晶体结构对称性倒空间
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230 空间群符号 = Bravais点阵类型符号 + 点群对称元素
School of Physics and Information Technology, SNNU
立方体的对称操作
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变 —— 物体的对称操作越多，其对称性越高 1 立方体的对称操作 （Pm3m） 1) 绕三个立方轴转动
固体物理
Solid State Physics
物理学与信息技术学院
第1讲 晶体结构 1 Crystals Structure
➢晶体结构 Crystal Structure ➢晶列、晶面 Crystals Array and Plane ➢对称性 Symmetry ➢倒易空间 Reciprocal Space
可以把倒格矢写成
定义2：倒格子基矢
b1垂直与a2，a3，写作
Ti（0.5，0.5，0.5） O（0，0.5，0.5）（0.5，0，0.5）
（0.5，0.5，0）
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几种常见晶体结构
空间群：Fm3m Bravais格子：面心立方 原子及位置：Na（0，0，0）
Cl（0.5，0.5，0.5） 或互换 其他原子的位置？
正交（Orthorhombic ）
abc
90
4) 简单正交（P） 5) 底心正交（C） 6) 体心正交（I） 7) 面心正交（F）
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三角（Trigonal）
8) 三角 （R,P）
abc
90120
ΩΩ
即：
A(g)(eigRl 1)0
对于Bravais格子所有格矢 eigRl 1
定义1：对于Bravais格子中所有格矢Rl，满足
eiGhRl 1
全部Gh集合，构成该正格子（Direct lattice）的倒格子
（Reciprocal lattice）
将F(r)展成
其中Gh对所有倒 格子求和
F(r) A(Gh)eiGhr Gh
Diamond
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正四面体的对称操作
2) 绕4个立方体对角线轴转动
—— 8个对称操作 3) 恒等变换 —— 1个对称操作
4) 绕三个立方轴转动 /2，3/2 加中心反演 —— 6个对称操作
5) 绕6条面对角线轴转动 加中心反演 —— 6个对称操作 正四面体对称操作共有24个
对称轴图示
对称轴所构成的对称配置投影符号：
8二次轴 单斜 9三次轴 10四次轴 11六次轴
C1 (1)
C2 (2)
C3 (3)
C4 (4)
C6 (6)
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对称面(II类 )
反映（symmetry plane）：一假想的平面，称为反映面或镜面。 反映操作是从空间某一点向反映面引垂线，并延长该垂线到反映 面的另一侧，在延长线上取一点，使得到反映面等距 国际符号：m
A(Gh)Ω 1 ΩF(r)eiGhrdr
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倒易空间
由倒格子定义知：
，m为整数
Bravais格子中
有
l1 G h a 1 l2 G h a 2 l3 G h a 3 2m
对任意 l1，l2，l3 要求 G h a 1 2 h 1 , G h a 2 2 h 2 ,l 3 G h a 3 2 h 3
群的定义
假设G是由一些元素组成的集合，即G= {…，g，…}。 在G中定义 了一种二元合成规则(操作、运算，群的乘法)。 如果G对这种合成 规则满足以下四个条件： a)封闭性： G中任意两个元素的乘积仍然属于G。
b)结合律： c)单位元素。 集合G中存在一个单位元素e，对任意元素，
d)可逆性。 对任意元素
其中系数 A(g)1 F(r)eigrdr ΩΩ
其中Ω为原胞体积
A(g)Ω 1 ΩF(rRl)eigrdr
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倒格子
做代换r'=r+Rl
A(g)eigRnA(g)
A(g)eigRl 1 F(r')eigr'dr'
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对称中心(II类)
反演（center of symmetry, 符号C）：为一假想的几何点，相应 的对称变换是对于这个点的倒反。 (r -r)，国际符号：
7对称中心
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—— 立方体的对称操作共有48个
12立方1
13立方2
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正四面体的对称操作
—— 金刚石晶格（Fd3m）
四个原子位于正四面体的四个顶
角上，正四面体的对称操作包含
在立方体操作之中
1) 绕三个立方轴转动
Βιβλιοθήκη Baidu
—— 共有3个对称操作
：基转角； n 360 ：对称轴的轴次
AEmAB
mZ
C
2ABcos AC AB
cos m
A B E
2
m 2 2 1 0 1
D
3600 1800 1200 900 600
n 1 2 3 4 6
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四方（Tetragonal
）
9) 简单四方（P）
abc
10) 体心四方 （I）
90
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六角（Hexagonal）
1) 简单三斜 (Triclinic)
abc,
所属点群(P) 1 , 1
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单斜（Monoclinic）
2) 简单单斜（P） a b c , 9 0
