和差化积,积化和差(理)
和差化积与积化和差
和差化积与积化和差数学中，和差化积和积化和差是一种常用的运算方法。
它们可以帮助我们在解决一些复杂的数学问题时，简化计算过程，提高效率。
在这篇文章中，我将向大家详细介绍和差化积和积化和差的原理及应用。
一、和差化积和差化积指的是把两个数的和或差转化为乘积的方法。
具体来说，当我们遇到两个数的和或差需要计算时，可以通过和差化积的方法，将计算转化为乘法运算，从而简化问题。
以两个数的和为例，设有两个数a和b，我们希望计算它们的和s=a+b。
如果直接计算s，可能需要进行复杂的加法计算。
但是，通过和差化积的方法，我们可以将s转化为乘积的形式。
假设我们定义两个数p和q，使得p+q=a+b，同时满足p-q=a-b。
则可以得到以下等式：s=(p+q)/2=(a+b)/2a=(p+q)/2-(p-q)/2=pb=(p+q)/2+(p-q)/2=q通过上述计算，我们成功地将两个数的和转化为了乘积的形式。
这种方法在解决一些需要进行连续加法的问题时，特别有用。
二、积化和差相反地，积化和差指的是把两个数的乘积转化为和或差的方法。
和差化积是积化和差的逆运算。
在一些需要进行连续乘法计算的问题中，积化和差可以简化计算过程，提高效率。
以两个数的积为例，设有两个数a和b，我们希望计算它们的积p=a*b。
如果直接计算p，可能需要进行复杂的乘法运算。
但是，通过积化和差的方法，我们可以将p转化为和或差的形式。
假设我们定义两个数s和d，使得s+d=a+b，同时满足s-d=a-b。
则可以得到以下等式：p=(s+d)/2=(a+b)/2a=(s+d)/2+(s-d)/2=sb=(s+d)/2-(s-d)/2=d通过上述计算，我们成功地将两个数的积转化为了和或差的形式。
当我们需要连续进行乘法计算时，积化和差可以帮助我们简化问题，减少计算的复杂度。
三、应用举例和差化积和积化和差在代数中有广泛的应用。
下面我将通过几个具体的例子，帮助大家更好地理解这些运算方法的应用。
和差化积和积化和差的公式都哪些 有什么方便的记忆方法
和差化积和积化和差的公式都哪些有什么方便的记忆方法三角函数始终都是数学学习中的一大障碍，不少人经常抱怨三角函数太杂公式太多，以下是关于三角函数中和差化积和积化和差的公式和差化积和积化和差的公式和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]记忆方法积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域来判断。
sin 和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域却是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如:cos(α-β)-cos(α+β)=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)=2sinαsinβ故最后需要除以2。
和差化积如何只记两个公式甚至一个我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。
而第二个公式中的-sinβ=sin（β+π），也就是sinα-sinβ=sinα+sin（β+π），这就可以用第一个公式解决。
同理第四个公式中，cosα-cosβ=cosα+cos（β+π），这就可以用第三个公式解决。
如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把cos全部转化为sin，那样就只记住第一个公式就行了。
三角函数和差化积与积化和差公式
2和差化积和积化和差公式1、正弦、余弦的和差化积cos cos 2 si n sin 【注意右式前的负号】2 2 sin( a + B )=sin a cos B +cos a sin B ,sin( a - B )=sin a cos B - cos a sin B , 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin( a + B )+sin( a - B )=2sin a cos B,设 a + B = 9 , a - B =©那么 -------- , —2 2把a,B 的值代入，即得sin 9 + sin © =2 sin ------ cos --------2 2 2、正切和差化积cot a± cot B= -sin(---- —sin ?si n tan a +cot B= cos ?sin在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用 若是高次函数，必须用 降幕公式 降为一次3、积化和差公式证明： 左边=tan a± tan B= — sincos cos=sin ?cos cos ?sincos ?coscos( ) cos ?sin=sin()=右边 cos ? cossin ?sin cos cos (注意：此时 差的余弦 在和的余弦前面) 证明过程 sin a +sin B =2sin[( a +B )/2] -cos[( a -B )/2］的证明过程tan a± tan B = si n( )cos ? costan a -co t B = 诱导公式化为同名;积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：其他的3个式子也是相同的证明方法。
