异面直线所成的角的求法

异面直线所成的角的求法

法一：平移法

在正方体 ABCD A i B i C i D i 中，求下列各对异面直线所成的角。

恵，求直线AB 与CD 所成的角。

习题1•在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2, E, F 分别为AB 、CD 的中点，EF =为, 求AD 、BC

所成角的大小.

例1: (1)

AA 1 与 BC ; (2) DD 1 与 AB ;

(3)

A i

B 与 A

C 。

法二： 例2: 求直线AB 与MN 所成的角。

中位线

在空间四边形 ABCD 中，AB = CD ，且AB

CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点,

变式：在空间四边形 ABCD 中，点M 、N 分别为 BC 、AD 的中点，AB = CD = 2,且 MN =

正 ABC 的边长为a , S 为 ABC 所在平面外的一点，SA = SB = SC = a, E , F 分别 是SC 和AB 的中点.求异面直线 SA 和EF 所成角.

S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC ,且 ASB = BSC =

CSA = - , M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线 SM 与BN 所成的角的 余弦值.

如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ BCA = 90° M 、N 分别是 A i B i 和A i C i 的中 点，

若BC = CA = CC i ，求BM 与AN 所成的角.

5.如图1 — 28的正方体中，E 是A D 勺中点

(1) 图中哪些棱所在的直线与直线

BA 成异面直线？

(2) 求直线 (3) 求直线 (4) 求直线

2.

3. 4

. BA 和CC 所成的角的大小； AE 和CC 所成的角的正切值; AE 和BA 所成的角的余弦值 B

A

（图 1— 28）

变式1.如图，在正方体 ABCD-A I B I C I D I 中，E 、F 分别是相邻两侧面 BCC i B i 及 的中心。求A I E

和B i F 所成的角的余弦值。

2.已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a , M 、N 分另U 为BC 和AD 设AM 和CN 所成的角为a 求cos a 的值。

法三：补形法

例3:如图，PA 丄平面 ABC , / ACB=90。且PA=AC=BC ，求下列各 对异面直线所成的角的正切值 .(1) PB 与AC ; (2)AB 与PC 。

法四：空间向量法

例4：在正方体 ABCD A i B i C i D i 中，E 、F 分别是BB ,,CD 的中点，求证:

AE D i F

CDD 1C 1

的中点,

C

D

3.已知空间四边形 ABCD 中，AB=CD=3，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且 BE : EC=AF : FD=1 : 2，EF= J 7，求AB 和CD 所成的角的大小。

AE 与D i C 所成的角。

利用模型求异面直线所成的角

模型引理：已知平面

a 的一条斜线a 与平面a 所成的角为 也，平面a 内的一条直线

b 与斜线 a 所成的角为e,与它的射影a'所成的角为 他。求证：cos 0 = cos ・e cos 2。

法五: 证明垂直法 例5： 在正方体ABCD 角。

变式: 在长方体 ABCD

A i BQD i 中，E 、F 分别是B

B i ,CD 的中点，求AE 与D j F 所成的

AB i C i D i 中，E 是 BB i 的中点， AA 1 2,AB BC 42，求

D

/

1.如图，MA 丄平面 ABCD ，四边形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a ，试求异面直线 MB 与AC 所成的角。

2已知三棱柱 ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，

A i 在底面ABC 上的射影为BC 的中

点，则异面直线 AB 与CC 1所成的角的余弦值为（）

(A ) (C )

II

3.如图，在立体图形 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一个直角梯形， / BAD=90° ,AD//BC ,AB=BC=a ， AD=2a ，且PA 丄底面 ABCD ，PD 与底面成 30。角，AE 丄PD 于D 。求异面直线 AE 与CD 所成 的角的余弦

值。

D

(D)

B i

练习题：

1.在正四面体ABCD中，点M、N分别为BC、AD的中点，则直线AB与MN所成的角为

2.长方体ABCD —A i B i C i D i 中，AA i=AB=2, AD=1，点E、F、G 分别是DD i、AB、CC i

的中点，则异面直线A I E与GF所成的角为

3.直三棱柱ABC AB1C1中，若BAC 90，AB AC AA，则异面直线BA1与AC1

所成的角等于

4.已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA, 2AB, E为AA,中点，则异面直线BE与CD1

所成的角的余弦值为

5.已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE, SD所

成的角的余弦值为

6•如图1, P是正方形ABCD所在平面外一点，PD 平面ABCD , 与BD所成

的角的度数为____________________________ .

PD AD，贝U PA 7。设空间四边形ABCD E、F、G H分别是AC BC DB DA的中

点，若AB= 12^2 ,CD= 4 罷，且四边形EFGH的面积为12 / ,

则AB和CD所成的角为

8.如图PA 平面ABCD,ABCD 为正方形，且PA=AB,M、N分别为PB、CD 的中点，求（1）PA与CD所成的角；

PD与BC所成的角；

PD与AC所成的角；

MN与PA所成角的余弦值；

MN与BC所成角的余弦值；

MN与BD所成角的余弦值；B

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)