第13讲：充分、必要条件与子集推出关系

第十三讲：充分、必要条件与子集推出关系【复习要求】1．理解命题的概念。

2．理解四种命题之间的内在联系；3．掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义及判定；【复习重点】1. 充分条件、必要条件的概念。

2. 子集与推出关系等价性的理解与应用；3. 掌握判断命题推出关系的方法。

【复习难点】1. 判断命题的充分条件、必要条件。

2. 子集与推出关系等价性的证明；3. 确定参数范围和判断推出关系。

【知识梳理】一、充分条件与必要条件我们在上一节课学习了命题与推出的关系，命题的四种形式，等价命题，你能分别概括出它们的内容和性质吗？如：写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？ （1）若22x a b >+，则2x ab >, （2）若0ab =，则0a =. 易得出结论；命题(1)为真命题，命题(2)为假命题．讨论：对于命题“若p ，则q ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？ 我们将由此推出关系，引入新的概念：给出定义：命题“若p ，则q ” 为真命题，是指由p 经过推理能推出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立．换句话说，只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，这时我们称条件p 是q 成立的充分条件．一般地，“若p ，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ． 1、充分与必要条件的概念：（1）充分条件：若αβ⇒，则α是β的充分条件； （2）必要条件：若βα⇒，则α是β的必要条件；（3）充要条件：若既有αβ⇒，又有βα⇒，则α是β的充分必要条件，简称充要条件，β也是α的充要条件。

2、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价。

3、充要条件的证明：证明过程必须是“双向”的，即：既要由条件推出结论（充分性），又要由结论推出条件（必要性）。

4、四种命题形式如果原命题或原命题的逆否命题成立，则原命题的条件是结论成立的充分条件； 如果原命题的否命题或逆命题成立，则原命题的条件是结论成立的必要条件； 如果四种命题形式都成立，那么原命题的条件是结论成立的充要条件；若四种命题形式都不成立，那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件。

二、子集与推出关系 思考：问题1：用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：A =｛x ︱1x >｝；B =｛x ︱3x >｝ 命题α：1x >；命题β：3x >A ⊇B ；命题α ⇐ 命题β提问：通过以上例题，对集合间关系和推出关系你能得出什么结论？ 问题2:命题α: 21x =是命题β:(1)(1)(2)0x x x -+-=的 充分不必要 条件 命题α: 21x =是命题β: 1x =-的 必要不充分 条件 问题3：请写出:3x β>的一个充分条件α:请写出:3x β>的一个必要条件γ:提问：你是如何找到这个条件的？（学生容易得出“小范围的能推出大范围的”这一直观朴素的结论，这种口语化的表述还需进一步用准确的数学语言来表达，引导学生用集合间的 “包含”或“包含于”的关系来刻画“范围”的大小关系）从上面的例子我们发现:5x α>是:3x β>的充分条件，即αβ⇒，如果将满足5x >的元素组成集合A ，即{5}A x x =>,将满足3x >的元素组成集合B ，即{3}B x x =>,可以得到：如果A B ⊆，那么αβ⇒，反之亦然。

所以子集和推出关系之间有着必然的联系，这就是本节课研究的子集与推出关系。

4、子集与推出关系：设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则 A B ⊆ 与 αβ⇒ 等价。

5、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质 ①若,B A ⊆则α是β的充分条件； ②若,A B Ü则α是β的充分不必要条件； ③若,B A ⊇则α是β的必要条件； ④若,A B Ý则α是β的必要不充分条件； ⑤若A B =，则α是β的充要条件；⑥若A B B A ⊄⊄,则α是β的既不充分也不必要条件；6、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价。

