6＝0B ．x2＋y2＋6x －2y ＋6＝0C ．x2＋y2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x2＋y2－2x －6y ＋6＝04．设圆的方程是x2＋y2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是 ( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定5．若圆x2＋y2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为 ( ) A ．－2或2 B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 6．圆x2＋y2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是 ( )A ．(x －1)2＋y2＝2B ．(x ＋1)2＋y2＝2C ．(x －1)2＋y2＝4D ．(x ＋1)2＋y2＝4二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为____.8．设圆x2＋y2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是_三、解答题9．判断方程x2＋y2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程.B 级素养提升一、选择题1．若圆x2＋y2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在圆x2＋y2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为 ( )A ．52B ．102C ．152D ．2023．若点(2a ，a －1)在圆x2＋y2－2y －5a2＝0的内部，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞) 4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x2＋y2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )二、填空题5．已知圆C ：x2＋y2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a6．若实数x 、y 满足x2＋y2＋4x －2y －4＝0，则x2＋y2的最大值是___.C 级能力拔高1．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.2．已知方程x2＋y2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m2)y ＋16m4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m 的取值范围；(2)求该圆的半径r 的取值范围；(3)求圆心C 的轨迹方程．第四章 4.2 4.2.1A 级基础巩固一、选择题1．若直线3x ＋y ＋a ＝0平分圆x2＋y2＋2x －4y ＝0，则a 的值为 ( )A ．－1B ．1C ．3D ．－32．(2016·高台高一检测)已知直线ax ＋by ＋c ＝0(a 、b 、c 都是正数)与圆x2＋y2＝1相切，则以a 、b 、c 为三边长的三角形是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在3．(2016·北京文)圆(x ＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为 ( )A ．1B ．2C ．2D ．22[4．(2016·铜仁高一检测)直线x ＋y ＝m 与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m ＝ ( )A ．12B ．22C ．2D ．25．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x －y －1＝0上截得的弦长为22，那么这个圆的方程为 ( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝166．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．(2016·天津文)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____. 8．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____.三、解答题9．当m 为何值时，直线x －y －m ＝0与圆x2＋y2－4x －2y ＋1＝0有两个公共点？有一个公共点？无公共点10．(2016·潍坊高一检测)已知圆C ：x2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB|＝17时，求m 的值．B 级素养提升一、选择题1．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x ＋4y ＝0截得的弦最长的直线的方程是 ( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．3x －y －1＝0D ．3x ＋y －5＝02．(2016·泰安二中高一检测)已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是 ( )A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离3．若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 ( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－33，33)D ．[－33，33] 4．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 ( )A ．3<r<5B ．4<r<6C ．r>4D ．r>5二、填空题5．(2016～2017·宜昌高一检测)过点P(12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____.6．(2016～2017·福州高一检测)过点(－1，－2)的直线l 被圆x2＋y2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为____.C 级能力拔高1．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：(1)经过点P(3，1)；(2)斜率为－1；(3)过点Q(3,0)．2．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程.第四章 4.2 4.2.2A级基础巩固一、选择题1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是 ( )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝252．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为 ( ) A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝03．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是 ( ) A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝04．(2016～2017·太原高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15D．(x＋5)2＋(y－7)2＝255．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝A．5 B．4 C．3 D．226．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为 ( )A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36二、填空题7．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是____.8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝____.三、解答题9．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程.10．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0.B 级素养提升一、选择题1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为 ( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．22．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 ( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝03．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是 ( )A ．－1B ．2C ．3D ．04．(2016·山东文)已知圆M ：x2＋y2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是 ( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[二、填空题5．若点A(a ，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x －a)2＋y2＝1与圆x2＋(y －b)2＝1的位置关系是____.6．与直线x ＋y －2＝0和圆x2＋y2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的方程是____.C 级能力拔高1．已知圆M ：x2＋y2－2mx －2ny ＋m2－1＝0与圆N ：x2＋y2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.2．(2016～2017·金华高一检测)已知圆O ：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O 外一点P(a ，b)向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ|＝|PA|成立，如图.(1)求a ，b 间的关系；(2)求|PQ|的最小值．第四章 4.2 4.2.3A 级基础巩固一、选择题1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 ( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m2．已知实数x 、y 满足x2＋y2－2x ＋4y －20＝0，则x2＋y2的最小值是 ( )A ．30－105B ．5－5C ．5D ．253．方程y ＝－4－x2对应的曲线是 ( )4．y ＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是 ( )A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π 5．方程1－x2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是 ( )A ．k ＝－ 2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k<16．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线PA 、PB 分别与圆x2＋y2＝4相切于A 、B 两点，则四边形PAOB(O 为坐标原点)的面积的最小值等于 ( )A ．24B ．16C ．8D ．4二、填空题7．已知实数x 、y 满足x2＋y2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为____ 8．已知M ＝{(x ，y)|y ＝9－x2，y ≠0}，N ＝{(x ，y)|y ＝x ＋b}，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是__]__.三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01 m)1．(2016·葫芦岛高一检测)已知圆C 的方程是x2＋y2＋4x －2y －4＝0，则x2＋y2的最大值为 ( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋652．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax ＋3y ＋6＝0，l2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x2＋y2＋2x ＝b2－1(b>0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为 ( )A ．(2，322)B ．(0，322) C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞) 3．已知圆的方程为x2＋y2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ( )A ．106B ．206C ．306D ．4064．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为 ( )A ．4π5B ．3π4C ．(6－25)πD ．5π4二、填空题5．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 ____.6．设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在实数t，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是___.C级能力拔高1.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)。

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

人教A版必修2圆的标准方程精选课时练习(含答案)8

人教A 版圆的标准方程精选课时练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．()()22 111x y ++-=的圆心在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知点()()4,4,5,3A B 都在圆C 上,且()()6,0,2,6M N 仅有一点在圆C 上,则圆C 的标准方程为A ．2297122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()22125x y -+= C ．()()22525x y -+-= D ．()()22352x y -+-= 3．已知两点()()1,3,3,A B a -,以线段AB 为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为 A ．()()22125x y -+-=B ．()()221240x y -+-= C ．()()22118x y -+-= D ．()()221132x y -+-= 4．若方程22448430x y x y +-+-=表示圆，则其圆心为（）A ．1(1,)2-- B ．1(1,)2 C ．1(1,)2- D ．1(1,)2- 5．若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y x =对称,则圆C 的标准方程为 A ．()2211x y -+=B ．()2211y x ++= C ．()2211y x -+= D ．()2211x y ++=6．方程2220x y ax ++-=表示圆心在直线x+y=0上的圆,则该圆的半径为A B ．C D ．6 7．函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A ．25[1,-∪(0,1]B ．[－1,0)∪25C ．25[1,5--∪25(0,5D ．25[1,5--∪5(1]58．圆2cos ,{2sin 2x y θθ==+的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,-2)D ．(-2,0) 9．已知三点(1,0)A ，3)B ，3)C ，则ABC △外接圆的圆心到原点的距离为（）．A ．43B 25C 21D ．5310．圆220x y ax ++=的圆心横坐标为1，则a 等于（）．A ．1B ．2C ．1-D ．2- 11．以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝912．已知圆2260x y ax y +++=的圆心在直线10x y --=上，则a 的值为（） A ．4 B ．5 C ．7 D ．813．已知三点()((1,0,3,3A B C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B 21C 25D ．4314．过点()0,2A 和()1,1B -，且圆心在直线10x y --=上的圆的方程是（） A ．()2215x y -+=B ．()2215x y +-=C ．()()22115x y -+-=D ．()()22115x y -++=15．方程x = ）A ．两个半圆B ．两个圆C ．圆D ．半圆 16．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（）A ．(1,2)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,2)-- 17．(2018·河南天一大联考段考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝518．(2018·长春二模)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y x 对称的圆的方程是( )A ．(x 2＋(y －1)2＝4B ．(x )2＋(y )2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y 2＝419．若直线10ax by -+=（0a >，0b >）平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为（）A ．3+B ．C ．12D ．3+20．圆:C 2220x y x +-=的圆心坐标和半径分别是( )A ．(1,0),2B ．(1,0),1C ．(1,0),2-D ．(1,0),1- 21．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2522．圆心在直线2x =上的圆C 与y 轴交于两点()0,4A -，()0,2B -，则圆C 的方程为（）A ．()()22235x y -++=B ．()()22228x y -++= C ．()()22329x y -++= D ．()()22215x y -++= 23．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（）A ．23B ．1C ．12D ．3424．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以11A B 为直径的圆C 过点(2,3)M -，则圆C 的方程为( )A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)17x y +++=C ．22(1)(1)5x y ++-=D ．22(1)(2)26x y +++=25．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝426．以()2,1为圆心且与直线10y +=相切的圆的方程为（）A ．()()22214x y -+-=B ．()()22212x y -+-= C ．()()22214x y +++= D ．()()2221x y +++ 27．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A ．224250x y x y ++--=B ．224250x y x y +-+-=C ．22420x y x y ++-=D ．22420x y x y +-+=二、填空题28．圆心为()3,0且与直线0x +=相切的圆的方程为________.29．已知圆的圆心在曲线10)xy x =>（上，且与直线4130x y ++=相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．30．圆C 的圆心为点(8,3)-，且经过点(5,1)A ，则圆C 的方程为______________.31．已知圆M 与圆O ：x 2＋y 2＝3＋相内切，且和x 轴的正半轴，y 轴的正半轴都相切，则圆M 的标准方程是________．32．已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且经过(6,2)A ，(4,8)B 两点，则圆C 的标准方程是__________．33．圆22230x y x y ++-=的圆心坐标为__________．34．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第________象限．35．圆22230x y x y +-+=的圆心坐标为________．36．已知圆C 经过点()0,6A -，()1,5B -，且圆心在直线:10l x y -+=上，则圆C 的标准方程为__________．37．若圆C 过两点(0,4),(4,6)A B ，且圆心C 在直线x －2y －2＝0上，则圆C 的标准方程为_________．三、解答题38．若圆C 经过坐标原点,且圆心在直线23y x =-+上运动,求当圆C 半径最小时圆C 的标准方程.39．已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点（1）求过点O 、F ，并且与直线:2l x =-相切的圆的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.40．圆C 与直线250x y +-=相切于点()2,1，且与直线2150x y ++=也相切，求圆C 的方程．41．在Rt △ABO 中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P 为它的内切圆C 上任一点,求点P 到顶点A ,B ,O 的距离的平方和的最大值和最小值.42．已知直线l 过点(2,1)和点(5,4)．（1）求直线l 的方程．（2）若圆C 的圆心在直线l 上，且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程． 43．求过P （5，-3）、Q （0，6）两点，并且圆心在直线2x-3y-6=0上的圆的方程. 44．求圆心C 在直线2y x =上，且经过原点及点()3,1M 的圆C 的方程.45．已知过点()()1,3,1,1-且圆心在直线1y x =-上的圆C 与x 轴相交于,A B 两点，曲线Γ上的任意一点P 与,A B 两点连线的斜率之积为34-．（1）求曲线Γ的方程；（2）过原点O 作射线,OM ON ，分别平行于,PA PB ，交曲线Γ于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．46．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，12,A A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB ∆面积的最大值为2. （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点,P Q ，求PQ 的取直范围.47．已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ，过抛物线上一点M 作抛物线C 的切线l ，l 交y 轴于点N .（1）判断MNF ∆的形状；（2）若,A B 两点在抛物线C 上，点(1,1)D 满足0AD BD +=u u u v u u u v v，若抛物线C 上存在异于,A B 的点E ，使得经过,,A B E 三点的圆与抛物线在点E 处的有相同的切线，求点E的坐标.48．已知双曲线22:1C x y -=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.49．某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通s 号线线路示意图如图所示.已知,M N 是东西方向主干道边两个景点，,P Q 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为52km ，线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点M 的距离都多10km ，线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，以O 为原点建立平面直角坐标系xOy .（1）求轨道交通s 号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB 段上需建一站点G 到景点Q 的距离最近，问如何设置站点G 的位置？50．已知圆C 经过()1,1A 和()2,2B -，且圆C 在直线:3410l x y -+=上，（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线m 垂直于直线l 且与圆C 相切．求直线m 的方程．参考答案1．B2．B3．A4．D5．C6．C7．C8．A9．C10．D11．B12．A13．B14．A15．D16．B17．A18．D19．A20．B21．D22．A23．B24．C25．C26．A27．C28．()2233x y -+=29．221(2)()172x y -+-=30．22(8)(3)25x y -++=31．(x －1)2＋(y －1)2＝132．22(2)(4)20x y -+-=33．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 34．四35．3(1,)2-36．22(3)(2)25x y +++=37．22(4)(1)25x y -+-= 38．22639555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭39．（1）2219()(.24x y ++±=（2）1(,0).2-40．()()222120x y +++=.41．88,7242．（1）1y x =-；（2）22(4)(3)16x y -+-= 43．22323445(19)()39x y -+-=． 44．()()22125x y -+-=.45．（1）()221243x y x +=≠±；（2）7]2.46．(1) 椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y += (2)[3,347．(1) MNF ∆为等腰三角形.(2) 点E 的坐标为1(1,)2-.答案第3页，总3页 48．(1) (221x y +=;(2)(2,)+∞.49．(1) 25x x y y +=- (2) 站点G的坐标为⎛ ⎝，可使G 到景点Q 的距离最近50．（1）()()223225x y +++=；（2）43430x y ++=.。

