任意奇数阶幻方的杨辉斜排法
(完整版)任意奇数阶幻方的杨辉斜排法
任意奇数阶幻方的杨辉斜排法——对杨辉口诀的讨论范贤荣2016.3.8关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。
按照这个口诀，画出“上下对易，左右相更”之后，形成图1d的图面。
因此，必定有一个“四维挺出”的步骤。
最后得到“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”的三阶幻方。
见图1。
图1 杨辉口诀的画法可见，杨辉口诀是在利用5×5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出5×5方格的3阶的幻方，如图1e。
图2 菱中取方的画法现在,我们很多人用的是“取方框”画法。
即在5×5的方阵中，取出3×3方框来，如图2b的红框。
红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的9，是走到框内的蓝方块中。
因此1、9没有“对易”。
同样，3、7也没有“相更”。
因此，就没有“上下对易，左右相更”了。
所以，就不需要“四维挺出”了。
因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。
所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成：各子斜排为菱形，中间取方当作城，城外有子城内空，四围都往城中进。
挺进多少方可止，几阶就挺几步深。
注1：“四围”就是上下左右四边。
“都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。
注2：“几阶就挺几步深”。
如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。
见图2。
下面，我将2~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况，列于后。
图3 5阶菱方阵与幻方图4 7阶菱方阵与幻方图5 9阶菱方阵与幻方图6 11阶菱方阵与幻方图7 11阶幻方图8 13阶菱方阵图9 13阶幻方。
幻方的制作方法
奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方）一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出格时往下填，右出格时左边放，排重便在下格填，角上出格一个样。
六阶幻方，具体的做是：偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方，可用<对称交换法>，方法很简单:1) 把自然数依次排成方阵2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线3) 把这些对角线所划到的数，保持不动4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调幻方完成！单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>:1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵,2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。
这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。
（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。
我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m 个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。
而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。
图1 河图洛书图2 纵横图长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。
一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。
构造奇数阶幻方的杨辉口诀法
构造奇数阶幻方的杨辉口诀法
朱雅妮;刘兴祥;张宇婷
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2023(12)1
【摘要】幻方在中国起源很早,最初是与河图与洛书相关联,后来古人称为九宫算或纵横图,它是最早发现的著名组合算题。
在杨辉口诀法的基础上,通过对构造出的具体的奇数阶幻方的构造规律进行探寻,结合幻方矩阵化的思路及分块矩阵这个工具给出奇数阶幻方构造的通法,并且将杨辉口诀法进行推广应用于全体奇数阶幻方的构造上。
【总页数】7页(P166-172)
【作者】朱雅妮;刘兴祥;张宇婷
【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院延安
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.奇数阶面幻方的行列式构造法
2.构造奇数阶完美幻方和对称完美幻方的两步法
3.构造奇数阶幻方完美幻方和对称完美幻方的新方法