3) 底心单斜（C）
2, m, 2/m
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晶系：按照晶胞的特征 对称元素可以分成7个不 同类型，称为晶系。 其晶格参数也具有不同 的特征
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14种Bravais空间点阵
空间点阵按点群对称性和带心的模式一共可以产生14种型式， 称为14种Bravais点阵或Bravais格子，Bravais点阵表示出所属 空间群的平移子群。 每种晶系最多可构成5种空间点阵， 1．简单点阵（P） 2．底心点阵（Ａ,Ｂ,C）(0.5,0.5,0),(0,0.5, 0.5)或(0.5,0,0.5) 3．面心点阵（F）(0.5,0,0),(0,0.5, 0)和(0,0,0.5) 4．体心点阵（I） (0.5,0.5,0.5) 5. 菱形点（R） ( 2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,2/3)
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230 种空间群 space groups
➢空间群：由点群对称操作和平移对称操作组合而成；由 32 晶体 学点群与 14个Bravais 点阵组合而成； ➢空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、旋 转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作 的组合。 ➢晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身的对称 操作(平移，点操作以及这两者的组合)的集合。一共有230种空间 群。 ➢ 每种空间群唯一的对应一种晶体结构。自然界的晶体结构只能有 230种。
空间群：Fd3m Bravais格子：面心立方 原子及位置：C（0，0，0）
C（0.25，0.25，0.25） 其他原子的位置？
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晶体结构
晶体结构＝结构单元＋空间点阵
体现了对称性与周期性
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旋转-反演
旋转-反演（Axis of inversion）：其对称操作是先进行旋转操 作(n)后立刻再进行反演操作，这样的复合操作称为记为 I类点操作和II点操作组合的复合操作，每一个操作本身不一定 是对称操作。
简称为倒反
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晶体的周期性
晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 考虑体系足够大（大于微米量级），表面效应不重要，势能函数
其中Rl为Bravaise格子的格矢
对于晶体来说，其他的一些性质，如质量密度，电子云密度，势场
等，均可写作周期函数
F(r)F(rRl)
将F(r)展成傅里叶级数 F(r) A(g)eigr g
32种点群分布 国际符号/Hermann-Mauguin 符号
http://metafysica.nl/derivation_32.html 以特征方向的对称性来表示
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晶系(The seven crystal systems)
，存在逆元素
，使
则称集合G为一个群。
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1.对称轴
晶体对称定律（law of crystal symmetry）：在晶体中，只可能出现 轴次为1、2、3、4和6次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次 的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
14种Bravais 格子
1.简单三斜（P） 2.简单单斜（P） 3.底心单斜（C） 4.简单正交（P） 5.底心正交（C） 6.体心正交（I） 7.面心正交（F） 8.六角 （P） 9.三角 （R） 10.简单四角（P） 11.体心四角（I） 12.简立方 （P） 13.体心立方（b） 14.面心立方（F）
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几种常见晶体结构
空间群：Pm3m Bravais格子：简单立方 原子及位置：Cs（0，0，0）
Cl（0.5，0.5，0.5） 或互换
立方钙钛矿（cubic pervoskite） 空间群：Pm3m Bravais格子：简单立方 原子及位置：Ba（0，0，0）
旋转-反映
➢旋转反映 n/m，包括绕对称轴的逆 时针旋转360°/n，接着作垂直反射。 旋转-反映等效于旋转-反演，不能提 供新的操作 所以新的晶体学国际表中只用旋转反演
1 /m m ,2 /m 1 ,3 /m 6 ,4 /m 4 ,6 /m 3
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11) 六角 （P）
abc
90, 120
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立方（Cubic）
12) 简单立方（P）
abc
13) 体心立方（I）
90
14) 面心立方 （F）
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, , 3 22
—— 9个对称操作
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立方体的对称操作
2) 绕6条面对角线轴转动 —— 共有6个对称操作 3) 绕4个立方体对角线 轴转动
—— 8个对称操作
4) 恒等变换 —— 1个对称操作