结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin 和cos 的值域都是［-1,1］ 的值域应该是［-2,2］，而积的值域确是［-1,1］，因此除以2是必须的。
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)
记忆口诀（正弦余弦） 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 生动的口诀： 帅 + 帅 = 帅哥 帅 - 帅 = 哥帅 咕 + 咕 = 咕咕 哥 - 哥 = 负嫂嫂
积化和差公式
sin sin
cos cos （注意：此时差的余弦在和的余弦前面） cos cos （注意：此时公式前有负号）
2
或写作： sin sin
2 cos cos cos cos 2 sin sin sin cos 2 sin sin cos sin 2
正切和差化积 tan α ±tan β =
sin( ) cos cos
sin( ) sin sin
cot α ±cot β =
tan α +cot β =
cos( ) cos sin cos( ) cos sin
tan α -cot β =
其他的 3 个式子也是相同的证明方法。
结果除以 2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。 sin 和 cos 的值域都是 [-1,1] ，其和差 的值域应该是 [-2,2] ，而积的值域确是 [-1,1] ，因此除以 2 是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数 2 ，如： cos( α -β )-cos( α + β ) =1/2[(cos α · cos β +sin α · sin β )-(cos α ·cos β -sin α · sin β )] =2sin α ·sin β 故最后需要除以 2 。 使用同名三角函数的和差 无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主 要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不 会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。 使用哪种三角函数的和差
和差化积,积化和差公式
和差化积,积化和差公式一、引言在数学中，和差化积和积化和差是一类常用的公式，它们在代数运算中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍和差化积和积化和差公式的定义、应用以及相关的例题，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
二、和差化积公式和差化积是将两个数的和或差转化为它们的乘积的方法。
其公式如下：1.两个数的和化为积：当两个数a和b相加得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为积的形式：$c=a+b$则有：$a+b=(a+b)^2-b^2=a^2+2ab+b^2-b^2=a^2+2ab$2.两个数的差化为积：当两个数a和b相减得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为积的形式：$c=a-b$则有：$a-b=(a-b)^2-a^2=a^2-2ab+b^2-a^2=-2a b+b^2$三、积化和差公式积化和差是将两个数的乘积转化为它们的和或差的方法。
其公式如下：1.两个数的积化为和：当两个数a和b相乘得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为和的形式：$c=a b$则有：$a b=\f ra c{1}{4}[(a+b)^2-(a-b)^2]$2.两个数的积化为差：当两个数a和b相乘得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为差的形式：$c=a b$则有：$a b=\f ra c{1}{4}[(a+b)^2-(b-a)^2]$四、应用举例下面通过几个实例来说明和差化积和积化和差公式的具体应用。
例题1将下面的式子用和差化积公式化简：$(a+b)^2-(a-b)^2$解答：根据和差化积公式，我们有：$(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2a b+b^2)-(a^2-2a b+b^2)=4ab$因此，原式化简后为$4ab$。