4.构造奇数阶对称幻方及奇偶分开对称幻方的新方法
5.奇数阶幻方的一种新构造法
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幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
奇数阶幻方构造原理
奇数阶幻方构造原理
奇数阶幻方是指由1到n^2 的连续整数构成的方阵，其每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等。
以下是奇数阶幻方构造的一些原理和方法：
- 九子排列法：宋代数学家杨辉总结的“洛书”幻方的编排方法。
具体步骤为：九子排列、上下对易、左右相更、四维挺出。
- 巴舍法：以构造三阶幻方为例，假设有一个三行三列的格子，然后制造阳台、天台、地下室，再爬梯填数，最后把阳台、天台、地下室及里边的数去掉，就得到了一个三阶幻方。
- 罗伯法：可以构造出所有的奇数阶幻方。
口诀为：1居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框界往下写，右出框界左边放；排重便在下格填，右上出格一个样。
这些方法可以帮助构造各种奇数阶幻方，有兴趣的读者可以尝试用这些方法构造五阶幻方和七阶幻方。
幻方的算法-Merzirac法生成奇阶幻方
幻方的算法—Merzirac法生成奇阶幻方奇阶幻方当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
可以用Merzirac法与loubere法实现，Merzirac法与loubere 法称为斜步法，即向斜方向走一步；也可用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法，即马步法。
下面我详细介绍Merzirac法Merzirac法生成奇阶幻方Merzirac法最简单的方法为：1、在第一行居中的方格内放1 ；2、以后按顺序，向右斜上方填写数字（称为斜步）；3、若出到方阵上方，把该数字填到本该所在列的最下格；4、若出到方阵右方，把该数字填到本该所在行的最左格；5、若右上已有数字，或出到方阵右上(即对角线方向)，则把数字填入上一个数字的下一格，即在n 的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下方放入2n+1，在3n的下方放入3n+1，……依次填完所有数字即可完成任何一个奇阶幻方。
下面是用此方法构成的5阶幻方，每一行、每一列、对角线的和都为65，我们将此和值称为幻和值，用f(n)表示，f(5)＝65。
65656565656565 65 65 65 65 65斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
下面我总结所有的Merzirac法（斜步法）：我们用坐标轴的方法，将左右方向设为X轴，向右为X，向左为-X；将上下方向设为Y轴，向上为Y，向下为-Y。
一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，用X+Y表示，，[-1,0]为向左走一步，用-X表示，[0,-1]为向下走一步，用-Y表示。
则斜步可以表示为X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。
对于X+Y相应的跳步可以为-X，-Y。
那么上面的5阶幻方就是用X+Y斜步（即右上一步），-Y跳步（即向下一步）构成。
(奥数)幻方-奇数阶幻方的编排方法
幻方（二）——奇数阶幻方的编排方法在幻方（一）——三阶幻方中我们已经学习了三阶幻方的一般编排方法，但那种方法是比较麻烦的，又不容易掌握。
于是，人们在分析研究的基础上，总结了一些简便易学的编排方法。
一、九子排列法宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。
这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。
利用这种方法我们就很容易得到幻方（一）中例1的图A。
但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，……等奇数阶幻方又该怎么办呢？我们继续看第二种方法。
二、罗伯法请大家注意观察幻方（一）中例1的图H，可以总结出下面的编排方法：1、在第一行正中央的方格子中填上1；2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边；3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1）4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把5、6依次按斜上方向填入方格内；5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。
重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H完全相同。
---------请同学们在事先准备好的方格子中把这种方法练习一遍！-----------这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。
使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。
