开放性和探索性问题

又由2得 2x22a xa210的判别式 4(2a2)
于是当 a 2 ，或 a 2 时，BC：
当 a 2 时，BCa2, a2
此时显然
12aa2
,1a2 1a2
a2,a2
当 2a 2 时，BC有两个元素，其中
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a 1，则 AB
a 1 则由
ax y 1
x
2
y2
1
，
得x,y 1 ,1 a ,
长郡中学高三数学组
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解决这类问题的途径:通过分析判断， 演绎推理，观察联想，化归转化，尝试 探求，猜想验证等多种思维形式去寻找 解题途径。
探索性问题分条件探索性问题，结 论探索性问题和存在探索性问题。
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一、条件探索性问题 解决条件探索性问题的策略有： （1）模仿分析法。将题设和结论视为已知条件， 分别进行演绎再有机地结合起来，推导出所需寻求 的条件。 （2）设出题目中指定的探索条件，将此假设为已知， 结合题设条件列出满足结论的等量或不等量关系， 通过解方程或不等式，求出所需寻找的条件。
因此，无论E、F在何位置均有B1F⊥D1E．
(2)解：VC1CE Fa 6[(xa 2)2a42]
当
x
a 2
时，三棱锥C1－CEF的体积最大，这时E、F分别 为
BC、CD的中点 连结AC交EF于G点，连结C1G，则AC⊥EF
所以当 a 2 ，或 a0，或 a1时，(AB)C
为含有三个元素的集合。
评注：本题给出了两种探究方式，解法一的方式是从式子的 意义出发，联立方程组求解，运用了分类讨论的数学思想， 对思维的严谨性要求较高。解法二的方式是从直观图形出发， 找到了思维的依靠点，这样便于找到各种情况，很难出现遗 漏。
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解法二：
令x=0, x=1 由已知条件可知 sin0,co s0
当 x0,1 ，原不等式变为 1x2sin1xcos0
x
x
令 1 x t t R 即 t2sin tco s0
x
令 f(t) t2si n t co s si tn 1 2 co s1
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， B1
设BE＝x，则有B1(a，0，a)，D1(0，a，a)， A E(a，x，0)，F(a－x，a，0)
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B
E x
D1
C1
D y
G F
C
∴ B 1 F ( x ,a , a )， D 1 E ( a ,x a , a )
∴ B 1 F D 1 E a a x (x a ) ( a ) ( a ) 0
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解法一：
因为 ( A B ) C ( A C ) ( B C ) ，而 AC 与
B C 分别为方程组
1
ax x2
y y2
1 1
xya
2
x
2
y2
1
的解集
当 a 0时，由 1 得，AC0,1； 当 a 0时， 由 1得，AC0,1,12aa2,11 aa22
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例3：在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F 分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF．
（1）当E、F在何位置时，B1F⊥D1E；
（2）当E、F在何位置时三棱锥C1－CEF的体积取得最大 值，并求此时二面角C1－EF－C的大小．
z
A1
解: (1) 以A为原点，分别以AB、AD、AA1
方便。而解法二通过换元，使得式子更为规范。
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例2、设集合 A x , y |a y 1 x , B x , y |x y a ,
C x ,y |x 2 y 2 1问：
（1）当a为何值时， (AB)C为含有两个元素的集合？ （2）当a为何值时， (AB)C为含有三个元素的集合？
( 1 co ssi)x n 2 ( 1 2 si)x n sin
( 1 co ss i ) x n 2 2 1 c 2 s o 2 s is n i 2 n si 4 n 1 1 c 2 s o s i 2n s i n
由 sin0,co s0
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例1：已知当 x0,1时，不等式
x 2 co x 1 s x 1 x 2 si 0 n 恒成立，
试求 的取值范围
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解法一：
令x=0, x=1 由已知条件可知，sin0,co s0
设 f( x ) x 2 co x 1 s x 1 x 2 sin
为平行系，这两条直线与单位圆相交。如上图 （1）如图1，直线m与单位圆相交于（0，1）与另外一点，
而直线n与单位圆相离，（或直线m与直线n重合。 a=1时， 两条直线与单位圆相交于两点。
所以当 a 2 ，或 a 2 ，或a=1时 (AB)C
为含有两个元素的集合；
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（2）如图2，直线m与单位圆相交于（0，1）与另外一点， 而直线n与单位圆相切，或直线m与单位圆相切，直线n与单 位圆相交于两点，或直线m与直线n相交于（0，1）时，两 条直线与单位圆相交于三点。
2 si n
4 sin
所以 f(t)min cos4s1in0
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解得 sin 2 1 所以 5 (k Z)
2
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评注： 从特殊的个体考察普遍的规律是高中阶段必须掌握的思维
方式，本题先令x=0和x=1得到 sin0,co s0，
大大的缩小了 的考察范围，为后面的解答提供的很大的
当且仅当 a1时，12aa2,11aa221,1a
综上所述可知，
当 a 2，或 a 2，或 a 1 时，(AB)C为含有
两个元素的集合；
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当 a 2，或 a 0，或 a1时，(AB)C
为含有三个元素的集合
y n x
m
如图1
y
n x
m
如图2
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解法二：
由已知：直线m：axy1为定点系，直线n：xya
可知 1 co s si n 0 ,0 1 2 sin 1 2 2 co 2 s sin
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结合原不等式对任意 x0,1 恒成立可知
sin 0
cos 0
f
(x)mins
in
12sin2
4(1cos sin)
0
可得 sin 2 1
2
所以 2k2k5 (k Z)