第03讲-函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)

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中职数学(人教版)：函数的性质教学教案

第03讲函数的性质一、奇偶性与周期性（一）知识归纳： 1．奇偶性：①定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数.如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数.②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.2）函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. 2．周期性：①如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数.注意：f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(T x f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期. ②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT .（二）学习要点：1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具人这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性.如果要证明一个函数不具有奇偶性质，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.2．学习函数的周期性的重点是能运用周期性的定义证明一个函数是周期函数，或运用定义解决周期函数的有关问题，而且大量的问题是以抽象函数的形式出现.求一个周期函数的最小正周期是十分困难的问题，只有在后面三角函数的学习中会出现一些非常简单问题.【例1】讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222+-+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=>++=++=x x og x f x x x n x x x x n x f x f xxx);0(||)()4(22≠-+-=a aa x x a x f 常数[解析] （1）函数定义域为R ，)(2211614161211161222116)(x f x f xx x x x xx x x x x =++=++•=++=++=----， ∴f (x )为偶函数；（另解）先化简：14414116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多. （2）须要分两段讨论：①设);()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx n x x n x f x x -=-+-=-+=++=-∴<-∴> ②设)()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx nx x n x f x x -=-+--=-+-=--+-=-∴>-∴<③当x =0时f (x )=0，也满足f (－x )=－f (x )；由①、②、③知，对x ∈R 有f (－x ) =－f (x )， ∴f (x )为奇函数；（3）10101222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-x x x ，∴函数的定义域为1±=x ， ∴f (x )=log 21=0(x =±1) ，即f (x )的图象由两个点 A （－1，0）与B （1，0）组成，这两点既关于y 轴对称，又关于原点对称，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数；（4）∵x 2≤a 2, ∴要分a >0与a <0两类讨论，①当a >0时，)],,0()0,[(||a a aa x ax a -⇒⎩⎨⎧≠+≤≤-函数的定义域为xx a x f a x 22)(,0||-=∴>+∴，∴当a >0时，f (x )为奇函数；,2,2,2)(,0||2122ax a x a x x a x f a x -==---=∴<+称的两点取定义域内关于原点对 )(,0,03353)2()2(x f a a f af 时当<∴≠±=-± 既不是奇函数，也不是偶函数. [评析]判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.【例2】解答下述问题：（I ）已知定义在R 上的函数y= f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x )的表达式.[解析]由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑： ①若x ∈[－2，0]，－x ∈[0，2]，∵f (x )为偶函数， ∴当x ∈[－2，0]时，f (x )= f (－x )=－2x －1,②若x ∈[－4，－2) ， ∴4+ x ∈[0，2)，∵f (2+x )+ f (2－x )， ∴f (x )= f (4－x )，∴f (x )= f (－x )= f [4－（－x ）]= f (4+x )=2（x +4）－1=2x +7; 综上，.)02(12)24(72)(⎩⎨⎧≤<---≤=≤-+=x x x x x f（II ）已知f (x )的图象关于直线x =a 对称，又关于点（m ,n ）对称（m ≠a ），求证：f (x )是周期函数.[证明] 用第4讲所学的公式将两个条件表示出来，并反复运用这两个条件.由条件得⎩⎨⎧--=-=⇒⎩⎨⎧=-+-=)2(2)()2()(2)2()()2()(x m f n x f x a f x f n x m f x f x a f x f ， )),(4()]24(2[)24()))]22((2(2[2)]22([2)]2(2[2)2(2)(m a x f x a m a f x a m f m a x m f n n m a x f n x m a f n x m f n x f -+=---=--=-+---=-+-=---=--=∴ ∵a ≠m , ∴f (x )是周期T=4（a －m ）的周期函数.（Ⅲ）已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x+1)=－f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )=3－x －1，求 )321(log 31f 的值. [解析] ∵f (x+2)=－f (x+1)= f (x ) ， ∴f (x )是周期为2的周期函数，.81491813213)321(log 8132log 3281log 811log 321log 4321log 4,321log ,13)4()]4([)4()(,]4,3[,,2)(,140041,43,4321log 3,2713218118132log 31331313131314313-=-=-=∴==-=-=-=-=-=--=-=∈∴≤-≤⇒≤-≤-∴≤≤<<∴<<-f x x x f x f x f x f x x f x x x x 时当时当且为偶函数周期为令[评析] 运用数学定义解决问题是学习“奇偶性”与“周期性”的最基本的能力，应熟练训练这种能力.【例3】设函f (x )的定义域关于原点对称，且满足①)()(1))(()(122121x f x f x x f x x f -+=-，②存在正常数a ，使得f (a )=1；求证：（I ）f (x )是奇函数；（II ）f (x )是周期4a 的周期函数. [解析] （I ）令x =x 1－x 2,)(1)(1)(111)(2121)(21)2(,1)(21)(11)()()(1)()()]([)()()(),()()()(1))(()()(1)()()()(211221211212x f x f x f x f a x f a x f x f x f x f x f a f a f x f a x f a x f II x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x f x x f x f -=+-=++--=+-=+∴+-=--+-=--+-=--=+∴-=--=-+-=-+=-=-∴ 为奇函数)(),()2(1)4(x f x f a x f a x f ∴=+-=+∴是周期为4a 的周期函数.[评析] 通过例3（II ）的解答，我们学习了一种很好的解题方法，由于4a 与条件中的a 很难直接挂上钩，因此考虑到逐步逼近结论的方法：由a →2a →4a ，这是值得很好学习的数学思想方法. 二、单调性：（一）知识归纳：1．定义：如果函数y= f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2．设复合函数y= f [g(x )],其中u =g(x ) , A 是y= f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集，①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y= f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y= f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是减函数.3．若函数y= f (x )在定义域l 内的某个区间上可导， ①若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增函数； ②若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减函数. （二）学习要点：1．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决.注意，在上面第2小点中，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决.2．注意“函数f (x )的单调递增（或递减）区间是D ”与“函数f (x )在区间上单调递增（或递减）“，这是两类不同的问题，从导数知识出发，更容易理解这两类问题：①函数f (x )的单调递增（减）区间是D ⇔不等式f ′(x )>0（<0）的解集是区间D ； ②函数f (x )在区间D 内单调递增（减）⇔不等式f ′(x )>0（<0）对于x ∈D 恒成立. 【例1】解答下述问题：（I ）讨论函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的单调性. [解析] ∵函数的定义域为),,0()0,(+∞-∞),,(),()(;000)(;0)()(22222+∞--∞∴<<<<-⇒<<'>-<⇒>>'-=-='aba b x f ab x x ab a b x x f abx a bx a b x x f x bax x b a x f 与的单调递增区间是或得令或得令求导).,0()0,(ab a b 与而单调递减区间是-（注）这个函数的单调性十分重要，应用非常广泛，它的图象如图所示. （II ）.2)(ax x x f -+=[解析] f (x ) 的定义域是),2[+∞-，,22221221)(++-=-+='x x a a x x f①当a ≤0时，)),,2((0)(+∞-∈>'x x f 而f (x )在端点x =2连续， ∴当a ≤0时，f (x )在定义域),2[+∞-内为增函数；②当a >0时，令;2411)2(41220)(22-<⇒<+⇒<+⇒>'ax x a x a x f 令2410)(2->⇒<'ax x f ； ∴当a >0时f (x )的单调递增区间是),241,2[2-a 而单调递减区间是).,241(2+∞-a[评析] 例1 求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题，但必须注意，如果函数的解析式含有参数，而且参数的取值影响函数的单调区间，这时必须对参数的取值进行分类讨论.