圆的标准方程练习题

圆的标准方程1.已知两直线x-2y=0和x+y-3=0的交点为M,则以点M 为圆心,半径长为1的圆的方程是 ( )A.(x+1)2+(y+2)2=1B.(x-1)2+(y-2)2=1C.(x+2)2+(y+1)2=1D.(x-2)2+(y-1)2=12.圆心在直线2x+y=0上,并且经过点A(1,3)和B(4,2)的圆的半径为 ( )A.3B.4C.5D.63.点(5√a +1,√a )在圆(x-1)2+y 2=26的内部,则a 的取值范围是 ( )A.0<a<1B.0≤a<1C.a>1D.a=14.圆E 经过点A(0,1),B(2,0),且圆心在x 轴的正半轴上,则圆E 的标准方程为 ( )A.(x -32)2+y 2=254 B.(x +34)2+y 2=2516 C.(x -34)2+y 2=2516 D.(x -34)2+y 2=254 5.若圆心在x 轴上,半径为√的圆C 位于y 轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆C 的方程是____________.6.圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x 0,y 0)在圆C 内部,且d=(x 0-1)2+(y 0+2)2,则d 的取值范围是____________.7.如图,矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0),AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD 边所在的直线上.(1)求AD 边所在直线的方程.(2)求矩形ABCD 外接圆的方程.8.已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P 在圆x 2+y 2=4上运动,求PA 2+PB 2+PC 2的最值.参考答案1.D2.C3.B4.C5. (x+5)2+y2=56. 0≤d<47.【解析】(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-3.又因为点T(-1,1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.(2)由{x-3y-6=0,3x+y+2=0,解得点A的坐标为(0,-2).因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0),所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又AM=√(2-0)2+(0+2)2=2√2,从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.8.【解析】设P点坐标为(x,y),则x2+y2=4.PA2+PB2+PC2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)-4y+68=80- 4y.因为-2≤y≤2,所以72≤PA2+PB2+PC2≤88.即PA2+PB2+PC2的最大值为88,最小值为72.。

圆的标准方程练习题

圆的标准方程练习题圆的标准方程练习题圆是数学中的一个基本几何形状，它在我们的生活中随处可见。

在解决与圆相关的问题时，掌握圆的标准方程是非常重要的。

本文将通过一些练习题来帮助读者加深对圆的标准方程的理解和应用。

练习题一：求圆的标准方程1. 已知圆心为(2, -3)，半径为5，求圆的标准方程。

解析：圆的标准方程为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)为圆心坐标，r 为半径。

代入已知条件，得到$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$。

2. 已知圆心为(-1, 4)，过点(3, 2)，求圆的标准方程。

解析：首先求得半径，半径的长度等于圆心到过点的距离。

利用距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，代入已知条件，得到$d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。

然后代入圆心和半径，得到$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 20$。

练习题二：判断给定方程是否为圆的标准方程1. $x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0$解析：这个方程可以通过将其进行配方来判断是否为圆的标准方程。

将方程进行配方，得到$(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 0$，化简后得到$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$。

因此，这个方程是圆的标准方程。

2. $x^2 + y^2 + 3x - 2y + 4 = 0$解析：同样地，将方程进行配方，得到$(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0$，化简后得到$(x + \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{9}{4} + 1$。

因此，这个方程不是圆的标准方程。

(完整版)圆的一般方程练习题

(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。

圆的标准方程-练习题

一、选择题1. 圆心是(4, -1),且过点(5.2)的圆的标准方程是( )Λ. α-4)2+(y+l)2=10 B. (A ^+4)2+(y-l)2=10 C. (χ-4)2+(y÷l)2=100D. (%-4)2÷ (y+1)2=√W2. 已知圆的方程是(χ-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足() A.是圆心B.在圆上C.在圆内3. 圆(A -+1)2+(7-2)2=4的圆心坐标和半径分别为() Λ. (-1,2), 2B. (1, -2), 2C. (-1,2), 44. (2016 •锦州高一检测)若圆C 与圆(x+2)2÷(y-l)2= 1关于原点对称，则圆C 的方程是()Λ. α-2)2+(y+l)2=l B. (χ-2)2+(y-l)2=l C. U-l)2+(y+2)2=lD. (A ÷1)2÷(7+2)2=15. (2016 •全国卷II)圆√+∕-2χ-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1 =0的距离为1,则日=()6. 若Pa 一1)为圆(χ-l)2+y=25的弦/矽的中点，则直线/矽的方程是(Λ )二、填空题7. 以点(2, — 1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是8. 圆心既在直线x —y=0上，又在直线x+y —4=0上，且经过原点的圆的方程是三、解答题9. 圆过点 Atl 9 一2)、B(-l,4).求 (1) 周长最小的圆的方程；⑵圆心在直线2x —y —4 = 0上的圆的方程.10. 已知圆川的标准方程为(%-5)2+(y-6)2=a 2(a>0).Λ.B.C. √3D. 2 D.在圆外D. (h -2), 4A. X —y —3=0B ・ 2x+ y — 3 = 0C ・ x+ y — 1 =0D. 2%—y —5=0(1)若点M6.9)在圆上，求。

