异面直线所成的角的求法
异面直线所成角的几种求法资料讲解
异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
异面直线所成角的三种经典求法
直 线 所成 角 的通 法 ， 常见 是 “ 一 静 一
动” ：将 另 一 直 线 平移 至 已知 点 ， 通
Ｄ ＋ Ｄ ｃ 。 一 Ｅ ｃ ２ ＋（ ２ 、 ／２） 一 ２
２ Ｄ Ｅ・ ＤＣ ２． ２． ２ 、 ／
过 求 解 三 角形 来 解 决 异 面 直 线所 成
２ 定 理 可得 ｃ 。 ｓ Ｄ 剧 — ＤＥ ％Ｅ Ｆ ＤＦ２
－
方 法 归 纳 ２： 补 形 法 的 实 质 是 将 直 线往 更 多的 “ 地 方” 平移 ， 其 目 的 也 是将 异 面 直线 所成 的 角平 面化．
—
：
方法 四 ： 建 立 空 间 直 角 坐标 系 ，
盟
图１
可 ．不 过 这 里 要 注 意 向 量 夹 角 与 异
± 皇 ： 二 ： ：
２ 。 ４ １・曰
Ａ Ｂ
．
所 以
２
加 ４１ ＝ ．
图２
面 直 线 所 成 的 角 的 取 值 范 围 不 一
样． 雹
Ａ Ｂ ＝ ２ Ｖ ， Ａ Ｄ
１ ＝ ２ ， 求 异 面 直 线
Ａ Ｄ ＝Ｘ ／ — Ｄ Ｄ ］ ＋ — Ａ Ｄ ｚ ＝ 、
Ｄ
，．
－ ２ 、 ／ ，
图４
ＤＥ与ＡＢ 所 成 的 角．
ＡＤｌ ＝
．在 Ｒ ｔ ＡＤ Ｄ￣ Ｂ中 ，
Ｄ Ｅ ＝ 肋 ＝ ２ ．＆ ＡＤ Ｅ Ｆ ￣ ， 由余 弦
， １ ） ， ＝ （ ０ ， ２ 、 ／ ， ０ ） ．
、 ／ 可
＝ Ｖ２ ２ ＋ （ ２ 、 ／ ） ２ ＋ ２ ＝ ４ ．
二
设 异 面 直 线Ｄ Ｅ与ＡＢ所 成 的 角 为 ，
异面直线所成的角求法课件
答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一
异面直线所成的角求法课件
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
异面直线所成的角的求法
• (2)求两条异面直线所成角的关键是作出这 两条异面直线所成的角，作两条异面直线 所成的角的方法是：将其中一条平移到某 个位置使其与另一条相交或是将两条异面 直线同时平移到某个位置使它们相交，然 后在同一平面内求相交直线所成的角．值 得注意的是：平移后相交所得的角必须容 易算出，因此平移时要求选择恰当位 置．一般提倡像思路2、思路3那样作角， 因为此角在几何体内部，易求．
F
EG1AF 3a. FG 1D F1 3AB 3a.
2
4
2 22
4
E GD C
C G F2G F2C (3A)2B (1A)2B 7a .
4
2
4
在 EG中 C用余弦 co定 sG理 EC 2得 .
3
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
2 3
11．A为正三角形BCD所在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中
典例剖析
D
C
A
B
D D1
1
C1
D1
A1
B
1
例1：如图正方体AC1， ①求异面直线AB1和CC1所成角的
大小
②求异面直线AB1和A1D所成角的 大小
〖分析〗 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解
解: ①∵ CC1//BB1 ∴ AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 ∵ 在△ABB1中，AB1和BB1所成的角是450 ∴ 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。
预备知识 角的知识
正弦定理a=2RsinA A
2
bc sinA
C
c aB
余弦定理
A
cosA= b2 c2 a2
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成的角求法答案新整理
异面直线所成的角的两种求法初学立几的同学，遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。
难在何处? 不会作！下面介绍两种求法一.传统求法 ------- 找、作、证、求解。
求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。
平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便平移面的确定: 般是过两异面直线中某条直线的个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。
例1 设空间四边形ABCD E、F、G H分别是AC BC DB DA的中点，若AB=12-.2 , CD= 4、2，且四边形EFGH勺面积为12 .3 , 求AB和CD所成的角.n 解？由三角形中位线的性质知，HG/ AB HE// CD••• / EHG就是异面直线AB和CD所成的角.••• ? EFGH是平行四边形，H* - AB = 62，2HP1, CD= 2 3,2••• ? S EFGH = HG HE- sin / EHG= 12 6 sin / EHG 「12 6 sin / EH& 12 ,3.••• ? sin / EH& —,故/ EH &45°2••• ? AB 和CD 所成的角为45°注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD 二BCE 、F 分别是AB CD 的中点，且EF —2 AD,2 求异面直线AD 和BC 所成的角。
（如图）解：设G 是AC 中点，连接DG FG 因D 、F 分别是AB CD 中点，故 EG/ BC 且 EG 」BC, FG// AD 且 2 FG 」AD 由异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成2锐角或直角为异面直线 AD BC 所成角，即/ EGF 为所求。
