平面向量的平行四边形法则
平面向量的平行四边形定理和平行四边形法则
平面向量的平行四边形定理和平行四边形法则平面向量是解决空间中几何问题的重要工具之一。
在平面向量的运算中,平行四边形定理和平行四边形法则是非常基础且重要的内容。
本文将为你详细介绍平行四边形定理和平行四边形法则的概念、性质及应用。
一、平行四边形定理的概念和性质平行四边形定理是关于平行四边形的平面向量性质的定理。
根据平行四边形定理,如果平面上四个向量AB、BC、CD和DA构成一个平行四边形,那么这四个向量之和为零。
也就是说,AB + BC + CD + DA = 0。
平行四边形定理的性质可以推导出以下几个重要的结论:1. 如果ABCD是一个平行四边形,那么向量AB = DC,向量AD = BC。
2. 如果平行四边形ABCD的一组对角线向量相等,即向量AC = BD,那么它是一个平行四边形。
二、平行四边形法则的概念和性质平行四边形法则是平行四边形定理的逆定理,即如果一个平面上四个向量AB、BC、CD和DA满足向量AB + BC + CD + DA = 0,那么这四个向量构成一个平行四边形。
根据平行四边形法则的性质,可以推导出以下几个重要结论:1. 如果向量AB = DC,向量AD = BC,那么四边形ABCD是一个平行四边形。
2. 如果向量AC = BD,那么四边形ABCD是一个平行四边形。
三、平行四边形定理和平行四边形法则的应用平行四边形定理和平行四边形法则在解决平面向量问题时,常用于以下几个方面的应用:1. 平行四边形的判定:通过使用平行四边形定理和平行四边形法则,可以判断给定的四个向量是否能够构成一个平行四边形。
2. 向量之间的关系:根据平行四边形定理和平行四边形法则的性质,可以得到向量之间的关系。
例如,如果向量AB = DC,那么可以推导出向量AB和向量DC平行。
3. 向量的线性运算:平行四边形定理和平行四边形法则可以应用于向量的线性运算中。
例如,如果已知向量AB = DC,向量AD = BC,则可以通过平行四边形定理推导出向量AC = BD。
平面向量的平行四边形法则与海伦公式
平面向量的平行四边形法则与海伦公式平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一,其中平行四边形法则和海伦公式是两个常用的计算公式。
它们在解决平面向量相关问题时起到了关键的作用。
下面将详细介绍平行四边形法则和海伦公式,并探讨它们在实际问题中的应用。
一、平行四边形法则平行四边形法则是指当两个向量的起点相同,并排列时,它们的和向量的终点与另外两个向量的终点所成的四边形的对角线的交点相同,且终点的连接线与对角线平行。
具体表达为:若向量a和向量b的起点相同,并排列时,它们的和向量a+b的终点与向量a和向量b的终点所成的四边形的对角线的交点相同,并且向量a+b与对角线平行。
平行四边形法则可以用来求解平行四边形的面积、判断两个向量是否共线以及计算向量的和、差等问题。
通过使用平行四边形法则,我们可以更加简便地解决与平面向量相关的数学问题。
二、海伦公式海伦公式是计算三角形面积的重要公式。
它是基于三角形的三边长度求解三角形面积的公式,形式表达为:设三角形的三边长度分别为a、b、c,半周长为s,则三角形的面积S可以由海伦公式计算得出:S =√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
海伦公式除了可用于计算三角形的面积外,还可以用于判断三个向量是否共面以及计算多边形的面积等。
海伦公式的运用广泛,对于解决与平面向量相关的问题具有很大的帮助。
三、平行四边形法则和海伦公式的应用举例1. 应用平行四边形法则:已知两个向量a = (2i + 3j)和b = (-i + 2j),求向量a和向量b的和向量及它们的终点坐标。
根据平行四边形法则,向量a和向量b的和向量a+b可以通过将向量a的终点与向量b的终点相连得到。
计算得到向量a+b = (i + 5j)。
终点坐标为(3, 5)。
2. 应用海伦公式:设三角形ABC的三边长度分别为a = 4,b = 5,c = 6,求三角形ABC的面积。
根据海伦公式,计算半周长s = (a + b + c)/2 = 15/2。
平面向量的平行四边形法则与共线判定
平面向量的平行四边形法则与共线判定平面向量是向量的一种特殊形式,是具有大小和方向的量。
在空间中,向量可以用一维坐标来表示,但在平面中,需要使用二维坐标来表示。
平面向量的平行四边形法则和共线判定是研究平面向量性质和关系的重要方法。
本文将详细介绍平面向量的平行四边形法则以及共线判定,并且会通过相关例子对其应用进行说明。
一、平面向量的平行四边形法则平面向量的平行四边形法则是指:如果两个向量的首尾相接构成一个平行四边形,那么这两个向量互相平行,并且它们的大小相等。
换句话说,如果两个向量的顶点相同,且是一条直线的两条非零向量,那么这两个向量是平行的。
具体来说,设有两个平面向量a和b,则根据平行四边形法则可以得到以下结论:1. 如果向量a和向量b构成的平行四边形的对角线相等,则向量a 和向量b是平行的;2. 如果向量a和向量b构成的平行四边形的对角线呈等角(夹角相等),则向量a和向量b是平行的;3. 如果向量a和向量b的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂),则向量a 和向量b平行的充分必要条件是(a₁/b₁) = (a₂/b₂)。
二、平面向量的共线判定在平面向量中,如果两个向量不仅平行,而且还共线,即两个向量共线于同一直线上,那么这两个向量是相关联的。
具体来说,设有两个平面向量a和b,则根据共线判定可以得到以下结论:1. 如果向量a和向量b共线,则它们的比值是常数,即存在一个非零常数k,使得a = kb;2. 如果向量a和向量b共线,并且它们不是零向量,则向量a和向量b的方向相同或者相反;3. 如果向量a和向量b共线,并且它们的起点相同,那么向量a和向量b的终点也相同。
