弹箭的飞行运动方程组与稳定理论

飞航力学 4.§1 弹6.体1 质基心本运假动设方程
二、基本假设
则复杂的刚体在空中的运动简化成两个独立的 方程组来研究：
一组表示弹丸质心的运动(δ=0)，而且是一个 平面运动。由于δ的实际存在，使迎面阻力Rx增大 ，由增大的弹道系数c来修正；
另一组表示弹丸围绕其质心的运动(弹丸的飞行 稳定性理论）。
空气阻力。据此可以写出弹丸质心运动的矢量方程:
mdv dt
Rx
mg
dv dt
ax
g
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4.1 弹体质心运动方程 三、主要变量
dv dt ax g
以时间t为自变量的弹丸质心运动方程组，常 用的有与地球相固联的所谓直角坐标系和随质心 运动的速度坐标系(自然坐标系)。
飞航力学
4.1 弹体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
四、地面直角坐标系的质心运动方程
空气阻力加速度 ax c( Hy)G(v)v 速度分量 vx vco , s vy vsi n
则
ddvxtcH(y)G(v)vx
ddvytcH(y)G(v)vy g
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4由.1于弹有：体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
由于坐标x，y对于时间t的导数分别为：
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飞航力学
教学计划
弹箭的飞行运动方程组与稳定理论（10学时）
4.1 弹体质心运动方程（掌握） 4.2 弹体刚体运动方程（了解） 4.3 弹体飞行稳定理论（掌握）
飞航力学
4.1 弹体质心运动方程
一 、质心运动方程
在弹箭设计、研制与试验过程中，为了达到所 需要的射程，需要进行大量的弹道计算、分析与试 验。在弹箭总体方案设计时也需要建立外弹道模型 ，进行计算机仿真。由于通常在弹箭方案设计阶段 ，还不知弹丸的具体结构参数以及气动力数据，难 以进行弹丸刚体弹道计算。
向按右手法则确定；
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4.1 弹体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
在基本假设下，弹体仅受重力和空气阻力作用，
则由牛顿第二定律：
m dv dt
Rx
mg
dv dt
ax
g
将矢量方程投影
在x、y轴上，有：
dvx dt
ax cos
dvy dt
ax
sing
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4由.1于弹有：体质心运动方程
其中：
c 为弹道系数
G(v) 80000nCx0nv
p tg w
θ
u
t
以上五个变量均可作为自变量来
组成弹体的质心运动方程组。
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4.1 弹体质心运动方程 三、主要变量
但实际上根据需要，常作为自变量的有t、x、y
等。有一些特殊问题中，也采取弹道弧长s作为自变
量，因为ds=vdt，s可以消除系数中的变量v，使方
程简化。在基本假设下作用于弹体的力仅有重力和
在地面坐标系下的弹体质心运动方程组，是将 上述方程中的各项投影到地面坐标系内得到的，如 下图。
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4.1 弹体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
复习： 地面坐标系—与地面固连的坐标系，以弹道起
点为坐标原点，以射击面和弹道起点水平面的交线
为x轴，顺射向为正，y轴铅直面向上为正，z轴方
飞航力学 4.§1 弹6.体1 质基心本运假动设方程
二、基本假设
这样，弹体在空中的运动就成为一个复杂的刚体 运动，需要六个二阶微分方程来求解。三个描述弹丸 的质心运动，三个描绘弹丸围绕其质心的运动。
实际上，对于飞行稳定的一般弹体，章动角δ总
是很小，弹体围绕质心运动对其质心运动的影响不大 。因而在研究弹体质心运动时，可以暂时忽略围绕质 心力矩对它的影响。
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4.1 弹体质心运动方程 二、基本假设
研究弹体质心的运动，首先做基本假设：
1.弹体外形和质量分布均为轴对称； 2.弹体运动速度与弹轴之间的夹角(攻角)为零;
3.地表面为平面，即不考虑地球曲率的变化影响； 4.重力加速度的大小不变，方向始终铅垂向下；
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4.1 弹体质心运动方程 二、基本假设
心运动对其质心运动的影响不大。 2、由于制造公差严格控制，弹体外形不对称、质心偏离以 及前后不共轴总是非常小的。 3、重力加速度随高度和纬度的微小变化，以及地表曲率的 微小变化和科氏加速度的影响等等，在射程不太大时，对 弹道影响不大。
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4.1 弹体质心运动方程 二、基本假设
对于外弹道学基本问题，其假设的依据为 ： 4、实际气象条件(如气温、气压、风雨等)，在弹丸方案设
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4.1 弹体质心运动方程
一 、质心运动方程
因此，需要首先建立弹箭质点弹道模型，进行 弹道计算分析，以比较设计方案的优劣。而当弹箭 已经设计好后，就需要进行精确的弹道计算和射表 编制，此时，就需要将弹丸看成是一个刚体，考虑 影响其飞行性能的各种因素，进行弹箭刚体弹道计 算，以获取弹丸设计方案的改进技术途径。
计阶段进行弹道方案计算比较时，可以暂时忽略不计。
在上述基本假设下，弹丸仅受重力和空气阻力的作用。
由牛顿第二定律可以得到弹丸质心运动矢量方程：
mdv dtBiblioteka Baidu
Rx
mg
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4.1 弹体质心运动方程 三、主要变量
解决弹丸质心在空中运动，要知道变量t、x、y、v和 θ五个变量之间的函数关系，如图所示。
v u2w2u1p2
dx dt
vx， ddyt
vy
θ
p tg w
dp g
u
dy
t
d dp td dp yd dytgd dytgyv
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4.1 弹体质心运动方程
四、地面直角坐标系的质心运动方程
基本假设条件下地面直角坐标系内弹体质心运动方程组：
dvx dt
cH(y)G(v)vx
ddvytcH(y)G(v)vy g
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4.1 弹体质心运动方程
二、基本假设
对于飞行稳定性良好的弹体，在飞行中弹轴和速
度矢量线间总是存在一个不大的章动角(攻角)δ，因而
气流对弹体的速度矢量线就不再对称，此时阻力作用线
既不通过质心，也不与速度矢量线平行，形成一个使弹
体围绕质心运动的静力矩。
RC
v R C
M
ξ
δ v
ξ δ=0
δ≠0
研究弹体质心的运动，首先做基本假设：
5.不考虑科氏惯性力（因地球自转产生的力）的 影响，科氏加速度为零 6.气象条件为标准气象条件，无风雨。
在上述假设下来研究弹丸质心运动的问题叫 外弹道学基本问题。
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4.1 弹体质心运动方程 二、基本假设
对于外弹道学基本问题，其假设的依据为 1：、对于飞行稳定的弹体，一般攻角总是很小，弹体围绕质