由BC 二ADD EG 二GF^AD 又EF=AD 由余弦定理可得 cos /EGF=0即/ EGF=902注：本题的平移点是 AC 中点G,按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行 线，然后在厶EFG 中求角。
异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
在立体几何中，求解异面直线所成的角，可以采用以下步骤：
1.确定两条异面直线，并选择其中一条作为基准。
2.在这条基准直线上选择一个点，作为求解异面直线所成角的起点。
3.分别过这条基准直线上的点和另一条异面直线作平面，这两个平面会相交
于一条直线。
4.计算这条交线与基准直线的夹角，即为异面直线所成的角。
具体来说，假设两条异面直线分别为$l_1$和$l_2$，其中$l_1$为基准直线，点$P$在$l_1$上，过点$P$和$l_2$作平面$\alpha$和$\beta$，两平面相交于直线$m$。
由于$m$与$l_1$的夹角是异面直线$l_1$和$l_2$所成的角，记作$\angle l_1 m l_2$。
为了求解$\angle l_1 m l_2$，可以在平面$\alpha$上过点$P$作直线$n \parallel l_2$，交直线$m$于点$Q$。
由于$\angle l_1 PQ$是两平面$\alpha$和$\beta$的夹角，也是直线$l_1$和直线$m$的夹角，记作$\angle l_1 m l_2'$。
因此，异面直线所成的角$\angle l_1 m l_2 = \angle l_1 m l_2'$。
通过以上步骤，我们可以求解出异面直线所成的角。
异面直线所成的角求法课件
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
向量法是求解空间几何角的一种常用方法。通过向量的点积和叉积运算，可以求解出两个向量之间的 夹角，从而得到空间几何角的大小。
三角函数法
三角函数法也是求解空间几何角的一种常用方法。通过构造直角三角形或者利用三角函数的性质，可 以求解出空间几何角的大小。这种方法通常适用于一些比较简单的空间几何图形。
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入Βιβλιοθήκη 面直线的定义定义不在同一个平面上的两条直线称 为异面直线。
判定定理
平面内一点和平面外一点的连线 ，与平面内不经过该点的直线是 异面直线。
03
几何法求解异面直线所成角
平行线间距离与夹角关系
平行线间距离
两平行线间的距离是一个定值，等于其中一条直线上任取一点到另一条直线的垂 线段长度。
夹角关系
两异面直线分别与第三条直线相交，所得到的两个夹角相等或互补。因此，可以 通过求解其中一个夹角来得到异面直线所成的角。
利用平行线间距离求解异面直线所成角步骤
根据夹角判断异面直线所成的 角是锐角还是钝角。
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
解析
求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法
答：求异面直线所成夹角的方法有许多，现介绍三种常用的方法。
1、利用角的三角形解法：由定义可知，先将两条直线分别定义为“a” 与“b”，令其与第三条直线“c”相交，所成的角度取为α 。
所以，解题方法为：通过构造三角形，将直线“a” 与“b” 也作入三角形中，利用角的三角形解法解得α所需夹角（又称夹角α ）。
2、利用直线的数学方程解法：在平面几何中，任意两条直线可以有唯一的数
学方程表示，令其方程分别为 y=ax+b 与 y=cx+d，则求夹角α 需用到斜率公式，即tanα = (c-a)/(1+ad-bc) 。
3、利用夹角角度解法：运用角度解法，对两条直线做夹角测角，得到两条直
线夹角的度数α 。
总之，我们能够根据自身需求，使用以上几种方法都可以轻松求出异面直线所
成夹角。
基本思路就是通过三角形的角度计算，直线的方程数学计算等方法来确定异面直线的夹角。
求异面直线所成角的基本方法
求异面直线所成角的基本方法
答案：几何法和向量法求所成角
一、几何法
1.平移法。
将两条直线或其中一条平移（找出平行线）至它们相交，把异面转化为共面，用余弦定理或正弦定理来求（一般是余弦定理）。
一般采用平行四边形或三角形中位线来构造平行线。
2.三余弦定理法。
运用三余弦定理关键是要找出一条直线a所在的平面α和另一条直线b在该平面α内的射影，求出b与α所成角以及a与b的射影b‘所成角，进而求a与b所成角。
3.三棱锥法。
三棱锥（四面体）中两条相对的棱互为异面直线，设有四面体ABCD，其中AD与BC互为异面直线，那么它们所成角θ满足以下关系：
运用该公式也可以求异面直线所成角。
二、向量法
1.向量几何法。
运用向量的加减法规则，把要求的异面直线用向量表示，并运用向量的运算法则（例如分配律、共线向量）来求出cosθ
2.向量代数法。
当容易找到三条两两垂直的直线时，可以以它们的交点为坐标轴原点建立直角坐标系，运用代数方法计算。
如何求异面直线所成的角
在高一阶段，我们常用的方法有以下三种：
（1）直接平移法：通常的思路是：在两条异面直线其中一条上面选一个端点，引另一条的平行线。
（2）中位线平移（尤其是图中出现了线段的中点时）
（3）补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
最新异面直线所成的角求法-总结加分析
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
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异面直线所成的角的求法
法一：平移法
在正方体 ABCD A i B i C i D i 中，求下列各对异面直线所成的角。
恵，求直线AB 与CD 所成的角。
习题1•在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2, E, F 分别为AB 、CD 的中点，EF =为, 求AD 、BC
所成角的大小.