例题2将下面的式子用积化和差公式化简：$12a b$解答：根据积化和差公式，我们有：$12a b=\f ra c{1}{4}[(12a+12b)^2-(12a-12b)^2]=\f ra c{1}{4}(144a^2+288ab+144b^2-144a^2+288ab-144b^2)=72ab$因此，原式化简后为$72a b$。
和差化积公式和积化和差公式
和差化积公式和积化和差公式差化积公式和积化差公式是一对互为逆运算的公式，在代数中经常用于将复杂的表达式简化或者将一个式子转化为另一个式子。
下面我将详细介绍这两个公式的推导和应用。
一、差化积公式（Difference of Squares Formula）：差化积公式用于将一个两个平方数的差转化为乘积的形式。
假设有两个平方数a²和b²，那么它们之间的差可以通过差化积公式转化为乘积形式，即：a²-b²=(a+b)(a-b)证明：我们可以通过分解开括号来证明差化积公式。
在等式右边，我们可以使用分配律将(a+b)和(a-b)相乘:(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)= a² - ab + ab - b²=a²-b²差化积公式的一个重要应用是因式分解。
通过将一个平方差式分解为两个因子的乘积形式，我们可以更容易地找到多项式的因子。
例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。
二、积化和差公式（Sum and Difference of Products Formula）：积化和差公式用于将两个乘积的和（或差）转化为和的（或差）形式。
假设有两个乘积AB和CD，那么它们的和可以通过积化和差公式转化为和的形式，即：AB+CD=(A+C)(B+D)AB-CD=(A+C)(B-D)证明：通过使用分配律，我们可以展开等式右边来证明积化和差公式：(A+C)(B+D)=AB+AD+CB+CD=AB+CD+AD+CB=AB+CD+AC+BD（由于加法的交换律，可以将AD和CB互换位置）=AB+CD(A+C)(B-D)=AB-AD+CB-CD=AB-CD+CB-AD=AB-CD+AC-BD（同样利用交换律将CB和AD互换位置）=AB-CD积化和差公式也常用于因式分解。
它们使我们能够将部分提取出来，以更容易地找到多项式的因子。
和差化积、积化和差公式
和差化积、积化和差公式和差化积公式和积化和差公式是数学中常用的公式，用于将一些复杂的表达式转化为简单的形式。
1.和差化积公式：和差化积公式用于将两个数的和或差转化为乘积的形式。
a)和化积公式：若要将两个数a和b的和表示为乘积的形式，可以使用和化积公式：a +b = (a + b)(1) = (a + b)(1 + 0) = (a + b)(1 + i^2)，其中i为虚数单位，i^2 = -1。
b)差化积公式：若要将两个数a和b的差表示为乘积的形式，可以使用差化积公式：a -b = (a - b)(1) = (a - b)(1 + 0) = (a - b)(1 - i^2)，其中i为虚数单位，i^2 = -1。
2.积化和差公式：积化和差公式用于将两个数的乘积表示为和或差的形式。
a)积化和公式：若要将两个数a和b的乘积表示为和的形式，可以使用积化和公式：ab = [(a + b)^2 - (a - b)^2]/4。
b)积化差公式：若要将两个数a和b的乘积表示为差的形式，可以使用积化差公式：ab = (a + b)(a - b)。
拓展应用：这些公式在代数、三角学和复数计算中经常被使用。
例如，在求解方程、简化复杂表达式或展开因式等问题中，这些公式都是非常有用的工具。
此外，这些公式还可以用于化简计算器算术中的一些复杂运算，如计算平方根或乘法运算。
对于需要频繁使用和差、积化和差的情况，这些公式可以帮助加快计算过程。
总而言之，和差化积公式和积化和差公式在数学中是非常重要的工具，能够帮助我们更方便地处理复杂的表达式，节省计算的时间和精力。
积化和差公式和和差化积公式
积化和差公式和和差化积公式积化和差公式和和差化积公式是数学中非常基础的一种公式，应用广泛。
下面我们来了解一下这两个公式的含义以及如何应用。
积化和差公式是指对于两个数$a$和$b$，有如下公式：$a\cdot b=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$
这个公式的实际应用非常广泛，比如我们在做二次方程
$ax^2+bx+c=0$的求根公式时，可以先用这个公式将$b^2-4ac$化简成和式，之后再使用求根公式进行计算。
另一个非常基本的公式是和差化积公式，可以将两个数的和或差化成它们的积的形式。
具体来说，这个公式是：
$a+b= (a-b)+2b$
$a-b= (a+b)-2b$
$a\cdot b= \dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$
这个公式可以用于各种场合，比如求平方差、化简表达式、求和式等等。