三、平面向量的应用示例示例1:已知平面向量a = (3, 4)和平面向量b = (6, 8),判断向量a 和向量b的关系。
解:根据平行四边形法则,我们可以得到:(3, 4)和(6, 8)构成的平行四边形的对角线相等,因此向量a和向量b是平行的。
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理平面向量奔驰定理引言:平面向量是高中数学中的重要内容之一,它是向量的一种,具有方向和大小,可以进行加减乘除等运算。
本文将介绍平面向量的一个重要定理——平面向量奔驰定理。
一、定义1.1 平面向量平面上的一个有向线段称为平面向量,记作$\vec{a}$。
其中,有起点和终点分别为$A$和$B$,则$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$。
1.2 平移在平面上,将一个图形沿着某个方向移动一段距离后所得到的新图形称为原图形的平移。
平移可以用平面向量来表示。
二、定理2.1 平行四边形法则对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$,它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的四边形是一个平行四边形。
证明:如下图所示,以$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$和$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$为邻边构造一个以$O$为顶点的平行四边形$OABC$。
连接$AC$和$BD$两条对角线,则由于对角线互相平分且相等,所以$AC=BD$。
又因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC }$,所以$\overrightarrow{OC}$是以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$为邻边的平行四边形对角线。
得证。
2.2 平面向量奔驰定理对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$,它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的三角形的三条边上依次取一点$D,E,F$,则有:$$\frac{\overrightarrow{OD}}{\vec{a}}+\frac{\overrightarrow{OE} }{\vec{b}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\vec{c}}=\vec 0$$其中,$\overrightarrow {OD},\ \overrightarrow {OE},\\overrightarrow {OF}$分别表示向量$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$的起点与点$D,\ E,\ F$的连线所组成的向量。
平面向量的三角形法则和平行四边形法则
平面向量的三角形法则和平行四边形法则在平面向量的运算中,三角形法则和平行四边形法则是两个基本的法则。
它们可以帮助我们理解和计算平面向量的加法、减法和乘法运算。
本文将详细介绍这两个法则的原理和应用。
一、平面向量的三角形法则平面向量的三角形法则表明,如果我们用两个向量的首尾相连构成一个三角形,那么第三个向量的起点与第一个向量的起点重合,终点与第二个向量的终点重合。
直观上来看,这个法则告诉我们如何用两个向量的和来表示它们的几何关系。
假设有两个向量a和b,我们可以利用三角形法则将它们相加。
具体操作为:将向量a的起点与向量b的终点相连,这条线段即为a+b的向量。
同理,如果我们将向量b的起点与向量a的终点相连,也会得到相同的结果。
这一法则可以用以下公式表示:a +b = b + a这个公式揭示了向量的加法满足交换律。
此外,三角形法则还可以用于计算向量的减法。
如果要计算向量a 减去向量b的结果,我们可以将向量b取反(即取其方向相反的向量),然后按照加法的规则进行计算。
具体操作为:将向量a的起点与取反后的向量b的终点相连,得到a-b的向量。
同样地,我们也可以将向量b的起点与向量a的终点相连,也会得到相同的结果。
减法运算的公式为:a -b = a + (-b)这一法则表明向量减法可以转化为向量加法。
二、平面向量的平行四边形法则平面向量的平行四边形法则是三角形法则的一个推论。
它表明,如果我们用两个向量的首尾相连构成一个平行四边形,那么对角线的向量等于另外两个向量的和。
假设有两个向量a和b,我们可以利用平行四边形法则将它们相加。
具体操作为:将向量a的起点与向量b的起点相连,得到向量c。
向量c即为a+b的结果。
同理,我们也可以将向量b的起点与向量a的起点相连,同样得到向量c。
平行四边形法则可以用以下公式表示:a +b = c这个公式表明,两个向量的和等于构成平行四边形的对角线向量。
三、应用举例三角形法则和平行四边形法则广泛应用于平面向量的计算和几何问题中。
向量基本定理
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ,作 OA a, OB b,
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直,