编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？”为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的的几句话：1居上行正中央，依次斜排莫忘记；上出框时往下写，右出框时左边放；重叠就在下格填，右上出框一个样。
幻方算法
幻方算法首先，奇数的幻方，第一行中间放1，然后依次2、3、4一直往右上填，越界则反向，如果该位置有了数字，则排在前一个数的下面。
原则：非右上则下其次，4的倍数的的幻方。
设N%4等于0，则以每个4*4画对角，不在对角线上的数字与相对应数字对换。
比如8*8的,(0,1)与(7,6)对换，类推。
原则：横竖下标对N比余，相等或相加等于3则忽略，不做对换最后，最复杂的最后一种情况，单偶数的幻方。
我找了资料，但是没有完全好用的，总有缺陷概念:N=4m+2方法1：ACDB按上图将其分为4个部分，分别填入1-N*N/4组成的奇数幻方,N*N/4+1-N*N/2组成的奇数幻方,N*N/2+1-N*N/4*3组成的奇数幻方,N*N/4*3-N*N组成的奇数幻方将AD中m列互换。
不是镜面互换，而是平移。
将BC中m-1列互换，同上。
方法2：LUX法L U X41 14 1423 23 32先做一个N/2的奇数幻方，然后把这个幻方的每个数x替换成一个田字的四个数(x-1)*4+1——x*4这四个数的排列顺序有3种，前m+1行的按L排列，后m-1行的按X排列，中间一行中间一列按L排列，其余的按U排列。
下面是我写的JAVA实现类，2种单偶数我都实现了（第一种方法的实现被我注释掉了），还有一个监测的方法，仅供参考。
public class HuanClass {private int N;private int SUM;private int MAX;private int[][] RE;public HuanClass(int val) throws Exception{N=val;MAX=N*N;if(MAX%2==1)SUM=(MAX+1)/2*N;else SUM=(MAX+1)*N/2;RE=new int[N][N];if(N<3)throw new Exception("shit");else if(N%2==1)RE=CountOdd(N);else if(N%4==0)CountFour();elseCountEven();}private int[][] CountOdd(int n){int[][] IRE=new int[n][n];int i=0;int j=n/2;int tmp=1;while(true){if(j>=n)j=0;if(i<0)i=n-1;if(IRE[i][j]==0){IRE[i--][j++]=tmp++;}else{i+=2;j--;if(j<0)j=n-1;if(i>=n)i=i%n;if(IRE[i][j]==0)IRE[i--][j++]=tmp++;else break;}}return IRE;}private void CountFour(){int fillCount=1;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N;j++){RE[i][j]=fillCount;fillCount++;}}int tmp;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N/2;j++){if(i%4!=j%4&&(j%4+i%4)!=3){tmp=RE[i][j];RE[i][j]=RE[N-i-1][N-j-1];RE[N-i-1][N-j-1]=tmp;}}}}/*private void CountEven(){int halfN=N/2;int[][] tmpIArr=CountOdd(halfN);for(int i=0;i<halfN;i++){for(int j=0;j<halfN;j++){RE[i][j]=tmpIArr[i][j];RE[i+halfN][j]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN*3;RE[i][j+halfN]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN*2;RE[i+halfN][j+halfN]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN; }}int m=(halfN-1)/2;int tmp;for(int j=0;j<m;j++){for(int i=0;i<halfN;i++){tmp=RE[i][j];RE[i][j]=RE[i+halfN][j];RE[i+halfN][j]=tmp;if(j<m-1){tmp=RE[i][j+halfN];RE[i][j+halfN]=RE[i+halfN][j+halfN];RE[i+halfN][j+halfN]=tmp;}}}}*/private void CountEven(){int halfN=N/2;int m=(halfN-1)/2;int[][] Seq=CountOdd(halfN);char[][] SeqSign=new char[halfN][halfN]; for(int i=0;i<SeqSign.length;i++){for(int j=0;j<SeqSign[i].length;j++){ SeqSign[i][j]='L';}}int i=halfN-1;for(int