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作
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立方体的对称操作
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变 —— 物体的对称操作越多，其对称性越高 1 立方体的对称操作 （Pm3m） 1) 绕三个立方轴转动
固体物理
Solid State Physics
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第1讲 晶体结构 1 Crystals Structure
➢晶体结构 Crystal Structure ➢晶列、晶面 Crystals Array and Plane ➢对称性 Symmetry ➢倒易空间 Reciprocal Space
可以把倒格矢写成
定义2：倒格子基矢
b1垂直与a2，a3，写作
Ti（0.5，0.5，0.5） O（0，0.5，0.5）（0.5，0，0.5）
（0.5，0.5，0）
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几种常见晶体结构
空间群：Fm3m Bravais格子：面心立方 原子及位置：Na（0，0，0）
Cl（0.5，0.5，0.5） 或互换 其他原子的位置？
正交（Orthorhombic ）
abc
90
4) 简单正交（P） 5) 底心正交（C） 6) 体心正交（I） 7) 面心正交（F）
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三角（Trigonal）
8) 三角 （R,P）
abc
90120
ΩΩ
即：
A(g)(eigRl 1)0
对于Bravais格子所有格矢 eigRl 1
定义1：对于Bravais格子中所有格矢Rl，满足
eiGhRl 1
全部Gh集合，构成该正格子（Direct lattice）的倒格子
（Reciprocal lattice）
将F(r)展成
其中Gh对所有倒 格子求和
F(r) A(Gh)eiGhr Gh
Diamond
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正四面体的对称操作
2) 绕4个立方体对角线轴转动
—— 8个对称操作 3) 恒等变换 —— 1个对称操作
4) 绕三个立方轴转动 /2，3/2 加中心反演 —— 6个对称操作
5) 绕6条面对角线轴转动 加中心反演 —— 6个对称操作 正四面体对称操作共有24个
对称轴图示
对称轴所构成的对称配置投影符号：
8二次轴 单斜 9三次轴 10四次轴 11六次轴
C1 (1)
C2 (2)
C3 (3)
C4 (4)
C6 (6)
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对称面(II类 )
反映（symmetry plane）：一假想的平面，称为反映面或镜面。 反映操作是从空间某一点向反映面引垂线，并延长该垂线到反映 面的另一侧，在延长线上取一点，使得到反映面等距 国际符号：m
A(Gh)Ω 1 ΩF(r)eiGhrdr
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倒易空间
由倒格子定义知：
，m为整数
Bravais格子中
有
l1 G h a 1 l2 G h a 2 l3 G h a 3 2m
对任意 l1，l2，l3 要求 G h a 1 2 h 1 , G h a 2 2 h 2 ,l 3 G h a 3 2 h 3
群的定义
假设G是由一些元素组成的集合，即G= {…，g，…}。 在G中定义 了一种二元合成规则(操作、运算，群的乘法)。 如果G对这种合成 规则满足以下四个条件： a)封闭性： G中任意两个元素的乘积仍然属于G。
b)结合律： c)单位元素。 集合G中存在一个单位元素e，对任意元素，
d)可逆性。 对任意元素
其中系数 A(g)1 F(r)eigrdr ΩΩ
其中Ω为原胞体积
A(g)Ω 1 ΩF(rRl)eigrdr
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倒格子
做代换r'=r+Rl
A(g)eigRnA(g)
A(g)eigRl 1 F(r')eigr'dr'
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对称中心(II类)
反演（center of symmetry, 符号C）：为一假想的几何点，相应 的对称变换是对于这个点的倒反。 (r -r)，国际符号：
7对称中心
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—— 立方体的对称操作共有48个
12立方1
13立方2
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正四面体的对称操作
—— 金刚石晶格（Fd3m）
四个原子位于正四面体的四个顶
角上，正四面体的对称操作包含
在立方体操作之中
1) 绕三个立方轴转动
Βιβλιοθήκη Baidu
—— 共有3个对称操作
：基转角； n 360 ：对称轴的轴次
AEmAB
mZ
C
2ABcos AC AB
cos m
A B E
2
m 2 2 1 0 1
D
3600 1800 1200 900 600
n 1 2 3 4 6
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四方（Tetragonal
）
9) 简单四方（P）
abc
10) 体心四方 （I）
90
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六角（Hexagonal）
1) 简单三斜 (Triclinic)
abc,
所属点群(P) 1 , 1
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单斜（Monoclinic）
2) 简单单斜（P） a b c , 9 0
3) 底心单斜（C）
2, m, 2/m