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 a 1 e1 2 e2 的形式,我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时, 就称为向量的正交分解。
在平面上,如果选取互相垂直的向量作 为基底时,会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底,将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图,已知梯形ABCD, AB//CD,且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案:
1 DC e1 ; 2
A
N
解:取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中,正确的有: ( 2、3 )
平面向量平行四边形法则
平面向量平行四边形法则首先,我们定义平面向量为具有大小和方向的箭头。
一个平面向量可以用坐标表示为(x,y),其中x表示向量在x轴上的分量,y表示向量在y 轴上的分量。
两个向量可以用平行四边形法则进行运算,包括加法、减法和数乘。
平面向量的加法可以使用平行四边形法则来描述。
假设有两个向量a 和b,它们的起点相同,分别指向A和B。
首先,在A点处画一条与向量b平行且长度等于向量b的线段,连接B点和该线段的终点C。
接下来,连接A和C,得到一个平行四边形。
这条连接线段AC表示向量a加上向量b的结果,即a+b。
用公式表示为:AC=a+b向量的减法也可以通过平行四边形法则来计算。
假设有两个向量a和b,它们的起点相同,分别指向A和B。
我们可以将向量b取负并标记为-b,然后使用向量加法来计算两个向量的差。
即:AC=a+(-b)这样我们就得到了向量a减去向量b的结果,可以表示为a-b。
这个结果就是连接A和C的线段AC。
除了加法和减法,平面向量还可以进行数乘运算,即一个向量乘以一个标量。
数乘也可以通过平行四边形法则来进行计算。
假设有一个向量a 和一个标量k,我们可以通过将向量a的长度按比例缩放k倍来计算数乘的结果。
即:AC=k*a这样我们就得到了原向量a的长度增加或缩小k倍的新向量AC。
为了证明平面向量的平行四边形法则,我们可以使用数学中的向量运算定律。
我们首先考虑两个向量相加的情况。
根据表示向量的坐标形式,我们可以将两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)相加,并对它们的x和y分量分别进行求和。
即:a+b=(x1+x2,y1+y2)这个结果的坐标表示为AC=(x1+x2,y1+y2),根据平行四边形法则,我们可以得到向量a和向量b的和。
然后,我们考虑向量的减法情况。
根据向量的坐标表示和向量加法的性质,我们可以将向量的减法转化为向量的加法,并使用一个取相反数的向量进行计算。
即:a-b=a+(-b)=(x1,y1)+(-x2,-y2)=(x1-x2,y1-y2)同样,根据平行四边形法则,我们可以得到向量a减去向量b的结果。
平面向量的平行四边形法则与共线判定方法
平面向量的平行四边形法则与共线判定方法简介:平面向量是数学中一个重要的概念,常用于解决平面几何和向量代数的问题。
在平面向量的运算中,平行四边形法则与共线判定方法是两个基本而重要的概念。
本文将介绍平面向量的平行四边形法则以及共线判定方法,并通过例题加以说明。
一、平行四边形法则:平行四边形法则是指:两个向量的和向量等于这两个向量所构成的平行四边形的对角线向量。
设向量a = (a1, a2),向量b = (b1, b2),则向量a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。
图形化表示为:B———| /| /| /A其中AB为两个向量a和b的和向量a + b。
根据平行四边形法则,可以推出平行四边形的另一个对角线等于向量a - b。
即向量a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。
图形化表示为:B———/ |/ |/ |A其中AB为向量a与向量-b构成的平行四边形的对角线。
二、共线判定方法:共线是指若干向量的方向相同或相反,即它们在同一直线上。
共线判定方法是判断两个向量是否共线的一种方法。
设有两个向量a = (a1, a2),b = (b1, b2),则向量a与向量b共线的充分必要条件是:存在一个非零实数k,使得a = kb。
其中k为比例系数。
共线判定方法可用于确定两条直线是否平行或共线。
若两条直线上的向量平行或共线,则两条直线也平行或共线。
三、例题说明:现有向量a = (2, 3) 和向量b = (4, 6)。
我们通过平行四边形法则和共线判定方法来进行运算和判断。
1. 平行四边形法则:a +b = (2, 3) + (4, 6) = (6, 9)a -b = (2, 3) - (4, 6) = (-2, -3)根据平行四边形法则,向量a + b所表示的向量等于以向量a, b为相邻边的平行四边形的对角线向量,向量a - b所表示的向量等于以向量a, -b为相邻边的平行四边形的对角线向量。
平面向量的平行四边形法则
平面向量的平行四边形法则平面向量的平行四边形法则是向量的运算规则之一,描述了两个向量之和所构成的平行四边形的特性。
利用该法则,我们可以在平面上直观地理解向量的运算,并且应用于各种数学问题的解决中。
本文将深入探讨平面向量的平行四边形法则,分析其原理、证明以及应用。
1. 原理平面向量的平行四边形法则可以表述为:两个向量之和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量。