l=1;l<m;l++,i--){for(int j=0;j<halfN;j++){SeqSign[i][j]='X';}}for(int j=0;j<halfN;j++){if(j==halfN/2)SeqSign[i][j]='L';elseSeqSign[i][j]='U';}for(i=0;i<halfN;i++){for(int j=0;j<halfN;j++){int beginNum=(Seq[i][j]-1)*4;switch (SeqSign[i][j]){case 'L':RE[i*2][j*2]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+2;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+3;break;case 'U':RE[i*2][j*2]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+2;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+3;break;case 'X':RE[i*2][j*2]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+3;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+2;break;}}}}public int[][] getHuan(){return RE;}public boolean check(){for(int i=0;i<N;i++){int tmpSum1=0;int tmpSum2=0;for(int j=0;j<N;j++){tmpSum1+=RE[i][j];tmpSum2+=RE[j][i];}if(tmpSum1!=SUM||tmpSum2!=SUM)return false;}int sum1=0,sum2=0;for(int i=0;i<N;i++){sum1+=RE[i][i];sum2+=RE[i][N-1-i];}if(sum1!=SUM||sum2!=SUM)return false;return true;}}幻方维基百科，自由的百科全书跳转到: 导航, 搜索幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。
幻方的解题
台湾黎凯旋的《易数浅谈》中有这样的描述：从日本学习飞机知识的台湾驾驶员，第一堂课上的就是 幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的电子回路设置密切相关。
海上漂浮建筑， 首先要解决的问题，就是要将建筑面分割成方阵格，每格的建筑重量的确定，需要象 构造幻 方一样巧妙设计，因为只有各线各方向上的重量处处均衡才能是建筑物不致于倾斜。
如何构造幻方(劳伯尔 )
奇数（不妨n=5）阶的情况 第一步: 在第一行中间写1 第二步: 每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一个数，向上移出界时填下一列最后 一行的小方格；向右移出界时填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填过数或已达到幻 方的右上角时，改填刚才填的格子正下方的小方格，继续第二步直到填完
1
4
2
3
方
阵
A
2
3
1
4
1
3
2
4
方
4
2
3
1
阵
B
4
2
3
1
1
3
2
4
1
4
4
1
（3）把方阵B转置，即交换行列，此时得到方
阵C，C中的数叫原始数；
3
2
2
3
（4）把C中各原始数分别用其相应的根数替换，
得方阵D；
方
阵
2
3
3
2
C
4
1
1
4
0
12
12
0
8
4
4
8
方
阵
D
4
8
8
4
12
0
0
12
（5）最后将B、D两方阵中对应数分别相加，便得到一个n阶幻方E。
幻方的构造方法
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 1 15
4 8 12 16
①以1-16依次作四行排列; ②打两条对角线，被对角线穿过的数字不动; ③其他数字，按对角线的交点为对称中心， 对称对调.
八阶幻方怎么做？ 继续用对称交换法来试试吧！ 把它看成是4个四阶幻方，
17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
一居上行正中央， 依次斜填切莫忘， 上出格时往下填， 右出格时左边放， 排重便在下格填， 角上出格一个样。
七阶、九阶、十一阶 …… 已经难不到了你了 那，如果给你数字 1 — 16 ，你能写出一个 这种方法叫做对称交换法。 你做出来了吗？ 四阶幻方？
④ ⑨ ② ③ ⑤ ⑦ ⑧ ① ⑥
将刚刚的三阶幻方绕中心旋转一定角度， o o 如：90 、180 等。 你得到新的三阶幻方了吗？
实际上， 平面幻方的构造，分为三种： ①奇数(3、5、7……）阶幻方; ②双偶数（4、8、12……4n）阶幻方;
③单偶数（6、10、14……4n+2)阶幻方 .
这种方法叫做罗伯法， 那么你能不能写出其他的奇数幻方呢？ 刚刚的三阶幻方就属于奇数阶幻方了。 它适合编制所有的奇数阶幻方。 以五阶幻方为例，跟我一起来试试吧。 按照口诀，剩下的就交给你吧！
一居上行正中央依次斜填切莫忘上出格时往下填右出格时左边放排重便在下格填角上出格一个样