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晶系：按照晶胞的特征 对称元素可以分成7个不 同类型，称为晶系。 其晶格参数也具有不同 的特征
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14种Bravais空间点阵
空间点阵按点群对称性和带心的模式一共可以产生14种型式， 称为14种Bravais点阵或Bravais格子，Bravais点阵表示出所属 空间群的平移子群。 每种晶系最多可构成5种空间点阵， 1．简单点阵（P） 2．底心点阵（Ａ,Ｂ,C）(0.5,0.5,0),(0,0.5, 0.5)或(0.5,0,0.5) 3．面心点阵（F）(0.5,0,0),(0,0.5, 0)和(0,0,0.5) 4．体心点阵（I） (0.5,0.5,0.5) 5. 菱形点（R） ( 2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,2/3)
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230 种空间群 space groups
➢空间群：由点群对称操作和平移对称操作组合而成；由 32 晶体 学点群与 14个Bravais 点阵组合而成； ➢空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、旋 转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作 的组合。 ➢晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身的对称 操作(平移，点操作以及这两者的组合)的集合。一共有230种空间 群。 ➢ 每种空间群唯一的对应一种晶体结构。自然界的晶体结构只能有 230种。
空间群：Fd3m Bravais格子：面心立方 原子及位置：C（0，0，0）
C（0.25，0.25，0.25） 其他原子的位置？
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晶体结构
晶体结构＝结构单元＋空间点阵
体现了对称性与周期性
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旋转-反演
旋转-反演（Axis of inversion）：其对称操作是先进行旋转操 作(n)后立刻再进行反演操作，这样的复合操作称为记为 I类点操作和II点操作组合的复合操作，每一个操作本身不一定 是对称操作。
简称为倒反
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晶体的周期性
晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 考虑体系足够大（大于微米量级），表面效应不重要，势能函数
其中Rl为Bravaise格子的格矢
对于晶体来说，其他的一些性质，如质量密度，电子云密度，势场
等，均可写作周期函数
F(r)F(rRl)
将F(r)展成傅里叶级数 F(r) A(g)eigr g
32种点群分布 国际符号/Hermann-Mauguin 符号
http://metafysica.nl/derivation_32.html 以特征方向的对称性来表示
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晶系(The seven crystal systems)
，存在逆元素
，使
则称集合G为一个群。
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1.对称轴
晶体对称定律（law of crystal symmetry）：在晶体中，只可能出现 轴次为1、2、3、4和6次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次 的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
14种Bravais 格子
1.简单三斜（P） 2.简单单斜（P） 3.底心单斜（C） 4.简单正交（P） 5.底心正交（C） 6.体心正交（I） 7.面心正交（F） 8.六角 （P） 9.三角 （R） 10.简单四角（P） 11.体心四角（I） 12.简立方 （P） 13.体心立方（b） 14.面心立方（F）
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几种常见晶体结构
空间群：Pm3m Bravais格子：简单立方 原子及位置：Cs（0，0，0）
Cl（0.5，0.5，0.5） 或互换
立方钙钛矿（cubic pervoskite） 空间群：Pm3m Bravais格子：简单立方 原子及位置：Ba（0，0，0）
旋转-反映
➢旋转反映 n/m，包括绕对称轴的逆 时针旋转360°/n，接着作垂直反射。 旋转-反映等效于旋转-反演，不能提 供新的操作 所以新的晶体学国际表中只用旋转反演
1 /m m ,2 /m 1 ,3 /m 6 ,4 /m 4 ,6 /m 3
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11) 六角 （P）
abc
90, 120
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立方（Cubic）
12) 简单立方（P）
abc
13) 体心立方（I）
90
14) 面心立方 （F）
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, , 3 22
—— 9个对称操作
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立方体的对称操作
2) 绕6条面对角线轴转动 —— 共有6个对称操作 3) 绕4个立方体对角线 轴转动
—— 8个对称操作
4) 恒等变换 —— 1个对称操作
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作