的值；(2)已知点A3,3)和点0(5.3),线段図(不含端点)与圆再有且只有一个公共点，求臼的取值范围.B级素养提升一、选择题1. (2016〜2017-宁波高一检测)点与圆√+∕=j的位置关系是Λ.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.不能确定2.若点(2o, a-l)在圆√÷(y+l)2=5的内部，则&的取值范围是( )Λ. (一8, 1] B. (一1・1) C. (2.5) D・(1, +∞)3.若点P(l, 1)为圆α-3)2+72=9的弦的中点，则弦聽V所在直线方程为( )Λ. 2x+y—3=0 B・X—2y+l=0 C. x+2y—3=0 D・(IX—y—1=04.点"在圆(Λ--5)2+(7-3)2=9上，则点J/到直线3x+4y-2=0的最短距离为( )Λ. 9B・8 C・5 D・2二、填空题5.已知圆C经过力(5∙1). 0(1∙3)两点，圆心在才轴上，则C的方程为6.以玄线2x+y-4 = 0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为C级能力拔高1・如图，矩形力仇0的两条对角线相交于点M2,0), /矽边所在直线的方程为χ-3y-6=0, 边所在的直线上•求力〃边所在直线的方程・2.求圆心在直线4x+y=0上，且与直线才+y—l =0切于点Λ3, 一2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.一、选择题1・圆z÷√-4x+6y= O的圆心坐标是( )Λ. (2.3) B. (-2,3) C. (一2, -3) D. (2, -3)2・(2016〜2017 •曲靖高一检测)方程√+∕÷2^r-Λy÷c= 0表示圆心为67(2,2),半径为2的圆，则血b、C 的值依次为( )Λ. —2,4.4 B. —2, —4,4 C. 2, —4,4 D. 2, —4, —43.(2016〜2017 •长沙高一检测)已知圆C过点J∕(l,l), A r(5,1),且圆心在直线y=x~2上，则圆C的方程为 ( )A・ X ÷y-6A r-2y÷6 = 0 B. x ÷y÷6%-2y÷6=0[C・ x'÷y ÷6x÷2y÷6=0 D・ A r÷y —2χ-6y÷6=04.设圆的方程是Y÷y2+2ax÷2y+(a-l)2=0,若O<X1,则原点与圆的位置关系是( )Λ.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不确定5・若圆√+∕-2χ-4y= 0的圆心到直线AT-y÷5= 0的距离为专，则日的值为( )1 3A. —2 或2B. §或O C・ 2 或0 D. —2 或06.圆Z÷∕-2y-l =O关于直线y=x对称的圆的方程是( )Λ. (X—1)^+y =2 B. (x+l)'+y i=2C. (A-I)2+y =4D. (^+l)2+y=4二、填空题7.圆心是(-3,4),经过点.f∕(5,l)的圆的一般方程为______________________ .8.设圆√+y-4,r+2y-ll= 0的圆心为儿点P在圆上，则刊的中点〃的轨迹方程是一三、解答题9.判断方程X + y -4^+ 2my+ 20/»-20=0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10.求过点J(-l,0). g(3∙0)和C(0.1)的圆的方程.B级素养提升一、选择题1.若圆x2+y2-2ax÷36y= 0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b =0—定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2•在圆√+y2-2-γ-6y =0内，过点F(OJ)的最长弦和最短弦分别为和加,则四边形/处9的面只为( )Λ. 5√2 B. 10√5 C. 15√2D・20√23.若点(2o, a— 1)在圆x2÷y2—(Iy-5a'=0的内部，则日的取值范围是( )4 4 4 Q QΛ. ( — 8, -] B. (―-, ξ) C. (―[, +∞) D. (丁，+∞)4.若直线7：乩γ+by+l=O始终平分圆J/： z+y+4x÷2y÷l=0的周长，则(a-2)2+(Z,-2)2的最小值为)二、填空题5.已知圆C: √+∕+2,γ+ay-3 = 0U为实数)上任意一点关于直线/：χ-y+2=0的对称点都在圆C上，则。

圆的标准方程(经典练习及答案详解)

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254. 答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.10.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-4√33∪4√33,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2a=0,令d=√a2+16=1,化简后,得3a2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C.(方法2)(数形结合法)如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C.11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x2+y2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sinα+π6,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.12.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即√32+42=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点,其中x A,y A,x B,y B∈Z.令Δx=x B-x A,Δy=y B-y A,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.。

高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练)

专题：直线与圆1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝14．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( )． A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0D ．2x －y ±5＝05．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )． A ．2B ．2C ．22D ．426．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0C ．x 2＋y 2－2y ＝0D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝07．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )． A ．30B ．18C ．62D ．528．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2D ．(a ＋b )2＝2r 29．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( )． A ．14或－6B ．12或－8C ．8或－12D ．6或－1410．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )． A ．453B ．253 C ．253 D ．21311．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x ＝a 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则a 的值是_________． 13．直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长为_________．14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为．三、解答题16．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线P A，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．参考答案一、选择题 1．A解析：C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝(10)2，半径r 2＝10．圆心距d ＝224 － 2＋ 1 ＋ 2)()(＝13．因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，所以两圆的圆心距d ＝222 － 1 －＋ 2 ＋ 2)()(＝5．因为r 1＝2，r 2＝3，所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1． 4．D解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1．由221＋ 2 ＋ 2 － 2 b ＝1解得b ＝±5．故所求直线的方程为2x －y ±5＝0． 5．C解析：因为圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心．所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ．依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直．因为已知圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)，所以过点(1，0)且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2)．联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1)．故所求圆的半径r ＝|AC |＝223 ＋ 1＝10．所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0．(第6题)解析：因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r ＝32．设圆心到直线的距离为d ，d ＝210＞r ，所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62． 8．B解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a )2＋(a －b )2＝(2r )2．化简即(a －b )2＝2r 2． 9．A解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位．平移后的直线方程为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0．由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得221＋ 34 －＋ 0 － 0 c ＝10，即|c －4|＝10，所以c ＝14或－6． 10．C解析：因为C (0，1，0)，容易求出AB 的中点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛3 ，23 ，2，所以|CM |＝2220 － 3 ＋ 1 －23 ＋ 0 － 2)()(⎪⎭⎫⎝⎛＝253．二、填空题11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0)．令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3)．所以AB 的中点，即圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛23 2，－．因为|AB |＝223 ＋ 4＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋223 － ⎪⎭⎫ ⎝⎛y ＝425．即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切，所以a 的值是0或2．解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3．所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8． 14．7或－5．解析：由2221 －＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 － 6)()()(z ＝11得(z －1)2＝36．所以z ＝7，或－5． 15．22．解析：如图，S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝21|P A |·|CA |·2＝|P A |，又|P A |＝12－||PC ，故求|P A |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为2243843＋|＋＋|＝3．于是S 四边形P ACB 最小值为132－＝22．三、解答题16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，于是依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋)(，＝＋)(2222 4 － 3 16 － 1r a r a 解得⎪⎩⎪⎨⎧．，－20 ＝ 1 ＝ 2r a 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)，所以圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上．则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3．由⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋，－＝023 y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧．－＝，＝2 1 y x 即圆心为O 1(1，－2)，半径r ＝222 ＋ 1 －＋ 1 － 2)()(＝2．故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝21．所以点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，21 ，1， (第15题)又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，所以点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，1 ，1，同理可得G 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 21 1，，． 18．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0．又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上，所以5a ―3b ―8＝0．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧，＝－，＝－－00835b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧，＝＋，＝－－00835b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧，＝，44b a ＝或⎪⎩⎪⎨⎧．＝－，11＝b a 所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1．19．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0．因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 －－ 2k k ＝2，解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2，所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )，圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ．又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |，(第19题)设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2，设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7．在Rt △AMC 中，由勾股定理，得 22 2 － ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2．解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．。