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘 奇算法》里介绍了这种方法：
① ④ ② ⑤ ⑧ ③ ⑥
⑦
⑨
①将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排 ②把上、下两数对调，左、右两数也对调; ③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
奇数阶幻方填写的小窍门
奇数阶幻方填写的小窍门最近我在七年级的数学希望杯的二试辅导中碰到一题十分常见的数学题：在3×3的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和x，使得各行、各列所填三个数的和都相等。
请确定x的值，并给出一种填数法。
这个题对于每一位数学教师来说都是再熟悉不过的，这是上学时必定做到过的九宫格，也叫“幻方”。
很容易算得x=9，并且填好方格也并非难事。
在《射雕英雄传》中黄蓉曾破解九宫格有一口诀：戴九履一，右三左七，二四为肩，六八为足。
当然填法并非只有这唯一的一种，在解这一题时，我的师傅王永生老师恰好经过我的办公桌看到这一题，他就问我这个题我是怎么填的，有没有特别的窍门，我当时的反应愣了一下，这个熟悉的不能再熟悉的九宫格，我除了知道《射雕英雄传》中的这一口诀，我还从没想过填这么一个简单的九宫格还有什么窍门。
王老师说出了他知道的一种填九宫格的窍门：先把1填在第一行的中间一格，接下来的数依次填在前一个数的右上方。
如果右上位置已经填了数字，那么下一个数字就填在前一个数字的下方。
整个过程中，如果遇到最右边，那么换到最左边继续；如果遇到最上面，那么换到最下面继续。
按照上述方法就可以得到九宫格的答案。
而且这一规律也可以用来填9×9的方格。
我之后进行了填写实践，还查了资料，发现这一规律确实存在，而且可以应用于所有奇数阶幻方的填法，不过仅限于等差数列，先将数列按从小到大的顺序排列，也按这个顺序填入格中。
将第一个数放在第一行的中间位置，依次向右上方斜填，上出幻方时就放在那一列的最下格，右出幻方时放在那一行的最左格，排重了就放在该填位置的下边一格。
还有口诀：“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左放；排重便在下格填，右上排重一个样。
”一个小小的幻方中也蕴含着有趣的数学规律。
1/ 1。
杨辉幻方法则的易学应用
杨辉幻方法则的易学应用
杨辉幻方法则的易学应用
南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。
其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：
“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，
戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”
清代，李光地的《周易折中》把杨辉所概括的这种排列排列原理为“阳动阴静”。
现将排列方法表述如下：
1、九子斜排
2、上下对易，左右相更
3、四维挺出
事实上，用杨辉所概括的构图规则可以推广到任何奇数阶幻方。
如天数二十五构成的五阶幻方：
1、斜排
2、上下相易、左右相更、四维挺出
又如大衍四十九数七阶幻方：
1、四十九数斜排：
2、上下相易、左右相更、四维挺出
又如尽变八十一数九阶幻方：
1、八一数斜排
2、上下相易、左右相更、四维挺出
杨辉提出的这种幻方构图，符合古代阳变阴死的“阳动阴静”法
则，能穷宇宙万数之变，不愧为世界幻方始祖。
杨曙凤2009.12 梅城。
“幻方”的口诀
“幻方”的口诀“幻方”的口诀小学时，老师或者数学竞赛时经常会出现魔方的题目，记得金庸先生写的著名的武侠小说《射雕英雄传》里面的瑛姑就是被一个三阶的幻方给困住了十几年，而黄蓉不到一分钟就完成那个幻方，那么有没有什么诀窍呢？后来，在一些书上看到，对于奇数阶的幻方，有如下的口诀：一居首列正中央，依次斜填左上方；左出框时向右写，上出框时往下放；遇到重合无处填，退居原数右邻行。
举例（3阶幻方）：注：*表示还没有填数字的空位置步骤（1）：即“一居首列正中央”* * ** * *步骤（2）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”* * 21 * ** * *步骤（3）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”* * 21 * ** 3 *步骤（４）：即“遇到重合无处填”，（也就是左上方已经写有数字），“退居原数右邻行”，（将要填写的数字放到本行靠右一列）* * 21 * *步骤（５）：* * 21 5 ** 3 4步骤（６）：6 * 21 5 ** 3 4步骤（７）：注意：左上角位置的左上方位置是右下角，即６的左上方是已经填写了数据的４的位置，根据口诀“遇到重合无处填”，此时6 7 21 5 ** 3 4步骤（８）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”6 7 21 5 *8 3 4步骤（９）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”6 7 21 5 98 3 4只要是奇数阶魔方，都可根据此“口诀”构造。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。
很直观的两种构造奇数幻方的方法!