假设有两个向量A和B,在平面上表示为A→和B→,以A→和B→为邻边的平行四边形的对角线向量为R→。
根据平行四边形的性质,我们可以观察到以下几点:- 平行四边形的对角线被平分,并且对角线的起点与终点可以随意选取;- 向量A→和B→的起点可以作为这个平行四边形的起点,终点可以作为对角线的终点;- 对于向量R→,它的起点与终点分别是对角线的起点和终点。
综上所述,从向量A→的起点到向量B→的终点所画的向量,即为以A→和B→为邻边的平行四边形的对角线向量R→,即R→ = A→ +B→。
2. 证明为了证明平面向量的平行四边形法则,我们可以通过向量运算和向量的几何性质进行推导。
假设向量A→的起点为点O,终点为点A,向量B→的起点为点A,终点为点C。
利用向量加法的定义,我们可以得到:A→ + B→ = OA→ + AC→根据向量加法的几何性质,将向量AC→与向量OA→首尾相连,得到平行四边形OACB。
由于在平行四边形中,对角线的起点与终点可以随意选取,我们可以将对角线选取为OB→。
由此,我们得到:A→ + B→ = OB→因此,证明了平面向量的平行四边形法则。
3. 应用平面向量的平行四边形法则可以应用于各种数学问题的解决中,特别是与向量的运算相关的计算。
3.1 向量的加法根据平行四边形法则,我们可以采用平行四边形法则直观地进行向量的加法运算。
以向量A→和向量B→为例,我们可以将向量A→的起点作为平行四边形的起点,向量B→的终点作为平行四边形的终点,由此得到平行四边形的对角线向量R→。
平面向量的平行四边形法则
平面向量的平行四边形法则在数学中,平面向量是指在平面上具有大小和方向的图形量,可以用箭头表示。
而平行四边形法则是用来计算平面向量之间的关系和运算的基本法则之一。
本文将介绍平面向量的定义、平行四边形法则的原理和应用,并通过一些例题来帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
一、平面向量的定义平面向量通常用字母加箭头表示,如→AB代表从点A到点B的向量。
平面向量有大小和方向两个基本属性,例如向量→AB的长度可以表示成|→AB|,方向可以用与x轴或y轴的夹角表示。
两个平面向量相等的条件是大小相等且方向相同。
二、平行四边形法则的原理平行四边形法则是指如果一条平面向量→AB和另一条平面向量→CD的起点和终点依次排列成一个平行四边形的四个顶点,则这两个向量相等。
三、平行四边形法则的应用1. 向量相加:根据平行四边形法则,我们可以将平面上两个向量的起点放在一起,终点放在一起,然后通过绘制平行四边形来得到这两个向量的和向量。
例如,若有向量→AB和→AC,可以通过平行四边形法则得到向量→AD为它们的和向量。
2. 平面向量的数量积:平行四边形法则也可以应用在平面向量的数量积运算中。
两个平面向量的数量积等于其中一个向量的模长乘以与另一个向量的夹角的余弦值。
这个夹角可以通过在起点和终点相连后绘制一个平行四边形来确定。
四、例题解析为了更好地理解平行四边形法则,我们通过几个例题来进行练习和解析。
例题1:已知平面向量→AB = 3i + 2j,→AC = 4i + j,求向量→AD 的坐标。
解析:由平行四边形法则可知,→AD = →AB + →AC。
根据向量相加的规则,我们可以得到→AD = (3i + 2j) + (4i + j) = 7i + 3j。
因此,向量→AD的坐标为7i + 3j。
例题2:已知平面向量→AB = 2i + 3j,→AC = i + 4j,求向量→AD 的模长。
解析:依据平行四边形法则,→AD = →AB + →AC。
平面向量的平行四边形法则和三角形法则
平面向量的平行四边形法则和三角形法则在解决平面向量相关问题时,平行四边形法则和三角形法则是两个重要的计算工具。
它们可以帮助我们有效地求解向量的和、差以及向量之间的关系。
本文将详细介绍这两个法则的定义、应用以及相关的示例。
平行四边形法则是指,如果有两个向量a和b,它们的起点相同,那么它们的和向量可以由两个向量的终点所形成的平行四边形的对角线表示。
简单来说,就是将一个向量的起点作为另一个向量的终点,将两个向量的终点连接起来,这条连接线所代表的向量即为两个向量的和向量。
根据平行四边形法则,两个向量a和b的和向量(记作a+b)可以表示为:a+b = c其中c即为两个向量a和b终点连线的向量,也可以看作是从向量a的起点到向量b的终点的有向线段。
三角形法则是平行四边形法则的一个特殊情况,即当两个向量a和b的起点相同、终点相连时,它们的和向量可以由这两个向量的终点形成的三角形的第三条边表示。
简而言之,就是将一个向量的终点作为另一个向量的起点,这两个向量的起点和终点连成一条线段,这条线段所表示的向量即为两个向量的和向量。
根据三角形法则,两个向量a和b的和向量(记作a+b)可以表示为:a+b = c其中c即为两个向量a和b终点连线的向量。
通过平行四边形法则和三角形法则,我们可以方便地进行向量的运算和推导。
下面通过一些具体的例子来解释这两个法则的应用。
例1:已知向量a = (3, 2)和向量b = (1, 4),求向量a+b和向量a-b的结果。
根据平行四边形法则,我们可以将向量a和向量b的终点连接起来,得到一个平行四边形。
通过测量这个平行四边形的对角线,我们可以求得向量a+b和向量a-b的结果。
首先,将向量a和向量b的起点重合,然后将它们的终点连接起来得到一个平行四边形。
测量这个平行四边形对角线的长度,可以得到:向量a+b = (4, 6)再次测量平行四边形的另一条对角线的长度,可以得到:向量a-b = (2, -2)因此,向量a+b = (4, 6),向量a-b = (2, -2)。
平面向量基本定理
e1
6e1
3 2
e2
10e2
D.
a
e1
2e2和b
5e1
7e2
例1:已知向量e1,e(2 如图),求作向量-2.5e1 3e2 .