设{}|A a a α=具有性质，{}|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：例1、若命题p 的否命题是q ，命题q 的逆命题是r ，则r 是p 的逆命题的（ D ）A 原命题B 逆否命题C 逆命题D 否命题例2、已知p ：12,x x 是方程2560x x +-=的两根，q ：125x x +=-，则p 是q 的（ A ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例3、判断下列各命题中p 是q 成立的什么条件：（1）p ：2>x ；q ：2≥x ； （2）p ：21x =；q ：1x = （3）:1p x ≠或2y ≠；:3q x y +≠；（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，p ：x A x B ∈∈或 ，q ：x A B ∈⋂ （5）已知{1,2,3,4,5,6}A =，:p x A ∈；:6q x A -∈。

（6）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=解：(1)设{}2>=x x A ，{}2≥=x x B ， ∵ A ⊂B, ∴p 是q 的充分非必要条件。

（2）设{}12==x x A ，{}1==x x B ，∵{}1,1-=A ,{}1=B ，A ⊃B, ∴ p 是q 的必要非充分条件。

（3）必要非充分条件； （4）p 是q 的必要不充分条件（5）既不充分也不必要条件（6）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠⊂，所以，p 是q 的充分非必要条件．例4、已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件？分析 画出关系图1－21，观察求解． 解 s 是q 的充要条件；(s r q ，q s)r 是q 的充要条件；(r q ，q sr) p 是q 的必要条件；(qsrp)例5、求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++= 证明略例6、设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围。

解：设{}|13A x x =≤≤，{}|124B x m x m =+≤≤+ 因为α是β的充分条件，即αβ⇒，所以A B ⊆ 由右图可得11324m m +≤⎧⎨≤+⎩，解得102m -≤≤所以m 的取值范围是102m -≤≤。

变式练习：设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围。

解：设{}|23A x x =≤<，{}|11,B x x m x m m R =≤->+∈或α是β的充分条件，即αβ⇒，A B ∴⊆画数轴分析可得13m -≥或12m +<，解得4m ≥或1m < 所以m 的取值范围是4m ≥或1m <。

例7、试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件： （1）α：2>x ；β：2≥x （2）α：21x =；β：1x =（3）甲：220x y +=，乙：0,0x y ==11324m m x ++（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或 ，乙：x A B ∈⋂ 解：(1)设{}2>=x x A ，{}2≥=x x B ， ∵ A ⊂B, ∴ α是β的充分非必要条件。

(2) 设{}12==x x A ，{}1==x x B ，∵{}1,1-=A ,{}1=B ，A ⊃B, ∴ α是β的必要非充分条件。

（3）甲是乙的充分必要条件 （4）甲是乙的必要不充分条件例8、利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件。

写出31x -<<的充分条件 写出31x -<<的必要条件 写出31x -<<的充要条件 解：答案不唯一例9、判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}5,n Z B n n =∈的个位数是之间的关系。

解：设*,5:N k k n ∈=α，: 5 n β是个位数是的整数，αβ⇒Θ，∴B A ⊂。

例10、设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤ ，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ B ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 例11、“22x -<<”是“260x x --<”的（ A ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件例12、若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______ 条件。

解：设命题α对应的集合为A ，命题β对应的集合为B ，命题γ对应的集合为Cα是β的充要条件，A B ∴=又β是γ的必要非充分条件，C B ∴⊆C A ∴⊆，γα⇒，所以γ是α的充分非必要条件。

A=B C例13、设A 、B 、C 三个集合，A B 是A(B ∪C)的[ A ]A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A(B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A(B ∪C)，但AB 不成立， 综上所述：“A B”“A (B ∪C)”，而“A (B ∪C)”“AB”．即“AB”是“A(B ∪C)”的充分条件(不必要)．【课后作业】充分与必要条件A 组1．1"=x 或"2=x 的一个充分非必要条件是（ B ）（A ）1-=x （B ）1=x （C ）12=x （D ）()()021=--x x2．若条件p:53x -≤≤，条件2:56q x x <-，则q 是p 的 （ A ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．设则或或,12:,11:>-<>-<x x q x x p q 是p 的 （ A ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的（ B ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 试说明α是β的什么条件。