【例2】解答下述问题：（I ）设函数f (x )=k x 3+3(k －1)x 2－k 2+1，（1）当k 为何值时，函数f (x )单调递减区间是（0，4）；（2）当k 为何值时，函数f (x )在（0，4）内单调递减. [解析] 对f (x )求导得：f ′(x )=3 k x 2+6（k －1）x ，（1）∵函数f (x )的单调递减区间是（0，4），∴不等式f ′(x )<0的解集为{x |0<x <4}, 得k x 2+2(k －1)x <0， ∴x =0或4是方程k x 2+2(k －1)x =0的两根，将x=4代入得k=31，由二次不等式性质知所求k 值为31. （2）命题等价于k x 2+2(k －1)x <0对x ∈（0，4）恒成立，设g(x )=k x +2(k －1), ∵g(x )为单调函数，.310)4(0)0(≤⇒⎩⎨⎧≤≤k g g 则（或分离变量）)4,0(22∈+<⇔x x k 对恒成立，记31,31)4()(,)(,22)(≤∴=>∴+=k g x g x g x x g 为单调减函数 . （II ）已知f (x )=x 2+a ,，且f [f (x )]= f (x 2－2),（1）设g (x )= f [f (x )],求g (x )的表达式；（2）设h (x)= g (x )－λf (x )，若h (x )在（0，1）内为减函数，而在（1，+∞）内为增函数，求实数λ的值. [解答] （1）∵f [f (x )]=（x 2+a ）2+a =x 4+2ax 2+a 2+a ,,24,)1,0(0)4(24,)1,0()(,)4(24)(),24()4()2()44()()2(;44)(,2,0402,0)4()2(2,442,44)2()2(23324224242222422424222x x x x x h x x x h x x x x x x h x x x g a a a x a x a a x x a a ax x a x x a x x f >+∈<++∴++='∴++++=--+-=+-=∴-=∴⎩⎨⎧=-=+∴=-++++-=+++∴++-=+-=-λλλλλλ即恒成立对内为减函数在无关与即224,22)1,0(2-≥⇒≥+∴<∈λλx x 时当 ①；而h (x)在（1，+∞）内为增函数，,24,),1(0)4(2423x x x x <++∞∈>++∴λλ即恒成立对224,22),1(2-≤⇒≤+∴>+∞∈λλx x 时当 ②；由①、②得λ=6.[评析] 上面讨论了函数单调性的两类问题，其中“函数f (x )在区间D 上单调递增（减）”这类问题的难度要大一些，而且题型也非常广泛，应在后面的学习中注意总结经验.【例3】解答下述问题：（I ）已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论. [解析] 这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决. 在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)= f (x 1)，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵f (x )是R 上的增函数，且f (10)=1，∴当x <10时0< f (x )<1, 而当x >10时f (x )>1; ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1, ∴0< f (x 1)f (x 2)<1, ∴)()(1121x f x f -<0, ∴F (x 2)< F (x 1)；②若x 2 >x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1 , ∴f (x 1)f (x 2)>1, ∴)()(1121x f x f ->0, ∴ F (x 2)> F (x 1)；综上，F (x )在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数. （II ）已知函数f (x )的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），且满足条件： ①f (x ·y)= f (x )+ f (y )， ②f (2)=1， ③当x >1时，f (x )>0，（1）求证：f (x )为偶函数；（2）讨论函数的单调性；（3）求不等式f (x )+ f (x －3)≤2的解集.[解析] （1）在①中令x =y=1, 得f (1)= f (1)+ f (1)⇒ f (1)=0, 令x =y=－1, 得f (1)= f (－1)+ f (－1)⇒ f (－1)=0, 再令y=－1, 得f (－x )= f (x )+ f (－1)⇒ f (x ),∴f (x )为偶函数；（2）在①中令),()1()1()()1(,1x f xf x f x f f x y -=⇒+==得先讨论),0()(+∞在x f 上的单调性，任取x 1、x 2，设x 2>x 1>0， ,1),()1()()()(12121212>=+=-∴x x x x f x f x f x f x f由③知：)(12x x f >0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在（0，+∞）上是增函数，∵偶函数图象关于y 轴对称，∴f (x )在（－∞，0）上是减函数；（3）∵f [x (x －3)]= f (x )+ f (x －3)≤2，由①、②得2=1+1= f (2)+ f (2)= f (4)= f (－4)， 1）若x (x －3)>0 , ∵f (x )在（0，+∞）上为增函数，由f [x (x －3)] ≤f (4)得;430141304)3(0)3(≤<<≤-⇒⎩⎨⎧≤≤-><⇒⎩⎨⎧-≤->-x x x x x x x x x 或或2）若x (x －3)<0, ∵f (x )在（－∞，0）上为减函数；由f [x (x －3)] ≤f (－4)得 ;30304)3(0)3(<<⇒⎩⎨⎧∈<<⇒⎩⎨⎧-≥-<-x R x x x x x x∴原不等式的解集为：}.43|{}30|{}01|{≤<⋃<<⋃<≤-x x x x x x[评析] 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.《训练题》一、选择题1．下述函数中，在]0,(-∞内为增函数的是（）A ．y=x 2－2B ．y=x3 C ．y=x --21 D ．2)2(+-=x y 2．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（）A ．y=－x1 B ．y=－(x －1) C ．y=x 2－2D ．y=－|x |3．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是（） A ．)1()43(2+-≥-a a f f B ．)1()43(2+-≤-a a f fC ．)1()43(2+-=-a a f fD ．以上关系均不确定4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，设),21(log 8f a =b= f (7.5)，c= f (－5),则a 、b 、c 的大小是（）A ．a >b>cB ．a > c > bC ．b>a > cD ．c> a >b5．下列4个函数中：①y=3x －1 ②);10(11log ≠>+-=a a xxy a 且 ③123++=x x x y ④).10)(2111(≠>+-=-a a a x y x 且则其中既不是奇函数，又不是偶函数的是（）A ．①B ．②③C ．①③D ．①④6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足=f (x+2))(1x f -，当2≤x ≤3，f (x )=x ，则f (5.5)=（） A ．5.5 B ．－5.5C ．－2.5D ．2.5二、填空题7．设偶函数f (x )在),0[+∞上为减函数，则不等式f (x )> f (2x+1) 的解集是 . 8．已知f (x )与g (x )的定义域是{x|x ∈R ，且x ≠±1}，若f (x )是偶函数，g(x )是奇函数，且f (x )+g(x )=x-11，则f (x )= ，g(x )= . 9．若函数f (x )=4x 3－ax +3的单调递减区间是)21,21(-，则实数a 的值为 .10．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数f (x )是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若f (－3)=0，则不等式)(x f x<0的解集是 . 三、解答题：11．已知∈++=c b a cbx ax x f ,,(1)(2Z ）是奇函数，又f (1)=2，f (2)<3, 求a ,b ,c 的值. 12．设定义在R 上的偶函数f (x )又是周期为4的周期函数，且当x ∈[－2，0]时f (x )为增函数，若f (－2)≥0，求证：当x ∈[4，6]时，| f (x )|为减函数.13．设f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足f (－a 2+2a －5)<f (2a 2+a +1), 求实数a 的取值范围. 14．若a >0，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.15．设函数)0(1)(2>-+=a ax x x f ，（I ）求证：当且仅当a ≥1时f (x )在),0[+∞内为单调函数；（II ）求a 的取值范围，使函数f (x )在区间),1[+∞上是增函数.《答案与解析》一、选择题：1．C 2．D 3．A 4．A 5．C 6．D 二、填空题： 7．x<－1或x>－31; 8．221,11x x x --; 9．3; 10．(－3,0)∪（3，+∞）三、解答题11．∵f (x )为奇函数，∴f (－x )=－f (x )，.1221)1(,1)(,011222-=⇒=+=∴+=∴=⇒--=+-⇒--+=+-+∴b a b a f bx ax x f c c bx c bx c bx ax c bx ax ,2300232321)12(4,3)2(,1)12()(2<<⇒<-⇒<+-∴<+-=b b b b b f bx x b x f ∵a,b, c, ∈Z ，∴b=1, ∴a =1, 综上，a =1, b=1, c=0.12．[证明]这是“抽象”函数问题，应熟练运用奇偶性、周期性、单调性的定义证明. 在[4，6]内任取x 1、x 2，设4≤x 1<x 2≤6,.|)(|,]6,4[|,)(||)(|,0)()(|)(||)(|,64,0)()(),()(,0)()(),()4(,0)2()4()4(,]0,2[)(,04422121212121212112为减函数时故当即有时当内为增函数在x f x x f x f x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f f x f x f x f x x ∈>>-=-≤<≤∴≥>∴=-≥->-∴=+≥-≥+->+-∴-≤+-<+-≤-∴13．∵)(x f 为R 上的偶函数，,087)41(212,04)1(52),12()52(),52()]52([)52(222222222>++=++>+-=+-++<+-∴+-=-+--=-+-∴a a a a a a a a f a a f a a f a a f a a f 而不等式等价于∵)(x f 在区间)0,(-∞上单调递增，而偶函数图象关于y 轴对称， ∴)(x f 在区间（0，+∞）上单调递减，,140431252)12()52(22222<<-⇒<-+⇒++>+-++<+-∴a a a a a a a a a f a a f 得由∴实数a 的取值范围是（－4，1）. 14．,121)(ax xx f +-=' ,0)42(0)(,)(22121,0)(222>+-+⇔>'∴+<⇔+<⇔+>>'a x a x x f a x x a x x a x xx f 得令),1(164)42(,0)42(0)(,2222a a a a x a x x f -=--=∆<+-+⇔<' 同样（1）当a .>1时，对x ∈（0，+∞）恒有)(x f '>0，∴当a .>1时，f (x )在（0，+∞）为增函数；（2）当a =1时，f (x )在（0，1）及（1，+∞）内都是增函数，而f (x )在x=1处连续，∴f (x )在（0，+∞）内为增函数；（3）当0<a <1时，△>0，解方程x 2+(2a －4)x +a 2=0.)122,122(,),122()122,0()(,0122,0,122,12221221内为减函数而在内都是增函数与在而显然有得a a a a a a a a x f aa a x x a a x a a x -+----+∞-+----∴>-+-=>-+-=---=15．（I ）a x x x f -+='1)(2，①当;),0[)(,11||1,122上单调递增在时+∞∴≤<+≤+≥x f a x x x x a②当0<a <1时，由f ′(x )<0,得;101022aa x x a x -<≤⇒+<≤由f ′(x )>0得;1122aa x x a x ->⇒+>∴当0<a <1时，f (x )在),1(,)1,0[22+∞--aa aa 而在为减函数，为增函为函数，∴当0<a <1时，f (x )在 ),0[+∞上不是单调函数；（另证）令f (x ) =12212212,00]2)1[(11aa x x a x a x ax x -==⇒=--⇒+=+⇒当0<a <1时，f (x )在 ),0[+∞上存在两点x 1=0 或2212a ax -=使f (x 1)= f (x 2)=1，故f (x )不是单调函数.综上，当且反当a ≥1时f (x )在),0[+∞上为单调函数. （II ）由（I ）①知当a ≥1时f (x )单调递减，不合；由②知当f (x )在),1[+∞上单调递增等价于：,112≤-aa220≤<∴a ，即a 的取值范围是].22,0(。