尤其是在高中数学中，一些复杂的三角公式和行列式的求解都需要用到和差化积公式。
除此之外，还有一些和积分、微积分、概率统计等有关的应用场景，也可以使用这两个公式进行变形和简化。
总之，对于学习数学的
人来说，掌握积化和差公式和和差化积公式是非常基础的一步，有助于更好地理解和应用各种数学知识。
三角函数和差化积 积化和差
三角函数和差化积积化和差
三角函数的积化和差以及差化和积是一组重要的三角函数公式，用于将两个三角函数的乘积或差表示为一个较简单的表达式。
1.三角函数的积化和差：
o余弦函数的积化和差：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
o正弦函数的积化和差：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
o余切函数的积化和差：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
2.三角函数的差化和积：
o余弦函数的差化和积：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
o正弦函数的差化和积：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
o余切函数的差化和积：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)
通过这些公式，可以将两个三角函数的乘积或差转化为加法或减法的形式，使计算和简化三角函数表达式更加方便。
这些公式的证明和推导可以通过三角函数的定义和三角恒等式进行推导得到。
掌握这些公式对于解决涉及三角函数的数学问题、物理问题和工程问题等具有重要意义。
和差化积与积化和差的记忆方法
和差化积与积化和差的记忆方法和差化积与积化和差是高中数学中的复杂数学概念，尤其在三角函数的学习中占有重要位置。
它们涉及将多个三角函数的乘积或和差转换成另一种形式，这在数学解题中经常用到。
下面将介绍一些记忆和差化积与积化和差公式的方法。
### 导语在数学的世界里，记住公式是掌握知识的关键一步。
对于和差化积与积化和差，理解它们的内在联系和形成规律，可以帮助我们更有效地记忆和应用。
下面将分享一些实用的记忆方法。
### 和差化积的记忆方法1.**图像法**：- 利用三角函数的图像来记忆。
例如，正弦函数的和差可以想象为两个波形在同一直线上的叠加或错位，通过观察波形叠加或错位后的变化，可以帮助记忆公式。
2.**特征数字法**：- 记住公式中的特征数字。
比如，和差化积中的公式`sin(A) ± sin(B) = 2sin((A±B)/2)cos((AB)/2)`，可以记忆为“两个正弦相加减，结果中正弦的系数是2，余弦中的角是原来两角和的一半”。
3.**关键词法**：- 选择公式中的关键词，如“正弦和余弦”、“系数2”等，通过联想这些关键词，构建记忆链。
### 积化和差的记忆方法1.**公式对比法**：- 将积化和差与和差化积的公式进行对比记忆。
例如，积化和差公式`sin(A)sin(B) = (cos(A-B) - cos(A+B))/2` 与和差化积公式有类似的结构，记住其中一个，另一个就不难推导出来。
2.**公式故事法**：- 给公式编织一个故事，比如将积化和差想象成两个“sin”角色在互相转换“cos”角色的能量，而转换的过程中，一个角色增加能量，另一个减少，从而记忆`(cos(A-B) - cos(A+B))/2` 这个结构。
3.**互动记忆法**：- 与同学或朋友一起记忆，通过互相提问和解释，加深对公式的理解。
### 结合实际例题通过解决实际问题，将理论应用于实践，也是加深记忆的有效方式。
第29节 和差化积与积化和差(理)
第29节 和差化积与积化和差（理）一、知识梳理1．和差化积公式：sin sin αβ+= ； sin sin αβ-= ；cos cos αβ+= ； cos cos αβ-= 。
2．积化和差公式：sin cos αβ⋅= ； cos sin αβ⋅= ；cos cos αβ⋅= ； s i n s i n αβ⋅= 。
二、基础练习1．化简：cos cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________。
2．11sin sin ,cos cos 43αβαβ+=+=,则()tan αβ+的值为__________。
3．化简：222cos cos cos 33A A A ππ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________。
4．函数sin cos()33y x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是__________。
5．若2,032ππαβα+=≤≤,则sin sin y αβ=⋅的最大值为__________。