(完整word版)圆的标准方程练习题.docx

第四章4.14.1.1A 级基础巩固一、选择题1．圆心是 (4，－ 1)，且过点 (5,2)的圆的标准方程是()A ．(x－ 4)2＋( y＋1) 2＝ 10B．( x＋ 4)2＋ (y－1)2＝ 10C． (x－4) 2＋ (y＋1) 2＝ 100D．( x－ 4)2＋ (y＋1)2＝ 102．已知圆的方程是 (x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝4，则点 P(3,2) 满足 ()A ．是圆心B．在圆上C．在圆内 D ．在圆外3．圆 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 4 的圆心坐标和半径分别为()A ．(－ 1,2)， 2B． (1，－ 2)，2C． (－1,2)， 4 D ． (1，－ 2)， 44． (2016 锦·州高一检测 )若圆 C 与圆 (x＋ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1关于原点对称，则圆 C 的方程是 ()A ．(x－ 2)2＋( y＋1) 2＝ 1B． (x－ 2) 2＋ (y－ 1)2＝ 1C． (x－1) 2＋ (y＋2) 2＝ 1D． (x＋ 1)2＋ (y＋2) 2＝ 15． (2016 全·国卷Ⅱ )圆 x2＋ y2－ 2x－8y＋ 13＝0 的圆心到直线ax＋y－ 1＝ 0 的距离为1，则 a＝ () 43A ．－3B．－4C． 3 D ． 26．若 P(2，－ 1)为圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 25 的弦 AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A)A ． x－ y－ 3＝ 0B． 2x＋ y－ 3＝ 0C． x＋ y－1＝ 0D． 2x－ y－ 5＝ 0二、填空题7．以点 (2，－ 1)为圆心且与直线x＋ y＝ 6 相切的圆的方程是.8．圆心既在直线x－ y＝ 0 上，又在直线x＋ y－ 4＝ 0 上，且经过原点的圆的方程是三、解答题9．圆过点A(1，－ 2)、 B(－ 1,4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－ y－ 4＝ 0 上的圆的方程．10．已知圆 N的标准方程为 (x－ 5)2＋ (y－ 6)2＝ a2(a>0).(1)若点 M(6,9)在圆上，求 a 的值；(2)已知点 P(3,3) 和点 Q(5,3)，线段 PQ(不含端点 )与圆 N 有且只有一个公共点，求 a 的取值范围．B 级素养提升一、选择题1， 3与圆 x2＋ y2＝1的位置关系是()1． (2016 ～2017 ·宁波高一检测 )点222A ．在圆上B．在圆内C．在圆外 D ．不能确定2．若点 (2a， a－ 1)在圆 x2＋ (y＋ 1)2＝5的内部，则 a 的取值范围是 ()A ．(－∞， 1]B． (－ 1,1)C． (2,5) D ． (1，＋∞ )3．若点 P(1,1)为圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 9 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为()A ．2x＋ y－ 3＝ 0B． x－ 2y＋ 1＝ 0C． x＋ 2y－ 3＝0 D ． 2x－y－ 1＝ 04．点 M 在圆 (x－ 5)2＋ (y－ 3)2＝ 9 上，则点M 到直线 3x＋ 4y－ 2＝ 0 的最短距离为()A ．9B． 8C． 5 D ． 2二、填空题5．已知圆 C 经过 A(5,1) 、B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ____.6．以直线 2x＋ y－4＝ 0 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为____.C 级能力拔高1.如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)， AB 边所在直线的方程为x－ 3y－ 6＝ 0，点 T(－ 1,1)在 AD 边所在的直线上．求AD 边所在直线的方程 .2．求圆心在直线4x＋y＝ 0 上，且与直线l ：x＋ y－ 1＝ 0 切于点 P(3，－ 2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.第四章 4.1 4.1.2A 级基础巩固一、选择题1．圆 x 2 ＋y 2－4x ＋ 6y ＝ 0 的圆心坐标是 ( )A ．(2,3)B ． (－ 2,3)C ． (－2，－ 3)D ． (2，－ 3)2． (2016 ～2017 ·曲靖高一检测 )方程 x 2＋ y 2＋ 2ax － by ＋ c ＝ 0 表示圆心为 C(2,2)，半径为 2 的圆，则 a ， b ， c 的值依次为 ()A ．－ 2,4,4B ．－ 2，－ 4,4C ． 2，－ 4,4D ． 2，－ 4，－ 43．(2016 ～2017 ·长沙高一检测)已知圆 C 过点 M(1,1) ，N(5,1) ，且圆心在直线 y ＝ x － 2 上，则圆 C 的方程为( )A ．x 2＋ y 2 －6x － 2y ＋ 6＝ 0B ． x 2＋ y 2＋ 6x － 2y ＋ 6＝ 0C ． x 2＋y 2 ＋6x ＋ 2y ＋ 6＝ 0D ． x 2＋ y 2 －2x － 6y ＋ 6＝ 04．设圆的方程是 x 2＋ y 2＋ 2ax ＋ 2y ＋(a － 1)2＝0，若 0<a<1，则原点与圆的位置关系是()A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定22x －y ＋ a ＝ 0 的距离为2)5．若圆 x ＋ y － 2x － 4y ＝ 0 的圆心到直线，则 a 的值为 (2A ．－ 2 或 2B ．1或3C ． 2 或 0D ．－ 2 或 02 26．圆 x 2 ＋y 2－2y － 1＝ 0 关于直线 y ＝ x 对称的圆的方程是 ( )A ．(x － 1)2＋y 2＝2B ． (x ＋ 1) 2＋ y 2＝ 2C ． (x －1) 2＋ y 2＝4D ． (x ＋ 1)2＋ y 2＝4二、填空题7．圆心是(－ 3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为____.8．设圆 x 2＋ y 2－ 4x ＋ 2y － 11＝0 的圆心为 A ，点 P 在圆上，则 PA 的中点 M 的轨迹方程是 _ 三、解答题9．判断方程 x 2＋ y 2－ 4mx ＋ 2my ＋ 20m － 20＝ 0 能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10．求过点 A(－1,0)、 B(3,0)和 C(0,1)的圆的方程 .B 级素养提升一、选择题1．若圆 x2＋ y2－ 2ax＋ 3by＝ 0 的圆心位于第三象限，那么直线x＋ ay＋ b＝ 0 一定不经过()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限2．在圆 x2＋ y2－2x－ 6y＝ 0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面只为() A ．5 2B． 10 2C． 15 2 D ． 20 23．若点 (2a， a－ 1)在圆 x2＋ y2－ 2y－ 5a2＝ 0 的内部，则 a 的取值范围是()444)3，＋∞ ) D ．3A ．(－∞， ]B． (－，C． (－( ，＋∞ )533444．若直线 l ：ax＋ by＋ 1＝ 0 始终平分圆 M：x2＋ y2＋4x＋ 2y＋ 1＝0的周长，则( a－ 2)2＋ (b－ 2)2的最小值为()二、填空题5．已知圆 C： x2＋ y2＋ 2x＋ ay－ 3＝ 0(a 为实数 )上任意一点关于直线l： x－ y＋ 2＝ 0 的对称点都在圆 C 上，则 a6．若实数 x、 y 满足 x 2＋ y2＋ 4x－ 2y－4＝ 0，则 x2＋ y2的最大值是___.C 级能力拔高1．设圆的方程为x2＋ y2＝4，过点M(0,1)的直线 l 交圆于点 A、 B， O 是坐标原点，点P 为 AB 的中点，当 l 绕点 M 旋转时，求动点P 的轨迹方程 .2．已知方程x2＋ y2－ 2(m＋ 3)x＋ 2(1－ 4m2)y＋ 16m4＋ 9＝ 0 表示一个圆 .(1)求实数 m 的取值范围；(2)求该圆的半径r 的取值范围；(3)求圆心 C 的轨迹方程．第四章 4.2 4.2.1A 级基础巩固一、选择题1．若直线 3x＋ y＋a＝ 0 平分圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y＝0，则 a 的值为 ()A ．－ 1B． 1C． 3 D ．－ 32． (2016 高·台高一检测 )已知直线 ax＋ by＋ c＝ 0(a、 b、 c 都是正数 )与圆 x2＋ y2＝ 1 相切，则以a、 b、c 为三边长的三角形是 ()A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．不存在3． (2016 北·京文 )圆 (x＋ 1)2＋ y2＝ 2 的圆心到直线 y＝ x＋ 3的距离为 ()A ．1B． 2C． 2 D ． 2 2[4． (2016 铜·仁高一检测)直线 x＋y＝m 与圆 x2＋ y2＝ m(m>0)相切，则m＝ ()1B．2C． 2 D ． 2A ．225．圆心坐标为 (2，－ 1)的圆在直线x－ y－1＝ 0 上截得的弦长为 22，那么这个圆的方程为()A ．(x－ 2)2＋( y＋1) 2＝ 4B． (x－ 2) 2＋ (y＋ 1)2＝ 2C． (x－2) 2＋ (y＋1) 2＝ 8D． (x－ 2)2＋ (y＋1) 2＝ 166．圆 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 9上到直线 3x＋ 4y－ 11＝ 0 的距离等于 1 的点有 ()A ．1 个B． 2 个C． 3 个 D ． 4 个二、填空题7． (2016 天·津文 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线2x－ y＝0 的距离为45，则圆 C 的方程为 ____.58．过点 (3,1)作圆 (x－ 2)2＋ (y－ 2)2＝ 4 的弦，其中最短弦的长为 ____.三、解答题9．当 m 为何值时，直线x－ y－ m＝ 0 与圆 x2＋ y2－ 4x－ 2y＋ 1＝ 0 有两个公共点？有一个公共点？无公共点2210． (2016 ·坊高一检测潍 )已知圆 C： x ＋ (y－ 1) ＝ 5，直线 l： mx－y＋ 1－ m＝ 0.(1)求证：对m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点；(2)若直线 l 与圆 C 交于 A、 B 两点，当 |AB |＝17时，求 m 的值．B 级素养提升一、选择题1．过点 (2,1)的直线中，被圆x2＋ y2－ 2x＋ 4y＝ 0 截得的弦最长的直线的方程是()A ．3x－ y－ 5＝ 0B． 3x＋ y－ 7＝ 0C． 3x－ y－ 1＝0 D ． 3x＋y－ 5＝ 02． (2016 泰·安二中高一检测)已知 2a2＋2b2＝ c2，则直线 ax＋ by＋ c＝ 0 与圆 x2＋y2＝ 4 的位置关系是() A ．