2024年沪教版上海新高考一轮复习03-函数的概念与性质

第3讲函数的概念与性质以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏下难度.1.函数的概念概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系 y ＝f (x )，x ∈A 定义域 x 的取值范围值域与x 对应的y 的值的集合{y |y =f (x )|x ∈A }2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法. 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 常用结论：1.直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图像至多有1个交点.2.注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}.(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .5.函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果∀x 1，x 2∈D当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递增，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≥f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递减，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数课堂引入知识梳理自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间.常用结论：1.有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 常用结论：1.函数周期性的常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0).(3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0).2.对称性的四个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称. (2)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图像关于点(b ，0)中心对称.(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称；特别地，当a ＝b 时，即f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )时，则y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称.(4)若函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则y ＝f (x )的图像关于点(a ，b )对称.特别地，当b ＝0时，即f (a ＋x )＋f (a －x )＝0或f (x )＋f (2a －x )＝0时，则y ＝f (x )的图像关于点(a ，0)对称.3.函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.1．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（）① ② ③ ④A ．①②B ．①④C ．①②④D ．③④2．函数()021(1)32x f x x x +=+−−的定义域为（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭C ．()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭3．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（） A ．2()x xf x x−=，()1g x x =− B ．2()f x x =，()2()g x x =C ． 22f x x ，()22g t t ＝－D ．()11f x x x =+⋅−，2()1g x x =−4．给出下列说法：①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定都是无限集；③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素； ④对于任意的一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同； ⑤()f a 表示当x a =时，函数()f x 的值，这是一个常量．其中说法正确的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4例题分析模块一：函数的概念5．若函数y =[)0,∞+，则a 的取值范围为（） A ．()0,4 B ．()4,+∞ C ．[]0,4 D ．[)4,+∞6．已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（）A ．()22f x x x =+ B ．()268f x x x =++C ．()24f x x x =+ D ．()286f x x x =++7. 已知函数()f x R ，则m 的取值范围为______．8. 设函数()23f x x =−，()g x ()()⋅f x g x 的定义域为______．9. 已知()123f f x x x ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，()0x ≠，则()f x 的解析式为________．10. 求下列函数定义域（1）已知函数()f x 的定义域为()0,1，求2()f x 的定义域. （2）已知函数()21f x +的定义域为()0,1，求()f x 的定义域（3）已知函数()1f x +的定义域为[]2,3−，求2(22)f x −的定义域. （4）设函数()f x 的定义域为[]3,1−，则()()()g x f x f x =+−的定义域.（5）若()f x 的定义域为[]35−，，求()()(25)x f x f x ϕ=−++的定义域11. 设()26f x mx nx =++，已知函数过点()1,3，且函数的对称轴为2x =.(1)求函数的表达式；(2)若[]13,x ∈−，函数的最大值为M ，最小值为N ，求M N +的值.1. 当()0,x ∈+∞时，幂函数()2531m y m m x −−=−−为减函数，则实数m 的值为（）A ．2m =B ．1m =−C ．1m =−或2m =D ．152m ±≠2. 设函数2()2(4)2f x x a x =+−+在区间(,3]−∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．7a ≥− B ．7a ≥C ．3a ≥D ．7a ≤−3. 已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧−+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（）A ．()()3,13,−+∞B ．()(),12,3−∞−C ．()()1,13,−+∞D ．()(),31,3−∞−4. 已知()f x 是定义在[2b ，1]b −上的偶函数，且在[2b ，0]上为增函数，则(1)(2)f x f x −的解集为( ) A ．21,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1−D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦例题分析模块二：函数的性质5. 二次函数()22f x ax a =+在区间2,a a −⎡⎤⎣⎦上为偶函数，又()()1g x f x =−，则()0g ，32g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3g 的大小关系为（）A ．3(0)(3)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．3(0)(3)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．3(3)(0)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．3(3)(0)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭6. 已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f −==，则(2022)(2023)f f +=（） A ．3− B ．1− C ．1 D ．27. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()110f x f x −++=，若()03f =，则()()20222023f f +=（）A ．0B ．-3C ．3D ．68. 若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，在区间()0,1上，有()()()12120x x f x f x −−>⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图像关于点()1,0成中心对称B ．函数()f x 的图像关于直线2x =成轴对称C ．在区间()2,3上，()f x 为减函数D ．7223f f ⎛⎫⎛⎫−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9. 已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，若()12f x −为奇函数，()12g x +为偶函数，则（）A ．()()f x g x +的图像关于直线1x =对称B ．()()f x g x +的图像关于直线1x =对称C ．()()f x g x −的图像关于点()1,0对称D ．()()f x g x −的图像关于点()1,0对称10. 已知定义在R 上的函数113()e e (1)x x f x x x −−=−+−+，满足不等式(4)(23)2f x f x −+−≥，则x 的取值范围是（）A ．(,2)−∞B ．(,2]−∞C ．(,2)−∞−D ．(,2]−∞−11. 已知函数()322()(1)ln 2f x a x x x =−+++为R 上的偶函数，则不等式(21)()f x f a −的解集为（） A ．[2,2]− B ．[1,2]− C ．[1,1]− D ．[0,1]12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =−+ .若对任意的[]1,2x ∈−，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,2B ．()()0,2,6−∞C ．()2,0−D ．()()2,06,−+∞13. 已知函数()f x 是定义域为R 的函数，()()20f x f x ++−=，对任意1x ，[)21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x −>，已知a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t −+−=的两个解，则关于t 的不等式()()()0f a f b f t ++>的解集为（） A ．()2,2− B ．()2,0− C ．()0,1 D ．()1,214. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且函数(1)=−y f x 的图像关于点(1,0)对称，对于任意的x ，总有(2)(2)f x f x −=+成立，当(0,2)x ∈时，2()21f x x x =−+，函数2()g x mx x=+（x ∈R ），对任意x ∈R ，存在t ∈R ，使得()()f x g t >成立，则满足条件的实数m 构成的集合为（） A ．1{|}4≤m mB ．1{|}4<m mC ．1{|0}4<≤m mD ．1{|}4>m m15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有()()22f x f x +=−，且()()f x f x −=，下列结论正确的是________.(填序号) ①()f x 的图像关于直线2x =对称； ②()f x 的图像关于点()20,对称； ③()f x 的最小正周期为4； ④()4y f x =+为偶函数．16. 已知函数()|1|||f x x x t =++−的图像关于2x =对称，则t 的值是_______17. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()f x 为奇函数，其图像关于直线2x =对称．当[]0,4x ∈时，()24f x x x =−，则()2022f =____.18. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =−+． (1)求0x <时，函数()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在区间[1,2]a −−上单调递增，求实数a 的取值范围．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称. (1)求证：()f x 是周期为4的周期函数；(2)若()()01f x x x =≤≤，求[]5,4x ∈−−时，函数()f x 的解析式.1. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈−+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．2. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x −++=，当[]1,0x ∈−时，()22f x x x =+，若()0f x x b −−≥对一切R x ∈恒成立，则实数b 的最大值为______．3. 已知函数29,1()438,12x ax x f x x a x x ⎧−+≤⎪=⎨+−+>⎪⎩，若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．例题分析模块三：函数不等式恒成立问题4. 已知函数()22121x f x x ⎛⎫=− ⎪+⎝⎭若对任意的[]3,3m ∈−，都有()()10f ma f a m +−+≥恒成立，则实数a 的取值范围为______．5. 已知函数()f x 的定义域()(),00,D =−∞+∞∪，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+−，若()f x 在()0,+∞上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >−恒成立，则m 的取值范围是______．6. 已知函数f (x )对∀x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，且f (1)＝－2. (1)证明函数f (x )在R 上的奇偶性； (2)证明函数f (x )在R 上的单调性；(3)当x ∈[1，2]时，不等式f (x 2－mx )＋f (x )＜4恒成立，求实数m 的取值范围.7. 已知奇函数()2121x x a f x ⋅−=+的定义域为[]2a b −−，.(1)求实数,a b 的值；(2)当[]12x ∈，时，()220x mf x ++>恒成立，求m 的取值范围.1. 函数21(1)y x x =−<−的反函数是___________.2. 函数2()3f x x x =−的单调增区间是___________.3. 设2()1x f x x =−，1()x g x x−=，则()()f x g x ⋅=__________﹒ 4. 若函数()f x 的定义域为[]22−,，则函数(21)f x −的定义域是___________. 5. 函数2()2(1)2f x ax a x =+−+在(,4]−∞上为严格减函数，则a 的取值范围是_________． 6. 若函数2()f x x x a =−+的定义域是R ，则实数a 的取值范围是________.7. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()24f x x ax =−+．若()y f x =的值域为R ，则实数a 的取值范围是______．8. 函数223211x x y x −−=−的值域是___________.师生总结随堂检测9. 若函数()f x 是定义在()0,∞+上的严格增函数，且对一切x ，0y >满足()()x f f x f y y⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则不等式()()1322⎛⎫+−< ⎪⎝⎭f x f f x 的解集为___________.10. 已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x −=++，则()()22f g +=___________.11. 已知3a >−，且函数[]()33,y x b x a ∈=+−是奇函数，则a b +=___________.12. 已知函数1x x a y =++−的图像关于直线1x =对称，则该函数的最小值是___________. 13. 已知函数()f x 满足：任意给定x ∈R ，都有(3)(1)f x f x +=−，且任意1x ，[)22,x ∈∞＋，()()12120f x f x x x −<−（12x x ≠），则下列结论正确的题号是___________．（1）()2514f a a f ⎛⎫−++≤ ⎪⎝⎭；（2）任意给定x ∈R ，()()2f x f ≤；（3）()()03f f >；（4）若()()1f m f >−，则15m −<<． 14. 已知函数()()2,0,1,0,x a x f x x a x x ⎧−≤⎪=⎨++>⎪⎩若()0f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为_________．15. 已知函数()800x x f x x x a x ⎧−<⎪=⎨⎪−≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈−−，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.16. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区间[,]a b 上都是严格增函数或都是严格减函数时，就把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”．若区间[1,2]是函数2()y x a =−的“不动区间”，则实数a 的取值范围为________．1. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（） A ．()f x x =，()2g x x = B ．()2f x x =，()()2g x x =C ．()211x f x x −=−，()1g x x =+D ．()11f x x x =+⋅−，()21g x x =−2. 设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要3. 函数y =f (x )与函数y =g (x )的图像如图1和图2，则函数y =f (x )∙g (x )的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．4. 函数11()f x x=，211()()f x x f x =+，…，11()()n n f x x f x +=+，…，则函数2018()f x 是（）A ．奇函数但不是偶函数B ．偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数巩固练习5. 定义在R 上的函数()f x ，若存在R a ∈且0a ≠，使得()()()f x a f x f a +>+恒成立，则称()f x 具有“P 性质”.已知()1f x 是R 上的增函数，且()10f x ≤恒成立；()2f x 是R 上的减函数，且存在00x <，使得()200f x =，则（） A ．()1f x 和()2f x 都具有“P 性质”B ．()1f x 不具有“P 性质”，()2f x 具有“P 性质”C ．()1f x 具有“P 性质”，()2f x 不具有“P 性质”D ．()1f x 和()2f x 都不具有“P 性质”6. 已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=−+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；(2)令()()g x f x =y g x 在1,12x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦的值域.7. 已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在(1,1)−上的奇函数，且12()25f =. (1)求a ，b 的值；(2)用定义证明()f x 在(1,1)−上是增函数； (3)解不等式：(1)()0f t f t −+<.8. 已知函数()221x f x x−=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n −−，求实数t 的取值范围．9. 设()y f x =的定义域是[]1,1−，在区间[]0,1上是严格减函数；且对任意1x ，[]21,1x ∈−，若[]121,1x x ±∈−，则()()()()1212122f x x f x x f x f x ++−=． (1)求证：函数()y f x =是一个偶函数； (2)求证：对于任意的[]1,1x ∈−，()1f x ≥−．(3)若16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()232f x f x ≥−．。