6．函数sin cos 6y x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值是__________。
7．已知11sin sin 6620ππθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan θ=__________。
8．已知22cos cos m αβ-=，用m 表示sin()sin()αβαβ+-=__________。
9．已知11sin cos ,sin cos 24αββα+=+=-，则()sin αβ+等于 （ ）（A ）3227 （B ） 3227- （C ）3227± （D ） 321710．若α、,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则下列各式一定成立的是（ ）（A ）()0cos >+βα （B ）()0cos <+βα （C ）()()βαβα+<-cos cos （D ） ()()βαβα+>-cos cos11．函数cos3cos ()cos x xf x x-=的值域是 （ ）（A ）[4,)-+∞ （B ）[4,0)- （C ）(4,0]- （D ）(4,4]-12．22cos cos cos 33ππααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于 （ ） （A ）cos3α （B ）1cos34α （C ）1cos38α （D ）cos31α-13．已知3sin sin 7αβ+=，5cos cos 7αβ-=，求cos()αβ+与cos()αβ-的值。
和差化积与积化和差的推导过程
和差化积与积化和差的推导过程和差化积与积化和差，这听起来是不是有点高深莫测？别担心，今天咱们就用轻松的方式来聊聊这个数学里的小秘密，保证你听了之后不仅能明白，还能哼着小曲儿过生活。
咱们来捋一捋“和差化积”这个概念。
想象一下，有一天你在街上碰到两个朋友，一个叫A，一个叫B。
他们俩一起在聊天，突然A说：“我和B的差是多少？”这时候你可能会想，差就是AB嘛，但这只是冰山一角。
实际上，A和B的差还可以用乘法来表达，那就是(AB)这个表达式可以转变成A²B²的“背后故事”。
这样一来，咱们就能把两个数字之间的关系变得更加生动形象了。
你想啊，把它们的差用积来表示，简直就像把两个好朋友的深厚情谊用另一种方式展现出来，太妙了。
再说说“积化和差”。
假设你在思考两个人的乘积，咱们就假设这两个人叫C和D。
这时候，C和D的乘积就是C×D。
可是，等会儿，咱们的数学小魔法又要上场了！C和D的乘积其实还可以拆解成和差的形式，也就是(C+D)(CD)。
想象一下，C和D好像一对欢喜冤家，他们的结合不仅是乘法的结果，更是和与差的完美结合，简直就像把两个人的故事情感丰富化了。
你会发现，数学真是奇妙无比。
和差化积、积化和差，就好像我们生活中的种种关系，真的是让人感慨万千。
比如说，两个好朋友的争吵，最后化为和解，难道不就是和差化积的真实写照吗？而那些看似不可调和的矛盾，经过一番深思熟虑，最终也能成为彼此理解的契机。
生活就是这么充满惊喜啊。
说到这里，有没有觉得这两种化简方式其实是生活中的哲学？就像我们常说的，团结就是力量。
生活中的和差化积与积化和差，正是反映了人际关系中的微妙平衡。
解决矛盾的方法就在于从不同的角度去看待问题，或者说，要把“差”变成“和”，这样才能和睦相处。
就像那句老话说得好，“不怕慢，就怕站”，只要我们敢于探索，数学的世界就会给我们带来无限可能。
实际操作的时候，记得多练习啊，纸上谈兵可不行。
通过不断的练习，咱们的心智和灵活性都会得到提升。
积化和差、和差化积公式
积公式
温故知新
三角函数的叠加
三角函数的叠加
及其应用
三角函数叠加的应用
学习目标
1.掌握积化和差、和差化积公式；（重点）
2.会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证
明.（难点）
课文精讲
➢ 三角函数的积化和差
在讨论三角函数的一些问题过程中，有时
需要把三角函数的积化为和或者差，有时又要
°−°
cos
=2sin
=2sin60°cos43°= cos43°.
典型例题
例3：把下列各式化为积的形式：
(1)sin103°+sin17°；
(2)cos + -cos − .
解： (2)cos + -cos −
=−2sin
+ + −
把和或者差化成积的形式.
课文精讲
➢ 三角函数的积化和差
前面我们已经学习了两角和与差的正弦、
余弦公式，分别如下：
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
①
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
②
sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ
③
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
+
−
，β=
.