相交但不过圆心B．相交且过圆心C．相切D．相离3．若过点A(4,0)的直线 l 与曲线 (x－ 2)2＋ y2＝ 1 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 ()A ．(－ 3， 3)B． [－ 3， 3]3， 3D ． [ －3， 3 C． (－3 3)3 3]4．设圆 (x－ 3)2＋ (y＋ 5)2＝ r2( r>0) 上有且仅有两个点到直线4x－ 3y－2＝ 0 的距离等于1，则圆半径 r 的取值范围是 ()A ．3<r<5B． 4<r <6C． r>4 D ． r >5二、填空题5． (2016 ～2017 ·宜昌高一检测 )过点 P(1， 1)的直线 l 与圆 C： ( x－ 1)2＋y2＝ 4 交于 A， B 两点， C 为圆心，当∠2ACB 最小时，直线 l 的方程为 ____.6． (2016 ～2017 ·福州高一检测 )过点 ( －1，－ 2)的直线 l 被圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1＝0截得的弦长为2，则直线 l 的斜率为 ____.C 级能力拔高1．求满足下列条件的圆x2＋y2＝ 4 的切线方程：(1)经过点 P( 3， 1)；(2)斜率为－ 1；(3)过点 Q(3,0) ．2．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋ 2y＝ 0 的对称点仍在圆上，且与直线x－ y＋ 1＝ 0 相交的弦长为 2 2，求圆的方程 .第四章4.24.2.2A 级基础巩固一、选择题1．已知圆 C1： (x＋1) 2＋ (y－ 3)2＝ 25，圆 C2与圆 C1关于点 (2,1)对称，则圆 C2的方程是 ()A ．(x－ 3)2＋( y－5) 2＝ 25B． (x－ 5) 2＋ (y＋ 1)2＝ 25C． (x－1) 2＋ (y－4) 2＝ 25D． (x－ 3)2＋ (y＋2) 2＝ 252．圆 x2＋y2－2x－ 5＝ 0 和圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B，则线段 AB 的垂直平分线方程为 ()A ．x＋ y－ 1＝0B． 2x－ y＋ 1＝0C． x－ 2y＋ 1＝0D． x－ y＋ 1＝03．若圆 (x－a) 2＋( y－b)2＝b2＋ 1 始终平分圆 (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 4 的周长，则a、b 应满足的关系式是()A ．a2－ 2a－ 2b－ 3＝ 0B． a2＋ 2a＋ 2b＋5＝ 0C． a2＋ 2b2＋ 2a＋ 2b＋ 1＝ 0D． 3a2＋ 2b2＋ 2a＋2b＋ 1＝04． (2016 ～2017 ·太原高一检测 )已知半径为 1 的动圆与圆 (x－5)2＋( y＋7) 2＝ 16 相外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ()A ．(x－ 5)2＋( y＋7) 2＝ 25B． (x－ 5) 2＋ (y＋ 7)2＝ 9C． (x－5) 2＋ (y＋7) 2＝ 15D． (x＋ 5)2＋ (y－7) 2＝ 255．两圆 x2＋ y2＝ 16 与 (x－ 4)2＋ (y＋ 3)2＝ r2(r>0) 在交点处的切线互相垂直，则r ＝A ．5B． 4C． 3 D ． 2 26．半径长为 6 的圆与 y 轴相切，且与圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 1 内切，则此圆的方程为()A ．(x－ 6)2＋( y－4) 2＝ 6B． (x－ 6) 2＋ (y±4)2＝ 6C． (x－6)2＋ (y－4) 2＝ 36D． (x－ 6)2＋ (y±4) 2＝36二、填空题7．圆 x2＋y2＋6x－ 7＝ 0 和圆 x2＋ y2＋ 6y－ 27＝ 0 的位置关系是 ____.8．若圆 x2＋ y2＝ 4 与圆 x2＋ y2＋ 2ay－ 6＝ 0(a＞0) 的公共弦长为2 3，则 a＝ ____.三、解答题9．求以圆C1： x2＋y2－12x－ 2y－ 13＝ 0 和圆C2： x2＋ y2＋ 12x＋16y－ 25＝ 0 的公共弦为直径的圆 C 的方程.10．判断下列两圆的位置关系.(1)C1： x2＋ y2－ 2x－ 3＝ 0， C2： x2＋y2－ 4x＋ 2y＋ 3＝0；(2)C1： x2＋ y2－ 2y＝ 0， C2： x2＋ y2－ 2 3x－ 6＝0；(3)C1： x2＋ y2－ 4x－ 6y＋ 9＝ 0，C2： x2＋ y2＋ 12x＋6y－ 19＝ 0；(4)C1： x2＋ y2＋ 2x－ 2y－ 2＝ 0，C2： x2＋ y2－ 4x－ 6y－ 3＝ 0.B 级素养提升一、选择题1．已知 M 是圆 C：(x－ 1)2＋ y2＝ 1 上的点， N 是圆 C′：(x－ 4)2＋ (y－ 4)2＝ 82上的点，则|MN|的最小值为()A ．4B． 4 2－ 1C． 2 2－2 D ． 22．过圆 x2＋ y2＝ 4 外一点 M(4，－ 1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()A ．4x－ y－ 4＝ 0B． 4x＋ y－ 4＝ 0C． 4x＋ y＋ 4＝0 D ． 4x－y＋ 4＝ 03．已知两圆相交于两点A(1,3)， B(m，－ 1)，两圆圆心都在直线x－ y＋ c＝ 0 上，则 m＋ c 的值是 ()A ．－ 1B． 2C． 3 D ． 04． (2016 山·东文 )已知圆 M： x2＋ y2－ 2ay＝0(a>0)截直线 x＋ y＝ 0 所得线段的长度是22，则圆 M 与圆 N： (x － 1)2＋ (y－1) 2＝ 1 的位置关系是 ()A ．内切B．相交C．外切 D ．相离[二、填空题5．若点 A(a， b)在圆 x2＋ y2＝ 4上，则圆 (x－ a)2＋ y2＝ 1 与圆 x2＋ (y－b) 2＝1 的位置关系是 ____.6．与直线 x＋ y－2＝ 0 和圆 x2＋y2－12x－ 12y＋54＝ 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是____.C 级能力拔高1．已知圆 M： x2＋ y2－ 2mx－2ny＋ m2－1＝ 0 与圆 N： x2＋ y2＋2x＋ 2y－ 2＝ 0 交于 A、 B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程 .2． (2016 ～2017 ·金华高一检测 )已知圆 O： x2＋ y2＝ 1 和定点 A(2,1)，由圆 O 外一点 P(a， b)向圆 O 引切线 PQ，切点为 Q， |PQ|＝ |PA|成立，如图 .(1)求 a， b 间的关系；(2)求 |PQ|的最小值．第四章4.24.2.3A 级基础巩固一、选择题1．一辆卡车宽 1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为 3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A ．1.4 m B． 3.5 m C． 3.6 m D ． 2.0 m2．已知实数 x、y 满足 x2＋ y2－ 2x＋4y－ 20＝ 0，则 x2＋ y2的最小值是 ()A ．30－ 10 5B． 5－ 5C． 5 D ． 253．方程 y＝－4－ x2对应的曲线是 ()4． y＝ |x|的图象和圆x2＋ y2＝ 4 所围成的较小的面积是()πB．3πC．3πD ．πA ．442 5．方程 1－ x2＝x＋ k 有惟一解，则实数k 的范围是 ()A ．k＝－ 2B． k∈ (－ 2，2)C． k∈ [－ 1,1) D ． k＝2或－ 1≤k<16．点 P 是直线 2x＋ y＋10＝ 0 上的动点，直线 PA、PB 分别与圆x2＋ y2＝ 4 相切于 A、B 两点，则四边形PAOB(O 为坐标原点 )的面积的最小值等于 ()A ．24B． 16C． 8 D ． 4二、填空题7．已知实数 x、y 满足 x2＋ y2＝ 1，则y＋2的取值范围为 ____ x＋ 18．已知 M＝ {( x，y)|y＝9－x2，y≠ 0} ，N＝ {( x，y)|y＝ x＋ b} ，若 M∩N≠ ?，则实数 b 的取值范围是 __]__.三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图 )，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点A，接着向东再走 7 km 到达公路上的点 B；从基地中心 O 向正北走8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE，求 DE 的最短距离10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP是6 m，在建造时，每隔 3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01 m)1． (2016 葫·芦岛高一检测 )已知圆 C 的方程是2222的最大值为 () x ＋ y ＋ 4x－2y－ 4＝ 0，则 x＋ yA ．9B． 14C． 14－ 6 5 D ． 14＋ 6 52．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1： ax＋ 3y＋ 6＝ 0， l 2： 2x＋ (a＋ 1)y＋ 6＝0与圆 C： x2＋y2＋ 2x＝ b2－ 1(b>0) 的位置关系是“平行相交”，则实数 b 的取值范围为()A ．( 2，322)B． (0，322)C． (0， 2)3232，＋∞ ) D． ( 2，2 )∪ ( 23．已知圆的方程为x2＋ y2－ 6x－ 8y＝0.设该圆过点 (3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 ()A ．10 6B． 20 6C． 30 6 D ． 40 64．在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x＋ y－ 4＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为()4πB．3πC． (6－ 2 5) π5πA ．54 D ．4二、填空题5．某公司有 A、 B 两个景点，位于一条小路(直道 )的同侧，分别距小路 2 km 和 2 2 km，且 A、 B 景点间相距 2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于____.6．设集合 A＝ {( x， y)|(x－ 4)2＋y2＝ 1} ，B＝ {( x， y)|(x－ t) 2＋ (y－ at＋ 2)2＝ 1} ，若存在实数t，使得 A∩ B≠ ?，则实数 a 的取值范围是 ___.C 级能力拔高1.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东 40 km 的 A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的 B 处岛屿，速度为 28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法 )。