函数单调性、奇偶性、周期性与对称性

函数单调性、奇偶性、周期性与对称性一．主要内容：函数单调性、奇偶性、周期性与对称性二．重点难点：1. 在定义域内讨论函数单调性，并会求单调区间。

2. 运用函数奇偶性定义判断并证明函数具有的奇偶性质。

3. 求周期函数周期，利用函数周期性、对称性，求某一点处函数值，求函数解析式或讨论函数其它性质。

三．具体知识：(一).单调性：1.在定义域范围内，单调区间可开可闭。

2.单调区间是定义域的子区间。

3.一个函数的两个区间都是增区间（或都是减区间），不能将它们写成并集，要画图考虑。

4.证明一个函数的单调性，在大题中，只能用定义法和倒数法。

（但在小题中可以用“增+增=增；减+减=减”）5.只有取倒数和求负数两种情况会改变函数的单调性。

（开根号等不影响其单调性）6.复合函数：内外层函数：同增异减函数相加：增+增=增；减+减=减“同增异减法则”：对于复合函数y=f[g(x)]，若t=g(x)在区间（a,b）上是单调增（减）函数，且y=f(t)在区间(g(a),g(b))（或者g(b)，g(a)）上是单调函数，那么函数y=f[g(x)]在区间（a,b）上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域。

例：7.利用奇偶性求单调性：奇函数在对称区间上，单调性相同。

偶函数在对称区间上，单调性相反。

例：【典型例题】例1.已知是偶函数，而且在，上是减函数，判断在，上是f x f x()()()()00+∞-∞增函数还是减函数，并加以证明。

例2.（）指出的单调区间，并说明在每一区间上的增减性1232f x x x ()=--()（）讨论的单调性2253122y x x =--log例3. ()()讨论函数在，上的单调性。

f x axx a x ()=->∈-21011(二)奇偶性：奇*奇=偶奇+奇=奇偶*偶=偶偶+偶=偶奇*偶=奇奇+偶=非奇非偶奇函数：偶函数：【典型例题】例1. 判断下列函数的奇偶性：（）111f x x x()=+--（）·211 1f x x x x()()=-+ -（）31222f xx x()=-+-（）41010f x x x x x x x ()()()()()=-<+>⎧⎨⎩()（）512f x x x ()lg =++（）·（其中为奇函数，且）61101f x x a a x a a x x ()()()=-+>≠ϕϕ(三) 周期性：关于函数的周期性，下面结论是成立的：（1）若T 为函数f(x)的一个周期，则kT 也是f(x)的周期（k 为非零整数），这就是说，一个函数如果有周期，就有无数多个。