设α+β=x， α-β=y，则α=
这样，上一页得出的四个式子可以写成
+
−
cos
+
−
sinx-siny=2cos sin
和差化积 积化和差
[基本要求][知识要点]1、积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。
其中后两个公式可合并为一个：sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2、和差化积公式sinθ+sinφ=2sin cossinθ-sinφ=2cos sincosθ+cosφ=2cos coscosθ-cosφ=-2sin sin和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。
如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。
和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。
正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。
[例题选讲]1、求下列各式的值①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°③csc40°+ctg80°④cos271°+cos71°cos49°+cos249°解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=+cos80°+2cos100°cos60°=+cos80°-cos80°=②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°=2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)=sin22°+-sin22°=③csc40°+ctg80°=+=======2cos30°=④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49°=(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°)=cos211°+-cos22°=cos211°+-(2cos211°-1)=cos211°+-cos211°+=解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=+(cos120°+cos22°)+=+cos142°-+cos22°++=+(cos142°+cos98°)++cos22°=+cos120°cos22°+cos22°=解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)=2+cos22°x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°) =cos142°+cos120°+cos98°=-+(cos142°+cos98°)=-+2cos120°cos22°=--cos22°联立二式得x=2、已知sinα+sinβ= cosα+cosβ=求tgαtgβ的值解：①2+②2得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=∴cos(α-β)=②2-①2得 cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=-∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=-∴2²cos(α+β)+2cos(α+β)=-∴cos(α+β)=-又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)=cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=-∴tgαtgβ==-=-3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1 (a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f()= +4(1)求a、b的值(2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。
和差化积、积化和差(理)
.37．积化和差、和差化积（理）【教学目标】1．经历积化和差、和差化积的复习过程，进一步掌握三角公式系统的逻辑结构；2．能够用积化和差、和差化积公式，半角公式解决有关的三角计算、化简与证明问题；3．体会三角问题中角度的变化，体会半角与倍角的相对性，感受辩证唯物主义的思想；【教学重点】积化和差、和差化积公式，半角公式的推导与应用。
【教学难点】正确运用积化和差、和差化积及半角公式解决问题。
【知识整理】1．积化和差公式sin cos 1 sin( ) sin( ) ； cos cos 1 cos( ) cos( ) ；2 2 sin sin 1 cos( ) cos( ) ．22．和差化积公式sin sin2sin2 cos ,sin sin 2cos sin ，2 2 2cos cos 2cos2 cos ,cos cos2sin sin 。
2 2 23．半角公式sin 1cos 1 cos 1cos；,cos2,tan2 1cos2 2 2tan sin 1 cos。
1 cos sin2 4．万能公式2 tan2 ,cos 1 tan22 ,tan2tansin 2 ．1 tan2 1 tan2 2 1tan22 2 ..【例题解析】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】 填空：（ 1）计算sin12 cos 5．12（2 ）若 cos 3，且0, 2 ，则 tg2. 5 （3 ）函数 y sin(x ) cosx 的最小值等于 . ．6（4）函数 y cos x cos( x ) 的最大值等于 . ．1 3（5 ）已知 tan，则 sin cos . ．2 2【解答】 2 3 ；（2） 1 ；（3） ；（ 4） 3 ；（5）（ 1） 4 3 7 。
2 4 5【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 求函数 y ＝ 2 cos( x ) cos(x ) ＋ 3 sin 2x 的值域和最小正周期．4 4【解答】 因为 2 cos(x ) cos(x ) = cos2x cos ,4422所以 y cos2x3 sin 2x 2sin(2x ) , 所以 y2,2, T.62【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，易，运算能力【题目】 证明： tan 3xtan x2sin x .22 cosx cos2x..【解答】 证明：略。
和差化积与积化和差整理稿
和差化积与积化和差整理稿（一）和差化积一、公式注意：在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次二、口诀：1、正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦2、口口之和仍口口赛赛之和赛口留口口之差负赛赛赛赛之差口赛收3、正和正在先正差正后迁余和一色余余差翻了天三、解释(辅助记忆)：1、结果乘以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。