例1: (1)
AA 1 与 BC ; (2) DD 1 与 AB ;
(3)
A i
B 与 A
C 。
法二： 例2: 求直线AB 与MN 所成的角。
中位线
在空间四边形 ABCD 中，AB = CD ，且AB
CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点,
变式：在空间四边形 ABCD 中，点M 、N 分别为 BC 、AD 的中点，AB = CD = 2,且 MN =
正 ABC 的边长为a , S 为 ABC 所在平面外的一点，SA = SB = SC = a, E , F 分别 是SC 和AB 的中点.求异面直线 SA 和EF 所成角.
S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC ,且 ASB = BSC =
CSA = - , M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线 SM 与BN 所成的角的 余弦值.
如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ BCA = 90° M 、N 分别是 A i B i 和A i C i 的中 点，
若BC = CA = CC i ，求BM 与AN 所成的角.
5.如图1 — 28的正方体中，E 是A D 勺中点
(1) 图中哪些棱所在的直线与直线
BA 成异面直线？
(2) 求直线 (3) 求直线 (4) 求直线
2.
3. 4
. BA 和CC 所成的角的大小； AE 和CC 所成的角的正切值; AE 和BA 所成的角的余弦值 B
A
（图 1— 28）
变式1.如图，在正方体 ABCD-A I B I C I D I 中，E 、F 分别是相邻两侧面 BCC i B i 及 的中心。
求A I E
和B i F 所成的角的余弦值。
2.已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a , M 、N 分另U 为BC 和AD 设AM 和CN 所成的角为a 求cos a 的值。
法三：补形法
例3:如图，PA 丄平面 ABC , / ACB=90。
且PA=AC=BC ，求下列各 对异面直线所成的角的正切值 .(1) PB 与AC ; (2)AB 与PC 。
法四：空间向量法
例4：在正方体 ABCD A i B i C i D i 中，E 、F 分别是BB ,,CD 的中点，求证:
AE D i F
CDD 1C 1
的中点,
C
D
3.已知空间四边形 ABCD 中，AB=CD=3，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且 BE : EC=AF : FD=1 : 2，EF= J 7，求AB 和CD 所成的角的大小。
AE 与D i C 所成的角。
利用模型求异面直线所成的角
模型引理：已知平面
a 的一条斜线a 与平面a 所成的角为 也，平面a 内的一条直线
b 与斜线 a 所成的角为e,与它的射影a'所成的角为 他。
求证：cos 0 = cos ・e cos 2。
法五: 证明垂直法 例5： 在正方体ABCD 角。
变式: 在长方体 ABCD
A i BQD i 中，E 、F 分别是B
B i ,CD 的中点，求AE 与D j F 所成的
AB i C i D i 中，E 是 BB i 的中点， AA 1 2,AB BC 42，求
D
/
1.如图，MA 丄平面 ABCD ，四边形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a ，试求异面直线 MB 与AC 所成的角。
2已知三棱柱 ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，
A i 在底面ABC 上的射影为BC 的中
点，则异面直线 AB 与CC 1所成的角的余弦值为（）
(A ) (C )
II
3.如图，在立体图形 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一个直角梯形， / BAD=90° ,AD//BC ,AB=BC=a ， AD=2a ，且PA 丄底面 ABCD ，PD 与底面成 30。
角，AE 丄PD 于D 。
求异面直线 AE 与CD 所成 的角的余弦
值。
D
(D)
B i
练习题：
1.在正四面体ABCD中，点M、N分别为BC、AD的中点，则直线AB与MN所成的角为
2.长方体ABCD —A i B i C i D i 中，AA i=AB=2, AD=1，点E、F、G 分别是DD i、AB、CC i
的中点，则异面直线A I E与GF所成的角为
3.直三棱柱ABC AB1C1中，若BAC 90，AB AC AA，则异面直线BA1与AC1
所成的角等于
4.已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA, 2AB, E为AA,中点，则异面直线BE与CD1
所成的角的余弦值为
5.已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE, SD所
成的角的余弦值为
6•如图1, P是正方形ABCD所在平面外一点，PD 平面ABCD , 与BD所成
的角的度数为____________________________ .
PD AD，贝U PA 7。
设空间四边形ABCD E、F、G H分别是AC BC DB DA的中
点，若AB= 12^2 ,CD= 4 罷，且四边形EFGH的面积为12 / ,
则AB和CD所成的角为
8.如图PA 平面ABCD,ABCD 为正方形，且PA=AB,M、N分别为PB、CD 的中点，求（1）PA与CD所成的角；
PD与BC所成的角；
PD与AC所成的角；
MN与PA所成角的余弦值；
MN与BC所成角的余弦值；
MN与BD所成角的余弦值；B
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)。