函数单调性奇偶性周期性

函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理一函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇,偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶二函数的单调性方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法; 1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解; 4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数： )(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性; 四函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期;2、三角函数的周期①π==T x y :tan ,||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x += ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析一考查一般函数的奇偶性例1、设函数fx 是定义在R 上的奇函数,若当x ∈0,+∞时,fx ＝lg x ,则满足fx ＞0的x 的取值范围是 .变式1、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、函数1()f x x x=-的图像关于A ．y 轴对称B ．直线x y -=对称C ．坐标原点对称D ．直线x y =对称二考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性122(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 224()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ,常数)a ∈R ． 1讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由；变式4、判断下下列函数的奇偶性121()log 1x f x x -=+ 21,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩三考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数fx,当x,y ∈R 时,恒有fx+y=fx+fy.求证：fx 是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数fx 满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是Afx 为奇函数 Bfx 为偶函数 C fx+1为奇函数 Dfx+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ,当,x y R ∈时,恒有()()()f x y xf y yf x +=+,求证()f x 是偶函数;三考查一般函数的单调区间暂不讲例4、设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且,求函数()f x 的单调区间；变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.0,3 C.1,4 D. ),2(+∞四考查复合函数的单调区间例5、判断函数fx=12-x 在定义域上的单调性.变式7、求函数y=21log 4x-x 2的单调区间.五考查函数单调性的运用例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-.则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<-变式8、2008全国设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增,求a 的取值范围;变式9、已知函数0()(2≠+=x xa x x f ,常数)a ∈R ． 1略 2若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数,求a 的取值范围．六考查函数周期性的应用例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________;变式10、已知函数()f x 满足：()114f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =_____________.变式11、已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D2◆方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域内,且不可以有“”,只能用“和”,“,”.2、含有参量的函数的单调性问题,可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断或证明函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ,验证fa ±f －a ≠0.4、函数的周期性：第一应从定义入手,第二应结合图象理解.◆课后强化1.若函数2()()af x x a x=+∈R ,则下列结论正确的是A ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ,()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ,()f x 是奇函数2. 下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈0,+∞,当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 3.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A 13,23B 13,23C 12,23D 12,234.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+,则)25(f 的值是A. 0B. 21C. 1D. 255.已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间0,2上是增函数,则 .A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<6、已知()f x 在R 上是奇函数,且(4)(),f x f x +=2(0,2)()2,(7)x f x x f ∈==当时，则 A.—2 C.—987、设fx 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,fx=2x +2x+bb 为常数,则f-1= A 3 B 1 C-1 D-38、给定函数①12y x =,②12log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间0,1上单调递减的函数序号是A ①②B ②③C ③④D ①④9、若函数fx =3x +3-x 与gx =3x -3-x 的定义域均为R,则A ．fx 与gx 均为偶函数 B. fx 为偶函数,gx 为奇函数 C ．fx 与gx 均为奇函数 D. fx 为奇函数,gx 为偶函数 10、11、设函数fx=xe x +ae -x x ∈R 是偶函数,则实数a =________________12、以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④xxlg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③13、已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若f a ＝M, 则f －a 等于A. M a -22B. 22a M -C. 22a M -D. M a 22-14、设y ＝f x 是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f x ＝x 2－2 x, 则在R 上f x 的表达式为A. )x (x 2--B. ) |x | (x 2-C. ) x (|x |2-D. ) |x | (|x |2- 15．函数1)(+-=x a x f )1,0≠>a a 是减函数,则a 的取值范围是 A ．()1,0∈a B ．(]+∞∈,1a C ．R a ∈ D ．+∈R a 16．函数)(x f 112+-=x x 的单调增区间是 A ．(][)∞+--∞-11, B ．(][)∞+--∞-1,1, C ．(]1,-∞- D ．()()+∞--∞-,11,17．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)718．若fx=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间1,2上都是减函数,则a 的值范围是A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．0,1D ．]1,0(19．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增,则a 的取值范围是A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(20．函数)1lg()(2x x x f ++=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数 21．函数2222)(x x x f -+-=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0(,)0(,)(22x x x x x x x f 是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数23．定义在R 上的偶函数fx 满足fx =fx +2,当x ∈3,5时,fx =2－|x －4|,则A ．f sin 6π<f cos 6πB ．f sin1>f cos1C ．f cos 32π<f sin 32πD ．f cos2>f sin224．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π,且当]2,0[π∈x 时,x x f sin )(=,则)35(πf 的值为A ．21-B ．21C ．23-D ．23 25．已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+3=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D226．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数,且0)2(=f ,则方程)(x f =0在区间0,6内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．227．下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ()sin f x x =B ()1f x x =-+C ()1()2x x f x a a -=+D 2()ln 2xf x x-=+ 28．若函数fx=121+X , 则该函数在-∞,+∞上是A 单调递减无最小值B 单调递减有最小值C 单调递增无最大值D 单调递增有最大值 29．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21(30．已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a ＝A0 B1 C －1 D ±131．若函数fx 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且f 2=0,则使得fx <0的x 的取值范围是A -∞,2B 2,+∞C -∞,-2⋃2,+∞D -2,232．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A ()()f x f x -是奇函数 B ()()f x f x -是奇函数 C ()()f x f x --是偶函数 D ()()f x f x +-是偶函数33．函数)2(log )(22--=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.34. 函数1231)(+--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.35.设fx 是定义在R 上的奇函数,且y=f x 的图象关于直线21=x 对称,则f 1+ f 2+ f 3+ f 4+ f 5=______________.36．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数,则a = . 37、函数fx =111122+++-++x x x x 的图象 A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称38、函数fx 在R 上为增函数,则y =f |x +1|的一个单调递减区间是_________. 39、若fx 为奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f －3=0,则xfx <0的解集为_________.40、如果函数fx 在R 上为奇函数,在－1,0上是增函数,且fx +2=－fx ,试比较f 31,f 32,f 1的大小关系______41、已知函数y =fx =cbx ax ++12 a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0是奇函数,当x >0时,fx 有最小值2,其中b ∈N 且f 1<25.1试求函数fx 的解析式；2问函数fx 图象上是否存在关于点1,0对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.42、已知函数()()1011且x x a f x a a a -=>≠+．1判断()f x 的奇偶性；2当1a >时,判断()f x 的单调性,并证明．43、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞上单调递增,()30f =,则不等式()0f x ≥的解集是．44、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递减区间是．45、若函数()11a f x x x a=+-+是奇函数,则实数a 的值为． 46、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数,则实数a 、b 的取值范围分别是． 47、已知对于任意实数x ,函数()f x 满足()()f x f x -=,若方程()0f x =有2009个实数解,则这2009个实数解之和为．◆详细解析例1、(1,0)(1,)-+∞ 变式1、C 变式2、C例2、解：12222(1),0(1),0()()(1),0(1),0x x x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧---≥-+≤⎪⎪-===⎨⎨--+-<->⎪⎪⎩⎩ 故()f x 为偶函数;2()f x 的定义域由240|3|30x x ⎧-≥⎨--≠⎩确定,解得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠⎩且∴定义域为[2,0)(0,2]-关于原点对称∴()f x x =-∵()()f x f x x-==- 故()f x 为奇函数变式3、解：1当0=a 时,2)(x x f =,对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，,)()()(22x f x x x f ==-=-, )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时,2()(00)af x x a x x=+≠≠，,取1±=x ,得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，,(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，,∴ 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数．变式4、解：1由101x x ->+解得1,1x x <->或,则定义域关于原点对称; ∵222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+ ∴()f x 为奇函数 21,01,0()()1,01,0x x x x f x f x x x x x --->--<⎧⎧-===⎨⎨--≤-≥⎩⎩,故()f x 为偶函数;例3、证明： ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵fx+y=fx+fy,令y=-x,∴f0=fx+f-x.令x=y=0, ∴f0=f0+f0,得f0=0.∴fx+f-x=0,得f-x=-fx, ∴fx 为奇函数. 变式5A 、C变式5B 、证明：令0x y ==,可得(0)0f =；令y x =-,可得()()()f x x xf x xf x -=--即(0)[()()]0f x f x f x =--= 又x R ∈ ∴()()f x f x -- ∴()f x 是偶函数例4、解：'22ln 1(),ln x f x x x +=-其中01x x >≠且若 '()0,f x < 则 1x e >,此时()f x 单调递减,故减区间为1(,1),(1,)e +∞；若 '()0,f x > 则 1x e <,此时()f x 单调递增,故增区间为1(0,)e；变式6、解析()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 例5、解：函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1},则fx=12-x ,可分解成两个简单函数.fx=)(,)(x u x u =x2-1的形式.当x ≥1时,ux 为增函数,)(x u 为增函数.∴fx=12-x 在1,+∞上为增函数.当x ≤-1时,ux 为减函数,)(x u 为减函数,∴fx=12-x 在-∞,-1上为减函数.变式7、解：由4x-x 2＞0,得函数的定义域是0,4.令t=4x-x 2,则y=21log t.∵t=4x-x 2=-x-22+4,∴t=4x-x 2的单调减区间是2,4,增区间是0,2.又y=21log t 在0,+∞上是减函数,∴函数y=21log 4x-x 2的单调减区间是0,2,单调增区间是2,4.例6、答案:A. 解析:由2121()(()())0x x f x f x -->等价,于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得(3)(2)(1)f f f <-<,故选A. 变式8、D例6B 、解：∵32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增 ∴2()320f x x ax a '=+-≥在区间(1,)+∞上恒成立即2(21)3x a x -≥-在区间(1,)+∞上恒成立 ∵210x ->∴2321x a x ≥--在区间(1,)+∞上恒成立只要满足2max 3()21x a x ≥-- ∵23333334[(21)](2)321422142x x x x -=--++≤-⨯+=--- ∴3a ≥-变式9、2解：∵)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数 ∴ ()0f x '≥在[2)x ∈+∞，上恒成立即32202a x a x x-≥≤即在[2)x ∈+∞，上恒成立,故只要满足3min (2)a x ≤显然33min (2)2216x =⋅= a ∴的取值范围是(16]-∞，．例7、解析：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+;变式10、解析：取x=1 y=0得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ,寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有fn=fn+1+fn-1,同理fn+1=fn+2+fn 联立得fn+2= —fn-1 所以T=6 故()2010f =f0=21变式11、解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ,∴()()()()002246=-==+=f f f f ,故选择B; 1、答案：C 解析对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数2、解析依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减,故由选项可得A 正确;3、答案A 解析由于fx 是偶函数,故fx ＝f|x|∴得f|2x －1|＜f 13,再根据fx 的单调性得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜234、答案A 解析若x ≠0,则有)(1)1(x f xx x f +=+,取21-=x ,则有： )21()21()21(21211)121()21(f f f f f -=--=---=+-= ∵)(x f 是偶函数,则)21()21(f f =- 由此得0)21(=f 于是, 0)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f 5、解析:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数, (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间0,2上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.6、选A7、答案D8、答案：B9、D ．()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．10、11、解析 gx=e x +ae -x 为奇函数,由g0=0,得a =－1;12、A 13、A 14、B15、B 16、D 17、C 18、D30、A 33.()+∞,2;()1,-∞- 34.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21;⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, 36.22 37、答案：C 解析：f －x =－fx ,fx 是奇函数,图象关于原点对称.38、解析：令t =|x +1|,则t 在－∞,－1]上递减,又y =fx 在R 上单调递增,∴y =f |x +1|在－∞,－1]上递减.答案：－∞,－1]39、答案：－3,0∪0,3 解析：由题意可知：xfx ＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈－3,0∪0,3 40、答案：f 31＜f 32＜f 1 解析：∵fx 为R 上的奇函数∴f 31=－f －31,f 32=－f －32,f 1=－f －1,又fx 在－1,0上是增函数且－31> －32>－1. ∴f －31>f －32>f －1,∴f 31＜f 32＜f 1.41、解：1∵fx 是奇函数,∴f －x =－fx ,即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴fx =bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ,当且仅当x =a1时等号成立,于是22ba =2,∴a =b 2,由f 1＜25得b a 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2,又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴fx =x +x1.2设存在一点x 0,y 0在y =fx 的图象上,并且关于1,0的对称点2－x 0,－y 0也在y =fx 图象上,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =fx 图象上存在两点1+2,22,1－2,－22关于1,0对称.42、解：1由()f x 的定义域为R ,关于原点对称()()1111x xx xa a f x f x a a -----===-++得()f x 为R 上的奇函数 2证明：12x x ∀<∈R ,则由1a >得12x x a a <()()()()()()()12121212122121101111x x x x x x x x a a a a f x f x f x f x a a a a ----=-=<⇒>++++ ∴当1a >时,()f x 在R 上单调递增 43、(][),33,-∞-+∞ 44、[)1,3 45、1 46、00且a b >≤ 47、0。