.1圆的标准方程练习【精选】新人教A版必修2

4.1圆的标准方程练习1.已知点A(2,0)和点B(-4,2),则以AB为直径的圆的方程是().A.(x-1)2+(y+1)2=40B.(x-1)2+(y+1)2=10C.(x+1)2+(y-1)2=40D.(x+1)2+(y-1)2=10【解析】圆心坐标为(-1,1),则半径r==,∴圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=10.【答案】D2.已知P是圆x2+y2=1上的动点,则P点到直线l:x+y-2=0的距离的最小值为().A.1B.C.2D.2【解析】由题知距离的最小值为圆心到直线l的距离减去半径.∴d min=-1=1.【答案】A3.圆心在原点,并与直线3x-4y-10=0相切的圆的方程为.【解析】∵半径r==2,∴圆的方程为x2+y2=4.【答案】x2+y2=44.求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程.【解析】(法一)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=5.∵点A,B在圆上,∴可得到方程组:解得a=3,b=±1.∴圆的标准方程是(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5.(法二)由A、B两点在圆上可知线段AB是圆的一条弦,根据平面几何知识:这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x=3上,于是可设圆心为C(3,b),又|AC|=,即=,解得b=1或b=-1.因此,所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5.5.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为().A.-1或B.1或3C.-2或6D.0或4【解析】∵圆心到直线的距离d=,又d2+()2=22,即d2=2,∴=2,∴(a-2)2=4,∴a=0或4.【答案】D6.圆(x-4)2+(y-5)2=10上的点到原点的距离的最小值是().A. B.-C. D.+【解析】因为圆的圆心为(4,5),半径为,圆心与原点的距离为=,所以圆(x-4)2+(y-5)2=10上的点到原点的距离的最小值为-.【答案】B7.过点P(1,-2)的直线l将圆C:(x-2)2+(y+3)2=16截成两段弧,若其中劣弧的长度最短,那么直线l的方程为.【解析】由题知直线l与PC垂直的时候劣弧最短.∵k PC==-1,∴k l=1,∴直线l的方程为y+2=x-1,即x-y-3=0.【答案】x-y-3=08.已知隧道的截面是半径为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?【解析】以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系,如图,那么半圆的方程为x2+y2=16(y≥0).将x=2.7代入,得y==<3.即在离中心线2.7 m 处,隧道的高度低于货车的高度.因此,货车不能驶入这个隧道.9.圆心在直线2x-y-7=0上且与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2)的圆的标准方程为.【解析】由圆与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2)可知,圆心在直线y=-3上,由得故圆心坐标为(2,-3),半径r==,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.【答案】(x-2)2+(y+3)2=510.经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线3x+10y+9=0上,求圆的标准方程.【解析】设所求的圆的圆心为C(a,b),则解得a=7,b=-3,∴圆心C(7,-3),半径r=|CB|==,∴所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.。

【优质文档】人教A版必修2圆的标准方程精选课时练习(含答案)2

（ 1）当 AB 的倾斜角为 45o 时，求以 AB 为直径的圆的标准方程；
（ 2）问是否存在常数，使得 | AB | |CD | | AB | | CD |恒成立？若存在，求的
值；若不存在，请说明理由 .
37．已知圆 x2 y2 8 x 6 y 0 ；
（ 1）求出圆心坐标以及半径；
（ 2）过点 1,1 作直线 l 被圆截得的弦长为 8，求出直线 l 的方程．
准方程为 ( )
2
A． x 3
y2
25
2
2
B． x ( y 3) 25
C． ( x 3)2 y 2 5
D． ( x 3)2 y2 25
16 ．一束光线从点
1,1 出发，经 x 轴反射到圆 C :
x
2
2
2
y 3 4 上的最短路
径长度是（
）
A ．4
B．5
C． 3
D．2
2
17．已知圆 x
2
y
2x
my 4
0 上两点 M ， N 关于直线 2 x
）
A ．3
B．2
C． 9
D．6
11．直线 y kx 2k 1 恒过定点 C ，则以 C 为圆心， 5 为半径的圆的方程为（
）
A ． (x 2) 2 ( y 1)2 5
B． ( x 2)2 ( y 1)2 25
C． ( x 2) 2 ( y 1)2 25
D． ( x 2)2 ( y 1)2 5
12．与直线 x
点 B 在 x 轴上 . (1) 求直线 AB 的方程 ; (2) 求△ OAB 的外接圆的方程 .
试卷第 6 页，总 7 页
46．已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0) ，B(5,0) ， (1) 求此圆的标准方程； (2) 设 P(x， y)为圆 C 上任意一点，求 P(x， y)到直线 x－y＋ 1＝ 0 的距离的最大值和最小值．

高二圆的方程练习题

高二圆的方程练习题在高二数学中，圆是一个重要的几何形状。

了解圆的方程和性质是解决与圆相关问题的基础。

下面是一些高二圆的方程练习题，帮助你巩固和应用这方面的知识。

1. 已知圆C的半径为r，圆心坐标为(h, k)。

写出圆C的标准方程和一般方程。

解答：圆C的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²圆C的一般方程为：x² + y² - 2hx -2ky + h² + k² - r² = 02. 试写出过坐标原点的圆，半径为r的标准方程和一般方程。

解答：过坐标原点的圆的圆心坐标为(0, 0)。

标准方程为：x² + y² = r²一般方程为：x² + y² - r² = 03. 已知圆C过点A(2, 3)和B(4, 1)，且圆心在y轴上。

写出圆C的方程。

解答：设圆C的圆心坐标为(0, k)。

由于圆心在y轴上，所以圆C的方程为x² + (y - k)² = r²。

将点A(2, 3)代入方程得：2² + (3 - k)² = r²。

将点B(4, 1)代入方程得：4² + (1 - k)² = r²。

由此可求得圆C的方程。

4. 已知圆C的直径的两个端点分别为A(3, 5)和B(-1, -2)，写出圆C的方程。

解答：直径的中点坐标为[(3 + (-1))/2, (5 + (-2))/2] = (1, 1)。

由于直径的中点即为圆心，所以圆C的圆心坐标为(1, 1)。

圆C的半径为AB的一半，即√[(3 - (-1))² + (5 - (-2))²] / 2。

将圆心坐标和半径代入圆的标准方程可求得圆C的方程。

5. 已知圆C的方程为2x² + 2y² + 4x - 6y + 9 = 0，写出圆C的圆心坐标和半径。

高中数学必修二同步练习题库：圆的方程(选择题：较易)

圆的方程（选择题：较易）1、若圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于两点，且，则圆的标准方程是（）A． B．C． D．2、方程表示一个圆，则的范围是（）A． B．C． D．3、与圆同圆心，且过的圆的方程是（）A． B．C． D．4、已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为A． B．C． D．5、在平面直角坐标系中，动点的坐标满足方程，则点的轨迹经过（）A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限6、圆的圆心坐标和半径分别为（）A．（0,2），2 B．（2,0），2 C．（-2,0），4 D．（2,0），47、以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（）A． B．C． D．8、圆心为且过点的圆的方程是（）A． B．C． D．9、点A（1,0）在圆上，则a的值为（）A．1 B．-2 C．1或-2 D．2或-210、方程表示的圆（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线对称D．关于直线对称11、已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2 B．4 C．9 D．1612、圆心在轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程是（）A． B．C． D．13、圆:与圆:的位置关系是( )A．相交 B．外切 C．内切 D．相离14、已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．15、圆的圆心坐标和半径分别是（）A． B． C． D．16、由曲线围成的图形的面积为（）A． B． C． D．17、点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x-2)2+(y+1)2=1 B．(x-2)2+(y+1)2=4C．(x+4)2+(y-2)2=4 D．(x+2)2+(y-1)2=118、若直线过圆的圆心，则实数的值为（）A． B． C． D．19、圆，那么与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程是（）．A． B．C． D．20、圆的方程为，则其圆心坐标及半径分别为（）．A．， B．， C．， D．，21、若圆与圆关于原点对称，则圆的方程为（）．A． B．C． D．22、圆的圆心坐标与半径是（）A． B．C． D．23、已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程( )A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝11624、若表示圆，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．25、对于，直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程是（）A． B．C． D．26、已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A． B．C． D．27、已知圆的方程为，则圆的半径为（）A．3 B．9 C． D．28、已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．29、圆的圆心坐标与半径是（）A． B．C． D．30、经过圆x2+y2+2y=0的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（）A．2x+3y+3=0 B．2x+3y-3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x-2y-2=031、以点A为圆心，且与轴相切的圆的方程为（）A． B．C． D．32、方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()．A．m>－ B．m<－ C．m≤－ D．m≥－33、在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为（）A． B． C． D．34、圆的圆心坐标和半径分别为A．圆心 B．圆心C．圆心 D．圆心35、过点P(2 ，1)且被圆C：x 2＋y2– 2x＋4y =" 0" 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x – y– 5 = 0 B．3x ＋y– 7 = 0C．x –3y＋5 = 0 D．x ＋3y– 5 = 036、过点、点且圆心在直线上的圆的方程是（）A．B．C．D．37、圆关于直线对称的圆的方程为()A． B．C． D．38、已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B． C． D．39、若直线（，），经过圆的圆心，则的最小值是（）A． B． C． D．40、抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A． B．C． D．41、圆与轴相切于，与轴正半轴交于两点，且，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．42、过，圆心在轴上的圆的方程为（）A． B．C． D．43、方程x2＋y2＋4x－2y＋5＝0表示的曲线是（）A．两直线 B．圆 C．一点 D．不表示任何曲线44、如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有（）A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F45、圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为（）A．（4，－6），r＝16 B．（2，－3），r＝4C．（－2，3），r＝4 D．（2，－3），r＝1646、若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是（）A．R B．（－∞，1） C．（－∞，1] D．[1，＋∞）47、已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短的弦长为（）A． B． C．2 D．448、若圆始终平分圆的周长，则满足的关系是（）A． B．C． D．49、已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)，此圆的标准方程为( ) A．(x－3)2＋y2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝450、已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是( )A．－4<a<3 B．－5<a<4 C．－5<a<5 D．－6<a<451、圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( )A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10B．(x＋4)2＋(y－1)2＝10C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100D．(x－4)2＋(y＋1)2＝52、点P(a,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不确定53、圆和圆的公共弦长为（）A． B．C． D．54、方程表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆 B．一条线段与半圆C．一条射线与一段劣弧 D．一条线段与一段劣弧55、已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则=（）A．2 B．C．6 D．56、已知圆，圆，圆与圆的位置关系为（）A．外切 B．内切C．相交 D．相离57、设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是（）A．原点在圆上 B．原点在圆外C．原点在圆内 D．不确定58、已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（）A． B．C． D．59、过两点的面积最小的圆的方程为（）A．B．C．D．60、已知两圆的圆心距=" 3" ，两圆的半径分别为方程的两根，则两圆的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．内含61、与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上C．一条抛物线上 D．一个圆上62、圆与圆的位置关系是（）A．相交 B．外切C．内切 D．相离63、已知圆的方程为是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（）A． B．C． D．64、已知圆的方程为是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（）A． B．C． D．65、已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．66、以为圆心，4为半径的圆的方程为（）A． B．C． D．67、两圆与的位置关系为（）A．内切 B．外切C．相交 D．相离68、过点且圆心在直线上的圆的方程是（）A．B．C．D．69、若圆与圆的公共弦的长为，则（）A．2 B．1C． D．70、动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．参考答案1、C2、A3、B4、A5、A.6、B7、A8、D9、B10、D11、D12、A13、A14、C15、D16、B17、A18、A19、B20、D21、A22、D23、B24、B25、A26、B27、A28、B29、D30、A31、A32、A33、B34、B35、A36、C37、D38、C39、B40、D41、A42、D43、C44、A45、C46、B47、C48、C49、A50、A51、A52、A53、A54、D55、C56、C57、B58、A59、A60、D61、B62、D63、D64、D65、D66、C67、D68、C69、B70、C【解析】1、设中点为，则∴故选C．2、试题分析：由圆的一般式方程可知考点：圆的方程3、试题分析：把原圆的方程写成标准方程为，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：，把代入所设方程，得：，所以所求的圆的方程为，化简为：，故选B.考点：1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的.4、试题分析：易知关于直线的对称点为，即，圆心到直线的距离为，所以，圆方程为．故选A．考点：圆的标准方程．5、试题分析：由题意得，点在以为圆心，为半径的圆上，如下图所示，故可知点在第一、二象限，故选A.考点：圆的标准方程.6、试题分析：，所以圆心坐标和半径分别为（2,0）和2，选B.考点：圆标准方程7、试题分析：因为两条直线与的距离为，所以所求圆的半径为，所以圆心到直线的距离为即或，又因为圆心到直线的距离也为，所以，所以所求的标准方程为，故应选.考点：直线与圆的位置关系.8、试题分析：由圆的标准方程可知所求圆为考点：圆的方程9、试题分析：因为点在圆上，故解得.考点：圆的一般方程.10、试题分析：圆心，即圆心坐标满足方程，所以圆关于直线对称，考点：圆的性质11、试题分析：将圆C化为标准方程，找出圆心与半径，作出相应的图形，所求式子表示圆上点到原点距离的平方，根据图形得到当P与A重合时，离原点距离最大，求出所求式子的最大值即可．解：圆C化为标准方程为（x﹣3）2+y2=1，根据图形得到P与A（4，0）重合时，离原点距离最大，此时x2+y2=42=16．故选D考点：圆的一般方程．12、试题分析：设圆的标准方程为，由题可知，a=0，r=1，将（1,2）代入方程，可求得b=2，因此圆的标准方程为。