移动后） （21和1移动后） 和 移动后
下面还是用个五阶幻方做个例子： （请全屏观赏）
步骤：(对于任意一个奇数幻方) ①：把1填在第一行的中间，把2填在1的右上方（就是向左移动一格，向 上移动一格）。其中：假如数在第一行时（例如1就是）就把最底行 假设在第一行的上面，就把下一个数填在假设行上；填好就把假设行 放回最底处。 例如下图，1在第一行，填2的时候：
同样，假设数在最后一列时，就把第一列假 设在最后一列的右边，就把下一个数填在假设列 上；填好后把假设列放回第一列。 例如下图中，3在最右一列，到填4的时候：
中心是五阶幻方格子
从上右填到左下
③：四维挺进，上下对易，左右相更。 四维挺进，上下对易，左右相更。 （意思为，四周的数都移进来，在“对易” 和“相更”时移动的步数刚好为幻方的阶 数。例如左边的21向右移动了5步，上边1 向下移动了5步。
向右移动5格 向下移动5格 （21向右移动 格，1向下移动 格） 向右移动 向下移动
②：以此类推，填好一个数后，把下一个数 放在该数的右上方。 ③：当填了某个数后，假如右上方正好已经 有数了，这时填下一个数在这个数的下方。 再返回第②步，直到把数填满幻方格。 例如下图，填了5时，遇到右上方已有1时， 就将6填在5的下方： 6 5
下面就用个五阶幻方做个例子： （请全屏观赏）
ห้องสมุดไป่ตู้
杨辉法 步骤：(对于任意一个奇数幻方，下面 用五阶幻方例子讲解) ①：画个图 画个图（适合五阶幻方的，中心是五 阶方格）。②：n子斜排。 子斜排。 ② 子斜排
很直观的两种构造奇数幻方的方法！ 很直观的两种构造奇数幻方的方法！ ——楼梯法和杨辉法
摘自：童真白马的博客分类——幻方世界 》》欢迎光临《《
奇数阶幻方求解技巧
奇数阶幻方求解技巧奇数阶幻方是一种特殊的方阵，其中的所有数字从1到$n^2$（n为方阵的阶数）连续排列，并且所有行、列和对角线的和相等。
求解奇数阶幻方的问题是一个古老而有趣的数学难题。
虽然没有一种通用的方法可以适用于所有的奇数阶幻方，但是有一些技巧和规则可以帮助我们更好地解决这个问题。
1. 规则1：确定中间数奇数阶幻方的中间数一定是$n^2$的一半，即$(n^2 + 1) / 2$。
由于幻方中所有行、列和对角线的和相等，所以可以将中间数放置在中间行的中间列（例如n=3时，中间数5可以放在第2行第2列的位置）。
2. 规则2：填充右上角从幻方的第一行开始，从中间数位置的右上方开始填充数字。
如果遇到边界，则继续填充到相应的对角边界处。
例如，当填充n=3的幻方时，从2的右上方（即第一行第二列的位置）开始填充，然后填充到第一行的右边界，继续填充到第一个位置（即第三行第一列的位置）。
3. 规则3：填充左下角从幻方的最后一行开始，从中间数位置的左下方开始填充数字。
如果遇到边界，则继续填充到相应的对角边界处。
例如，当填充n=3的幻方时，从8的左下方（即第三行第二列的位置）开始填充，然后填充到最后一行的左边界，继续填充到最后一个位置（即第一行第三列的位置）。
4. 规则4：填充其他位置从填充右上角和左下角的位置开始，按照以下规则填充其他位置：- 如果下一个填充位置在方阵的边界之外，则将其转移到相应的对角边界处。
- 如果下一个填充位置已经被填充过了，则将其转移到当前填充位置的下方一个位置。
5. 规则5：确定重复位置最后一个规则是确定重复位置。
当下一个填充位置部分或完全重叠时，我们需要将其转移到当前填充位置的下方一个位置。
使用以上的规则和技巧，我们可以逐步填充奇数阶幻方的所有位置，直到所有的位置都被填满。
这样，我们就可以得到一个满足条件的奇数阶幻方。
总结：- 确定中间数的位置，并将其放置在中间行的中间列。
- 从中间数位置的右上方开始填充数字，遇到边界则继续填充到相应的对角边界处。
幻方的解题
（1）将1到4这4个数字分 别从左到右（左小 右大）填入方阵的 两条对角线中,得方 阵A；
1 2 3
4
方 阵 A
（1）洛书与幻方
把“洛书”用数字表达就是下 面的数表，这就是我们今天要讨论 的一个“幻方”。
4 3
9 5
2 7
8
1
6