函数的奇偶性、单调性、周期性

一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解．（1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，数的整体性质. 数的整体性质（2）函数奇偶性中对定义域内任意一个，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点的实质是：，－的实质是对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件函数的奇偶性是其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是（A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数上的函数
值为正,则称上为增函数；值为正则称y = f (x)在D上为增函数；则称在上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义

函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)(原卷版)

专题04 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）知识点1 函数的单调性 1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。

当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。

2、单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势3、函数的单调区间若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间． 4、单调性定义的等价形式:（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .5、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 为该区间内任意的两个值，且12x x <②作差变形：做差()()12f x f x -，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。

函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性与对称性)讲义-2023届高三数学二轮复习

模块一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M上是减函数。

2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

[多选] 例1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(-=x x h D 、12)(+=x x w【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(-=x x h 在]1(，-∞上是减函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 和)(x h 在区间)10(，上单调递减的函数，选BC 。

(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。

函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。

但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。

2、任意性：①“任意取1x 、2x ”，不能取两个特殊值；②1x 、2x 有大小，通常规定012>-=∆x x x ； ③1x 、2x 必须同属于定义域的某个子区间。

函数的单调性、奇偶性、周期性

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出：一次函数y=kx+b 、反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）．（7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法（3导数法）二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们f x，()的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数

第三讲函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。

如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。

()()()()121200f x f x x x -><→-增减任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。

有时也根据导数。

()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。

（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1）一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。

2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。

（2）二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。

（3）反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。

(整理)函数的单调性奇偶性与周期性

函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1．单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增；如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。

二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。

5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。

T 是f (x )的一个周期。

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。

高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲

高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。

并统称具有上述情况的函数具有单调性。

注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。

（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。

（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。

（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。

（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。

如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴ ),1(+∞是函数)(2x f 的增区间令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴ )0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。

高中数学必修一——函数基本性质

高中数学必修一——函数基本性质引言：函数是高中数学中的重要知识点之一，它不仅在高考中占有一定比重，而且在大学数学、物理等学科中也应用广泛。

因此，学好函数是中学数学的重要任务之一。

本文将介绍函数的基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，同时提供20道以上的练习题，供读者参考。

一、函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数可以表示为f:A\rightarrow B，其中A是定义域，B是值域。

二、函数的基本性质1.定义域：函数的定义域是指所有可以输入函数的自变量的值的集合。

函数的定义域可以是实数集、有理数集、整数集等。

在定义函数时，需要指定函数的定义域。

2.值域：函数的值域是指所有函数可能的输出值的集合。

它是由定义域和函数的性质决定的。

3.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的单调变化性质，包括单调递增和单调递减。

如果函数的自变量增大，函数值也增大，则称函数在这个区间内是单调递增的；如果函数的自变量增大，函数值减小，则称函数在这个区间内是单调递减的。

4.奇偶性：函数的奇偶性指函数的性质，可以分为偶函数和奇函数。

如果函数在定义域内满足f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。

5.周期性：函数的周期性指函数在定义域上存在一个最小正周期T，即f(x+T)=f(x)，其中T是正实数。

三、练习题1.设函数f(x)=ax+b，其中a,b是实数，且f(2)=3,f(3)=4，求a,b。

2.求函数f(x)=2x^2-3x+1的定义域和值域。

3.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，且f(a)=f(b)=0，证明f(x)=0在区间[a,b]上有且只有一个实根。

4.设函数f(x)=\sin(x+\alpha)，其中0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}，证明f(x)是奇函数。

函数的性质与应用奇偶性周期性与增减性

函数的性质与应用奇偶性周期性与增减性函数的性质与应用：奇偶性、周期性与增减性函数是数学中的重要概念之一，它描述了一种依据某种规律将一个集合的元素映射到另一个集合的关系。

函数的性质对于研究和应用数学都至关重要。

本文将探讨函数的奇偶性、周期性与增减性，以及它们在数学和实际应用中的作用。

一、奇偶性奇偶性是函数的一种重要性质。

对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意实数x，都有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果对于任意实数x，都有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

同时，如果一个函数既不具备偶性也不具备奇性，则称其为非奇非偶函数。

奇函数和偶函数有着一些特殊的性质。

例如，对于偶函数，它的图像关于y轴对称；对于奇函数，它的图像关于原点对称。

这些对称性质使得我们能够更简单地分析函数的图像和性质。

此外，奇偶函数还有一些重要的性质，如偶函数的任意两个区间上的函数值都是相等的，奇函数的积分在对称区间上等于0等。

奇偶性函数在应用中也有广泛的运用。

例如，电信号的调制过程中，偶函数和奇函数可以用于分离信号的正负部分，实现信号的传递和处理；在物理学中，奇偶性函数用于描述各种对称性和守恒量，如角动量、电荷守恒等。

二、周期性周期性是函数的另一种重要的性质。

对于定义在实数集上的函数f(x)，如果存在一个正实数T，使得对于任意实数x，都有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数。

周期函数的图像在平面上呈现出重复的规律性，其有限区间内的变化趋势相同。

周期性函数在数学和自然科学中都有着广泛的应用。

例如，三角函数在调控周期性现象方面起到了关键作用。

正弦函数、余弦函数等周期函数广泛应用于波动、振动、电磁波传播等领域。

此外，周期性还可以用于描述周期性统计现象，如天气数据的季节性变化、经济指标的周期性波动等。

三、增减性增减性是函数的另一个重要的性质。

对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于区间[a,b]中的任意两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称该函数在区间[a,b]上是递增函数；如果对于区间[a,b]中的任意两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称该函数在区间[a,b]上是递减函数。

高三数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调增区间；如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x x I ∈，当12x x <时，总有(ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。

(ⅱ) )()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。

2.函数单调的充要条件★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()0f f x x x x ->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()0f f x x x x-<-或1212)[()()]0f f x x x x --<（3.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

艺术生高考数学专题讲义考点5函数的性质——单调性奇偶性与周期性

艺术生高考数学专题讲义考点5函数的性质——单调性奇偶性与周期性一、函数的单调性函数的单调性是指函数随着自变量的增大或减小而单调递增或单调递减。

可以通过函数图像或者导数的正负来判断函数的单调性。

1.单调递增如果对于函数f(x)，在定义域上，对于任意的x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则函数f(x)是单调递增的。

2.单调递减如果对于函数f(x)，在定义域上，对于任意的x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)，则函数f(x)是单调递减的。

判断一个函数的单调性可以通过观察函数的图像来进行判断，也可以通过导数的正负来判断。

如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减。

但是需要注意，导数为零的点可能是函数的极值点或拐点，需要进一步进行分析。

二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性。

即对于任意x，在定义域上，f(-x)=f(x)。

1.奇函数如果对于函数f(x)，在定义域上，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。

奇函数的特点是关于原点对称，即函数图像关于原点对称。

2.偶函数如果对于函数f(x)，在定义域上，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。

偶函数的特点是关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。

奇函数和偶函数的图像一般都比较简洁，通常只需要绘制函数图像的一部分即可，然后通过对称性得到完整的图像。

三、函数的周期性函数的周期性是指函数具有重复性，即函数的值在固定的间隔内重复出现。

如果对于函数f(x)，存在正数T，使得对于任意的x，在定义域上，有f(x+T)=f(x)，则函数f(x)是周期函数，周期为T。

周期函数的特点是函数图像在一个周期内有重复性。

周期函数在画图时，只需要绘制一个周期内的图像即可。

需要注意的是，有些函数可能具有不止一个周期。

在绘制图像时，只需要取一个周期即可。

函数的周期性可以帮助我们简化计算，通过观察函数的周期特点，可以得到更快速的结果。

总结：函数的性质包括单调性、奇偶性和周期性。

函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)

函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。

函数的基本性质讲义

函数的基本性质讲义（单调性，最值，奇偶性，周期性）一、单调性1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。