圆的一般方程及标准方程的转换(含每步提示及答案——原创材料)

圆的标准方程与一般方程的变换1. 已知方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。

答案：（x+ D）2+（y+ E ）2= D 2E 2 4F 2 24提示①：将原方程配方并整理x2+Dx+（ D ）2+y2+Ex+（ E ）2-（ D ）2-（ E）2+F=02 22 2（x+ D ）2+（y+ E ）2- D 2E 2 4F =0224提示②：将常数项移至方程右侧。

（x+D）2+（y+ E ）2= D 2E 2 4F 2242. 将圆的方程（ x-a ）2+（x-b ） 2=r2 化为一般方程的形式，结果为 ___________。

答案： x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x2+y2-2ax-2by+a2+b2=r2提示②：将方程右侧化为 0x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=03. 已知圆的一般方程为 x2+y2+6x-8y=0，则其标准方程为 ___。

A 、(x-3)2+(y-4)2=25 B 、(x-3)2+(y-4)2=5 C 、(x+3)2+(y-4)2=25 D 、(x-3)2+(y-4)2=5答案： C提示①：将原方程配方 x2+6x+32+y2-8y+42-32-42=0(x+3)2+(y-4)2-25=0提示②：将常数项移至方程右侧(x+3)2+(y-4)2=254.方程 2（ x+5）2+2y2=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为 ___。

A、2x2+2y2+20x+47=0B、2x2+2y2+20x=-47C、x2+y2+10x+47=0D、2x2+2y2+20x=-4722答案： C提示①：将原方程去括号并整理2x2+2y2+20x+50=3提示②：将方程右侧化为02x2+2y2+20x+47=0提示③：将 x2、y2 系数化为 1x2+y2+10x+47=0 25. 圆 C的方程为： x2+y2+4x-4y+4=0，则圆 C的圆心坐标为 ___。

圆的标准方程练习题

圆的标准方程练习题在解决圆的问题时，我们经常使用到的一个重要工具就是圆的标准方程。

通过掌握圆的标准方程的用法，我们可以更方便地进行圆的解析几何运算。

接下来，我将为大家提供一些圆的标准方程练习题，帮助大家加深对这一概念的理解。

练习题一：给定圆心和半径，求标准方程1. 已知圆心为 (2, 3)，半径为 5，求圆的标准方程。

解析：设圆的标准方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a, b) 为圆心坐标，r 为半径。

将已知数据代入方程，得到：(x-2)² + (y-3)² = 5²，即 (x-2)² + (y-3)² = 25。

练习题二：给定标准方程，求圆心和半径1. 已知圆的标准方程为 x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0，求圆的圆心和半径。