最早有关幻方的文字记载是中国古代数
学书《数术拾遗》，那里记载了上述源 自“洛书”的方图，当时称为“九宫 图”，我国南宋数学家杨辉称这种图为 纵横图，欧洲人称之为魔术方阵或幻方。
幻方中各数若是从1到n2的连续自然 数，则称之为标准幻方。 n 阶标准幻方 n(n 2 1) 的幻和为
2
研究幻方，可以分类进行。 按照幻方阶数的奇偶性，幻方可以 分为奇数阶幻方与偶数阶幻方； 偶数阶幻方中，阶数为4的倍数的 幻方叫做双偶阶幻方（如4，8，12阶等 ）;其它的叫单偶阶幻方（如6，10，14 阶等）。
11 22 33 44 46
10 21 32 43 54 56
18 20 31 42 53 55 66
17 19 30 41 52 63 65 76
16 27 29 40 51 62 64 75 5
26 28 39 50 61 72 74 4
36 38 49 60 71 73 3 37 48 59 70 81 2
十三世纪，我国南宋数学家杨辉在世界上首先 开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开 始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉 都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数 学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学 爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的 各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。目前， 它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、 对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智 能等领域得到广泛应用。
奇数阶幻方的杨辉方法
奇数阶幻方的杨辉方法从三阶幻方谈起。
三阶幻方是指将1，2，3，…，8，9这九个数排列成一个3×3方阵，使三横行、三竖列和两条对角线上的三个数之和都相等。
这个相等的和数就叫做三阶幻方的幻和。
我们很容易求得这个幻和：1289451533++++== 。
要排出一个三阶幻方，中心这个数是一个关键。
这个数有四条线通过它，为此，我们把三数之和为15的算式全部列出来： 1+5915+=，16815++= ，2+ 5815+= ，2+ 6 715+=，34815++= ，3+5715+=，24915++= ，4+ 5615+= 。
（一共八个式子，幻方的三行、三列和两条对角线也正好是八个，所以上列八个式子正好表示行、列和对角线上的组成情形。
）5这个数在上列八个式子中出现了四次，这表明中心数就是5。
中心这个数定好之后，再确定四个角上的数，每个角上的数有三条线通过它，2,4,6,8这四个数在上列八个式子中各出现了三次，由此我们可以确定四个角上的数就是2,4,6,8这四个数。
首先可以任意指定某一个角是2，那么与2构成对角线的另一端只能是8；余下的两个角就是4,6。
中心和四角这五个数确定之后，余下的四个数不难计算求得。
图1给出了三阶幻方的一个示例。
关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进。
参见图2。
如图2所示，它形象的表达了杨辉的方法。
这个方法可以变通一下：“上下对易，左右相更”改为上、下、左、右的各个元素各向对方移动三格，这样不仅可以省去“四维挺进”，而且最后得到的方阵是一个标准的33⨯方阵。
参见图3。
杨辉的方法不仅可以构造三阶幻方，而且还可以构造任图 1987654321176852349图2428637915图 3意奇数阶幻方。
杨辉的方法：设n 为奇数。
1．将221,2,3,,1,n n - 排成一个斜的n n ⨯方阵；2．以212n +为中心作一个n n ⨯方阵（格）；3．将位于这个n n ⨯方阵外的所有元素都向方阵内平移n 格，即得。