2、使用哪两种三角函数的积这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”（α-β）/2的三角函数名。
是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
（α-β）/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos （α-β）/2的形式出现；反之，以sin （α-β）/2的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把（α-β）/2替换为（β-α）/2，结果应当是一样的，从而（α-β）/2的形式是cos （α-β）/2；另一种情况可以类似说明。
3、只有同名三角函数能和差化积无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。
这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
4、余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如（0，π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。
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37．积化和差、和差化积（理）【教学目标】1．经历积化和差、和差化积的复习过程，进一步掌握三角公式系统的逻辑结构； 2．能够用积化和差、和差化积公式，半角公式解决有关的三角计算、化简与证明问题； 3．体会三角问题中角度的变化，体会半角与倍角的相对性，感受辩证唯物主义的思想；【教学重点】积化和差、和差化积公式，半角公式的推导与应用。
【教学难点】正确运用积化和差、和差化积及半角公式解决问题。
【知识整理】1．积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++-；[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-；[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--．2．和差化积公式sin sin 2sincos,sin sin 2cossin2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=，cos cos 2cos cos ,cos cos 2sin sin2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=-。
3．半角公式sintan 222ααα=== sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+。
4．万能公式22222tan1tan 2tan222sin ,cos ,tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-．【例题解析】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】填空：（1）计算=125cos12sinππ． （2）若3cos 5α=，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则=2tg α . （3）函数=y )6sin(π-x x cos 的最小值等于 .．（4）函数cos cos()3y x x π=++的最大值等于 .．（5）已知1tan22θ=，则sin cos θθ+= .．【解答】（1（2）21；（3）43-；（4（5）75。
【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．【解答】因为2)4cos()4cos(ππ-+x x =2cos 2cos π+x ,所以)62sin(22sin 32cos π+=+=x x x y ,所以[]2,2-∈y , ππ==22T .【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，易，运算能力【题目】证明：32sin tantan .22cos cos 2x x x x x-=+【解答】证明：略。
【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】（1）设παπ223<<，31sin )sin(cos )cos(=+++ββαββα，求)24tan(απ-的值．（2）已知54cos ,8536)sin(==-ββα（其中βα,为锐角），求)42cot(πα+的值．【解答】(1)παπ223<< , 所以322sin -=α, 所以 22cos 1sin 2tan -=+=ααα, 即 2232tan12tan 1)24tan(+=+-=-αααπ． (2) βα,为锐角,)2,2(ππβα-∈-, 8536)sin(=-βα，所以)2,0(πβα∈-, []ββαα+-=)(sin sin =)cos(sin cos )sin(βαβββα-+-=1715,计算得178cos =α, 所以 53cos 1sin 2tan =+=ααα,412tan12tan1)42cot(=+-=+ααπα．【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力【题目】在ABC ∆中，已知222.a b c ab +=+（1） 求C ∠的大小；（2） 设3sin sin 4A B =，判断三角形ABC 的形状。
【解答】解：（1）60C ∠=；（2）由313sin sin [cos()cos()424A B A B A B =⇒-+--=， 由60C ∠=得，18060120A B +=-=，所以cos()1A B -=即：A B =，三角形ABC 为等边三角形。
【课堂反馈】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】计算40sin 20sin 40cos 20cos ++的值等于 ．【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】已知α是第三象限角，且2524sin -=α，则2tan α等于 ．【解答】43-【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】化简：4sin(60)sin sin(60).θθθ-⋅⋅+【解答】sin3θ【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】已知2,0,03παβαβ+=≥≥，求sin sin y αβ=的最大值与最小值。
【解答】当3πα=时，max 34y =；当0α=时，min 0y =。