作法: 1.如图,任取一点O ,作OA 2.5e1
, OB 3e2.
2.作 OACB.
则,OC就是所求的向量
C
B
e1
e2
A-2.5e1
3e2
O
例2 : 如图, ABCD的两条对角线相交于点M ,且 AB a,AD b,用a、b表示MA、MB、MC和MD.
注意:找两个向量的 夹角时,这两个向量
的起点必须相同!
你能在等边 ABC中找到 AB与BC、BC与AC的夹角吗1、e2是同一平面内的两个向量,则有D
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有 a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
D向.若量e1a、都e有2不a共=λ线e1+,ue则2(同λ、一u平∈面R)内的任一
2 - = 0
k – 4 = 0
k= 8.
课堂总结: 平面向量基本定理可以联系物理学中的 力的分解模型来理解,它说明在同一平 面内任一向量都可以表示为不共线向量 的线性组合,该定理是平面向量坐标表 示的基础,其本质是一个向量在其他两
个向量上的分解。
5.已知λ1>0,λ2>0,e1、e2是一组基底,且 a=λ1e1+λ2e2,则a与e1___不__共, 线a与e2 _______( 填不共共线线或不共线).
拓展: 设 a、b是两个不共线的向量,
已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线,
平面向量的平行四边形法则和三角形法则的证明
平面向量的平行四边形法则和三角形法则的证明平面向量是数学中的重要概念,它可以描述平面上的位移、速度、力等物理量。
其中,平行四边形法则和三角形法则是证明平面向量性质的基本定理。
本文将探讨这两个法则的证明过程。
一、平行四边形法则的证明平行四边形法则是用来计算两个平面向量之和的方法。
假设有平面向量a和b,可以通过平行四边形的法则来求解它们的和。
证明过程如下:1. 建立起矩形坐标系,在这个坐标系中,令向量a的起点为原点O。
2. 通过向量a的终点O,作向量b。
3. 以向量b的终点为起点,作向量a。
4. 将向量a和b的起点连接起来,得到一个平行四边形,其中对角线即为向量a和b的和向量c。
5. 通过图形的几何性质,可以证明向量a和向量b之和等于向量c。
在证明过程中,我们利用了矩形坐标系和图形的几何性质,从而推导出了平行四边形法则。
二、三角形法则的证明三角形法则是用来计算两个平面向量之差的方法。
假设有平面向量a和b,可以通过三角形的法则来求解它们的差。
证明过程如下:1. 建立起矩形坐标系,在这个坐标系中,令向量a的起点为原点O。
2. 通过向量a的终点O,作向量b的负向量(-b)。
3. 以向量(-b)的终点为起点,作向量a。
4. 将向量a和(-b)的起点连接起来,得到一个三角形,其中一边为向量a,另一边为向量(-b)。
三角形的第三边即为向量a和b的差向量c。
5. 通过图形的几何性质,可以证明向量a和向量b之差等于向量c。
在证明过程中,我们同样利用了矩形坐标系和图形的几何性质,从而推导出了三角形法则。
综上所述,平面向量的平行四边形法则和三角形法则是描述平面向量运算的基本定理。
通过几何图形的分析,我们可以推导出这两个法则,并利用它们来计算平面向量的和和差。
这些法则不仅仅是数学的抽象概念,还可以在物理学和工程学等实际问题中得到应用。
因此,熟练掌握平面向量的平行四边形法则和三角形法则对于理解和应用相关知识具有重要意义。
通过本文的讲解,希望读者能够理解平面向量的平行四边形法则和三角形法则的证明过程,并能够运用这些法则解决实际问题。
平面向量概念
1.向量的有关概念2.向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa的方向与向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.,共线向量定理的深解读定理中限定了a≠0,这是因为如果a=0,则λa=0,(1)当b≠0时,定理中的λ不存在;(2)当b=0时,定理中的λ不唯一.因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.向量概念的4点注意(1)注意0与0的区别,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.(2)单位向量有无数个,它们的模相等,但方向不一定相同.(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量,它们的模是确定的,但是方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性.比如:命题“若a∥b,b∥c,则a∥c”是假命题,因为当b为零向量时,a,c可为任意向量,两者不一定平行.(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上.向量线性运算的3点提醒(1)两个向量的和仍然是一个向量.(2)利用三角形法则时,两向量要首尾相连,利用平行四边形法则时,两向量要有相同的起点.(3)当两个向量共线时,三角形法则仍然适用,而平行四边形法则不适用. 1.与向量a 共线的单位向量为±a |a |.2.两非零向量不共线求和时,两个法则都适用;共线时,只适用三角形法则.3.A ,B ,C 三点共线,O 为A ,B ,C 所在直线外任一点,则OA→=λOB →+μOC →且λ+μ=1.4.若AB →=λAC →,则A ,B ,C 三点共线.5.P 为线段AB 的中点⇔OP →=12(OA →+OB →). 6.G 为△ABC 的重心⇔GA→+GB →+GC →=0⇔OG →=13(OA →+OB →+OC →)(O 是平面内任意一点).7.P 为△ABC 的外心⇔|P A →|=|PB →|=|PC →|.8.||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.9.若a 与b 不共线,λa +μb =0,则λ=μ=0.1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即A 1A 2―→+A 2A 3―→+A 3A 4―→+…+A n -1A n ―→=A 1A n ―→.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量. 2.在△ABC 中,AD ,BE ,CF 分别为三角形三边上的中线,它们交于点G (如图所示),易知G 为△ABC 的重心,则有如下结论:(1) GA ―→+GB ―→+GC ―→=0;(2) AG ―→=13(AB ―→+AC ―→);(3) GD ―→=12(GB ―→+GC ―→)=16(AB ―→+AC ―→).3.若OA ―→=λOB ―→+μOC ―→(λ,μ为常数),则A ,B ,C 三点共线的充要条件是λ+μ=1.4.对于任意两个向量a ,b ,都有:①||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |;②|a +b |2+|a -b |2=2(|a |2+|b |2).当a ,b 不共线时:①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值;②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系. 1.平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底❶. 2.