解析：观察标准方程可得出：(x-3)² + (y+4)² = 16。

由此可知圆的圆心为 (3, -4)，半径为 4。

练习题三：给定圆上一点，求标准方程1. 已知圆上一点为 (5, 2)，圆心为 (3, 4)，求圆的标准方程。

解析：设圆的标准方程为(x-a)²+ (y-b)²= r²。

将已知数据代入方程，可得到：(x-3)² + (y-4)² = r²。

由于圆上一点为 (5, 2)，代入方程得到 (5-3)² + (2-4)² = r²，化简得 4 + 4 = r²，即 8 = r²。

所以圆的标准方程为 (x-3)² + (y-4)² = 8。

通过以上几道练习题，我们对圆的标准方程的应用有了更深入的了解。

掌握了圆的标准方程的求解方法，我们在解决与圆相关的数学问题时，就能更加得心应手。

不过，还需要注意的是，在使用圆的标准方程时，我们需要确保给定的数据准确无误。

圆的方程

圆的方程一．选择题（共8小题）1．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+（y﹣2）2=4所截得的弦长为（）A．1 B．C．D．22．圆x2+y2﹣2x﹣4y+3=0的圆心到直线x﹣ay+1=0的距离为2，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．平行于直线x+2y+1=0且与圆x2+y2=4相切的直线的方程是（）A．x+2y+5=0或x+2y﹣5=0 B．或C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．或4．已知点P在圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0上运动，则点P到直线l：x﹣2y﹣5=0的距离的最小值是（）A．4 B．C．D．5．M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（）A．x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣6=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣6=06．已知两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y﹣6=0被圆C截得的线段长均为2，则圆C 的面积为（）A．5πB．4πC．3πD．2π7．从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）A．B． C． D．﹣18．圆心为（3，0）且与直线x相切的圆的方程为（）A．（x﹣）2+y2=1 B．（x﹣3）2+y2=3 C．（x﹣）2+y2=3 D．（x﹣3）2+y2=9二．填空题（共4小题）9．已知圆M与直线x﹣y=0及x﹣y+4=0都相切，圆心在直线y=﹣x+2上，则圆M的标准方程为．10．已知斜率为1，且在y轴上的截距b为正的直线l与圆C：x2+y2=4交于A，B两点，O 为坐标原点，若△AOB的面积为，则b=．11．直线y=kx+3被圆x2+y2﹣4x﹣6y+9=0截得的弦长为2，则直线的倾斜角为．12．已知圆C：（x﹣1）2+y2=4，则过点P（2，）且与圆C相切的直线方程为．三．解答题（共6小题）13．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．14．求圆心在直线y=﹣2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程．15．已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点，且与直线x+y﹣2=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若圆C的圆心为点（3，0），直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．16．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．17．已知圆c过点A（1，2）和B（1，10），圆心C在第一象限，且与直线x﹣2y﹣1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（﹣3，﹣6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ 中点M的轨迹方程．18．已知M为圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上任一点，且点Q（﹣2，3）．（Ⅰ）若P（a，a+1）在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；（Ⅱ）求|MQ|的最大值和最小值；（Ⅲ）若M（m，n），求的最大值和最小值．圆的方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+（y﹣2）2=4所截得的弦长为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：过原点且倾斜角为30°的直线方程为y=x，圆x2+（y﹣2）2=4的圆心为（0，2），半径r=2，圆心到直线的距离为d==，则截得的弦长为2=2=2，故选：D．2．圆x2+y2﹣2x﹣4y+3=0的圆心到直线x﹣ay+1=0的距离为2，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：x2+y2﹣2x﹣4y+3=0的圆心（1，2），圆心（1，2）到直线的距离d==2，解得a=0．故选：B．3．平行于直线x+2y+1=0且与圆x2+y2=4相切的直线的方程是（）A．x+2y+5=0或x+2y﹣5=0 B．或C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．或【解答】解：∵直线和直线x+2y+1=0平行，∴设切线方程为即x+2y+b=0，圆心坐标为（0，0），半径R=2，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d==2，解得b=2或b=﹣2，故切线方程为x+2y+2=0或x+2y﹣2=0；故选：B．4．已知点P在圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0上运动，则点P到直线l：x﹣2y﹣5=0的距离的最小值是（）A．4 B．C．D．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0，转化为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，则圆心（2，1）到直线x﹣2y﹣5=0的距离d==，则：点P到直线l的最小距离d min=﹣1．故选：D．5．M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（）A．x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣6=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣6=0【解答】解：由圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，得其标准方程为：（x﹣4）2+（y﹣1）2=7．∴已知圆的圆心坐标为（4，1），又M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内一点，∴过M点最长的弦所在的直线为经过M与圆心的直线，直线方程为，整理得：x﹣y﹣3=0．故选：C．6．已知两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y﹣6=0被圆C截得的线段长均为2，则圆C的面积为（）A．5πB．4πC．3πD．2π【解答】解：l1与l2的距离h==4，∴圆心C到直线l1的距离为d==2，又l1被圆C截得的弦长为2，∴圆C的半径为r==，∴圆C的面积为S=πr2=5π．故选：A．7．从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．﹣1【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，圆心为C（2，2），半径为1，如图，直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，要使切线长的最小，则直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，|PC|=．∴切线长的最小值为．故选：B．8．圆心为（3，0）且与直线x相切的圆的方程为（）A．（x﹣）2+y2=1 B．（x﹣3）2+y2=3 C．（x﹣）2+y2=3 D．（x﹣3）2+y2=9【解答】解：圆心到直线的距离d=r===，则圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=3，故选：B．二．填空题（共4小题）9．已知圆M与直线x﹣y=0及x﹣y+4=0都相切，圆心在直线y=﹣x+2上，则圆M的标准方程为x2+（y﹣2）2=2．【解答】解：圆心在y=﹣x+2上，设圆心为（a，2﹣a），∵圆C与直线x﹣y=0及x﹣y+4=0都相切，∴圆心到直线x﹣y=0的距离等于圆心到直线x﹣y+4=0的距离，即：，解得a=0，∴圆心坐标为（0，2），r=，圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2=2．故答案为：x2+（y﹣2）2=2．10．已知斜率为1，且在y轴上的截距b为正的直线l与圆C：x2+y2=4交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则b=或．【解答】解：斜率为1，且在y轴上的截距为b的直线l的方程是：y=x+b，b＞0；圆C：x2+y2=4，则圆心O到直线l的距离为d=，∴AB=2=2，∴△AOB的面积为•2•=，化简得b4﹣8b2+12=0，解得b2=2或b2=6，则b=或b=．故答案为或．11．直线y=kx+3被圆x2+y2﹣4x﹣6y+9=0截得的弦长为2，则直线的倾斜角为或．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣6y+9=0的圆心（2，3），半径r==2，圆心到直线y=kx+3的距离d=，∴直线y=kx+3被圆x2+y2﹣4x﹣6y+9=0截得的弦长为2，∴=2=2，解得k=±，∴直线的倾斜角为或．故答案为：或．12．已知圆C：（x﹣1）2+y2=4，则过点P（2，）且与圆C相切的直线方程为．【解答】解：由已知得，点P（2，）在圆C：（x﹣1）2+y2=4上，∵，∴过点P（2，）且与圆C相切的直线的斜率为﹣，则切线方程为y﹣，即．故答案为：．三．解答题（共6小题）13．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．【解答】解：（1）若方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则4+16﹣4m＞0，解得m＜5．（2）圆心（1，2）到直线x+2y﹣4=0的距离d=，∴圆的半径r==1，∴=1，解得m=4．14．求圆心在直线y=﹣2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程．【解答】解：∵圆心在直线y=﹣2x上，故设圆心坐标为（a，﹣2a），则圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=r2（r＞0），圆经过点A（0，1）且和直线x+y=1相切，∴，解得a=﹣，r=，∴圆的方程为．15．已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点，且与直线x+y ﹣2=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若圆C的圆心为点（3，0），直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．【解答】解：（1）由题意知，解得，∴直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点为（2，1）；设直线l的斜率为k，∵l与直线x+y﹣2=0垂直，∴k=1；∴直线l的方程为y﹣1=（x﹣2），化为一般形式为x﹣y﹣1=0；（2）设圆C的半径为r，则圆心为C（3，0）到直线l的距离为d==，由垂径定理得r2=d2+=+=4，解得r=2，∴圆C的标准方程为（x﹣3）2+y2=4．16．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．【解答】解：（1）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20（5分）（2）垂径定理可知∠MQA=90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y=k（x+2）或x=﹣2，显然x=﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6=0或x=﹣2为所求l方程．（7分）17．已知圆c过点A（1，2）和B（1，10），圆心C在第一象限，且与直线x﹣2y﹣1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（﹣3，﹣6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）圆心显然在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心为（a，6），半径为r，则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣6）2=r2，由点B在圆上得（1﹣a）2+（10﹣6）2=r2，又圆C与直线x﹣2y﹣1=0相切，则r=．于是（a﹣1）2+16=，解得a=3或a=﹣7（舍），则r=2所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣6）2=20（2）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由M为PQ的中点，则，即，又点P（x0，y0）在圆C上，有（x0﹣3）2+（y0﹣6）2=20，则（2x+3﹣3）2+（2y+6﹣6）2=20，整理得x2+y2=5，得点M的轨迹方程为：x2+y2=5．18．已知M为圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上任一点，且点Q（﹣2，3）．（Ⅰ）若P（a，a+1）在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；（Ⅱ）求|MQ|的最大值和最小值；（Ⅲ）若M（m，n），求的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由点P（a，a+1）在圆C上，可得a2+（a+1）2﹣4a﹣14（a+1）+45=0，所以a=4，P（4，5）．所以，．（Ⅱ）由C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可得（x﹣2）2+（y﹣7）2=8．所以圆心C坐标为（2，7），半径．可得，因此，．（Ⅲ）可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，则．由直线MQ与圆C有交点，所以．可得，所以的最大值为，最小值为．。

圆标准方程精选30题

习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x解已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=dr ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-即得圆的方程.二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+--(D))12,0(+解化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距ar a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=解化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r .设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A).点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .解由已知圆4)2()1(22=-+-y x ，即得圆心)2,1(C 和半径2=r .∵线心距112++=a a d，且222)2(r AB d=+，∴22222)3()11(=+++a a ，即1)1(22+=+a a ，解得0=a . 点评：一般在线心距d 、弦长AB 的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题：222)2(r AB d =+.五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A)21 (B)53(C)23 (D) 0解已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ，即得圆心)1,1(C 和半径1=r .设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ，则在切线长、半径r和PC构成的直角三角形中，522cos=θ，∴5312cos 2cos 2=-=θθ，故选(B). 点评：处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和PC所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .解由已知圆4)2(22=+-y x ，即得圆心)0,2(C 和半径2=r .设)2,1(P ，则2-=PC k ；∵⊥PC 直线l 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率221=-=PCk k .点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7 (06湖南卷文) 圆0104422=---+y x y x上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C)26(D)25 解已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .设线心距为d ，则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +，最小距离为r d -，∴262)()(==--+r r d r d ，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为r d +，最小距离为r d-.八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆0104422=---+y x y x上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )(A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π解已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .∵圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，∴2222222=-≤++=r b a ba d ，即0422≤++b ab a ，由直线l 的斜率b a k -=代入得0142≤+-k k ，解得3232+≤≤-k ，又3212tan-=π，32125tan +=π，∴直线l 的倾斜角的取值范围是]125,12[ππ，故选(B). 点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2E D --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22.3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2，｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切；｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切；０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. ●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71 B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131 C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b <r 时，圆与x 轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D●典例剖析【例2】一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程. 剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2. 又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则 A.D +E =0B. B.D +F =0 C.E +F =0 D. D +E +F =0解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上.答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________. 解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2.答案：2 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的距离的最小值为____________. 解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2.再由d －r =2－1=1，知最小距离为1.答案：1 5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32.由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵·=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y =－x +1.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设x y=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6.（3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组 x －y +1=0，y =0 半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.“求经过两圆04622=-++x y x和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。

圆的方程练习题

圆的方程练习题1．求过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程. 【答案】()()22114x y -+-=.【解析】试题分析：由,A B 的坐标计算可得AB 的垂直平分线方程y x =，进而得到：{20y xx y =+-=，解可得,x y 的值，即可得圆心坐标，而圆的半径22r ==，代入圆的标准方程计算即可得到答案。

解析:由已知得线段AB 的中点坐标为()0,0，所以()11111AB k --==---所以弦AB 的垂直平分线的斜率为1k =，所以AB 的垂直平分线方程为y x = 又圆心在直线20x y +-=上，所以{ 20y x x y =+-= 解得1{ 1x y == 即圆心为()1,1圆的半径为22r ==所以圆的方程为()()22114x y -+-=.2．若圆过A （2，0），B （4，0），C （0，2）三点，求这个圆的方程．【答案】x 2+y 2﹣6x ﹣6y+8=0【解析】试题分析：设所求圆的方程为220,x y Dx Ey F ++++=将()2,0A ,()()4,0,0,2B C三点代入，即可求得圆的方程。

解析：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则有4+20{1640 240D F D F E F +=++=++=①②③②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6 代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6 ∴D=﹣6，E=﹣6，F=8∴圆的方程是x 2+y 2﹣6x ﹣6y+8=03．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。

(1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。

【答案】（1）()()222116x y -+-=.（2）1【解析】试题分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）结合几何图形，先求出圆心到直线的距离，再减去半径的长度即可。

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