【课堂小结】1． 半角的正弦、余弦和正切公式前面的±号不表示有两解，表示符号不确定，需要选择； 2． 万能公式的作用是将异名三角比，转化为同名三角比，将三角比转化为代数问题来解决； 3． “异角化同角”、“复角化单角”、“异名化同名”以及“切割化弦”等思想方法，是解决三角问题常用的思想方法；4． 形如sin sin ;cos cos ;sin sin ;cos cos αβαβαβαβ±±⋅⋅的三角比计算式，习惯上当αβ±为常数时，可以尝试用和差化积或积化和差公式来解决问题。
【课后作业】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】计算87cos85sinππ的值等于 ．【解答】12--【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，易，运算能力【题目】函数()sin sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是 ．【解答】π。
【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】已知πα<<0，化简=+--ααcos 1cos 1 ．【解答】)42sin(2πα-【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】已知41)6cos(=+πα，求)3sin(sin παα+的值．【解答】⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=+⋅)3cos()32cos(21)3sin(sin ππαπαα＝41)32cos(21++-πα， 又41)6cos(=+πα，871)6(cos 2)32cos(2-=-+=+παπα，所以 1611)3sin(sin =+⋅παα．【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】已知函数()tan f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1212,0,,2x x x x π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，求证：12121()[()()]22x x f f x f x +<+。
【解答】证明：略。
【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，难，运算能力【题目】已知31sin sin ,21cos cos =-=-βαβα，求sin()αβ+的值。
【解答】因为21cos cos =-βα ① ，31sin sin =-βα ② ，①⨯②得，61)sin()2sin 2(sin 21=+-+βαβα， 即[]611)cos()sin(=--+βαβα， ①2+②2得， 3613)cos(22=--βα，所以12sin().13αβ+=-【题目资源】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】若41)4cos()4sin(-=--ππx x ，则=x 4cos ．【解答】21-【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】如果51cos =α，παπ223<<,则=2cos α ．【解答】515-【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】已知f (x )=,,2.11⎪⎭⎫⎝⎛∈+-ππα若x x 则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为 .【解答】αcsc 2【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力.-【题目】22cos()cos cos()33ππααα+-化成和差的结果等于 。
【解答】1cos34α【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】若tan2t θ=，则cos 21sin 2θθ+等于 。
【解答】222121t t t t +---。
【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，选择题，易，运算能力【题目】已知α是第三象限角，并且αsin =－2524，则tan 2α等于（ ） （A ）34（B ）43 （C ）－43 （D ）－34【解答】（D ）【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，选择题，难，运算能力【题目】已知31sin sin ,21cos cos =-=-βαβα，则)sin(βα+ 的值等于（ ） （A ）135- （B ）135 （C ）1312- （D ）1312【解答】因为21cos cos =-βα ① ，31sin sin =-βα ② ，①⨯②得， 61)sin()2sin 2(sin 21=+-+βαβα， 即[]611)cos()sin(=--+βαβα， ①2+②2得， 3613)cos(22=--βα，所以选Ｃ．【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，选择题，中，运算能力【题目】设θ是第二象限角，则必有（ ）（A ）tan2θ>cot 2θ （B ）tan2θ<cot 2θ（C ）sin 2θ>cos 2θ（D ）sin2θ<cos 2θ【解答】（A ）【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】不用计算器求值： 70cos 50cos 10cos 222++．【解答】原式=2140cos 1100cos 120cos 1 +++++＝2cos80cos 60cos1002⋅+32+＝23210sin 10sin 23=-+．【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，中，运算能力【题目】如果20,32παπβα≤≤=+，则函数βαcos sin =y 的最大值等于 ．【解答】[])sin()sin(21βαβα-++=y ＝)sin(2143βα-+，又因为20πα≤≤，απβ-=32，所以 ]32,6[ππβ∈， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-3,32ππβα， 所以最大值等于23．【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力【题目】在ABC △中，已知B A B A tan tan 33tan tan =++，且43sin sin =B A ，试判断ABC △的形状．【解答】解：在ABC △中 )tan tan 1(3tan tan B A B A --=+，得3)tan(-=+B A ，因为),0(π∈+B A ，所以 π32=+B A ， 又[])cos()cos(21sin sin C A B A B A --+-=⋅，所以 43)cos(2141=-+C A ， 即1)cos(=-B A ，因为 ),(ππ-∈-B A ，0=-B A ，所以B A =， 即ABC △为等边三角形．【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】在ABC △中，求证：2cos 2sin 2sin4sin sin sin CB AC B A =-+．【解答】证明：略。