第十二课时杨辉与幻方
第十二课时杨辉与幻方教学目标：了解中国的河图洛书及杨辉与幻方的关系，让学生体会中国数学的伟大成就，培养学生的数学兴趣教学方法：共同探讨教学过程：一、复习河图洛书和与洛书对应的九宫格如图12-1的幻方，引起数学家们的极大兴趣，人们自然会想到，存不存在更为复杂的幻方呢？如每边上的数字个数是4，5，6······？其次，能否利用杨辉的作法来作出更复杂的幻方呢？答案是肯定的。
一、杨辉与幻方对于每边数的个数为n的n×n纵横图来说，其数字总数为n2。
杨辉利用等差数列求和的方法计算得这n2个数的总和为，用n除这个数，就得到每行（每列）n个数的和相等时各行各列数字之和为。
如n=3时，和为15；n=4时，其和为34；n=5时，其和为65。
1、n为奇数时幻方制作和填图方法下面看n=5时5×5纵横图的作法：作25个数的斜排，如图12-2-1图12-2-1如图12-2-2中每个方形对角线两顶点上的数字互换，1和25，21和5，11和15，23和3，12和14，18和8互换。
结果如图12-2-3，这其实用的仍然是杨辉“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”的构造幻方的方法。
图12-2-2 图12-2-3“四维挺出”即是把图12-2-4中“＋”字上的数字“挺出”到剪头所指的位置，就成就一幻方，如图12-2-5图12-2-4 图12-2-52、n为偶数时幻方制作和填图方法以四阶幻方为例法一：杨辉的四阶幻方有一种是按照“易换法”制作的。
制作过程如下：将1-16的16个数按顺序填入空格中，如图12-3-1。
将外四角4个数对换：1和16对换，4和13对换，如图12-3-2；图12-3-1 图12-3-2 图12-3-3接着内四角四个数对换：6和11对换，7和10对换，如图12-3-3。
这样就得到了一个纵列、横行、对角线上和数之和均为34的四阶幻方。
把这个幻方旋转、对称翻转又能得到不同的幻方。
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可见，杨辉口诀是在利用５×5的方格,斜排9个数后,按照他的步骤,仍然是画出5×5方格的３阶的幻方,如图1ｅ。
图2菱中取方的画法
现在，我们很多人用的是“取方框”画法 。即在5×5的方阵中，取出3×3方框来,如图2b的红框。红框外的1,是走到框内的绿方块中，红框外的9,是走到框内的蓝方块中。因此1、9没有“对易”。同样，3、7也没有“相更”。因此，就没有“上下对易,左右相更”了。所以,就不需要“四维挺出”了。因此,现在的画法,与原来的口诀不一致了。
任意奇数阶幻方的杨辉斜排法
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任意奇数阶幻方的杨辉斜ຫໍສະໝຸດ 法——对杨辉口诀的讨论范贤荣２016．3．8
关于三阶幻方的排法,我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排,上下对易，左右相更，四维挺出”。按照这个口诀,画出“上下对易，左右相更”之后,形成图１d的图面。因此,必定有一个“四维挺出”的步骤。最后得到“戴九履一，左三右七,二四為肩,六八為足”的三阶幻方。见图1。
所以，我根据作图的次序,将杨辉的口诀,演绎成：
各子斜排为菱形,中间取方当作城，
城外有子城内空，四围都往城中进。
挺进多少方可止，几阶就挺几步深。
注1：“四围”就是上下左右四边。“都往城中进”,因此是相向而行,都到城中。
注２：“几阶就挺几步深”。如３阶进３步，5阶进5步，7阶进７步……后续亦如此类推。见图2。
下面,我将２~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况,列于后。
图3 5阶菱方阵与幻方
图４7阶菱方阵与幻方
图59阶菱方阵与幻方
图６１1阶菱方阵与幻方
图711阶幻方
图８13阶菱方阵
图９13阶幻方