2．证明方法和步骤：（1）设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；（2）作差：)()(21x f x f -；（3）定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；（4）根据定义下结论。

3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴ab x 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加；当0<a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小； 4．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。

二、最值一般地，设函数()=y f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对任意的x I ∈,都有()f x M ≤（或()f x M ≥）;存在0x I ∈，使得()0=f x M ，则称M 是函数)(x f y =的最大值（或最小值）。

三、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。

2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。

若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ；3．判断一个函数的奇偶性的步骤⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性

第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性考纲解读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题.2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.命题趋势研究有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值域）、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查.知识点精讲函数奇偶性定义设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数.性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称；函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记)]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([21)(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇)(÷⨯奇=偶；奇)(÷⨯偶=奇；偶)(÷⨯偶=偶.（7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.函数的单调性定义一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ⊆，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间.注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设],[,21b a M x x =∈且21x x <，则)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x . )(0)()(2121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x .性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减. 一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(x f 为增函数，则)(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ，则xx f y 1)(1==为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立:若)(x f 为增函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.函数的周期性定义设函数))((D x x f y ∈=，如存在非零常数T ，使得对任何D T x D x ∈+∈,，且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D 中的任何一个x ，都满足)()(x f T x f =+；若)(x f 是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合. 性质若)(x f 的周期为T ，则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期，并且有)()(x f nT x f =+. 有关函数周期性的重要结论（如表所示） ()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T -=；（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T -=；（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T -=.题型归纳及思路提示题型16 函数的奇偶性思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(x f 的图像关于原点中心对称，则)(x f 为奇函数；若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性.（1）3|3|36)(2-+-=x x x f ；（2）11)(22-+-=x x x f ；（3）)1(log )(22++=x x x f ；（4）2|2|)1(log )(22---=x x x f ；（5）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .评注利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：①首先必须判断)(x f 的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意x 说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足. ②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则01l o g )1(l o g )1(l o g )()(22222==+++-+=+-x x x x x f x f ，即)()(x f x f -=-，故)(x f 为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.变式1：判断下列函数的奇偶性.（1）xx x x f -+-=11)1()(；（2）24|3|3)(x x x f -+-=；（3）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+=)1(2)11(0)1(2)(x x x x x x f ；（4）|2||2|)(++-=x x x f .变式2：已知函数2lg )2lg()(2-++=x x x f ，试判断其奇偶性.【例2.26】已知函数),0()(2R x x xa x x f ∈≠+=，试判断其奇偶性.评注 ①函数)(x f 是奇函数⇔0)()(=-+x f x f ；函数)(x f 是偶函数0)()(=--⇔x f x f .奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由2x 与x a 通过加法法则运算得到的函数，而2x y =为偶函数，)0(≠=a xa y 为奇函数，故当0≠a 时，)(x f 为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当0=a 时，则2)(x x f =为偶函数.变式1：函数)()1221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数，并且)(x f 不等于零，则)(x f 是（） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数变式2：对于函数R x x f y ∈=),(，“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”是“)(x f 是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例 2.27】定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f ，试判断)(x f 的奇偶性.评注对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1,1,0-=x 等）凑成含有)(x f 与)(x f -的关系的式子，然后进行判断.变式1：已知函数)(x f 在R 上有定义，且对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，试判断)(x f 的奇偶性.变式2：若定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x x ∈21,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ，则下列说法正确的是（）A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.)(x f +1为奇函数D.)(x f +1为偶函数变式3：已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义，且对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+，试判断函数)(x f 的奇偶性.变式4：已知)(x f ，)(x g 在R 上有定义，对任意的R y x ∈,，有)()()()()(y f x g y g x f y x f -=-，且0)1(≠f .(1)求证：)(x f 为奇函数；(2)若)2()1(f f =，求)1()1(-+g g 的值.【例 2.28】已知偶函数1)1()(23++-=mx x a x f 的定义域为),83(2m m m --，则=+a m 2______________.变式1：若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则=a （） 21.A 32.B 43.C 1.D变式2：若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.变式3：若a x f x +-=121)(是奇函数，则=a _____________.变式4：函数k k k x f x x(212)(⋅+-=为常数）为其定义域上的奇函数，则=k ____________.变式5：函数)1)(11(log )(>--=a x kx x f a 为其定义域上的奇函数，则=k __________.【例2.29】已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f =_______________.评注解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.变式1：已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且当0>x 时，2)(x x x f -=，求函数)(x f 的解析式.【例 2.30】已知)(x f 为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：)(x f 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式. 变式1：已知定义在R上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x .若a g =)2(，则)2(f =（）2.A 415.B 417.C 2.a D变式2：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（） A.|)(|)(x g x f +是偶函数 |)(|)(.x g x f B -是奇函数)(|)(|.x g x f C +是偶函数 )()(|.x g x f D -是奇函数【例2.31】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f -的值为（） 3.A 0.B 1.-C 2.-D评注本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当)(x f 为奇函数时，0)()(=+-x f x f ，特别地0)()(max min =+x f x f .变式1：对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2变式2：已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=，5))10(lg(log 2=f ，则=))2(lg(lg f ( )A.5-B.5-C.3D.4变式3：设函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则.______=+n M题型17 函数的单调性（区间）思路提示判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法. 【例2.32】求证：函数)0()(>+=a xax x f 在),[+∞a 上是增函数.评注利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的21,x x 在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1：已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，满足2)()()(++=+y x f y f x f ，当0>x 时，2)(>x f ，求证：)(x f 在R 上是增函数.变式2：定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)()()(b f a f b a f ⋅=+. （1）求证：1)0(=f ；（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）证明：)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围.【例2.33】设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围是（） ),2.[+∞-A ]2,.(--∞B ),2.[+∞C ]2,.(-∞D变式1：下列区间中，函数|)2ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是（） ]1,.(-∞A ]34,1.[-B )23,0.[C )2,1.[D变式2：已知函数a ex f a x ()(||-=为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________________.变式3：定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间]2,1[上是减函数，则)(x f （）A.在区间]1,2[-上是增函数，在区间]4,3[上是减函数B.在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C.在区间]1,2[-上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D.在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数变式4：已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（）)1,0.(A )31,0.(B )31,71.[C )1,71.[D题型18 函数的周期性思路提示（1）)0(||)()(≠=⇒=+a a T x f a x f ；)(||)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+=+；（2）)0(||2)()(≠=⇒-=+a a T x f a x f ； )(||2)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+-=+； )0,(||2)()(≠≠-=⇒=+⋅+c b a b a T c b x f a x f . （3）)0(||6),2()()(≠=---=a a T a x f a x f x f .【例 2.34】已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则=)2014(f ___________.变式1：函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f ____.【例2.35】已知函数)(x f 满足),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==，则=)2010(f _____________.【例2.36】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（） A.0 B.21 C.1 D.25评注本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当Z x ∉时，xx f x x f )(1)1(=++.令x x f x g )()(=，则1)1()1(++=+x x f x g .所以)()1(x g x g =+，1=T ，令21-=x ，得0)21(),21(21)21(21)21(21==-=-f f f f .因为)21(25(g g =），即021)21(25)25(==f f .故0)25(=f .变式1：已知a 为非零常数，R x ∈且)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，试判断)(x f 的周期性.题型19 函数性质的综合思路提示（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍. 如函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b 中心对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f --=--=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 的图象关于直线a x =和直线b x =轴对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=-=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 关于点)0,(a 中心对称，且关于直线b x =轴对称，可得)(||4b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=--=，所以)2()2(x b f x a f -=--，故)()44(x f x a b f =+-，||4b a T -=.【2.37】定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则当*N n ∈时，有（）)1()1()(.+<-<-n f n f n f A )1()()1(.+<-<-n f n f n f B )1()()1(.-<-<+n f n f n f C )()1()1(.n f n f n f D -<-<+变式1：已知定义域为R 的函数)(x f 在区间),8(+∞上减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（）)7()6(.f f A > )7()6(.f f B > )9()7(.f f C > )10()7(.f f D >变式2：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（）)32,31.(A )32,31.[B )32,21.(C )32,21.[D变式3：设函数)(x f 是奇函数，并且在R 上为增函数，若20πθ≤≤时，0)1()s i n (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（）)1,0.(A )0,.(-∞B )21,.(-∞C )1,.(-∞D变式4：设函数}{,1)3()(3n a x x x f -+-=是公差不为0的等差数列，14)(...)()(721=+++a f a f a f ，则=+++721...a a a （）A. 0B. 7C. 14D. 21【例2.38】函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则（）A.)(x f 是偶函数B.)(x f 是奇函数C.)2()(+=x f x fD.)2(+x f 是奇函数变式1：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =，)2(),2(f c f b ==，则c b a ,,的大小关系是（）c b a A >>. b c a B >>. a c b C >>. a b c D >>.变式2：已知定义在R 上奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（）)80()11()25(.f f f A <<- )25()11()80(.-<<f f f B)25()80()11(.-<<f f f C )11()80()25(.f f f D <<-【例 2.39】定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则)7()4()1(f f f ++=( )1.-A 0.B 1.C 4.D变式1：已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（）A.6B.7C.8D.9【例 2.40】函数)(x f 的定义域为D ，若对任意的D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在]1,0[上为非减函数，且满足以下3个条件：①0)0(=f ；②)(21)3(x f xf =；③)(1)1(x f x f -=-，则=+)81()31(f f ( ) 43.A 21.B 1.C 32.D变式1：定义在R 上的函数满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(21)3(x f xf =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20101(f ___________.变式2：设)(x g 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数)()(x g x x f +=在区间]4,3[上的值域为]5,2[-，则)(x f 在区间]10,10[-上的值域为_____________.变式3：对于定义域为]1,0[的连续函数)(x f ，如果同时满足以下3个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ；②1)1(=f ；③若1,0,02121≤+≥≥x x x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立，则)(x f 为理想函数.（1）若函数为理想函数，求)(x f 的值域；（2）判断函数])1,0[(12)(∈-=x x g x是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数)(x f 为理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =.最有效训练题6（限时45分钟）1.已知函数)32(log )(22--=x x x f ，现使)(x f 为减函数的区间是（）)6,3.(A )0,1.(-B )2,1.(C )1,.(--∞D2.已知函数]3,2[,)(2-∈=x x x f ，如果存在实数]3,2[,21-∈x x ，使得对任意实数]3,2[-∈x ，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则||21x x -的值是（）A.0B.2C.3D.53.函数)(x f )(R x ∈的图象如图所示，则下列哪个区间是函数)10)((log )(<<=a x f x g a 的单调减区间（）]21,0.[A ),21[)0,.(+∞-∞ B ]1,.[a C ]1,.[+a a D4.已知函数⎩⎨⎧≥<-=)2()2()4()(x a x x a x f x 在R上单调递增，则a 的取值范围是（） ]4,1.(A )4,2.(B )4,2.[C ),4.(+∞D5.函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)1,0(∈x 时，12)(-=x x f ，则)12(log 2f 的值为（）31.A 34.B 2.C 11.D 6.设2)(3-+=x x x f ，若5)(,1)(-==b f a f ，则=+b a ( )2.-A 0.B 1.C 2.D7.设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，则实数=a __________.8.(1)奇函数)(x f 的定义域为]5,5[-，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集是__________.(2)已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是________.9．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且2()()23f x g x x x +=++，则()()f x g x -=_________. 10.已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+()x R ∈的最大值为M ,最小值为m ，则M m +的值为___________. 11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-.当[0,2]x ∈时, 2()2f x x x =-.（1）求证: ()f x 是周期函数；（2）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++.12．已知定义域为R 的函数1()41x f x a =++是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.。