平面向量的坐标运算运算 坐标表示和(差) 已知a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)数乘 已知a =(x 1,y 1),则λa =(λx 1,λy 1),其中λ是实数 任一向量的坐标已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB ―→=(x 2-x 1,y 2-y 1)3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0❷.,(1)基底e 1,e 2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底;(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;(3)如果对于一组基底e 1,e 2,有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2,则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1=μ1,λ2=μ2..若a 与b 不共线,且λa +μb =0,则λ=μ=0.2.已知P 为线段AB 的中点,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1+x 22,y 1+y 22.3.已知△ABC 的顶点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1),|a |=x 21+y 21(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 4.平面向量共线的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. [微点提醒]1.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)且a =b ,则x 1=x 2且y 1=y 2. 2.若a 与b 不共线,λa +μb =0,则λ=μ=0.1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即A 1A 2―→+A 2A 3―→+A 3A 4―→+…+A n -1A n ―→=A 1A n ―→.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.2.在△ABC 中,AD ,BE ,CF 分别为三角形三边上的中线,它们交于点G (如图所示),易知G 为△ABC 的重心,则有如下结论:(1) GA ―→+GB ―→+GC ―→=0;(2) AG ―→=13(AB ―→+AC ―→);(3) GD ―→=12(GB ―→+GC ―→)=16(AB ―→+AC ―→).3.若OA ―→=λOB ―→+μOC ―→(λ,μ为常数),则A ,B ,C 三点共线的充要条件是λ+μ=1.4.对于任意两个向量a ,b ,都有:①||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |;②|a +b |2+|a -b |2=2(|a |2+|b |2).当a ,b 不共线时:①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值;②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系.1.设a 0为单位向量,下列命题中:①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |·a 0;②若a 与a 0平行,则a =|a |a 0;③若a 与a 0平行且|a |=1,则a =a 0,假命题的个数是( )A .0B.1C .2D .32.给出下列命题:(1)若|a |=|b |,则a =b ;(2)若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB ―→=DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;(3)若a =b ,b =c ,则a =c ;(4)两向量a ,b 相等的充要条件是|a |=|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________.[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB ―→=( )A.34AB ―→-14AC ―→B.14AB ―→-34AC ―→C.34AB ―→+14AC ―→ D .14AB ―→+34AC ―→(2)在四边形ABCD 中,BC ―→=AD ―→,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,则( )A .AF ―→=13AC ―→+23BD ―→ B.AF ―→=23AC ―→+13BD ―→C .AF ―→=14AC ―→+23BD ―→ D .AF ―→=23AC ―→+14BD ―→3.已知O ,A ,B 是同一平面内的三个点,直线AB 上有一点C 满足2AC ―→+CB ―→=0,则OC ―→=( )A .2OA ―→-OB ―→ B.-OA ―→+2OB ―→C.23OA ―→-13OB ―→D .-13OA ―→+23OB ―→4.(2018·大同一模)在平行四边形ABCD 中,点E 为CD 的中点,BE 与AC 的交点为F ,设AB ―→=a ,AD ―→=b ,则向量BF ―→=( )A.13a +23b B.-13a -23b C .-13a +23b D .13a -23b5.P 是△ABC 所在平面上的一点,满足PA ―→+PB ―→+PC ―→=2AB ―→,若S △ABC =6,则△PAB 的面积为( )A .2 B.3 C .4D .86.△ABC 中,点D 是边BC 上任意一点,M 是线段AD 的中点,若存在实数λ和μ,使得BM ―→=λAB ―→+μAC ―→,则λ+μ=( )A.12 B.-12C .2D .-27. (2017·全国Ⅱ)设非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则( ) A.a ⊥b B.|a |=|b | C.a ∥bD.|a |>|b |8若|AB →|=|AC →|=|AB →-AC →|=2,则|AB →+AC →|= .9若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB →-OC →|=|OB →+OC →-2OA →|,则△ABC 的形状为 .10.在△ABC 中,点G 满足GA →+GB →+GC →=0.若存在点O ,使得OG →=16BC →,且OA →=mOB →+nOC →,则m -n 等于( )A.2B.-2C.1D.-110.已知点P 是△ABC 所在平面内一点,且满足x P A →+y PB →+z PC →=0则x y z s s s BPCAPC APB ::::=∆∆∆22.已知点P 是△ABC 所在平面内一点,且满足3P A →+5PB →+2PC →=0,已知△ABC 的面积为6,则△P AC的面积为( )A.92 B .4C .3 D.12523.已知P 是△ABC 内一点,且满足PA →+2PB →+3PC →=0,记△ABP ,△BCP ,△ACP 的面积依次为S 1,S 2,S 3,则S 1∶S 2∶S 3等于 ( )A .1∶2∶3 B .1∶4∶9 C .6∶1∶2 D .3∶1∶2。
平面向量的平行四边形法则
平面向量的平行四边形法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
其中,平行四边形法则是一种非常常用的计算平面向量的方法。
本文将详细介绍平行四边形法则的原理和应用,并通过具体的例子来展示其实际应用。
一、平行四边形法则的原理平行四边形法则是基于矢量的平移性质和构造一个平行四边形的原理来推导的。
假设有两个向量a和b,将向量a的起点和向量b的起点重合,然后以向量a为边,构造一个平行四边形。
根据平行四边形的性质可知,向量b的终点也是这个平行四边形的对角线的顶点。