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第03讲函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）【考纲解读】2. 函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．【知识梳理】 1.单调性定义：①∈∀21,x x 区间M(A M ⊆定义域), 012>-∆x x 若②()()012>-=∆x f x f y ，则③()x f 在M 上是增函数(M 称为增区间)；若②()()012<-=∆x f x f y ，则③()x f 在M 上是减函数(M 称为增区间). 函数单调性题目类型（1）利用定义的常见单调性题目： ①②⇒③,判断函数的单调性； ②③⇒①,判断自变量大小； ①③⇒②，判断函数值的大小。

（2）已知单调性，反求参数范围；（3）利用导数研究函数单调性；（4）利用已知函数的图像研究函数单调性; （5）复合函数的单调性 2.奇偶性定义：（1）若()()x f x f D x =-∈∀，,则()x f 是偶函数；若()()000x f x f D x =/-∈∃，使得，则()x f 不是偶函数；（2）若()()x f x f D x -=-∈∀，,则()x f 是奇函数；若()()000x f x f D x -=/-∈∃，使得，则()x f 不是奇函数；注意：定义的否定形式.3.周期性:定义：若存在非零常数T ，使得()()x f T x f D x =+∈∀，, 则()x f 为周期函数，T 是一个周期.4.对称性（1）偶函数的图像关于y 轴对称；（2）奇函数的图像关于原点对称；（3）指数函数xa y =和对数函数x y a log =是互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称；（4）若()x f 满足()()x a f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线a x =对称；（5）若()x f 满足()()x a f x a f +-=-，则()x f 的图像关于点()0，a 对称；（6）若()x f 满足()()xb f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线2ba x +=对称；（7）若()x f 满足()()x a f b x a f +-=-2，则()x f 的图像关于点()b a ，对称；【典例精讲】考点一单调性例1.（15湖南理）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A. 【解析】试题分析：显然，)(x f 定义域为)1,1(-，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-， ∴)(x f练习（2012山东理）设0a >且1a ≠, 则“函数()xf x a =在R 上是减函数”,是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2006北京）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (C)（A ）(0,1)（B ）1(0,)3（C ）11[,)73 （D ）1[,1)7考点二奇偶性例2. （2013上海春）已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.(1)将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标;(2)求函数22()log 4xh x x=- 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b,使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2y x x =+-++, 整理得33y x x =-,由于函数33y x x =-是奇函数,由题设真命题知,函数()g x 图像对称中心的坐标是(1 2)-，.(2)设22()log 4x h x x=-的对称中心为( )P a b ，,由题设知函数()h x a b +-是奇函数.设()(),f x h x a b =+-则22()()log 4()x a f x bx a +=--+,即222()log 4x af x ba x+=---. 由不等式2204x a a x+>--的解集关于原点对称,得2a =.此时22(2)()log (2 2)2x f x b x x+=-∈--，，. 任取(2,2)x ∈-,由()()0f x f x -+=,得1b =, 所以函数22()log 4x h x x =-图像对称中心的坐标是(2 1)，. (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像,但是对任意实数a 和b ,函数()y f x a b =+-,即y x a b =+-总不是偶函数.修改后的真命题:“函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数”. 练习2.（2013山东理）已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 【答案】A考点三周期性例3.（2012江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-，上,0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为____.练习（2013大纲文13）设()x f 是以2为周期的函数，且当]3,1[∈x 时，()2-=x x f 则()1-f 的值为【参考答案】练习(2009陕西卷理)定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->.则当*n N ∈时,有 (A)()(1)(1)f n f n f n -<-<+(B) (1)()(1)f n f n f n -<-<+(C) (C)(1)()(1)f n f n f n +<-<- (D) (1)(1)()f n f n f n +<-<-考点四综合问题例 4.（15年新课标2文科）设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()12121213f x f x f x f x x x >-⇔>-⇔>-⇔.故选A.考点：函数性质练习4.（2013江苏11）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为．【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。

由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。

不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。

【基础夯实】1.（15福建文）下列函数为奇函数的是( )A ．y x =B ．xy e = C ．cos y x = D ．x xy e e -=- 【答案】D 【解析】试题分析：函数y x =和x y e =是非奇非偶函数；cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性．2.(2010重庆理5) 函数41()2x xf x +=的图象xyy ＝xy ＝x 2—4P (5,5) Q (﹣5, ﹣5)（A ）关于原点对称（B ）关于直线y ＝x 对称（C ）关于x 轴对称（D ）关于y 轴对称【答案】D解析：)(241214)(x f x f xxx x =+=+=--- )(x f ∴是偶函数，图像关于y 轴对称.3.（2013湖北文）x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数()[]f x x x =-在R 上为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【答案】D 4.（2013湖南文4）已知()x f 是奇函数，()x g 是偶函数，且()2)1(1=+-g f ，()4)1(1=-+g f ，则()=1g 【参考答案】B5.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（） A ．2sin y x x = B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2xy -=【答案】B 【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.6.（15广东理）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+=C ．x xy 212+= D ．21x y += 【答案】A ．【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以xy x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题． 7.（2014·北京）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝(x ＋1) A8.（15陕西文）设()sin f x x x =-，则()f x =（）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数【答案】B 【解析】 ()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=-又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数； ()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数. 故答案选B 考点：函数的性质.9.[2014·福建]已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x>0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是增函数C ．f(x)是周期函数D ．f(x)的值域为[－1，＋∞) D10.（2010山东理4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D【解析】因为f(x)为定义在R 上的奇函数,所以有0f(0)=2+20+b=0⨯,解得b=-1,所以当x 0≥时, xf(x)=2+2x-1,即f(-1)=-f(1)=12+21-1=-3⨯-（）,故选D. 【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键.11.（2011上海理13）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 .[15,11]-(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．【答案】1 【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m≥，所以实数m 的最小值等于1．考点：函数的图象与性质．14.（15新课标1理）若函数()()2ln x a x x x f ++=为偶函数，则a= 【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +-=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 15.（2014·新课标Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．(－1，3)【能力提升】 1.（2013广东理）定义域为R 的四个函数3y x =, 2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4 B.3 C.2 D.【答案】C2.（2012福建理）设函数1,()0,D x ⎧⎪=⎨⎪⎩x x 为有理数为无理数,则下列结论错误的是（）A ．()D x 的值域为{}0,1B ．()D x 是偶函数C ．()D x 不是周期函数 D ．()D x 不是单调函数 3.（2009安徽9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称。