因此,向量a和向量b的终点就是这个平行四边形的对角线的顶点。
根据平行四边形的对角线性质可得出平行四边形法则:向量a + 向量b = 平行四边形的对角线。
这个对角线的起点是向量a和向量b的起点重合的点,终点是向量a和向量b的终点连线的交点。
这就是平行四边形法则的基本原理。
二、平行四边形法则的应用1. 平移向量的计算平行四边形法则可以用于计算两个平面向量的和。
假设有两个向量a和b,根据平行四边形法则,可以将向量a的起点和向量b的起点重合,并以向量a为边,构造一个平行四边形。
然后,根据平行四边形的对角线性质,确定平行四边形的对角线,即向量a + 向量b。
这样,我们就可以通过平行四边形法则来计算两个向量的和。
2. 向量的减法平行四边形法则还可以应用于向量的减法。
假设有两个向量a和b,需要计算它们的差向量,即向量a - 向量b。
可以先计算向量-b,然后将向量a和向量-b应用平行四边形法则,即可得到向量a - 向量b。
3. 向量的倍乘平行四边形法则还可以用于计算向量的倍乘。
假设有一个向量a和一个标量k,需要计算向量a的k倍,即k * 向量a。
可以将k作为一个向量,连线构造一个平行四边形,然后根据平行四边形法则,确定平行四边形的对角线,即为所求的k * 向量a。
三、实例分析为了更好地理解平行四边形法则的应用,我们举一个具体的例子。
假设有向量a = (2, 3)和向量b = (4, -1),我们想计算向量a + 向量b和向量a - 向量b。
平面向量的平行四边形法则与数量积的应用
平面向量的平行四边形法则与数量积的应用平面向量是数学中的一个重要概念,它可以用来描述平面上的位移、力和速度等物理量。
平面向量具有方向和大小两个特征,可以进行运算和相互比较。
在平面向量的运算规则中,平行四边形法则和数量积是常用的方法,它们在解决相关问题时发挥了重要的作用。
一、平行四边形法则平行四边形法则是平面向量的加法几何意义的推广。
它指出:两个向量的和向量可以看作是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量。
设有向量$a$和向量$b$,它们的和向量$c=a+b$可以表示为一个平行四边形的对角线向量。
这个平行四边形的邻边向量分别是$a$和$b$。
平行四边形法则可以用来解决向量的加法问题。
当我们知道两个向量的大小和方向时,可以直接利用平行四边形法则,通过向量的几何图形直观地求得它们的和向量。
二、数量积的计算数量积(又称点乘或内积)是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数。
数量积的计算公式为:$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b} =\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\cos\theta$其中,$\|\boldsymbol{a}\|$和$\|\boldsymbol{b}\|$分别表示向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的大小,$\theta$表示两个向量的夹角。
数量积的一个重要性质是:若两个向量的数量积为零,则它们互相垂直。
这是因为当$\cos\theta=0$时,两个向量夹角为90度。
数量积在平面向量的运算中有着广泛的应用。
它可以用来计算两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直、计算向量在某个方向上的投影等。
三、平面向量平行四边形法则与数量积的应用1. 平行四边形法则在向量运算中的应用平行四边形法则可以被用于向量的加法和减法。
以加法为例,设有向量$\boldsymbol{a}$和向量$\boldsymbol{b}$,它们的和向量$\boldsymbol{c}$可以通过平行四边形法则直观地表示为以$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$为邻边的平行四边形的对角线向量。
平面向量及运算法则
平面向量及运算法则1、向量:(1)概念:既有 又有 的量叫做向量(2)表示:可以用有向线段来表示,包含三个要素: 、 和 ;记为AB 或 a (3)模:AB 的长度叫向量的模,记为||AB 或 ||a(4)零向量:零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量.(5)相等向量: 的向量叫相等向量;(6)共线向量: 的向量叫平行向量,也叫共线向量 2、向量运算的两个法则: 加法法则:(1)平行四边形法则,要点是:统一起点; (2)三角形法则,要点是:首尾相接;减法法则:向量减法运算满足三角形法则,要点是统一起点,从 指向 。
3、实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ,其长度与方向规定如下:(1)||a λ = ||||a λ;(2)λ> 0 时,a λ与a 同向;λ< 0 时,a λ与a 反向;(3)λ= 0 时,a λ=04、向量的线性运算满足: (1)()a λμ=(2)(λμ+)a = (3)()a b λ+=5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一随堂练习1.给出下列命题:①向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上; ②两个单位向量是相等向量; ③若a =b, b=c,则a=c ;④若一个向量的模为0,则该向量的方向不确定; ⑤若|a |=|b |,则a =b 。
错误!未找到引用源。
若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是( )DBAA .1个B .2个C .3个D .4个2、如图所示,D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -=( )A. B.C.FED.BE3、在平行四边形ABCD 中,下列各式中成立的是( ) A .+=AB BC CA B .+=AB AC BC C .+=AC BA AD D .+=AC AD DC4.下面给出的四个式子中,其中值不一定为0的是( ) A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+- D.NQ QP MN MP ++-5.在平行四边形ABCD 中,若AB AD AB AD +=-则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形6、如图所示,OADB 是以向量=,=为边的平行四边形,又BM=31BC ,CN=31CD .试用,表示OM ,ON ,.7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量(1)如果AB =1e +2e ,BC =21e +82e ,CD =3(21e e -),求证A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k 的值,使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量.OADBCMN变式: 已知OA 、OB 不共线,OP =a OA +b OB . 求证:A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1.1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a = (2)平面向量的坐标运算: 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差;一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
平面向量平行四边形法则
量.
• 已知向量 a,b,c, d ;求作 abcd .
• 技巧:可以考虑用向量加法的多边形法则.
向量加法的平行四边形法则
• 例题1:已知□OACB,设OAa,OBb,
• 试用向量 a ,b ,表示向量:OC, AB
B
C
O
A
• 向量加法的平行四边形法则:如果 a , b 是两
个不平行的向量,那么求它们的和向量时,
如果是两个不平行的向量那么求它们的和向量时可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与相等以这两个向量为邻边作平行四边形然后以所取的公共起点为起点作这个平行四边形的对角线向量则这一对角线向量就是的和向量向量加法的平行四边形法则
平面向量平行四边形法则
(2) 向量加法的平行四边形法则
• 一、复习:向量的加减法
向量的加法的平行四边形法则运用举例
• 例1:作图:已知向量a , b ,用向量加法的
a • 平行四边形法则作图: + b ;a -河道中,河水以40米/ 分的速度向东流去,一艘小艇顺流航行到A 处,然后沿着北偏东10度的方向以12千米/ 小时的速度驶向北岸,请用作图的方法指 出小艇实际航行的方向.
• 1、向量的加法法则:三角形法则;(首尾 相接……)
a , b • 例如:已知向量;
,求作a b .
• 2、向量的减法法则:三角形法则(同起
点……)
• 例如:已知向量 a , b ;求作a b .
• 3、减去一个向量,等于加上这个向量的相 反向量.
• 4、零向量:模为0,方向任意.
• 5、习题评析1:
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小试牛刀:P116:练习
小结
向量减法: • 方法一:在平面内取一点,以这个点为公共起点作
出这两个向量,那么它们的差向量是以减向量的终 点为起点,被减向量的终点为终点的向量. • 方法二:减去一个向量,等于加上这个向量的相反 向量. 平行四边形法则:共起点!作平行四边形,
个不平行的向量,那么求它们的和向量时,
可以在平面内任取一点为公共起点作两个
向量与 相a ,等b ,以这两个向量为邻边作
平行四边形,然后以所取的公共起点为起
点,作这个平行四边形的对角线向量,则
这一对角线向量就是 的和a ,向b 量.——这
个规定叫做向量加法的平行四边形法则.
• 另外一个对角线向量:即是
• 4、零向量:模为0,方向任意.
• 5、习题评析1:
• 已知向量 a,b,c,d ;求作 abcd .
• 技巧:可以考虑用向量加法的多:已知□OACB,设O Aa,O Bb,
• 试用向量 a ,b ,表示向量:OC, AB
B
C
O
A
• 向量加法的平行四边形法则:如果 a , b 是两
§22.9(2) 向量加法的平行四边形法则
• 一、复习:向量的加减法
• 1、向量的加法法则:三角形法则;(首尾 相接……)
• a 例如:已知向量; , b ,求作a b .
• 2、向量的减法法则:三角形法则(同起 点……)
• 例如:已知向量 a , b ;求作a b .
• 3、减去一个向量,等于加上这个向量的相 反向量.
• 以共起点为起点的对角线向量,就是 a , b 的和向量. • 与被减向量共终点的对角线向量:即是 a , b 的差向
量.
的差向
量,这个差向量与被减向量共a ,终b 点.
向量的加法的平行四边形法则运用举例
• 例1:作图:已知向量a , b ,用向量加法的
• 平行四边形法则作图:a + b ;a - b .
a
b
• 例2:在一段宽阔的河道中,河水以40米/ 分的速度向东流去,一艘小艇顺流航行到A 处,然后沿着北偏东10度的方向以12千米/ 小时的速度驶向北岸,请用作图的方法指 出小艇实际航行的方向.